人教版数学九年级上册第22章【22.2二次函数与一元二次方程】培优训练（一）（Word版 含解析）

【22.2二次函数与一元二次方程】培优训练（一）
一．选择题
1．对于函数y＝x2﹣2|x|﹣3，下列说法正确的有（　　）个①图象关于y轴对称；②有最小值﹣4；③当方程x2﹣2|x|﹣3＝m有两个不相等的实数根时，m＞﹣3；④直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点时，﹣＜b≤﹣3．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如表，利用二次的数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是（　　）
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
y
﹣12
﹣5
0
3
4
3
A．0＜x＜2
B．x＜0或x＞2
C．﹣1＜x＜3
D．x＜﹣1或x＞3
3．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（　　）
①abc＞0；
②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；
③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；
④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．
A．①③
B．①②③
C．①④
D．②③④
4．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B两点，且A，B两点均在直线y＝﹣x+2的下方，那么下列说法正确的是（　　）
A．抛物线开口一定向上
B．抛物线的顶点不可能在第四象限
C．抛物线与已知直线有两个交点
D．抛物线的对称轴可能在y轴右侧
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0），（3，0）两点：则下列判断中正确的是（　　）
①图象的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线
②当x＞1时，y随x的增大而减小
③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3
④当﹣1＜x＜3时，y＜0
A．①②
B．①②④
C．①②③
D．④
6．设a、b、c为实数，且a≠0，抛物线y＝ax2+bx+c，顶点在y＝﹣2上，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，当△ABC为直角三角形时，S△ABC的最大值是（　　）
A．1
B．
C．3
D．4
7．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①4a﹣2b+c＞0；
②3a+b＞0；
③b2＝4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个互异实根．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．二次函数y＝x2+bx+c的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
4
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
5
…
则关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣3
B．x1＝﹣1，x2＝1
C．x1＝﹣1，x2＝3
D．x1＝﹣1，x2＝5
9．若二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，则c应满足的条件是（　　）
A．c＝0
B．c＝1
C．c＝0或c＝1
D．c＝0或c＝﹣1
10．已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）均在二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣4的图象上，且|x1﹣3|＜|x2﹣3|，则下列说法错误的是（　　）
A．直线x＝3是该二次函数图象的对称轴
B．当a＜0时，该二次函数有最大值﹣4
C．该二次函数图象与坐标轴一定有一个或三个交点
D．当a＞0时，y1＜y2
二．填空题
11．我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为　
　．
12．对于任意实数m，抛物线y＝x2+4mx+m+n与x轴都有交点，则n的取值范围是　
　．
13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，请你确定关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为　
　．
14．若函数y＝mx2+x+1的图象与x轴只有一个公共点，则m的值是　
　．
15．抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0）．若关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是　
　．
三．解答题
16．已知抛物线的顶点坐标是（3，2），且经过点（1，﹣2）．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）请直接写出抛物线与坐标轴的交点坐标．
17．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程有两个正根，求m的取值范围；
（3）若x2﹣（m+2）x+2m﹣1＝0的两根都大于1，求m的取值范围．
18．已知抛物线y＝x2+4x+k﹣1．
（1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围．
（2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值．
19．抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），且经过点（﹣1，7），
（1）求此抛物线的解析式．
（2）并判断该条抛物线与x轴是否有交点？如果有交点，求出交点坐标；如果没有，说明理由．
20．已知函数y＝x2+（m﹣3）x+1﹣2m（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2）不论m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求定点的坐标．
参考答案
一．选择题
11．解：①∵a2﹣2|a|﹣3＝（﹣a）2﹣2|﹣a|﹣3，
∴y＝x2﹣2|x|﹣3的图象关于y轴对称，
故①正确；
②∵y＝x2﹣2|x|﹣3＝（|x|﹣1）2﹣4，
∴当|x|＝1即x＝±1时，y有最小值为﹣4，
故②正确；
③当m＝﹣4时，方程x2﹣2|x|﹣3＝m为x2﹣2|x|﹣3＝﹣4，可化为（|x|﹣1）2＝0，解得x＝±1，有两个不相等的实数根，此时m＝﹣4＜﹣3，
故③错误；
④∵直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点，
∴方程x2﹣2|x|﹣3＝x+b，即x2﹣2|x|﹣x﹣3﹣b＝0有3个解，
∴方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）与方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）一共有3个解，
∴当方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）有两个相等的负数根；或当方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）有一个负数根；或方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有一个非负数根或两个相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）有两个不相等的负数根．
即或或，
解得，b＝﹣，或b＝﹣3，
∴当b＝﹣或b＝﹣3时，直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点，
故④错误；
故选：B．
12．解：∵抛物线经过点（0，3），（2，3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4），抛物线开口向下，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0．
故选：C．
13．解：依照题意，画出图形如下：
∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．
∴a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵对称轴为x＝﹣1，
∴x＝1与x＝﹣3的函数值是相等的，故②错误；
∵顶点为（﹣1，n），
∴抛物线解析式为；y＝a（x+1）2+n＝ax2+2ax+a+n，
联立方程组可得：，
可得ax2+（2a﹣k）x+a+n﹣1＝0，
∴△＝（2a﹣k）2﹣4a（a+n﹣1）＝k2﹣4ak+4a﹣4an，
∵无法判断△是否大于0，
∴无法判断函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；
当﹣3≤x≤3时，
当x＝﹣1时，y有最大值为n，当x＝3时，y有最小值为16a+n，故④正确，
故选：C．
14．解：∵直线y＝﹣x+2
∴当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝2，
∴直线y＝﹣x+2与x轴交于点（2，0），与y轴交于点（0，2），
又∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B两点，且A，B两点均在直线y＝﹣x+2的下方，点B在直线y＝﹣x+2下方的位置不确定，可能在O点的右侧，也可能在O点的左侧或点O上，
∴抛物线的开口不能确定，故选项A错误；
当抛物线开口向下时，与已知直线可能没有交点，故选项C错误；
由抛物线的对称性可知，点B只能在（2，0）的左侧，故抛物线的对称轴不可能在y轴右侧，且抛物线的顶点不可能在第四象限，故选项D错误，选项B正确．
故选：B．
15．解：二次函数的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），
抛物线的对称轴直线为：x＝＝1，故①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故②正确；
∵二次函数的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），
∴一元二次方程的两个根是﹣1，3，故③正确；
∵当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴的上方，
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，故④错误．
综上，正确的选项有①②③．
故选：C．
16．解：设y＝ax2+bx+c交y轴于点C（0，c），c≠0，交x轴于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，由△ABC是直角三角形知，点C必为直角顶点，且c2＝（﹣x1）x2＝﹣x1x2（射影定理的逆定理），
由根与系数的关系得，，，
∴，，
又＝﹣2，即8a＝4+b2≥4，
∴，
∴，＝，＝＝，
当且仅当，b＝0，c＝﹣2时等号成立，因此，Rt△ABC的最大面积是4．
故选：D．
17．解：①∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．
∴当x＝﹣2时，y＜0，
即4a﹣2b+c＜0，所以①不符合题意；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，所以②不符合题意；
③∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴＝n，
∴b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），所以③符合题意；
④∵抛物线与直线y＝n有一个公共点，
∴抛物线与直线y＝n﹣1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，所以④符合题意．
故选：B．
18．解：∵x＝0时，y＝﹣3；x＝2时，y＝﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝﹣1或x＝3时，y＝0，
∴关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3．
故选：C．
19．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，
∴二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点，
当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点时，
（﹣2）2﹣4×1×c＝0，得c＝1；
当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴有两个公共点，其中一个为原点时，
则c＝0，y＝x2﹣2x＝x（x﹣2），与x轴两个交点，坐标分别为（0，0），（2，0）；
由上可得，c的值是1或0，
故选：C．
20．解：∵二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣4＝a（x﹣3）2﹣4，
∴直线x＝3是该二次两数图象的对称轴，当a＜0时，该二次函数有最大值﹣4，故选项A、B正确；
∵|x1﹣3|＜|x2﹣3|，点A（x1，y1）和B（x2，y2）均在二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣4的图象上，
∴当a＞0时，y1＜y2，故选项D正确；
当x＝0，y＝0时，得a＝，即a＝时，该函数图象与坐标轴有两个交点，故选项C错误；
故选：C．
二．填空题
26．解：根据题意，令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，
△＝（﹣m﹣2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2＞0，
∴mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0有两个根，且m≠2，
由求根公式可得x＝，
x＝，
x1＝＝1，
x2＝＝＝，当m＝1时符合题意；此时x2＝2；
所以这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）；
令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．
综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）和（0，2）；
故答案为：（2，0），（1，0）和（0，2）．
27．解：∵对于任意实数m，抛物线y＝x2+4mx+m+n与x轴都有交点，
∴△≥0，则（4m）2﹣4（m+n）≥0，
整理得n≤4m2﹣m，
∵4m2﹣m＝4（m﹣）2﹣，
∴4m2﹣m的最小值为﹣，
∴n≤﹣，
故答案为n≤﹣．
28．解：由图象可得，
该函数图象的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），则与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
即当y＝0时，0＝ax2+bx+c，可得x＝3或x＝﹣1，
故一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝﹣1，x2＝3，
故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．
29．解：令y＝0，得到mx2+x+1＝0，
①当m＝0时，一次函数y＝x+1与x轴只有一个交点，
②当△＝1﹣4m＝0，m＝时，二次函数y＝mx2+x+1与x轴只有一个交点，
综上所述，满足条件的m的值为0或．
故答案是：0或．
30．解：∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0）．
∴，得
即抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝t时，t＝x2﹣2x﹣3，
即x2﹣2x﹣3﹣t＝0，
∵关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，
∴t＝x2﹣2x﹣3有实数根，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴当﹣1＜x≤4时，x＝1时，y有最小值﹣4，当x＝4时，y取得最大值5，
∴t的取值范围是﹣4≤t＜5，
故答案为：﹣4≤t＜5．
三．解答题
36．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+2，
把（1，﹣2）代入得a（1﹣3）2+2＝﹣2，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+2；
（2）当y＝0时，﹣（x﹣3）2+2＝0，解得x1＝3+，x2＝3﹣，则抛物线与x轴的交点坐标为（3+，0），（3﹣，0）；
当x＝0时，y＝﹣（x﹣3）2+2＝﹣7，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣7）．
37．（1）证明：△＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）
＝m2+4m+4﹣8m+4
＝（m﹣2）2+4，
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程有两个正根可理解为抛物线y＝x2﹣（m+2）x+2m﹣1与x轴的两个交点都在y轴右侧，
∴x＝﹣＞0且2m﹣1＞0，
∴m＞；
（3）解：∵方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1＝0的两根都大于1可理解为抛物线y＝x2﹣（m+2）x+2m﹣1与x轴的两个交点的横坐标都大于1，
∴x＝1时，y＞0，即1﹣m﹣2+2m﹣1＞0，解得m＞2；
x＝﹣＞1，解得m＞0，
∴m的范围为m＞2．
38．解：（1）∵二次函数y＝x2+4x+k﹣1的图象与x轴有两个交点
∴b2﹣4ac＝42﹣4×1×（k﹣1）＝20﹣4k＞0
∴k＜5，
则k的取值范围为k＜5；
（2）根据题意得：b2﹣4ac＝42﹣4×1×（k﹣1）＝20﹣4k＝0，
解得k＝5．
39．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）2+3，
把（﹣1，7）代入得a（﹣1+2）2+3＝7，解得a＝4，
所以抛物线解析式为y＝4（x+2）2+3；
（2）当y＝0时，4（x+2）2+3＝0，方程没有实数解，
所以该条抛物线与x轴没有交点．
40．（1）证明：令
y＝0，则
x2+（m﹣3）x+1﹣2m＝0．
因为
a＝1，b＝m﹣3，c＝1﹣2m，
所以
b2﹣4ac＝（m﹣3）2﹣4（1﹣2m）＝m2+2m+5＝（m+1）2+4＞0．
所以方程有两个不相等的实数根．
所以不论
m
为何值，该函数的图象与
x
轴总有两个公共点．
（2）解：y＝x2+（m﹣3）x+1﹣2m＝（x﹣2）m+x2﹣3x+1．
因为该函数的图象都会经过一个定点，
所以
x﹣2＝0，
解得
x＝2．
当x＝2
时，y＝﹣1．
所以该函数图象始终过定点（2，﹣1）．