人教版数学九年级上册第二十四章：圆 复习学案（无答案）

人教版九年级上册·第二十四章：圆
①圆的有关性质
②点和圆、直线和圆的位置关系
③正多边形和圆
④弧长和扇形面积
【考点分析】
学习圆的定义，理解弧、弦、半圆、直径等有关概念，掌握圆周角定理及其推论．
2．理解圆内接四边形的性质，研究四点不共圆的性质．
3．根据点到圆心的距离、圆的半径大小关、点与圆的位置关系．
4．通过不在同一直线的三点作图画圆、三角形外接三角形，理解三角形的外心概念．
5.
理解切线长的定义，掌握切线长定理，运用切线长解题.
6.
正多边形的有关概念，特殊正多边形的计算
7.
正多边形的半径、中心角、边心距、边长之间关系的正确理解与计算。
8．会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算．
9．会求圆锥的侧面积和全面积，通过公式进行题型解答.
【基础知识】
要点一、圆的定义及性质
1.
圆的定义
：以O为端点（固定点），线段OA绕固定点旋转一周所形成的图形叫做圆
线段OA叫做半径（r）.
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
注：圆心【点】确定圆的位置（先），半径【长】确定圆的大小（后）；圆是一条封闭曲线。
2.圆的性质
：圆即是一个旋转对称图形（中心对称图形），也是一个轴对称图形
注：①圆有无数条对称轴；
　
②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，“圆的对称轴是直径所在的直线”.
要点二、与圆有关的概念
1.
弦:在圆上的任意两点的连接线段叫做圆的弦【直径：经过圆心的弦叫做直径】
弦心距：圆心到弦的距离
注：直径是经过圆心的特俗弦{AB}【弦不一定是直径】{CD}
图示：
2.
弧:在圆上的任意两点的部分叫做圆的圆弧（弧）
　　半圆：圆内的任意一直径的两端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧【弧指的是劣弧】
3.同心圆（圆心相同）与等圆（半径相同）
4.等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
要点三、垂径定理
1.垂径定理
　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
　　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
注：
垂径定理
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
垂径定理
如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的的弦，若CD⊥AB，则AE=BE，弧AD=弧BD，
弧AC=弧BC
垂径定理的推论
推论1：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，且平分弦所对的另一条弧
要点四、弧、弦、圆心角的关系
1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角【∠COA】
　　　　　　　　　　　　　　图示：　
2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.推论：
　　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
要点五、圆周角
1.圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交【∠CBA】
　　　　　　　　　　　　　　　　图示：　
2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
3.圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等
　　②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
4.圆内接四边形：
（1）定义:
圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．
（2）推论：圆内接四边形对角互补，一个外角等于它相邻内角的对角．
（3）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形（这个圆叫做多边形的外接圆）
要点六、点和圆的位置关系
1．点和圆的三种位置关系
点与圆的位置关系
位置
点M(d)与半径r的位置关系
图示
点在圆内
d点在圆外
d>r
点在圆上
d=r
2．三角形的外接圆
过不在同一直线上的三点作圆
作圆，使它经过不同一直线上的三点A、B、C（即作以点A、B、C为顶点的三角形的外接圆）
要点七、直线和圆的位置关系
直线与圆的位置关系
位置
公共点个数
公共点名称
直线名称
圆心O到直线l距离d与半径r的关系
图示
相离
0
无
无
d>r
相切
1
切点
切线
d=r
相交
2
交点
割线
d要点八、切线的判定定理和性质定理
1．切线的判定定理：直线与圆只有一个公共点，则直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，交点为切点
　　2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.
要点九、三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：
作已知三角形的内切圆
作以点A、B、C为顶点的三角形的内切圆
2．三角形的内心：
内心
三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，它到三角形各边的距离相等
　　要点十、圆和圆的位置关系
1．圆与圆的五种位置关系的定义
直线与圆的位置关系
位置
相离
相交
外切
内切
内含
图示
交点
无交点
有两个交点
有一个交点
有一个交点
无交点
关系
d>r1+r2
r1-r2＜d＜r1+r2
(r1≥r2)
d=r1+r2
d=r1-r2
(r1＞r2)
d＜r1-r2
(r1＞r2)
要点十一、正多边形的概念
1.定义
①中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心
②外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距
2.计算公式　　①正ｎ边形每一个内角的度数是
　　
②正ｎ边形每个中心角的度数是
③正ｎ边形每个外角的度数是
注：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
要点十二、弧长公式
　　360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
要点十三、扇形面积公式
1.扇形的定义
　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
　　360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
　　n°的圆心角所对的扇形面积公式：
弧长和扇形面积
弧长的计算
（弧长为
l，圆心角度数为n
，圆的半径为r
）
扇形面积的计算
（弧长为
l，圆心角度数为n
，圆的半径为r
）
圆锥的计算
圆锥的侧面积:
圆锥的全面积：（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）
【重点难点】
要点一、圆的定义及性质|要点二、与圆有关的概念
Eg1|2、1.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（
）
Eg1|2、2.在△CBA中，∠A=90°，求证:A,B,C三点在同一个圆上
Eg1|2、3.矩形ABCD的对角线AC,BD相较于点O.求证：A,B,C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
要点三、垂径定理
Eg3、1.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（
）
A．AC＝AB
B．∠C＝∠BOD
C．∠C＝∠B
D．∠A＝∠BOD
要点四、弧、弦、圆心角的关系|要点五、圆周角
Eg4、1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝8，∠BAC＝∠BOD，则⊙O的半径为（
）
A．4
B．5
C．4
D．3
Eg4、2.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．若∠C＝65°，则∠P的度数为（
）
A．65°
B．130°
C．50°
D．100°
要点六\七\十、点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系
Eg6|7|10、1．已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（
）
A．点P在圆内
B．点P在圆上
C．点P在圆外
D．不能确定
Eg6|7|10、2．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，连接AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是（
）
A.
B.
C.
D．2
Eg6|7|10、3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC的长为_______.
要点八、切线的判定定理和性质定理
Eg8、1.如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD＝30cm.求直径AB的长．
Eg8、2.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．若∠C＝65°，则∠P的度数为（
）
A．65°
B．130°
C．50°
D．100°
要点十一、正多边形的概念
Eg11、1.从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为
．
Eg11、2.从如图，A,B,C三点是圆O上的三点，若∠AOC=127°，则∠ABC=
要点十二、弧长公式
Eg12、1.若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是(　　)
A．3π　　　B．4π　　　C．5π　　　D．6π
Eg12、2.如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
Eg12、3.在半径为6
cm的圆中，60°的圆心角所对的弧长等于____cm(结果保留π)．
要点十三、扇形面积公式
Eg13、1.已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥的底面圆的直径是80cm，则这块扇形铁皮的半径是（
）
A．24cm
B．48cm
C．96cm
D．192cm
Eg13、2.在矩形ABCD中，AB＝2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA＝2.
(1)求线段EC的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
Eg13、3.AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE.
(1)判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若E是的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
【考点过关】
1．下列命题正确的有(　)
①半圆是弧；
②弦是圆上两点之间的部分；
③半径是弦；
④直径是最长的弦；
⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
A．1个　
　B．2个　
　C．3个　
　D．4个
2.P是⊙O内的一点，P到⊙O的最小距离为4
cm，最大距离为9
cm，则该⊙O的直径为
A．6.5
cm
B．2.5
cm
C．13
cm
D．无法确定
3.弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝2，BD＝，则AB的长为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
【课后作业】
1.下列说法正确的是（
）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．半圆(或直径)所对的圆周角是直角
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．若两个圆有公共点，则这两个圆相交
2．如图24－1－4所示，已知∠AOB＝60°，则△AOB是____三角形．
3．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F.若弧EF的长为，则图中阴影部分的面积为
4．如图24－1－23，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB.点P是半径OB上任意一点，连接AP.若OA＝5
cm，OC＝3
cm，则AP的长度可能是____cm(写出一个符合条件的数值即可)．
知识脉络