北师大版九年级数学上册1.1 菱形的性质与判定同步练习（Word版，附答案）

1.1
菱形的性质与判定
一．选择题
1．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）
A．
B．
C．5
D．4
2．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行
B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分
D．对角线互相垂直
3．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（　　）
A．28°
B．52°
C．62°
D．72°
5．如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（　　）
A．1：2
B．1：3
C．1：
D．1：
6．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　）
A．（3，1）
B．（3，﹣1）
C．（1，﹣3）
D．（1，3）
7．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝30°，则菱形ABCD的面积是（　　）
A．18
B．18
C．36
D．36
8．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的只有（　　）
A．AC⊥BD
B．AB＝BC
C．AC＝BD
D．∠1＝∠2
9．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（　　）
A．4
B．
C．
D．5
二．填空题
10．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　
　．
11．已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC＝6cm，则这个菱形的边长为　
　cm．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥AD于点E，交BC于点F，则EF的长为　
　．
13．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：　
　，可使它成为菱形．
14．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF＝60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是　
　．
15．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为　
　，面积为　
　．
16．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为　
　cm2．
17．如图，菱形ABCD的周长为8，两邻角的比为2：1，则对角线的长分别为　
　．
三．解答题
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．
19．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于E，交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．
20．如图，E，F是菱形ABCD对角线上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠DAB＝60°，AD＝6，AE＝DE，求菱形BEDF的周长．
21．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A＝100°，∠C＝30°，求∠BDE的度数．
22．已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
23．如图，菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边的中点．求证：AE＝AF．
参考答案
一．选择题
1．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝8，DB＝6，
∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝，
∴，
∴DH＝，
故选：A．
2．解：A、不正确，两组对边分别平行；
B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；
C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；
D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．
故选：D．
3．解：作F点关于BD的对称点F′，连接EF′交BD于点P，则PF＝PF′．
∴EP+FP＝EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP＝EP+F′P＝EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD，
∵AF＝2，AE＝1，
∴DF＝DF′＝AE＝1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′＝AD＝3．
∴EP+FP的最小值为3．
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC，
∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∵，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∵∠DAC＝28°，
∴∠BCA＝∠DAC＝28°，
∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．
故选：C．
5．解：如图，设AC，BD相交于点O，
∵菱形ABCD的周长为8cm，
∴AB＝BC＝2cm，
∵高AE长为cm，
∴BE＝＝1（cm），
∴CE＝BE＝1cm，
∴AC＝AB＝2cm，
∵OA＝1cm，AC⊥BD，
∴OB＝＝（cm），
∴BD＝2OB＝2cm，
∴AC：BD＝1：．
故选：D．
6．解：连接AB交OC于点D，
∵四边形OACB是菱形，
∴AB⊥OC，AD＝BD＝1，OD＝CD＝3，
∴点B的坐标是（3，﹣1）．
故选：B．
7．解：过点A作AE⊥BC于E，如图：，
∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝30°，
∴∠BAE＝30°，
∵AE⊥BC，
∴AE＝3，
∴菱形ABCD的面积是＝18，
故选：B．
8．解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．
B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．
C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．
D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．
故选：C．
9．解：连接BD，交AC于O点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，
∴AC⊥BD，AO＝AC，BD＝2BO，
∴∠AOB＝90°，
∵AC＝6，
∴AO＝3，
∴B0＝＝4，
∴DB＝8，
∴菱形ABCD的面积是×AC?DB＝×6×8＝24，
∴BC?AE＝24，
AE＝，
故选：C．
二．填空题
10．解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，
∴AB＝5，
∴AD＝5，
∴由勾股定理知：OD＝＝＝4，
∴点C的坐标是：（﹣5，4）．
故答案为：（﹣5，4）．
11．解：菱形ABCD的面积＝AC?BD，
∵菱形ABCD的面积是24cm2，其中一条对角线AC长6cm，
∴另一条对角线BD的长＝8cm；
边长是：＝5cm．
故答案为：5．
12．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝BD＝3，OC＝AC＝4，
在Rt△BOC中，由勾股定理得，BC＝＝5，
∵S△OBC＝×OB×OC＝×BC×OF，
∴OF＝，
∴EF＝．
故答案为．
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形．
故答案为：AB＝BC或AC⊥BD等．
14．解：当AE⊥BC时，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠B＝∠ACF＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD＝∠EAF+∠FAD＝60°+∠FAD，
∠AFC＝∠D+∠FAD＝60°+∠FAD，
∴∠AEB＝∠AFC，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∵当AE⊥BC时，AB＝4，
∴AE＝，
∴△AEF的面积最小值＝，
故答案为：．
15．解：根据已知可得，
菱形的边长AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝10cm，AO＝CO＝5cm，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO＝＝5，
∴BD＝2BO＝10（cm），
则S菱形ABCD＝×AC×BD＝×10×10
＝50（cm2）；
故答案为：10cm，50cm2．
16．解：∵E是AB的中点，
∴AE＝1cm，
∵DE丄AB，
∴DE＝＝cm．
∴菱形的面积为：2×＝2cm2．
故答案为：2．
17．解：∵菱形的周长为8，
∴菱形的边长是：8×＝2，
∵两个邻角的比是1：2，
∴较大的角是120°，较小的角是60°，
∴这个菱形的对角线AC所对的角是60°，
由菱形的性质得到，AC与菱形的两边构成的三角形是等边三角形，
∴AC＝2，
BD＝2××tan60°＝2．
故答案为：2和2．
三．解答题
18．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵BA＝BC，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BA＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵DE⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，
∵CB＝CD，
∴∠DBC＝∠BDC，
∴∠CDE＝∠E，
∴CD＝CE＝BC，
∴BE＝2BC＝10，
∵BD＝8，
∴DE＝＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝5，
∴四边形ABED的周长＝AD+AB+BE+DE＝26．
19．证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，
∴∠FAD＝∠FDA
∴AF＝DF，
∴四边形AEDF是菱形．
20．（1）证明：连接BD，交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）解：∵∠DAB＝60°，
∴∠DAE＝30°，∠ADB＝60°，
∵AD＝6，
∴OD＝AD＝3，
∵AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE，∠ADE＝∠EDO＝30°，
在Rt△DEO中，DE＝＝2，
∴菱形BEDF的周长＝4DE＝8．
21．（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB
∴四边形DEBF是平行四边形
∵DE∥BC
∴∠EDB＝∠DBF
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC
∴∠ABD＝∠EDB
∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形
∴四边形BEDF为菱形；
（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣100°﹣30°＝50°，
∵四边形BEDF为菱形，
∴∠EDF＝∠ABC＝50°，∠BDE＝∠EDF＝25°．
22．证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD，
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴EA＝ED，
∴四边形AEDF为菱形．
23．证明：在菱形ABCD中，
AB＝BC＝CD＝AD，
∠B＝∠D，…（3分）
∵点E、F分别是BC、CD边的中点，
∴BE＝BC，DF＝CD，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF，…（7分）
∴AE＝AF．…（9分）