(共15张PPT)
17.2
勾股定理的逆定理
人教版·八年级数学·下册
第一课时
1.体会勾股定理逆定理的得出过程,掌握勾股定理的逆定理.
2.探究勾股定理的逆定理的证明方法.
3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.
重点：掌握勾股定理的逆定理及证明.
难点：理解勾股定理的逆定理的证明.
阅读课本第31-32页内容，学习本节主要内容.
a2+b2=c2
互逆命题
原命题
逆命题
逆定理
1.勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么_________.
2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足_________,那么这个三角形是直角三角形.
3.勾股数:能够成为直角三角形三边长的_________.
a2+b2=c2
a2+b2=c2
三个正整数
1.互逆命题:在一对命题中,第一个命题的_____恰好为第二个命题的_____,而第一个命题的结论恰好是第二个命题的_____,像这样的两个命题叫做_________.我们把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的_______.
2.互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理___________.
题设
结论
互逆命题
题设
逆命题
互为逆定理
3.说出下列命题的逆命题,并判断它们是否正确.
(1)原命题:对顶角相等.(
)
逆命题:相等的角是对顶角.(
)
(2)原命题:两条直线平行,内错角相等.(
)
逆命题:内错角相等,两直线平行.(
)
(3)原命题:全等三角形的对应角相等.(
)
逆命题:如果两个三角形的对应角相等,那么这两个三角形全等.(
)
√
√
√
√
×
×
(4)原命题:线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等.(
)
逆命题:到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.(
)
(5)原命题:角平分线上的点,到这个角的两边距离相等.(
)
逆命题:到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上.(
)
任何一个命题都有逆命题,原命题与逆命题的关系就是将命题中题设与结论互换.
教师点拨：
√
√
√
√
例1：勾股定理逆定理的证明
已知:△ABC的边长分别为a、b、c,且满足a2+b2=c2.
求证:△ABC是直角三角形.
教师点拨：
勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是否为直角三角形的方法.
证明：
画一个直角△A1B1C1,使B1C1=a,A1C1=b,∠C1=90°
在Rt△A1B1C1中C1B12+A1C12=a2+b2,
又∵a2+b2=c2,∴A1B1=c
在△ABC和△A1B1C1中,BC=B1C1,AC=A1C1,AB=A1B1,
∴△ABC≌△A1B1C1,
∴∠C=∠C1=90°,即△ABC是直角三角形.
例2：判断由线段a、b、c围成的三角形是否是直角三角形？(1)a=6,b=8,c=10;
(2)a=5,b=12,c=13;
(3)a=5,b=7,c=9;
(4)a=8,b=15,c=17.
教师点拨：
一般步骤:(1)先判断哪条边最大;(2)分别计算出a2+b2和c2的值;(3)判断a2+b2和c2是否相等,若相等,则是直角三角形;若不相等,则不是直角三角形.
(1)∵62+82=36+64=100,102=100,
解：
∴62+82=102,
此三角形是直角三角形;
(2)∵52+122=25+144=169,132=169,
∴52+122=132,
此三角形是直角三角形;
(3)∵52+72=25+49=74,92=81,
∴52+72≠92,
此三角形不是直角三角形;
(4)∵82+152=64+225=289,172=289,
∴82+152=172,
此三角形是直角三角形;
证明：
教师点拨：
满足a2+b2=c2就可判定三角形是直角三角形,注意乘法公式的运用.
∵a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2,c2=(m2+n2)2,
1.已知:在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m＞n,m、n是正整数),求证:△ABC是直角三角形.
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形.
证明：
教师点拨：
关键是找到底和高,利用勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形,底和高就是它的两直角边.
∵AB2+BC2=72+242=49+576=625,AC2=252=625,
2.在△ABC中,AB=7,BC=24,AC=25,求△ABC的面积.
∴AB2+BC2=AC2,即△ABC是直角三角形且∠B=90°,
∴△ABC的面积=
C
A
C
面积相等的两个三角形全等
①∵a2+c2=b2,
解：
∴△ABC是Rt△且∠B=90°,
②∵b2+c2=a2,
∴△ABC是Rt△且∠A=90°.
解：
由题意知
a+2b-60=0
b-18=0
c-30=0
又∵a2+b2=c2,
解得
a=24
b=18
c=30
∴△ABC是Rt△且∠C=90°.
1.勾股定理的逆定理.
2.互逆命题.
3.互逆定理.
4.勾股数.(共16张PPT)
17.2
勾股定理的逆定理
第二课时
1.掌握勾股定理的逆定理.
2.灵活应用勾股定理的逆定理解决实际问题.
3.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.
重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.
难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.
阅读课本第33页内容，学习本节主要内容.
直角三角形
1.
如果一个直角三角形的三边分别为a、b、c,斜边为c,那么满足________.
2.如果三角形的三边长a、b、c满足_________,那么这个三角形是直角三角形.
a2+b2=c2
a2+b2=c2
1.已知在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c分别为下列长度,判断该三角形是否为直角三角形,并指出哪一个角是直角.
(1)是直角三角形,∠B=90°;
解：
(2)不是直角三角形;
(3)是直角三角形,∠C=90°;
(4)是直角三角形,∠C=90°.
2.如图,在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿CD,早晨测得它的影长BD为4米,中午测得它的影长AD为1米,则A、B、C能否构成直角三角形？为什么？
A、B、C三点能构成直角三角形,理由如下:
解：
在Rt△ACD中,由勾股定理得:AC2=AD2+CD2=12+22=5,
在Rt△BCD中,由勾股定理得:BC2=BD2+CD2=42+22=20,
在△ABC中,AC2+BC2=5+20=25,AB2=(4+1)2=52=25.
∴AC2+BC2=AB2,即A、B、C三点能构成直角三角形.
教师点拨：
根据勾股定理的逆命题,判断一个三角形是否是直角三角形,只要看两条较小边的平方和是否等于较大边的平方,较大边所对的角就是直角.
例1：某港口位于东西方向的海岸线上,“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口中,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时行16海里,“海天”号每小时行12海里,它们离开港口1个半小时后相距30海里,如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?
教师点拨：
利用勾股定理的逆定理得出△PRQ为直角三角形,再利用“东北方向”求解.
解：
根据题意,画图如下:得PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30,
∵242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,
∴△PQR是直角三角形且∠QPR=90°
由“远航”号沿东北方向航行可知,∠QPS=45°,则∠SPR=45°,即“海天”号沿西北方向航行.
例2：如图,小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地并种了一些蔬菜,爸爸让小明计算一下土地的面积,以便计算产量,小明找来一卷米尺,测得AB=4米,BC=3米,CD=13米,DA=12米,又已知∠B=90°.
教师点拨：
关键是通过分割把四边形的问题转化成解三角形的问题,再用勾股定理解答.
解：
连接AC,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:
在△ACD中,AC2+AD2=52+122=169,CD2=132=169,
∴AC2+AD2=CD2,即△ACD是直角三角形,
土地的面积=Rt△ABC的面积+Rt△ACD的面积
∴四边形土地的面积是36m2.
解：
教师点拨：
利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形,再利用在直角三角形中两锐角互余求解.
由题意知:
1.如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截,六分钟后同时到达C地将其拦截.已
知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每
小时航行50海里,航向为北偏西40°,问:甲巡
逻艇的航向是什么样的？
∴52+122=132即BC2+AC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,
又∵乙巡逻艇航向为北偏西40°,即∠CBA=50°,
∴∠CAB=40°,
∴甲的航向为北偏东50°.
解：
教师点拨：
通过填补将四边形的问题转化成三角形的问题,关键是求证△ABC是直角三角形.
连接AC,
2.如图,有一块地,已知,AD=4cm,CD=3cm,∠ADC=90°,
AB=13cm,BC=12cm,求这块地的面积.
∵AD=4,CD=3,∠ADC=90°,
又∵在△ABC中,AB=13m,BC=12m,AC=5m,
∴52+122=132
即△ABC是直角三角形,∴△ABC的面积
∴这块地的面积=30-6=24(m2).
D
B
D
D
A
解：
∵BC=8,CA=15,AB=17,
∴BC2+CA2=AB2,
∴△ABC为Rt△且∠ACB=90°
∴∠1＝180°-90°-60°＝30°，
∴乙船沿南偏东30°方向航行.
1.利用勾股定理的逆定理解决实际问题.
2.利用勾股定理的逆定理解决图形问题.
