华师大版九年级数学上册第22章一元二次方程 学案
文档属性
| 名称 | 华师大版九年级数学上册第22章一元二次方程 学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 114.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-15 18:33:28 | ||
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文档简介
§22.2一元二次方程的解法：
例：解方程：x2+1=2
x2-7x+12=0
一、解一元二次方程的基本思路：降次。
例1、解下列方程：
（1）x2-2=0
（2）16x2-25=0
（3）(x-2)2=9
（4）(2x-1)2-4=0
（5）(2x+3)2-81=0
（6）(2x-1)2=(3-x)2
（2）适用直接开平方法解的一元二次方程的类型：
①x2=a(a≥0)
②(x+a)2=b(b≥0)
③(ax+b)2=c(c≥)
④(ax+b)2=(cx+d)2(│a│+│c│≠0)
例2、解方程：
（1）(x+1)2-4=0
（2）(2-x)2-9=0
试一试：不用直接开平方法解方程：x2-1=0
2、因式分解法：
（1）定义：利用因式分解求解一元二次方程的方法。
（2）根据：两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零。
即：ab=0，则a=0或b=0
3、二次三项式的因式分解：
(1)、提取公因式法。
例、因式分解：
（1）3x2-6x+9
（2）4ab+2a2b+b3
(2)、完全平方公式：
例、因式分解：
（1）a2+2a+1
（2）4x2-4x+1
(3)、十字相乘法：
例、因式分解：
（1）x2-7x-8
（2）3y2-4y+1
例3、解下列方程：
（1）2x2+2x=0
（2）x2=3x
（3）x2-9=0
（4）x2+2x=
-1
（5）x(3x+2)-6(3x+2)=0
（6）x2-6x-16=0
（7）2x2-5x-7=0
例5、（1）三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程x2-6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长是
。
达标测评
(A)1、解下列方程：
（1）x2＝169； （2）45－x2＝0；
（3）12y2－25＝0；
（4）x2－2x＝0；
（5）（t－2）（t
+1）=0；（6）x（x＋1）－5x＝0.
(7)
x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.
(B)2、小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？为什么会少一个解？
拓展提高
1、解下列方程：
（1）x2+2x-3=0
(2)x2
-50x+225=0
(3)
x2+4x=7
2、解下列方程：
（1）3x2+5x-2=0
（2）2x2-x-=0
3、(1)
构造一个以2为根的关于x
的一元二次方程。
（2）已知x2-4x+y2-6y+13=0。求x2+y2的值。
解方程：配方法：
我们把方程x2－4x＋3＝0变形为(x－2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.
练一练
：配方.填空：
（1）x2＋6x＋（
）＝（x＋
）2；（2）x2－8x＋（
）＝（x－
）2；
（3）x2＋x＋（
）＝（x＋
）2；
从这些练习中你发现了什么特点?
(1)________________________________________________
(2)________________________________________________
解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0；
（2）x2＋3x＋1＝0.
解（1）移项，得x2－6x＝____.
（2）移项，得x2＋3x＝－1.
方程左边配方，得x2－6x＋__2＝7＋___，
方程配方，得x2＋3x＋（
）2＝－1＋___，
即
（______）2＝____.
即
________________
所以
x－3＝____.
所以
_________________
原方程的解是 x1＝_____，x2＝_____.
原方程的解是：x1＝______x2＝______
定义：一个形如的ax2+bx=c（a≠0）方程，可以通过加一次项系数的一半的平方的方法将方程的左边配成一个二项式的完全平方式，再利用直接开平方法解。
（2）配方法的步聚：
①把常数项移到等号的另一边。
②把2次项系数化为1。
③配方：方程两边同时加一次项系数一半的平方。
④用直接开平方法解方程。
例1、用配方法解下列各方程：
（1）x2+2x=5
（2）x2-4x+3=0
（3）x2-2x-2=0
（4）2x2-4x-8=0
练习：用配方法解下列各方程：
1）x2+3x+1=0
（2）6x2-x-12=0
（3）x2-x-1=0
（4）x2-6x-7=0
例2、（1）求证：4x2-12x+10代数式的值恒大于0。
（2）已知：A=a+2，B=a2-a+5，C=a2+5a-19，其中a>2。
①求证：B-A>0
②A与C哪个大？为什么？
达标测评
1、.填空：
（1）
（2）－8x＋（
）＝（x-
）2
（3）＋x＋（
）＝（x＋
）2；
（4）4－6x＋（
）＝4（x－
）2
（5）4x2－6x＋（
）＝4（x－
）2＝（2x－
）2.
2、用配方法解方程：
（1）x2＋8x－2＝0
（2）x2－5x－6＝0.
（3）2x2-x=6
（4）－6x－7＝0；
（5）＋3x＋1＝0.
3：用配方法解方程：
（1）
（2）3x2＋2x－3＝0.
（3）
（4）（4）x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).
拓展提高
已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
4、公式法：
∵ax2+bx+c=0(a≠0)
若b2-4ac≥0
∴x2+x=
-
x+=±
(x+)2=
-+
x=
-±
(x+)2=
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a,b,c代入式子就得到方程的根，当b2-4ac＜0时,方程没有实数根.
（2）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式.
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
例1、用公式法解下列方程：
（1）x2-x-1=0
（2）x2+4x-1=0
练习
（1）x2+2x-2=0
（2）2x2-3x-5=0
例1、用公式法解下列方程：
（1）2x2+x-6=0
（2）x2+4x=2
练习（1）5x2-4x-12=0
（2）4x2+4x+10=1-8x
例2、用适当的方法解下列各方程：
（1）4(x-3)2=8
（2）x2-2x-3=0
（3）x2-6x+8=0
（4）x2-2x=1
练习（1）x2-3x+1=0
（2）(x-1)2=0
（3）x2-3x=0
（4）x2-2x=4
三、一元二次方程的根的判别：
试一试：解下列方程：（1）x2-2x-3=0
（2）x2-2x=
-1
（3）x2+7=2x
探究：∵ax2+bx+c=0(a≠0)
∴(x+)2=
1、一元二次方程的解的情况：
①当b2-4ac>0时，方程有两不等实根。
x1=
x2
=
②当b2-4ac=0时，方程有两相等实根。
x1=
x2=
-
③当b2-4ac<0时，方程无实根。
2、一元二次方程的根与判别式的关系：
b2-4ac叫做一元二次方程的判别式。用“△”表示，△=b2-4ac
（1）△>0方程有两不相等实根。
（2）△=0方程有两相等实根。
（3）△<0方程无实根。
例3、不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）2x2+3x-4=0
（2）16y2+9=24y
（3）5(x2+1)-7x=0
例4、（1）m取什么数时，方程x2+(m+2)x+m2=4。
①有相等的两实根。②有两个相等的实根。③无实根。
（2）关于x的方程2kx2+(8k+1)x+8k=0有两个不相等的实根。求k的取值范围。
（3）求证：方程(1+m2)x2+2m+m2+4=0没有实数根。
（4）已知：a、b、c为三角形的三边长。
求证：方程a2x2-(a2+b2-c2)x+b2=0没有实根。
四、可化为一元二次方程的分式方程的解法：
1、基本思路：分式方程整式化（去分母）。
2、步聚：（1）去分母。
（2）解整式方程。
（3）检验。
例15、解下列方程：
（1）++=1
（2）-+2=0
（3）-+2=0
（4）x2+x++=4
五、一元二次方程的应用：
例15、学校生物小组有一块长32米，宽20米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540米2。小道的宽应是多少？
例16、某药品经过两次降价，每瓶的零售价由56元降为31.5元，已知两次降价的百分率相同。求每次降价的百分率？
例17、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价1元，市场每天可多售2件，若要使商场平均每天盈利1250元，每件衬衫应降价为多少元？
例18、如图，A、B、C、D为矩形四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q
分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，
点Q以2cm/s的速度向D移动。
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2?
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q两点的距离是10cm?
§22.3实践与探索：
一、问题1：小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子。
（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？
（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？
折合成的长方体底面积（）
81
64
49
36
25
16
9
4
剪去的正方形边长（cm）
折合成的长方体侧面积（cm2）
二、问题2、阳江市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？
三、列方程解应用题：
1、数字问题：通常间接设未知数。
例1、一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积是736。求这两位数？
2、几何图形问题。
3、平均增长率问题。
4、浓度问题。
例2、容器盛满纯酒精50升，第一次倒出一部份纯酒精后有水加满，第二次又倒出同样多的酒精溶液，再用水加满，这时容器里的容液含纯酒精32升。求每次倒出溶液的升数？
5、实际应用问题。
四、一元二次方程的根与系数的关系：
试一试：解下列方程，并探究方程的解与方程系数的关系？
（1）x2+3x-4=0
（2）x2-4x=0
（3）2x2-3x+1=0
∵ax2+bx+c=0(a≠0)
∴x1=
x2
=
∴x1+
x2=
-
x1·x2=
1、若x1、x2是方程的ax2+bx+c=0(a≠0)两根，则：
x1+
x2=
-
x1·x2=
2、若x1、x2是方程的x2+px+q=0两根，则：
x1+
x2=
-p
x1·x2=q
例3、若α、β是2x2+3x-1=0的两根，求下列各式的值。
（1）α2+β2
（2）+
（2）α2β
+αβ2
（3）+
（4）α3+β3
（5）α-β
（6）α4+β4
例4、已知关于x的方程(k-1)x2+(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实数要x1、x2。
（1）求k的取值范围。
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由。
例5、已知关于x的一元二次方程x2+kx-1=0。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根。
（2）设方程的两根分别为x1、x2。且满足x1+x2=x1x2。求k的值。
例6、（1）设a、b是方程x2+x-1=0的两根，则a4-3b=
。
（2）已知方程x2+kx+6=0的两实根是x1、x2。同时方程x2-kx+6=0的两根是x1+5、x2+5，则k=
。
若方程x1、x2是方程的x2+px+q=0两根，则：
x1+
x2=
-p
x1·x2=q
∴p=
q=
x1·x2
∴x2-（x1+
x2）x+
x1·x2
=0
3、以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
x2-（x1+
x2）x+
x1·x2
=0
例7、（1）求一个一元二次方程，使它的两根是：-3、2。
（2）求一个一元二次方程，使它的两根是3+与3-。
例8、（1）已知：两个数的和等于8，积等于9。求这两个数。
（2）已知：两个数的和等于-5，积等于4。求这两个数。
例9、（1）求一个一元二次方程，使它的两根是方程2x2+5x-1=0的各根的平方。
（2）已知方程x2+4x+k=0的两根的平方和等于34。求的值。
（3）已知方程x2-4x-2m+8=0的两个实数根中一个大于1，另一个小于1。求m的取值范围。
例10、若a≠b，且满足a2=5a-1，b2=5b-1。求+的值。
例11、已知：x1、x2是方程x2-3x-4=0的两根，不解方程，求的值。
例12、已知：α、β是方程x2-2x-4=0的两实数根。求α3+8β+6的值。
五、二次三项式的因式分解：
1、提取公因式法。
例8、因式分解：
（1）3x2-6x+9
（2）4ab+2a2b+b3
2、完全平方公式：
例13、因式分解：
（1）a2+2a+1
（2）4x2-4x+1
3、十字相乘法：
例14、因式分解：
（1）x2-7x-8
（2）3y2-4y+1
4、公式法：
若x1、x2是方程的ax2+bx+c=0(a≠0)两根，则：
x1+
x2=
-
x1·x2=
∴=
-（x1+
x2）
=
x1·x2
∴ax2+bx+c=
a(x2+x+)
=
a[x2-（x1+
x2）x+
x1·x2]
=a(x-
x1)(x-
x2)
（1）、ax2+bx+c=
a(x-
x1)(x-
x2)（其中x1、x2是方程的ax2+bx+c=0(a≠0)两根）
（2）、二次三项式ax2+bx+c能在实数范围内因式分解△>0（△为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式）。
例15、把下列各式因式分解：
（1）4x2+8x-1
（2）3x2+6x-8
（3）2x2-8xy+5y2
（4）3x2-5xy-3y2
例13、若-3和2是方程6x2+5x-50=0的两个根，则将6x2+5x-50分解因式得6x2+5x-50=
。
（3）∵ax2+bx+c=
a(x-
x1)(x-
x2)
（其中x1、x2是方程的ax2+bx+c=0(a≠0)两根）
又∵当△=0时，x1=x2
则：ax2+bx+c=
a(x-
x1)2或ax2+bx+c=
a(x-
x2)2
∴二次三项式ax2+bx+c是完全平方式△=0（△为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式）。
例16、当k为何值时，2x2-(4k+1)x+2k2-1满足下列条件？
（1）在实数范围内能因式。
（2）是完全平方式。
（3）在实数范围内不能分解因式。
例17、已知：若x1、x2是关于的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实根，不解方程。
证明：x13+x23=
例：解方程：x2+1=2
x2-7x+12=0
一、解一元二次方程的基本思路：降次。
例1、解下列方程：
（1）x2-2=0
（2）16x2-25=0
（3）(x-2)2=9
（4）(2x-1)2-4=0
（5）(2x+3)2-81=0
（6）(2x-1)2=(3-x)2
（2）适用直接开平方法解的一元二次方程的类型：
①x2=a(a≥0)
②(x+a)2=b(b≥0)
③(ax+b)2=c(c≥)
④(ax+b)2=(cx+d)2(│a│+│c│≠0)
例2、解方程：
（1）(x+1)2-4=0
（2）(2-x)2-9=0
试一试：不用直接开平方法解方程：x2-1=0
2、因式分解法：
（1）定义：利用因式分解求解一元二次方程的方法。
（2）根据：两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零。
即：ab=0，则a=0或b=0
3、二次三项式的因式分解：
(1)、提取公因式法。
例、因式分解：
（1）3x2-6x+9
（2）4ab+2a2b+b3
(2)、完全平方公式：
例、因式分解：
（1）a2+2a+1
（2）4x2-4x+1
(3)、十字相乘法：
例、因式分解：
（1）x2-7x-8
（2）3y2-4y+1
例3、解下列方程：
（1）2x2+2x=0
（2）x2=3x
（3）x2-9=0
（4）x2+2x=
-1
（5）x(3x+2)-6(3x+2)=0
（6）x2-6x-16=0
（7）2x2-5x-7=0
例5、（1）三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程x2-6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长是
。
达标测评
(A)1、解下列方程：
（1）x2＝169； （2）45－x2＝0；
（3）12y2－25＝0；
（4）x2－2x＝0；
（5）（t－2）（t
+1）=0；（6）x（x＋1）－5x＝0.
(7)
x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.
(B)2、小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？为什么会少一个解？
拓展提高
1、解下列方程：
（1）x2+2x-3=0
(2)x2
-50x+225=0
(3)
x2+4x=7
2、解下列方程：
（1）3x2+5x-2=0
（2）2x2-x-=0
3、(1)
构造一个以2为根的关于x
的一元二次方程。
（2）已知x2-4x+y2-6y+13=0。求x2+y2的值。
解方程：配方法：
我们把方程x2－4x＋3＝0变形为(x－2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.
练一练
：配方.填空：
（1）x2＋6x＋（
）＝（x＋
）2；（2）x2－8x＋（
）＝（x－
）2；
（3）x2＋x＋（
）＝（x＋
）2；
从这些练习中你发现了什么特点?
(1)________________________________________________
(2)________________________________________________
解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0；
（2）x2＋3x＋1＝0.
解（1）移项，得x2－6x＝____.
（2）移项，得x2＋3x＝－1.
方程左边配方，得x2－6x＋__2＝7＋___，
方程配方，得x2＋3x＋（
）2＝－1＋___，
即
（______）2＝____.
即
________________
所以
x－3＝____.
所以
_________________
原方程的解是 x1＝_____，x2＝_____.
原方程的解是：x1＝______x2＝______
定义：一个形如的ax2+bx=c（a≠0）方程，可以通过加一次项系数的一半的平方的方法将方程的左边配成一个二项式的完全平方式，再利用直接开平方法解。
（2）配方法的步聚：
①把常数项移到等号的另一边。
②把2次项系数化为1。
③配方：方程两边同时加一次项系数一半的平方。
④用直接开平方法解方程。
例1、用配方法解下列各方程：
（1）x2+2x=5
（2）x2-4x+3=0
（3）x2-2x-2=0
（4）2x2-4x-8=0
练习：用配方法解下列各方程：
1）x2+3x+1=0
（2）6x2-x-12=0
（3）x2-x-1=0
（4）x2-6x-7=0
例2、（1）求证：4x2-12x+10代数式的值恒大于0。
（2）已知：A=a+2，B=a2-a+5，C=a2+5a-19，其中a>2。
①求证：B-A>0
②A与C哪个大？为什么？
达标测评
1、.填空：
（1）
（2）－8x＋（
）＝（x-
）2
（3）＋x＋（
）＝（x＋
）2；
（4）4－6x＋（
）＝4（x－
）2
（5）4x2－6x＋（
）＝4（x－
）2＝（2x－
）2.
2、用配方法解方程：
（1）x2＋8x－2＝0
（2）x2－5x－6＝0.
（3）2x2-x=6
（4）－6x－7＝0；
（5）＋3x＋1＝0.
3：用配方法解方程：
（1）
（2）3x2＋2x－3＝0.
（3）
（4）（4）x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).
拓展提高
已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
4、公式法：
∵ax2+bx+c=0(a≠0)
若b2-4ac≥0
∴x2+x=
-
x+=±
(x+)2=
-+
x=
-±
(x+)2=
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a,b,c代入式子就得到方程的根，当b2-4ac＜0时,方程没有实数根.
（2）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式.
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
例1、用公式法解下列方程：
（1）x2-x-1=0
（2）x2+4x-1=0
练习
（1）x2+2x-2=0
（2）2x2-3x-5=0
例1、用公式法解下列方程：
（1）2x2+x-6=0
（2）x2+4x=2
练习（1）5x2-4x-12=0
（2）4x2+4x+10=1-8x
例2、用适当的方法解下列各方程：
（1）4(x-3)2=8
（2）x2-2x-3=0
（3）x2-6x+8=0
（4）x2-2x=1
练习（1）x2-3x+1=0
（2）(x-1)2=0
（3）x2-3x=0
（4）x2-2x=4
三、一元二次方程的根的判别：
试一试：解下列方程：（1）x2-2x-3=0
（2）x2-2x=
-1
（3）x2+7=2x
探究：∵ax2+bx+c=0(a≠0)
∴(x+)2=
1、一元二次方程的解的情况：
①当b2-4ac>0时，方程有两不等实根。
x1=
x2
=
②当b2-4ac=0时，方程有两相等实根。
x1=
x2=
-
③当b2-4ac<0时，方程无实根。
2、一元二次方程的根与判别式的关系：
b2-4ac叫做一元二次方程的判别式。用“△”表示，△=b2-4ac
（1）△>0方程有两不相等实根。
（2）△=0方程有两相等实根。
（3）△<0方程无实根。
例3、不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）2x2+3x-4=0
（2）16y2+9=24y
（3）5(x2+1)-7x=0
例4、（1）m取什么数时，方程x2+(m+2)x+m2=4。
①有相等的两实根。②有两个相等的实根。③无实根。
（2）关于x的方程2kx2+(8k+1)x+8k=0有两个不相等的实根。求k的取值范围。
（3）求证：方程(1+m2)x2+2m+m2+4=0没有实数根。
（4）已知：a、b、c为三角形的三边长。
求证：方程a2x2-(a2+b2-c2)x+b2=0没有实根。
四、可化为一元二次方程的分式方程的解法：
1、基本思路：分式方程整式化（去分母）。
2、步聚：（1）去分母。
（2）解整式方程。
（3）检验。
例15、解下列方程：
（1）++=1
（2）-+2=0
（3）-+2=0
（4）x2+x++=4
五、一元二次方程的应用：
例15、学校生物小组有一块长32米，宽20米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540米2。小道的宽应是多少？
例16、某药品经过两次降价，每瓶的零售价由56元降为31.5元，已知两次降价的百分率相同。求每次降价的百分率？
例17、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价1元，市场每天可多售2件，若要使商场平均每天盈利1250元，每件衬衫应降价为多少元？
例18、如图，A、B、C、D为矩形四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q
分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，
点Q以2cm/s的速度向D移动。
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2?
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q两点的距离是10cm?
§22.3实践与探索：
一、问题1：小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子。
（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？
（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？
折合成的长方体底面积（）
81
64
49
36
25
16
9
4
剪去的正方形边长（cm）
折合成的长方体侧面积（cm2）
二、问题2、阳江市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？
三、列方程解应用题：
1、数字问题：通常间接设未知数。
例1、一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积是736。求这两位数？
2、几何图形问题。
3、平均增长率问题。
4、浓度问题。
例2、容器盛满纯酒精50升，第一次倒出一部份纯酒精后有水加满，第二次又倒出同样多的酒精溶液，再用水加满，这时容器里的容液含纯酒精32升。求每次倒出溶液的升数？
5、实际应用问题。
四、一元二次方程的根与系数的关系：
试一试：解下列方程，并探究方程的解与方程系数的关系？
（1）x2+3x-4=0
（2）x2-4x=0
（3）2x2-3x+1=0
∵ax2+bx+c=0(a≠0)
∴x1=
x2
=
∴x1+
x2=
-
x1·x2=
1、若x1、x2是方程的ax2+bx+c=0(a≠0)两根，则：
x1+
x2=
-
x1·x2=
2、若x1、x2是方程的x2+px+q=0两根，则：
x1+
x2=
-p
x1·x2=q
例3、若α、β是2x2+3x-1=0的两根，求下列各式的值。
（1）α2+β2
（2）+
（2）α2β
+αβ2
（3）+
（4）α3+β3
（5）α-β
（6）α4+β4
例4、已知关于x的方程(k-1)x2+(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实数要x1、x2。
（1）求k的取值范围。
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由。
例5、已知关于x的一元二次方程x2+kx-1=0。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根。
（2）设方程的两根分别为x1、x2。且满足x1+x2=x1x2。求k的值。
例6、（1）设a、b是方程x2+x-1=0的两根，则a4-3b=
。
（2）已知方程x2+kx+6=0的两实根是x1、x2。同时方程x2-kx+6=0的两根是x1+5、x2+5，则k=
。
若方程x1、x2是方程的x2+px+q=0两根，则：
x1+
x2=
-p
x1·x2=q
∴p=
q=
x1·x2
∴x2-（x1+
x2）x+
x1·x2
=0
3、以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
x2-（x1+
x2）x+
x1·x2
=0
例7、（1）求一个一元二次方程，使它的两根是：-3、2。
（2）求一个一元二次方程，使它的两根是3+与3-。
例8、（1）已知：两个数的和等于8，积等于9。求这两个数。
（2）已知：两个数的和等于-5，积等于4。求这两个数。
例9、（1）求一个一元二次方程，使它的两根是方程2x2+5x-1=0的各根的平方。
（2）已知方程x2+4x+k=0的两根的平方和等于34。求的值。
（3）已知方程x2-4x-2m+8=0的两个实数根中一个大于1，另一个小于1。求m的取值范围。
例10、若a≠b，且满足a2=5a-1，b2=5b-1。求+的值。
例11、已知：x1、x2是方程x2-3x-4=0的两根，不解方程，求的值。
例12、已知：α、β是方程x2-2x-4=0的两实数根。求α3+8β+6的值。
五、二次三项式的因式分解：
1、提取公因式法。
例8、因式分解：
（1）3x2-6x+9
（2）4ab+2a2b+b3
2、完全平方公式：
例13、因式分解：
（1）a2+2a+1
（2）4x2-4x+1
3、十字相乘法：
例14、因式分解：
（1）x2-7x-8
（2）3y2-4y+1
4、公式法：
若x1、x2是方程的ax2+bx+c=0(a≠0)两根，则：
x1+
x2=
-
x1·x2=
∴=
-（x1+
x2）
=
x1·x2
∴ax2+bx+c=
a(x2+x+)
=
a[x2-（x1+
x2）x+
x1·x2]
=a(x-
x1)(x-
x2)
（1）、ax2+bx+c=
a(x-
x1)(x-
x2)（其中x1、x2是方程的ax2+bx+c=0(a≠0)两根）
（2）、二次三项式ax2+bx+c能在实数范围内因式分解△>0（△为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式）。
例15、把下列各式因式分解：
（1）4x2+8x-1
（2）3x2+6x-8
（3）2x2-8xy+5y2
（4）3x2-5xy-3y2
例13、若-3和2是方程6x2+5x-50=0的两个根，则将6x2+5x-50分解因式得6x2+5x-50=
。
（3）∵ax2+bx+c=
a(x-
x1)(x-
x2)
（其中x1、x2是方程的ax2+bx+c=0(a≠0)两根）
又∵当△=0时，x1=x2
则：ax2+bx+c=
a(x-
x1)2或ax2+bx+c=
a(x-
x2)2
∴二次三项式ax2+bx+c是完全平方式△=0（△为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式）。
例16、当k为何值时，2x2-(4k+1)x+2k2-1满足下列条件？
（1）在实数范围内能因式。
（2）是完全平方式。
（3）在实数范围内不能分解因式。
例17、已知：若x1、x2是关于的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实根，不解方程。
证明：x13+x23=