人教版 九年级上册数学 24.4 弧长和扇形面积 课时训练（含解析）

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九年级数学
24.4
弧长和扇形面积
课时训练
一、选择题（本大题共10道小题）
1.
2019·湖州已知圆锥的底面半径为5
cm，母线长为13
cm，则这个圆锥的侧面积是(　　)
A．60π
cm2
B．65π
cm2
C．120π
cm2
D．130π
cm2
2.
一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是(　　)
A．2π
B．4π
C．12π
D．24π
3.
如图，用一张半径为24
cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子(接缝忽略不计)．如果圆锥形帽子的底面圆半径为10
cm，那么这张扇形纸板的面积是(　　)
A．240π
cm2
B．480π
cm2
C．1200π
cm2
D．2400π
cm2
4.
在半径为6
cm的圆中，长为2π
cm的弧所对的圆周角的度数为
(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
5.
2019·唐山乐亭期末
如图，圆锥的底面半径OB＝6
cm，高OC＝8
cm，则这个圆锥的侧面积是(　　)
A．30
cm2
B．60π
cm2
C．30π
cm2
D．48π
cm2
6.
如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4∶5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为(　　)
A．288°
B．144°
C．216°
D．120°
7.
如图所示的扇形纸片半径为5
cm，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4
cm，则该圆锥的底面周长是(　　)
A.
3π
cm
B.
4π
cm
C.
5π
cm
D.
6π
cm
　　　　　　　　
8.
如图，C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且l∶l＝1∶3(l表示的长)．若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为(　　)
A．1∶3
B．1∶π
C．1∶4
D．2∶9
9.
如图，一根5
m长的绳子，一端拴在围墙墙脚的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)，那么小羊A在草地上的最大活动区域的面积是(　　)
图
A.π
m2
B.π
m2
C.π
m2
D.π
m2
10.
已知一个圆心角为270°的扇形工件，未搬动前如图所示，A，B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动旋转，再使它紧贴地面滚动，当A，B两点再次触地时停止，扇形工件所在圆的直径为6
m，则圆心O所经过的路线长是(结果用含π的式子表示)(　　)
A．6π
m
B．8π
m
C．10π
m
D．12π
m
二、填空题（本大题共8道小题）
11.
将母线长为6
cm，底面半径为2
cm的圆锥的侧面展开，得到如图所示的扇形OAB，则图中阴影部分的面积为________
cm2.
12.
如图所示，有一直径是　米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆心角是90°的最大扇形ABC，则：
(1)AB的长为________米；
(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为________米．
13.
如图中的小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”(阴影部分)图案的面积为________．
14.
如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置．若AB＝16
cm，则图中阴影部分的面积为________．
15.
一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为________．
16.
如图，在圆柱体内挖去一个与它不等高的圆锥，锥顶O到AD的距离为1，∠OCD＝30°，OC＝4，则挖去圆锥后剩余部分的表面积是________．
17.
如图在边长为3的正方形ABCD中，以点A为圆心，2为半径作圆弧EF，以点D为圆心，3为半径作圆弧AC.若图阴影部分的面积分别为S1，S2，则S1－S2＝________．
18.
如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形的边长为6
cm，则该莱洛三角形的周长为________
cm.
三、解答题（本大题共4道小题）
19.
如图，C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD，AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F.
(1)求∠AFE的度数；
(2)求阴影部分的面积(结果保留π和根号).
20.
如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°，
(1)求证：直线AD是⊙O的切线；
(2)若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．
21.
如图，点A，B，C，D均在圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD＝120°，四边形ABCD的周长为15.
(1)求此圆的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
22.
如图，△ABC是正三角形，曲线CDEFG…叫做“正三角形的渐开线”，曲线的各部分为圆弧．
(1)图已经有4段圆弧，请接着画出第5段圆弧GH.
(2)设△ABC的边长为a，则第1段弧的长是________，第5段弧的长是________，前5段弧长的和(即曲线CDEFGH的长)是________．
(3)类似地，有“正方形的渐开线”“正五边形的渐开线”……边长为a的正方形的渐开线的前5段弧长的和是________．
(4)猜想：①边长为a的正n边形的前5段弧长的和是________；
②边长为a的正n边形的前m段弧长的和是________．
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24.4
弧长和扇形面积
课时训练-答案
一、选择题（本大题共10道小题）
1.
【答案】B　[解析]
∵r＝5
cm，l＝13
cm，∴S圆锥侧＝πrl＝π×5×13＝65π(cm2)．故选B.
2.
【答案】C　[解析]
根据扇形的面积公式，S＝＝12π.故选C.
3.
【答案】A　[解析]
∵扇形的弧长l＝2·π·10＝20π(cm)，
∴扇形的面积S＝lR＝×20π×24＝240π(cm2)．
4.
【答案】A　[解析]
设长为2π
cm的弧所对的圆心角的度数为n°，则＝2π，解得n＝60.∴这条弧所对的圆心角是60°，即所对的圆周角是30°.故选A.
5.
【答案】B
6.
【答案】A　[解析]
设所需扇形铁皮的圆心角为n°，圆锥底面圆的半径为4x，则母线长为5x，所以底面圆周长为2π×4x＝8πx，所以×π×5x＝8πx，解得n＝288.
7.
【答案】D　【解析】如解图，由题意可知，OA＝4
cm，AB＝5
cm，在Rt△AOB中，利用勾股定理可求得OB＝3
cm，∴该圆锥的底面周长是6π
cm.
8.
【答案】D
9.
【答案】D　[解析]
如图，大扇形的圆心角是90°，半径是5
m，∴其面积为＝(m2)；小扇形的圆心角是180°－120°＝60°，半径是1
m，则其面积为＝(m2)，∴小羊A在草地上的最大活动区域的面积为＋＝π(m2)．
10.
【答案】A　[解析]
如图，∠AOB＝360°－270°＝90°，则∠ABO＝45°，
则∠OBC＝45°，
点O旋转的长度是2×＝π(m)，
点O移动的距离是＝π(m)，
则圆心O所经过的路线长是π＋π＝6π(m)．
二、填空题（本大题共8道小题）
11.
【答案】(12π－9
)　[解析]
由题意知，扇形OAB的弧长＝圆锥的底面周长＝2×2π＝4π(cm)，
∴扇形的圆心角n＝4π×180÷6π＝120，即∠AOB＝120°.
如图，过点C作OC⊥AB于点C.
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠OAB＝∠OBA＝30，
∴OC＝OA＝3
cm，
∴AC＝3
cm，
∴AB＝2AC＝2×3
＝6
(cm)，
∴S阴影＝S扇形OAB－S△OAB＝－×3×6
＝(12π－9
)cm2.
12.
【答案】(1)1　(2)　[解析]
(1)如图，连接BC.
∵∠BAC＝90°，
∴BC为⊙O的直径，即BC＝.
∵AB＝AC，AB2＋AC2＝BC2＝2，
∴AB＝1(米)．
(2)设所得圆锥的底面圆的半径为r米．
根据题意，得2πr＝，
解得r＝.
13.
【答案】2π－4　[解析]
如图所示，由题意，得阴影部分的面积＝2(S扇形OAB－S△OAB)＝2(－×2×2)＝2π－4.
故答案为2π－4.
14.
【答案】32π
cm2　[解析]
由旋转的性质得∠BAB′＝45°，四边形AB′C′D′≌四边形ABCD，
则图中阴影部分的面积＝四边形ABCD的面积＋扇形ABB′的面积－四边形AB′C′D′的面积＝扇形ABB′的面积＝＝32π(cm2)．
15.
【答案】12π
16.
【答案】(16＋8
)π　[解析]
∵∠OCD＝30°，
∴∠OCB＝60°.
又∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴挖去的圆锥的高为2
，底面圆的半径为2，
∴圆柱的高为1＋2
，
则挖去圆锥后该物体的表面积为(1＋2
)×4π＋π×22＋×4π×4＝(16＋8
)π.
17.
【答案】－9　[解析]
∵S正方形ABCD＝3×3＝9，S扇形DAC＝，S扇形AEF＝π，
∴S1－S2＝S扇形AEF－(S正方形ABCD－S扇形DAC)＝π－＝－9.
18.
【答案】6π　[解析]
以边长为半径画弧，这三段弧的半径为正三角形的边长，即6
cm，圆心角为正三角形的内角度数，即60°，所以每段弧的长度为＝2π(cm)，所以该莱洛三角形的周长为2π×3＝6π(cm)．
三、解答题（本大题共4道小题）
19.
【答案】
解：(1)连接OD，OC，如图．
∵C，D是半圆O上的三等分点，∴＝＝，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，∴∠CAB＝30°.
∵DE⊥AB，∴∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝90°－30°＝60°.
(2)由(1)知∠AOD＝60°.
∵OA＝OD，AB＝4，
∴△OAD是等边三角形，OA＝OD＝2.
∵DE⊥AO，∴AE＝OE＝OA＝1，
∴DE＝＝，
∴S阴影＝S扇形OAD－S△OAD＝－×2×＝π－.
20.
【答案】
解：(1)证明：如图，连接OA.
∵AD＝AB，∠D＝30°，
∴∠B＝∠D＝30°，
∴∠DAB＝120°.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝30°，
∴∠BCA＝60°.
∵AO＝CO，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠CAO＝60°，
∴∠DAO＝∠CAO＋∠DAC＝90°，
即AD⊥AO.
又∵AO是⊙O的半径，
∴直线AD是⊙O的切线．
(2)由(1)知Rt△ADO中，AO＝2，∠D＝30°，
∴OD＝2AO＝4，
∴AD＝2
，
∴SRt△ADO＝×2
×2＝2
.
∵△ACO是等边三角形，∴∠AOD＝60°，
∴S扇形OAC＝＝，
∴S阴影＝SRt△ADO－S扇形OAC＝2
－.
21.
【答案】
解：(1)∵AD∥BC，∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，∠ADB＝∠DBC.
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ADB＝30°，
∴＝＝，∠BCD＝60°，
∴AB＝AD＝DC，∠BDC＝90°，
∴BC是圆的直径，BC＝2DC，
∴BC＋BC＝15，解得BC＝6，
∴此圆的半径为3.
(2)设BC的中点为O，由(1)可知点O为圆心，连接OA，OD.
∵∠ABD＝30°，∴∠AOD＝60°.
根据“同底等高的三角形的面积相等”可得S△ABD＝S△OAD，
∴S阴影＝S扇形OAD＝＝π.
22.
【答案】
解：(1)如图
(2)πa　πa　10πa
(3)
(4)①πa　②πa