江苏省常州市戚墅堰高级中学2020-2021学年高二第一学期期中质量调研考试数学试卷 PDF版含答案

2020 学年度第一学期期中质量调研
高二年级 数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目
要求．
1．“?x ?0,2x?sinx”的否定是 ( )
A．?x ?0,2x?sinx B．?x ?0,2x?sinx
C．?x0 ?0,2x0 ?sinx0 D．?x0 ?0,2x0 ?sinx0
5-x
2．不等式 ?0的解集为 ( )
x+3
A. (??,?3]?[5,??) B. [?3,5]
C. (??,?3)?[5,??) D. (?3，5]
3．设a?R,则“ 2
a?1”是“a ?1”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
4．观察数列1,ln2,sin3,4,ln5,sin6,7,ln8,sin9……则该数列的第23项等于 ( )
A.sin21 B. ln20 C. sin24 D. ln23
5．《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠
算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著,在这部著作中,许多数学问
题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总
不知,自长排来差三岁,共年二百一十六,借问大儿多少岁,各儿岁数要谁推.这位公公
年龄最大的儿子年龄为 ( )
A. 9岁 B. 12岁 C. 21岁 D. 36岁
6．不等式 2 2
(a ?9)x ?(a?3)x?1?0 的解集是空集,则实数a的范围为 ( )
9 9 9 9
A. (?3, ) B. [?3, ) C. [?3, ] D. [?3, )??3?
5 5 5 5
2a a
7．已知实数a,b满足ab?0,则 ? 的最大值为 ( )
2a?b a?2b
3 1 1 2
A． B． C． D．
2 4 3 3
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e ex ? e ? ? 2e ? ?2018e? ?2019e?
8．已知函数 f ?x?? x? ?ln ,若 f ? ?? f ? ???? f ? ?? f ? ??
2 e?x ?2020? ?2020? ? 2020 ? ? 2020 ?
2019 1 a
?a?b?,其中b?0,则 ? 的最小值为 ( )
2 2 a b
3 5 2
A． B． C． 2 D．
4 4 2
二、多项选择题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中有多项符合要求．全部
选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分．
9.如果a?b?0,那么下列不等式正确的 ( )
1 1
A. ? B. 2 2 1 1 2 2
ac ?bc C. a? ?b? D. a ?ab?b
a b b a
10.已知a?Z,关于x的一元二次不等式 2
x ?2x?a?0的解集中有且仅有3个整数,则a的值
可以是 ( )
A. ?3 B.?2 C. ?1 D. 0
11.已知数列?an?为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1?4a3 ? S7,则以下结论正确的有 ( )
A. a14 ?0 B. S14最小 C. S11 ?S16 D. S27 ?0
12.将 2
n (n?3)个数排成n行n列的一个数阵,如下图：
a11 a12 a13 ?? a1n
a21 a22 a23 ?? a2n
a31 a32 a33 ?? a3n
??
an1 an2 an3 ?? ann
该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的
等比数列（其中m?0）.已知 2
a11 ?3,a61 ?a13 ?1,记这n 个数的和为S .下列结论正确的有( )
A. 7
m?2 B. a67 ?13?2
?
C. j 1 n
aij ?(2i?1)?2 D. S ?n(n?2)?2 ?1?
三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分,第16题第一空2分,第二空3分.
13.已知不等式 2
x ?5ax?b?0的解集为?x|x?1或x?4?,则a?b? ▲ ．
14.已知数列?an?为等差数列,Sn为?an?的前n项和,若1?a2 ?3,2?a3 ?4,则S4的取值范围
是 ▲ ．
15.已知 2
x?0,y ?0且xy?x?2y ?6,若x? y ?m ?m?1恒成立,则非零整数m的取值
集合是 ▲ ．
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a ?a
16.对于数列 * m n
?an?,若任意m,n?N (m?n),都有 ?t（t为常数）成立,则称数列?an?具有
m?n
性质 p(t).
（1）若数列 n
?an?的通项公式为an ?3 ,且具有性质 p(t),则t的最大值为 ▲ ；
a
（2）若数列?an?的通项公式为an ?n? ,且具有性质 p(9),则实数a的取值范围是 ▲ ．
n
四、解答题：本大题共6小题共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分10分）
已知集合 2 2
A?{x|x ?8ax?12a ?0},其中a?0；集合B={x|(x-1)(2-x)?0}．
（1）若a ?1, 求A?B；
（2）若 p:x?A,q:x?B,且p是q的必要不充分条件,求实数a 的取值范围．
18.（本小题满分10分）
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,?bn?是各项均为正数的等比数列,a1?b4, ▲ ,b2 ?8,
b1?3b3 ?4,是否存在正整数k,使得数列 1
{ }的前 3
k项和Tk ? ,若存在,求出k的最小值；若不存在,
Sn 4
说明理由.
从①S4 ?20,②S3 ?2a3,③3a3?a4 ?b2这三个条件中任选一个补充到上面问题中并作答.
（注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.）
19.（本小题满分12分）
x?a
已知函数 f(x)? （a,b为常数）.
x?b
（1）若b?1,解关于x的不等式 f(x?2)?0；
?1
（2）若a ?2,当x?[?1,2]时, f(x)? 2 恒成立,求b的取值范围.
(x?b)
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20.（本小题满分12分）
＋
已知数列?an?的前n项和为 n 1 *
Sn,2Sn ?an＋1?3 +2,n?N ,且a1,a2＋6,29成等差数列．
（1）求a1的值；
?a ?
（2）证明：数列 n
? n ?为等差数列,并求数列?an?的通项公式；
?3 ?
a
（3）设 ＝ n *
bn log3( )?1,若对任意的n?N ,不等式bn(1＋n)－?n(bn＋2)－6?0恒成立,试求实数?
2n?1
的取值范围．
21.（本小题满分12分）
党中央、国务院对节能减排高度重视,各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能减排
的决策部署,把节能减排作为转换发展方式,经济提质增效,建设生态文明的重要抓手,取得重要进展.新能
源汽车环保、节能、以电代油,减少排放,既符合我国国情,也代表了汽车产业发展的方向.为了响应国家节
能减排的号召,2020年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析:全年需投入固定成本
2500万元.每生产x（百辆）新能源汽车,需另投入成本C(x)万元,且
2
?10x ?500x,0? x?40
?
C(x)?? .由市场调研知,每辆车售价 万元,且生产的车辆当年能全部销售
10000 9
?901x? ?4300,x?40
? x
完.
（1）请写出2020年的利润L(x)（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润?销售?成本）
（2）当2020年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.
22.（本小题满分14分）
已知各项均为正数的数列?an?的前n项和为 3 3 3 2 *
Sn,且满足a1 ?a2 ???an ? (a1?a2 ???an) ,n?N .
（1）求证： 2
an ?2Sn ?an；
1
（2）设 n
cn ?(an ? )?2 ,其前n项和为Tn,求Tn；
2
T ?3 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ?
（3）在（2）的条件下，设 n
bn ? n ?2,求使不等式?1? ??1? ???1? ?? p 2n?1对一切n?2
2 ? b1?? b2 ? ? bn ?
*
且n?N 均成立的最大整数 p.
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2020 学年度第一学期期中质量调研
高二数学参考答案及评分标准
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.
DDBDD BCA
一、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
CD BCD ACD ACD
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.第16题第一空2分，第二空3分）
13. ?3 14. [6,14] 15. ?1? 16. (1) 6 (2)a?16
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
解：由已知，a?0
2 2
所以A?{x|x ?8ax?12a ?0} ?{x|(x?2a)(x?6a)?0} ??x|x?2a或x?6a?
B={x|(x-1)(2-x)?0}={x|1 x 2}……………………………………………2分
(1)当a ?1时A??x|x?2或x?6?………………………………………………………4分
B ??x|1? x?2?
所以A?B ??x|1? x?2?…………………………………………………………………5分
(2)A??x|x?2a或x?6a?，………………………………………………………………6分
B ??x|1? x?2?
由已知， p是q的必要不充分条件，可知B?A，
? ………………………………………7分
1
所以2?2a或1?6a 所以 a? 或a ?1…………………………………………………9分
6
1
所以0?a? 或a?1………………………………………………………………………10分
6
18．(本小题满分10分)
8 8
解设等比数列?bn?的公比为q（q ? 0），则b1 ? ，b3 ?8q，于是 ?3?8q?4，
q q
1 2
即 2
6q ?q?2?0，解得q? ，q ?? （舍去）. ……………………………… 分
2 3 2
4?3
若选①：则a1 ?b4 ? 2，S4 ?4a1? d ?20，解得d ?2…………………… 分
2 4
n(n?1)
所以 2
Sn ?2n? ?2?n ?n，………………………………………………… 分
2 6
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1 1 1 1
? ? ? ，于是
Sn n(n?1) n n?1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
Tk ? ? ??+ ?(1? )?( ? )???( ? )?1? ………… 分
S1 S2 Sk 2 2 3 k k ?1 k ?1 8
1 3
令1? ? ，解得k ?3，………………………………………………………… 分
k?1 4 9
因为k为正整数，所以k的最小值为4. ……………………………………………10分
3?2
若选②：则a1 ?b4 ? 2，3a1? d ?2(a1?2d)，解得a1 ?d ? 2.…………… 分
2 4
下同①.
4
若选③：则a1 ?b4 ? 2，3(a1?2d)?(a1?3d)?8，解得d ? .………………… 分
3 4
n(n?1) 4 2 4
于是 2
Sn ?2n? ? ? n ? n， ………………………………………… 分
2 3 3 3 6
1 3 1 3 1 1
? ? ? ( ? )，
Sn 2 n(n?2) 4 n n?2
于是
3 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1
Tk ? [(1? )?( ? )???( ? )?( ? )] ? (1? ? ? )
4 3 2 4 k?1 k?1 k k?2 4 2 k?1 k?2
9 3 1 1
? ? ( ? )，……………………………………………………………… 分
8 4 k?1 k?2 8
3 1 1 1
令Tk ? ，得 2
? ? ，得k ?k ?4?0
4 k?1 k?2 2
1? 17 1? 17
所以k ? 或k ? ………………………………………………………… 分
2 2 9
又k为正整数，解得k ?3，所以k的最小值为3.………………………………10分
19．(本小题满分12分)
x?a x?a
解：（1） f(x)? b?1所以 f(x)?
x?b ， x?1
x?2?a x?2?a
所以 f(x?2)? ? ?0
x?2?1 x?1
等价于(x?1)(x?2?a)?0…………………………………………………………………1分
①当1?2?a时，即a ?1时，不等式的解集为?x|2?a? x?1?………………………3分
②当1?2?a时，即a ?1时，不等式的解集为?…………………………………………4分
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③当1?2?a时，即a?1时，不等式的解集为?x|1? x?2?a?………………………6分
?1
（2）因为a ?2, f(x)? 2 ，
(x?b)
x?2 ?1
所以 ? 2 ? (x?b)(x?2)??1 […………………………………………… 分
x?b (x?b) 7
显然x ? ?b；由x???1,2?时不等式恒成立，可知b?[?2,1]；………………………8分
2
?x ?2x?1
当?1? x?2时，b? ………………………………………………………… 分
x?2 9
1 1
令t ? x?2?[1,4]， p(t)??(t? )?2??2 t? ?2?0 …………………………… 分
t t 10
1
（当且仅当t ? 即t ?1时取等号）
t
所以b?0，…………………………………………………………………………………11分
又因为b?[?2,1]
综上所述，b?1.……………………………………………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
?
解（1）在 n 1 *
2Sn ?an?1?3 ?2,n?N 中
令 2
n?1，得2S1 ?a2 ?3 ?2,即a2 ?2a1?7，① 又 2?a2 ?6??a1?29 ②
则由①②解得a1 ?1. ……………………………………………………………………2分
n?1
?2S ?a ? ?3 ?2
（2）当 n n 1 n
n?2时，由 ? ，得到
n an?1 ?3an ?2?3 ,
? 2Sn?1 ?an ?3 ?2
a
则 n?1 an 2
n?1 ? n ? (n? 2) …………………………………………………………………… 分
3 3 3 4
a a 2
又 2 1
a2 ?9，则 2 ? 1 ? 满足前式…………………………………………………… 分
3 3 3 5
?an? 1 2
?数列? n ?是以 为首项， 为公差的等差数列，………………… ……………… 分
?3 ? 3 3 ^ 6
an 1 2 2n?1 ?
所以 n 1
n ? ?(n?1) ? ，即an ?(2n?1)?3 .………………………………… 分
3 3 3 3 7
（3）由（2）得bn ?n当bn?1?n???n?bn ?2??6?0恒成立时，即
2 *
?1???n ??1?2??n?6?0（n?N ）恒成立………………………………………8分
2
设 *
f ?n???1???n ??1?2??n?6（n?N ），
当??1时， f ?n???n?6?0恒成立，则??1满足条件； ………………………9分
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当??1时，由二次函数性质知不恒成立； ……………………………………………10分
1?2?
当??1时，由于对称轴x? ? ?0，则 f ?n?在?1,???上单调递减，
2(1??)
f ?n?? f ?1???3??4?0恒成立，则??1满足条件，……………………………11分
综上所述，实数λ的取值范围是?1,???.…………………………………………………12分
（或分参，酌情给分）
21．（本小题满分12分）
解（1）当0? x?40时，
2 2
L(x)?9?100x?10x ?500x?2500??10x ?400x?2500 ；…………………2分
当x?40时，
10000 ? 10000 ?
L(x)?9?100x?901x? ?4300?2500?1800? ?x? ?；…………… 分
x ? x ? 4
2
??10x ?400x?2500,0? x?40
?
所以L(x)?? ? 10000? ………………………………………… 分
?1800??x? ?,x?40 5
? ? x ?
（2）当 2
0? x?40时，L(x)??10(x?20) ?1500 ，
当x=20时，L(x)max ?1500；…………………………………………………………7分
? 10000? 10000
当x?40时，L(x)?1800??x? ??1800?2 x?
? x ? x
?1800?200?1600.………………………………………………………………………9分
10000
（当且仅当x? 即x?100时，“?”成立）………………………………………… 分
x 10
因为1600?1500
所以，当x?100时，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1600
万元.…………………………………………………………………………………………11分
答：（1） 年的利润 （万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式为
2020 L(x) x
2
??10x ?400x?2500,0? x?40
?
L(x)?? ? 10000?
?1800??x? ?,x?40
? ? x ?
（2）当x?100时，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1600
万元.………………………………………………………………………………………12分
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22．（本小题满分14分）
3 3 3 2
解（1）a1 ?a2 ???an ? (a1?a2 ???an) (*)
3 3 3 2
a1 ?a2 ???an?1 ? (a1?a2 ???an?1) (n? 2)
所以 3 2 2
an ?(a1?a2 ???an) ?(a1?a2 ???an?1)
?an(2Sn ?an)…………………………………………………………………2分
又an ?0
所以 2
an ?2Sn ?an(n?2)，又因为由(*)式可得a1 ?1满足前式……………………3分
2 *
所以an ?2Sn ?an(n?N )………………………………………………………………4分
（ 2
2）由（1）得an?1 ?2Sn?1?an?1(n?2)，所以(an ?an?1)(an ?an?1?1)?0
又an ?0，所以an ?an?1 ?0，所以an ?an?1 ?1
所以?an?是以1位首项，1为公差的等差数列.所以an ?1?(n?1)?1?n ………………6分
? 1? n
所以cn ??n? ??2
? 2?
1 1 3 2 5 3 ? 1? n
Tn ? ?2 ? ?2 ? ?2 ????n? ??2 ①
2 2 2 ? 2?
②
1 2 3 3 ? 3? n ? 1? n?1 ……………………………7分
2Tn ? ?2 ? ?2 ????n? ??2 ??n? ??2
2 2 ? 2? ? 2?
①?②得：
2 3 n ? 1? n?1
?Tn ?1?2 ?2 ???2 ??n? ??2
? 2?
2 3 n ? 1? n?1
?2?2 ?2 ???2 ??n? ??2 ?1
? 2?
n
2?1?2 ? ? 1? n?1 n
? ??n? ??2 ?1??3?2n??2 ?3.
1?2 ? 2?
n
Tn ??2n?3??2 ?3………………………………………………………………………8分
n
? 2n?3 ?2
（3） Tn 3 ? ?
bn ? n ?2? n ?2?2n?1………………………………………9分
2 2
1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ?
由题意得 p? *
?1? ??1? ???1? ?对n?2,n?N 恒成立，……… 分
2n?1? b 10
1?? b2 ? ? bn ?
1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ?
记F?n?? ?1? ??1? ???1? ?
2n?1? b1?? b2 ? ? bn ?
第 5 页 共 6 页
1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ?? 1 ?
?1? ??1? ???1? ??1? ?
F?n?1? 2n?3? b1?? b2 ? ? bn ?? bn?1?
则 ?
F?n? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ?
?1? ??1? ???1? ?
2n?1? b1?? b2 ? ? bn ?
2
2n?2 4n ?8n?4
? ? 2 ?1
?2n?1??2n?3? 4n ?8n?3
?F?n??0，?F?n?1?? F?n?，即F?n?是随n的增大而增大……………………12分
8 8
F?n?的最小值为F?2?? 5，所以 p? 5，…………………………………13分
15 15
又 p?Z ，所以 pmax ?1.……………………………………………………………………14分
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