北师大版八年级数学上册7.4 平行线的性质同步练习（Word版，附答案）

7.4
平行线的性质
一．选择题
1．下列说法中，错误的是（　　）
①a与c相交，b与c相交，则a与b相交；
②若a∥b，b∥c，则a∥c；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④在同一平面内，两条直线的位置关系平行、相交、垂直三种．
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
2．下列说法：
①相等的角是对顶角；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行；
④同角或等角的余角相等，
其中正确的说法有（　　）
A．4
个
B．3
个
C．2
个
D．1
个
3．将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：
①如果∠2＝30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD＝180°；
③如果BC∥AD，则∠2＝30°；
④如果∠CAD＝150°，则∠4＝∠C．其中正确的结论有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．下列说法：①平行于同一条直线的两条直线也互相平行；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③垂线段最短；
④同旁内角互补．
其中说法错误的是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
5．如图，将一副三角板按如图放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，则下列结论正确的有（　　）个．
①∠1＝∠3；
②∠CAD+∠2＝180°；
③如果∠2＝30°，则有AC∥DE；
④如果∠2＝30°，则有BC∥AD．
A．4
B．3
C．2
D．1
6．如图，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（　　）
A．∵∠1＝∠3∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
B．∵AD∥BC∴∠2＝∠4（两直线平行，内错角相等）
C．∵∠BAD+∠ABC＝180°∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
D．∵∠DAM＝∠CBM∴AD∥BC（两直线平行，同位角相等）
7．一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②如果BC∥AD，则有∠2＝45°；③∠BAE+∠CAD随着∠2的变化而变化；④如果∠4＝45°，那么∠1＝60°，其中正确的是（　　）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
二．解答题
8．完成下面推理过程．
如图：已知，∠A＝112°，∠ABC＝68°，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F，求证：∠1＝∠2．
证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知）
∴∠A+∠ABC＝180°
∴AD∥BC（　
　）
∴∠1＝　
　（　
　）
∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知）
∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（　
　）
∴∠BDF＝∠EFC＝90°
∴BD∥EF（　
　）
∴∠2＝　
　（　
　）
∴∠1＝∠2（　
　）
9．补全证明过程：（括号内填写理由）
一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于A、G、H、D，如果∠1＝∠2，∠A＝∠D，求证：∠B＝∠C．
证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3，（　
　）
∴∠2＝∠3，（　
　）
∴CE∥BF，（　
　）
∴∠C＝∠4，（　
　）
又∵∠A＝∠D，（　
　）
∴AB∥　
　，（　
　）
∴∠B＝∠4，（　
　）
∴∠B＝∠C．（等量代换）
10．如图，如果AB∥CD，证明∠B+∠E＝∠C+180°．
请阅读以下证明过程，并补全所空内容．
证明：过点E作直线EF，使得EF∥AB．
∵EF∥AB，∴∠B+　
　＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵AB∥CD，∴EF∥　
　（平行于同一直线的两条直线平行）．
∴∠FEC＝∠C（　
　）．
∵∠BEC＝∠BEF+∠FEC．
∴∠B+∠BEC＝∠B+∠BEF+∠FEC．
故：∠B+∠BEC＝　
　+∠C（等量代换）．
11．完成推理填空．
填写推理理由：
如图：EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，把求∠AGD的过程填写完整．
∵EF∥AD，
∴∠2＝　
　，（　
　）
又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，
∴AB∥　
　，（　
　）
∴∠BAC+　
　＝180°，（　
　）
又∵∠BAC＝70°，
∴∠AGD＝110°．
12．如图，∠A与∠B的两边分别交于点C，D，且∠A＝∠B，AC∥BD，试猜想BC和AD的位置关系，并说明理由．（在横线上完成解答，并在括号内注明理由）
解：BC　
　AD．
理由如下：
因为AC∥BD，
所以∠A　
　．（两直线平行，　
　）
又因为∠A＝∠B，
所以∠B　
　．（等量代换）
所以BC　
　AD．（　
　）
13．在下列解题过程的空白处填上适当的推理理由或数学表达式：
如图，在△ABC中，已知∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G．
求证：CD⊥AB．
证明：∵∠ADE＝∠B（已知），
∴DE∥BC（　
　），
∵DE∥BC（已证），
∴　
　，（　
　）
又∵∠1＝∠2（已知），
∴　
　，（　
　）
∴CD∥FG（同位角相等，两直线平行），
∴∠CDB＝∠FGB（两直线平行，同位角相等），
∵FG⊥AB（已知），
∴∠FGB＝90°（垂直的定义）．
∴∠CDB＝90°
∴CD⊥AB（垂直的定义）．
14．完成下面的证明．
已知：如图，AC⊥BD，EF⊥BD，∠A＝∠1．求证：EF平分∠BED．
证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD，
∴∠ACB＝90°，∠EFD＝90°．（　
　）．
∴∠ACB+∠EFD＝180°．
∴　
　．（　
　）．
∴∠A＝∠2．
∠3＝∠1．（　
　）．
又∵∠A＝∠1，
∴∠2＝∠3．（　
　）．
∴EF平分∠BED．
15．填空：
如图，已知DG⊥BC，BC⊥AC，EF⊥AB，∠1＝∠2，试判断CD与AB的位置关系．
解：CD⊥AB，
∵DG⊥BC，BC⊥AC（已知），
∴∠DGB＝∠　
　＝90°（垂直定义）．
∴DG∥AC（　
　）．
∴∠2＝∠　
　．（两直线平行，内错角相等）
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠　
　（等量代换）．
∴EF∥　
　（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AEF＝∠ADC（　
　）．
∵EF⊥AB，
∴∠AEF＝90°．
∴∠ADC＝90°．
即：CD⊥AB．
16．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，将求证∠CDG＝∠B的过程填写完整．
证明：∵EF∥AD（已知）
∴∠2＝　
　（　
　）
又∵∠1＝∠2（　
　）
∴∠1＝　
　（　
　）
∴AB∥DG（　
　）
∴∠CDG＝　
　（　
　）
参考答案
一．选择题
1．解：当a与b平行时，虽然a与c相交，b与c相交，但a与b不相交，故①错误；
在同一平面内，两条直线有两种的位置关系：平行、相交，故④错误；
②③分别是平行公理及推论，正确．
故选：B．
2．解：①相等的角不一定是对顶角，原说法错误；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行，原说法正确；
④同角或等角的余角相等，原说法正确．
正确的说法有3个，
故选：B．
3．解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，
∴∠1＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE，故①正确；
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确；
∵BC∥AD，∠B＝45°，
∴∠3＝∠B＝45°，
∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，
∴∠2＝45°，故③错误；
∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，
∴∠BAE＝30°，
∵∠E＝60°，
∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，
∴∠4+∠B＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠4＝45°，
∵∠C＝45°，
∴∠4＝∠C，故④正确；
所以其中正确的结论有①②④，3个．
故选：C．
4．解：①平行于同一条直线的两条直线也互相平行，原说法正确；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确；
③垂线段最短，原说法正确；
④只有两直线平行时，同旁内角才互补，原说法错误．
错误的是④，
故选：D．
5．解：∵∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
故①正确；
∵∠CAD+∠2＝∠1+∠2+∠3+∠2＝90°+90°＝180°，
故②正确；
∵∠2＝30°，
∴∠1＝60°＝∠E，
∴AC∥DE，
故③正确；
∵∠2＝30°，
∴∠3＝60°≠∠B，
∴BC与AD不平行，
故④不正确；
故选：B．
6．解：A．∵∠1＝∠3，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
所以A正确；
B．∵AD∥BC，
∴∠2＝∠4（两直线平行，内错角相等）；
所以B正确；
C．∵∠BAD+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；
所以C正确；
D．∵∠DAM＝∠CBM，
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），
所以D错误．
故选：D．
7．解：①∵∠2＝30°，
∴∠1＝90°﹣∠2＝60°，
∵∠AED＝60°，
∴∠1＝∠AED，
∴AC∥DE；
所以①正确；
②∵BC∥AD，
∴∠B＝∠3＝45°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝45°；
所以②正确；
③∵∠1+∠2＝∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴∠BAE+∠CAD随着∠2的变化不会发生变化；
所以③错误；
④如图，
∵∠EGF＝∠4＝45°，∠GEF＝60°，
∴∠GFA＝45°+60°＝105°，
∵∠GFA＝∠C+∠1，
∵∠C＝45°，
∴∠1＝60°．
所以④正确．
所以其中正确的是①②④．
故选：B．
二．解答题
8．证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知），
∴∠A+∠ABC＝180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠1＝∠3
（两直线平行，内错角相等
）．
∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知），
∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．
∴∠BDF＝∠EFC＝90°．
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）．
∴∠1＝∠2（等量代换）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；
同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换．
9．证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（对顶角相等），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠C＝∠4（两直线平行，同位角相等），
又∵∠A＝∠D（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠B＝∠4（两直线平行，内错角相等），
∴∠B＝∠C（等量代换）．
故答案为：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
10．证明：过点E作直线EF，使得EF∥AB．
∵EF∥AB，
∴∠B+∠BEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵AB∥CD，
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线平行）．
∴∠FEC＝∠C（两直线平行，内错角相等）．
∵∠BEC＝∠BEF+∠FEC．
∴∠B+∠BEC＝∠B+∠BEF+∠FEC．
故：∠B+∠BEC＝180°+∠C（等量代换）．
故答案为：∠BEF；CD；两直线平行，内错角相等；180°．
11．解：∵EF∥AD（已知），
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠DGA＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAC＝70°，
∴∠AGD＝110°，
故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；DG；内错角相等，两直线平行；∠DGA；两直线平行，同旁内角互补．
12．解：BC∥AD．
理由如下：
因为AC∥BD，
所以∠A＝∠BDE．（两直线平行，同位角相等）
又因为∠A＝∠B，
所以∠B＝∠BDE．（等量代换）
所以BC∥AD．（内错角相等，两直线平行），
故答案为：∥；＝∠BDE，同位角相等；＝∠BDE；∥，内错角相等，两直线平行．
13．证明：∵∠ADE＝∠B（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∵DE∥BC（已证），
∴∠1＝∠DCB，（两直线平行，内错角相等）
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠DCB＝∠2，（等量代换）
∴CD∥FG（同位角相等，两直线平行），
∴∠CDB＝∠FGB（两直线平行，同位角相等），
∵FG⊥AB（已知），
∴∠FGB＝90°（垂直的定义）．
∴∠CDB＝90°
∴CD⊥AB（垂直的定义）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；∠1＝∠DCB；两直线平行，内错角相等；∠DCB＝∠2；等量代换．
14．证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD，
∴∠ACB＝90°，∠EFD＝90°．（垂直的定义）．
∴∠ACB+∠EFD＝180°．
∴EF∥AC．（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠A＝∠2．
∠3＝∠1．（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠A＝∠1，
∴∠2＝∠3．（等量代换）．
∴EF平分∠BED．
故答案为：垂直的定义；EF∥AC，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换．
15．解：CD⊥AB，
∵DG⊥BC，BC⊥AC（已知），
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义）．
∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）．
∴∠2＝∠ACD．（两直线平行，内错角相等）
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ACD（等量代换）．
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AEF＝∠ADC（两直线平行，同位角相等）．
∵EF⊥AB，
∴∠AEF＝90°．
∴∠ADC＝90°．
即：CD⊥AB．
故答案为：ACB；同位角相等，两直线平行；ACD；ACD；CD；两直线平行，同位角相等..
16．证明：∵EF∥AD（已知），
∴∠2＝∠3（
两直线平行，同位角相等），
又∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠CDG＝∠B（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：∠3，两直线平行，同位角相等；已知；∠3，等量代换；内错角相等，两直线平行；∠B，两直线平行，同位角相等．