北师大版九年级数学上册1.1 菱形的性质与判定同步练习试题(Word版，附答案）

1.1
菱形的性质与判定
一．选择题
1．菱形具有而一般平行四边形所没有的性质是（　　）
A．两组对边分别相等
B．两条对角线相等
C．四个内角都是直角
D．对角线平分对角
2．已知菱形的边长与一条对角线的长相等，则菱形的最大的内角是（　　）
A．90°
B．120°
C．135°
D．150°
3．若菱形的周长为16，则它的边长为（　　）
A．8
B．6
C．4
D．2
4．如图，在?ABCD中，AC、BD相交于点O，要使?ABCD是菱形，添加下列条件能判定?ABCD是菱形的是（　　）
A．AD＝BC
B．AB＝DC
C．AC＝BD
D．AC⊥BD
5．如图，在菱形ABCD中，∠A＝2∠B，则∠C＝（　　）
A．120°
B．100°
C．150°
D．60°
6．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和4，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．
B．
C．2
D．3
7．对角线互相垂直平分的四边形一定是（　　）
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
8．菱形的周长是24，两邻角的度数之比是1：2，那么较短的对角线的长是（　　）
A．5
B．6
C．5.5
D．6.5
9．能判定一个四边形是菱形的是（　　）
A．对角线相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线相等且互相平分的四边形是菱形
10．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（　　）
A．2
B．
C．1
D．
二．填空题
11．如图，P是菱形ABCD对角线AC上一点，PE⊥AB，且PE＝3，则点P到AD的距离为　
　．
12．菱形的两条对角线的长为12cm和16cm，则它的边长为　
　cm，面积为　
　cm2．
13．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝1，那么菱形ABCD的周长是　
　．
14．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，BE＝EC，AE＝2，则BD＝　
　．
15．若菱形的面积为120，一条对角线长为10，则另一条对角线长为　
　，边长为　
　，高为　
　．
16．对角线　
　的四边形的中点四边形是菱形．
三．解答题
17．如图，在?ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H．
（1）证明：四边形EHFG是平行四边形；
（2）想一想，什么情况下四边形EHFG会成为一个菱形．
18．在如图所示的直角坐标系中，菱形ABCD的边长是2，坐标系原点O为AD的中点，分别求点A，B，C，D的坐标．
19．菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ABC＝60°，求菱形ABCD的面积．
20．如图，将宽度为2cm的两张纸条交叉重叠在一起，得到的重叠部分为四边形ABCD．
（1）四边形ABCD是菱形吗？请说明理由．
（2）若∠ABC＝45°，求四边形ABCD的面积．
21．如图，AD是△ABC角平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，EF与AD的交点为O，四边形AEDF是菱形吗？请证明．
22．如图，在菱形ABCD中，点E，F是边AD，CD的中点，AF＝3cm，求CE的长．
参考答案
一．选择题
1．解：∵菱形具有的性质是：对边平行且相等，对角相等，对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角；
平行四边形具有的性质是：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分；
∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：每一条对角线平分一组对角．
故选：D．
2．解：如图，∵菱形的边长与一条对角线的长相等，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°，
即菱形的最大内角的度数是120°．
故选：B．
3．解：因为菱形的四边相等，周长为16，
∴菱形的边长为4，
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠A＝∠C，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝2∠B，
∴∠A＝120°，∠B＝60°，
∴∠C＝120°，
故选：A．
6．解：如图，设BF交CE于点H，
∵菱形ECGF的边CE∥GF，
∴△BCH∽△BGF，
∴CH：FG＝BC：BG，
即CH：4＝2：6，
解得CH＝，
所以，DH＝CD﹣CH＝2﹣，
∵∠A＝120°，
∴∠ECG＝∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∴点B到CD的距离为2×＝，
点G到CE的距离为4×＝2，
∴阴影部分的面积＝S△BDH+S△FDH，
＝×+×＝
故选：A．
7．解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
故选：B．
8．解：∵菱形的周长是24，
∴菱形的边长为24÷4＝6，
∵两邻角的度数之比是1：2，
∴较小的内角为180°×＝60°，
∴较短的对角线与两邻边组成等边三角形，
∴较短的对角线的长是6．
故选：B．
9．解：根据菱形的判定可得对角线互相垂直平分的四边形是菱形是正确的，
故选：C．
10．解：因为在直角三角形中30度角对应的直角边是斜边的一半，
在题目中的菱形中，已知菱形的高为1，可得边长为2，
所以面积为2．
故选：A．
二．填空题
11．解：作PF⊥AD于D，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BAD，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴PF＝PE＝3，
即点P到AD的距离为3．
故答案为：3．
12．解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝AB＝×16＝8（cm），OD＝BD＝×12＝6（cm），AC⊥BD，
∴AD＝＝10（cm），
∴S菱形ABCD＝AC?BD＝96（cm2）．
故答案为：10，96．
13．解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×1＝2，
∴菱形ABCD的周长＝2×4＝8．
故答案为：8．
14．解：连接AC，
∵在菱形ABCD中，AE⊥BC，BE＝EC，
∴AB＝AC，AB＝BC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵BD平分∠ABC，
∴BO＝AE＝2，
∴BD＝4．
故答案为：4．
15．解：由菱形的面积等于两条对角线的积的一半，可得另一条对角线长为24；因为菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得边长为13；因为菱形的面积等于两条对角线的积的一半或是边长乘以高，可得高为．
故答案为24，13，．
16．解：∵EFGH为菱形
∴EH＝EF
又∵E、F、G、H为四边中点
∴AC＝2EH，BD＝2FE
∴AC＝BD．
故应填：相等．
三．解答题
17．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，AB＝CD，
∵E是AB中点，F是CD中点，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
同理可得DE∥BF，
∴四边形FGEH是平行四边形；
（2）当平行四边形ABCD是矩形时，平行四边形EHFG是菱形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵E是AB中点，F是CD中点，
∴BE＝CF，
在△EBC与△FCB中，
∵，
∴△EBC≌△FCB（SAS），
∴CE＝BF，
∴∠ECB＝∠FBC，
∵BH＝CH，
∴EH＝FH，
平行四边形EHFG是菱形．
18．解：∵菱形ABCD的边长是2，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，
∵坐标系原点O为AD的中点，
∴OA＝OD＝1，
∴OB＝＝，
∴点A，B，C，D的坐标分别为：
A（﹣1，0），B（0，），C（2，），D（1，0）．
19．解：如图所示：过点A作AE⊥DC于点E，
∵在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ABC＝60°，
∴∠D＝60°，AB＝AD＝DC＝4cm，
∴AE＝AD?sin60°＝4×＝2cm，
∴菱形ABCD的面积S＝AE×DC＝8cm2．
20．解：（1）四边形ABCD是菱形．理由如下：
∵两张纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是2cm，
∴S四边形ABCD＝AB×2＝BC×2，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
即四边形ABCD是菱形；
（2）过A作AE⊥BC，垂足为E，如图所示：
则AE＝2cm，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝AE＝2cm，
∴BC＝2cm，
∴S四边形ABCD＝BC?AE＝2×2＝4（cm2）．
21．解：四边形AEDF是菱形；理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF⊥AD，
∴∠AOE＝∠AOF＝90°
∵在△AEO和△AFO中，，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴EO＝FO，
∵EF垂直平分AD，
∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形
∵EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形．
22．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∵点E，F是边AD，CD的中点，
∴DF＝DE，
在△ADF和△CDE中，，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴AF＝CE，
∵AF＝3cm，
∴CE＝3cm．