【A典学案】冲刺100分 八年级上专题复习第七讲 平行线的证明（31张）

第七讲 平行线的证明
北师大版 八年级上册
知识清单
1．定义与命题
定义：
对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的______
命题：
判断一件事情的句子，叫做 _____．
（1）命题的结果：由条件、__________两部分组成．
（2）真命题：正确的命题称为__________．
（3）假命题：不正确的命题叫做___________．
定义
命题
结论
真命题
假命题
知识清单
（4）反例：要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为___________．
反例的作用可说明一个命题是___________．
2．公理、定理、推论
公理：
公认的真命题称为_____________．
定理：
经过证明的真命题称为______________．
反例
假命题
公理
定理
知识清单
推论：
由一个______________直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论．
推论可以当作定理使用．
3．两直线平行的判定公理、定理
两直线平行的判定基本事实：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线_________．
简称：同位角相等，两直线平行．
两直线平行的判定定理：
公理或定理
平行
知识清单
判定定理一 两条直线被第三条直线所截，如果内错角___________，那么这两条直线平行．
简称：内错角相等，两直线平行．
判定定理二 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角__________，那么这两条直线平行．
简称：同旁内角互补，两直线平行．
4．两直线平行的性质定理
性质定理一 两条平行直线被第三条直线所截，同位角_____________．
相等
互补
相等
知识清单
简称：两直线平行，同位角相等．
性质定理二 两条平行直线被第三条直线所截，_____________相等．
简称：两直线平行，内错角相等．
性质定理三 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角___________．
简称：两直线平行，同旁内角互补．
性质定理四 平行于同一条直线的两条直线____________．
5．三角形内角和定理
三角形的内角和等于 ________°．
内错角
互补
平行
180
知识清单
6．三角形的外角定理
定理一 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的___________．
定理二 三角形的一个外角____________任何一个和它不相邻的内角．
和
大于
典例精讲
类型之一 命题
【例 1】有以下命题：
①直线 y＝x－5 不经过第二象限
②通常温度降到 0℃以下，纯净的水会结冰是随机事件；
③一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
其中真命题的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
典例精讲
[解析]①直线 y＝x－5 不经过第二象限，正确，是真命题；
②通常温度降到 0℃以下，纯净的水会结冰是必然事件，故错误，是假命题；
③一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故错误，是假命题；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题．
真命题有 2 个．故选 B．
变式训练
1．下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请你先将它改写成“如果……那么……”的形式，再指出命题的条件和结论．
（1）对顶角相等；
（2）画一个半径为 7 cm 的圆；
（3）偶数一定是合数吗？
（4）偶数是合数．
变式训练
解析：（1）、（4）是命题，（2）、（3）不是命题．
（1）改写为如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．其中条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”．
（4）改写为如果一个数是偶数，那么这个数是合数．其中“一个数是偶数”是条件，“这个数是合数”是结论．
典例精讲
类型之二 平行线的判定与性质的综合与运用
【例 2】如图，AB∥CD，GM，HN 分别为∠BGE 和∠DHG 的平分线．
（1）试判断射线 GM 和射线 HN 的位置关系；
（2）如果 GM 是∠AGH 的平分线，其他条件不变，
（1）中的结论还成立吗？
（3）如果 GM 是∠BGH 的平分线，其他条件不变，
（1）中的结论还成立吗？如果不成立，你能得到什么结论？
典例精讲
[解析]（1）由 AB∥CD，可得∠BGE＝∠DHG．
∵∠MGE＝ ∠BGE，∠NHG＝ ∠DHG，
∴∠MGE＝∠NHG，∴GM∥HN．
（2）如图 1 所示，（1）中的结论仍然成立．
∵AB∥CD，∴∠AGH＝∠DHG．
又∵∠MGH＝ ∠AGH，∠NHG＝ ∠DHG，
∴∠MGH＝∠NHG，∴GM∥HN．
典例精讲
（3）如图 2 所示，（1）中的结论不成立，能得到的结论是 GM⊥HN．
假设 GM 和 HN 相交于点 K． ∵AB∥CD，所以∠BGH＋∠DHG＝180°．
又∵∠MGH＝ ∠BGH，∠NHG＝ ∠DHG，
∴∠MGH＋∠NHG＝ (∠BGH＋∠DHG)＝90°，
∴∠GKH＝90°，即 GM⊥HN．
变式训练
2．已知：AB∥CD．
（1）点 E 在 AB 与 CD 之间，如图 1，问∠A，∠C 与∠AEC 之间有什么关系？
（2）点 E 在 AB 与 CD 之间，如图 2，问∠A，∠C 与∠AEC 之间又有什么关系？
（3）点 E 在 AB 与 CD 之外，如图 3，问∠A，∠C 与∠AEC 之间又有什么关系？
变式训练
解析：（1）如图1，过点E作EF∥AB，则∠A＝∠AEF．
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠C＝∠CEF．
∵∠AEC＝∠AEF＋∠CEF，∴∠AEC＝∠A＋∠C．
（2）如图2，过点E作EF∥AB，则∠AEF＝180°－∠A．
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CEF＝180°－∠C．
∵∠AEC＝∠AEF＋∠CEF，
∴∠AEC＝180°－∠A＋180°－∠C，
∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°．
变式训练
（3）如图3，过点E作EF∥AB，则∠A＝∠AEF．
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠C＝∠CEF．
∵∠AEC＝∠AEF－∠CEF，∴∠AEC＝∠A－∠C．
典例精讲
类型之三 三角形的内角和与外角性质的综合与运用
【例 3】如图，在四边形 ABCD 中，延长 BA，CD 相交于点 E，延长 DA，CB 相交于点 F，∠BEC 和 ∠CFD 的平分线相交于点 G．若∠ADC＝80°，∠ABC＝60°，试求∠EGF 的度数．
[解析]∵EG，FG 分别平分∠BEC 和∠CFD，
∴∠BEC＝2∠1，∠CFD＝2∠2．
延长 EG 交 BC 于点 H，
则∠EGF＝∠EHF＋∠2＝∠1＋∠C＋∠2．
典例精讲
在△BCE 中，2∠1＋∠C＋∠CBE＝180°，
在△CDF 中，2∠2＋∠C＋∠CDF＝180°，
两式相加，得 2(∠1＋∠2＋∠C)＋∠CBE＋∠CDF＝360°．
∵∠CBE＝60°，∠CDF＝80°，
∴∠1＋∠2＋∠C＝110°，即∠EGF＝110°．
变式训练
3．如图，在△ABC 中，AD 是高，AE，BF 是角平分线，它们相交于点 O，若∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC，∠BOE 的度数．
解析：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．
∵∠C＝70°，∴∠DAC＝180°－90°－70°＝20°．
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°．
∵BF是∠ABC的平分线，∴∠ABO＝30°，
∴∠BOE＝∠BAO＋∠ABO＝25°＋30°＝55°
区校真题
1．（深外）以下命题的逆命题为真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．如果 a＝0，b＝0，那么 ab＝0
C．若 a＞b，则 a2＞b2 D．同旁内角互补，两直线平行
2．（深实验）如图，点 E 在 AC 的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD
的是（ ）
A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D＋∠ACD＝180°
D
B
区校真题
3．（罗湖）如图，直线 EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，EG 平分∠BEF，AB∥CD．若∠1＝72°，则∠2 的度数为（ ）
A．54° B．59°
C．72° D．108°
4．（福田）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边 BC 上 （AD∥BC），若∠1＝25°，则∠2 的度数为（ ）
A．55° B．25°
C．60° D．65°
A
D
区校真题
5．（百外）如图，在△ABC 中，∠C＝36°，将△ABC 沿着直线l 折叠，点 C 落在点 D 的位置，则∠1－∠2 的度数是（ ）
A．36° B．72°
C．50° D．46°
6．（深高）如图，AB∥CD，AE 平分∠CAB 交 CD 于点 E，若∠C＝40°，则∠AED＝_________
B
1100
区校真题
7．（坪山）如图，直线 AB，CD 被 BC 所截，若 AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝________度．
8．（南山）如图，AB∥CD∥EF，且∠ABE＝70°，∠ECD＝150°，求∠BEC 的度数．
80
区校真题
解：∵AB∥EF，∴∠ABC＝∠BEF＝70°．
∵CD∥EF，∴∠ECD＋∠CEF＝180°．
∵∠ECD＝150°，∴∠CEF＝30°．
∴∠BEC＝∠BEF－∠CEF＝40°．
区校真题
9．（宝安）如图，在△ABC 中，D 为 AB 上一点，E 为 AC 中点，连接 DE 并延长至点 F，使得 EF＝ED， 连 CF．
（1）求证：CF∥AB；
（2）若∠ABC＝50°，连接 BE，BE 平分∠ABC，AC 平分∠BCF，求∠A 的度数．
区校真题
解：（1）证明：∵在△AED和△CEF中，
∴△AED≌△CEF(SAS)．∴∠A＝∠ACF，∴CF∥AB．
（2）解：∵AC平分∠BCF，∴∠ACB＝∠ACF．
∵∠A＝∠ACF，∴∠A＝∠ACB．
∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠ABC＝50°，
∴2∠A＝130°，∴∠A＝65°．
中考链接
1．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1 的度数为（ ） A．60° B．65°
C．75° D．85°
2．如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的一点，AB＝DB，BE 平分∠ABC，交 AC 边于点 E，连接 DE． （1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB 的度数．
C
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