【A典学案】冲刺100分 九年级上专题复习第九讲 圆 课件（共43张PPT）

第九讲 圆
北师大版 九年级上册
知识清单
1．确定圆的要素
圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确定；只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定．
2．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内．
点在圆外，即这个点到圆心的距离_______半径；
大于
知识清单
点在圆上，即这个点到圆心的距离_______半径；
点在圆内，即这个点到圆心的距离_______半径；
判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离 d 与圆的半径 r 来比较得到．
（2）设⊙O 的半径是 r，点 P 到圆心的距离为 d，则有：
d＜r 点 P 在圆内；
d＝r 点 P 在圆上；
d＞r 点 P 在圆外；
[点拨]点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反
等于
小于
知识清单
过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．
3．垂径定理
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的________ [注意]①条件中的“弦”可以是直径；
②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．
（2）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
4．圆的旋转不变性
弧
知识清单
（1）中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为__________．
（2）探究圆中角的一些性质
定理 1：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等．
定理 2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
5．圆周角与圆心角的关系
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，且角的两边还与圆相交的角叫做圆周
圆心
两条弦
知识清单
角．
[注意]圆周角有两个特征：角的顶点在圆上，两边在圆内的部分是圆的两条弦．
（2）圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
__________
（3）圆周角的性质
性质：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角__________．
直径所对的圆周角是 __________；90° 的圆周角所对的弦是__________．
一半
相等
直角
直径
知识清单
[注意]“同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．
6．确定圆的条件
不在同一直线上的三个点确定一个圆．
7．三角形的外接圆
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的___________
8．直线与圆的位置关系
外心
知识清单
知识清单
[易错点]将圆心到直线上某一点的距离看成圆心到直线的距离．
9．圆的切线的性质及判定
性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
判定：经过直线的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
10．三角形的内切圆
和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的________________
内心
知识清单
[注意]对一个确定的三角形来说，其内切圆有且只有一个，其内心也有且只有一个：内心就是内切圆的圆心．
11．切线长定理
定理：从圆外一点可以引圆的两条____________，它们的____________相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的 ____________
12．正多边形和圆
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．
把圆分成 n（n≥3）等份：
切线
切线长
夹角
知识清单
（1）依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形．
（2）经过各分点作圆的____________，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的_________正 n 边形．
13．弧长及扇形的面积公式
（1）弧长公式
半径为 R 的圆中，n° 的圆心角所对的弧长 l＝____________．
（2）扇形的面积公式
半径为 R，圆心角是 n° 的扇形面积是 S 扇形＝____________
切线
外切
知识清单
半径为 R，弧长为 l 的扇形面积是 S 扇形＝____________
典例精讲
类型之一 垂径定理
【例 1】已知在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于点 C，D（如图）． （1）求证：AC＝BD； （2）若大圆的半径 R＝10，小圆的半径 r＝8，且圆心 O 到直线 AB 的距离为 6，求 AC 的长．
典例精讲
[解析]（1）过点 O 作 OE⊥AB． ∵AE＝BE，CE＝DE，∴BE－DE＝AE－CE，即 AC＝BD．
（2）∵由（1）可知，OE⊥AB 且 OE⊥CD，连接 OC，OA，
变式训练
1．如图，该某测量发现 8 m 高的旗杆 DE 的影子 EF 落在了包含一圆弧形小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高 1.6 m，测得其影长为 2.4 m，同时测得 EG 的长为 3 m，HF的长为 1 m，测得拱高（弧 GH 的中点到弦 GH 的距离，即 MN 的长）为 2 m，求小桥所在的圆的半径．
变式训练
解：由相似得 ，解得EF＝12（m）．
∵EG＝3，HF＝1，∴GH＝EF－EG－HF＝8（m）．
由垂径定理得：GM＝ ＝4（m）．又MN＝2，
设半径OG＝R m，则OM＝(R－2)m．
在Rt△OMG中，由勾股定理得：
因此(R－2)2＋42＝R2，解得R＝5．
因此小桥所在圆的半径为5 m．
典例精讲
类型之二 圆的基本性质
【例 2】已知⊙O 的直径为 10，点 A，B，C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点 D．
（1）如图 1，若 BC 为⊙O 的直径，AB＝6，求 AC，BD，CD 的长；
（2）如图 2，若∠CAB＝60°，求 BD 的长．
典例精讲
[解析]（1）由已知，BC 为⊙O 的直径，
即∠CAB＝∠BDC＝90°． 在 Rt△CAB 中，BC＝10，AB＝6．
∵AD 平分∠CAB
∴CD＝BD．
在 Rt△BDC 中，BC＝10，CD2＋BD2＝BC2
∴BD2＝CD2＝50．∴BD＝CD＝
（2）如图，连接 OB，OD． ∵AD 平分∠CAB，且∠CAB＝60°．
典例精讲
∴∠DAB＝ ∠CAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．
又∵⊙O 中，OB＝OD．
∴△OBD 是等边三角形．
∵⊙O 的直径为 10，∴OB＝5． ∴BD＝5．
变式训练
2．如图，AB 是⊙O 的弦，OB＝2，∠B＝30°，C 是弦 AB 上任意一点（不与点 A，B 重合），连接 CO 并交⊙O 于点 D，连接 AD．
（1）弦长 AB 等于 （结果保留根号）________；
（2）当∠D＝20°时，求∠BOD 的度数；
（3）当 AC 的长度为多少时，以 A，C，D 为顶点的三角形与以 B，C，O 为顶点的三角形相似？
变式训练
解：（1）
（2）如图，连接OA．
∵OA＝OB，OA＝OD，
∴∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D，
∴∠DAB＝∠BAO＋∠DAO＝∠B＋∠D．
又∵∠B＝30°，∠D＝20°，
∴∠DAB＝50°．∴∠BOD＝2∠DAB＝100°．
（3）∵∠BCO＝∠A＋∠D，
变式训练
∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，
∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°．
此时∠BOC＝60°，∠BOD＝120°，
∴∠DAC＝60°．∴△DAC∽△BOC．
∵∠BCO＝90°，即OC⊥AB，
故当AC的长为 时，以A，C，D为顶点的三角形与以B，C，O为顶点的三角形相似．
典例精讲
类型之三 切线的性质与判定
【例 3】如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以直角边 AB 为直径作⊙O，交斜边 AC 于点 D，连接BD．
（1）若 AD＝3，BD＝4，求边 BC 的长；
（2）取 BC 的中点 E，连接 ED，试证明 ED 与⊙O 相切．
典例精讲
[解析]（1）∵AB 是直径，∴∠ADB＝90°． ∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝5．
∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ADB∽△ABC，
（2）证明：连接 OD，在 Rt△BDC 中，
∵点 E 是 BC 的中点，
∴CE＝DE，∴∠C＝∠CDE． 又 OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD．
又∵∠OBD＋∠DBC＝90°，∠C＋∠DBC＝90°，
典例精讲
∴∠C＝∠OBD，∴∠BDO＝∠CDE． ∵AB 是直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，即∠BDE＋∠CDE＝90°，
∴∠BDE＋∠BDO＝90°，即∠ODE＝90°， ∴ED 与⊙O 相切．
变式训练
3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D，过点 D 的切线交 BC 于点 E．
（1）求证： ；
（2）若 tan C＝ ，DE＝2，求 AD 的长．
变式训练
解：（1）证明：连接BD，
∵AB为直径，∠ABC＝90°，∴BE切⊙O于点B．
又∵DE切⊙O于点D，∴DE＝BE，
∴∠EBD＝∠EDB．
∵∠ADB＝90°，∴∠EBD＋∠C＝90°，∠BDE＋∠CDE＝90°
变式训练
在Rt△ABC中，
又∵△ABD∽△ACB，
典例精讲
类型之四 与圆有关的计算
【例 4】如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2．将△ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转60°得△A′B′C，求点 B 转过的路径长．
[解析]∵在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2，
∵将△ABC 绕直角顶点 C 逆时针旋转 60°得△A′B′C′，
∴∠BCB′＝60°．
∴点 B 转过的路径长为：
变式训练
4．如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，D 是边 AC 上的一点，连接 BD，使∠A＝2∠1，E 是 BC 上的一点，以 BE 为直径的⊙O 经过点 D．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若∠A＝60°，⊙O 的半径为 2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和 π）
变式训练
解：（1）证明：如图，连接OD．
∵OB＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠DOC＝2∠1．
∵∠A＝2∠1，∴∠A＝∠DOC．
∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°．
∴∠DOC＋∠C＝90°．
∴∠ODC＝90°．
∵OD为半径，
∴AC是⊙O的切线．
变式训练
（2）∵∠A＝∠DOC＝60°，OD＝2，
区校真题
1．（盐田）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上，∠BOC＝110°，
AD∥OC，则∠ABD 等于（ ）
A．20° B．30°
C．40° D．50°
2．（光明）如图，四边形 ACDB 内接于⊙O，若∠BDC＝∠BOC，
则∠BAC 的度数为（ ）
A．50° B．60°
C．45° D．90°
A
B
区校真题
3．（龙华）如图，在□ABCD 中，∠B＝60°，⊙C 的半径为 3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π B．2π C．3π D．6π
4．（福田）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，过点 C 作△ABC 外接圆⊙O 的切线交 AB 的垂直平分线于点 D，AB 的垂直平分线交 AC 于点 E．若 OE＝2，AB＝8，则 CD＝________
C
3
区校真题
5．（南山）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的斜边 AB 在 y 轴上，边 AC 与 x 轴交于点 D，AE 平分∠BAC 交边 BC 于点 E，经过点 A，D，E 的圆的圆心 F 恰好在 y 轴上，⊙F 与 y 轴相交于另一点 G．
（1）求证：BC 是⊙F 的切线；
（2）若点 A，D 的坐标分别为 A(0，－1)，D(2，0)，求⊙F 的半径；
区校真题
解：（1）证明：连接EF．
∵AE平分∠BAC，∴∠FAE＝∠CAE．
∵FA＝FE，∴∠FAE＝∠FEA．∴∠FEA＝∠EAC．∴FE∥AC．
∴∠FEB＝∠C＝90°，即BC是⊙F的切线．
（2）连接FD．设⊙F的半径为r，则r2＝(r－1)2＋22．
解得r＝ ．即⊙F的半径为
区校真题
6．（龙岗）如图，已知 AB，CD 为⊙O 的直径，过点 A 作弦 AE 垂直于直径 CD 于 F，点 B 恰好为 的中点，连接 BC，BE．
（1）求证：AE＝BC；
（2）若 AE＝ ，求⊙O 的半径；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
区校真题
解：（1）证明：连接BD．
∵AB，CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝∠AEB＝90°．
∵点B恰好为 的中点，∴ ∴∠A＝∠C．
∵∠ABE＝90°－∠A，∠CDB＝90°－∠C，
∴∠ABE＝∠CDB，∴ ,∴AE＝BC．
（2）∵AE⊥CD，

区校真题
在Rt△ABE中， ∴⊙O的半径为2．
（3）连接OE．∵∠A＝30°，∴∠EOB＝60°．∴△EOB是等边三角形．
中考链接
如图，点 A，B，C 在半径为 8 的⊙O 上，过点 B 作 BD∥AC，交 OA 延长线于点 D．连接 BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．
（1）求证：BD 是⊙O 的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
中考链接
解：（1）证明：连接OB，交CA于E，
∵∠C＝30°，∠C＝ ∠BOA，∴∠BOA＝60°．
∵∠BCA＝∠OAC＝30°，∴∠AEO＝90°．
即OB⊥AC，
∵BD∥AC，∴∠DBE＝∠AEO＝90°．
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：∵AC∥BD，∠OCA＝90°，∴∠D＝∠CAO＝30°．
∵∠OBD＝90°，OB＝8，
谢谢
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