【A典学案】冲刺100分 九年级上专题复习第七讲 直角三角形的边角关系 课件（共29张PPT）
文档属性
| 名称 | 【A典学案】冲刺100分 九年级上专题复习第七讲 直角三角形的边角关系 课件（共29张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-15 11:31:24 | ||
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文档简介
第七讲 直角三角形的边角关系
北师大版 九年级上册
知识清单
1．锐角三角函数
△ABC 中，∠C＝90°．∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tan A，即 tan A＝____________；
∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦：记作 sin A，即 sin A＝__________； ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦：记作 cos A，即 cos A＝_________； 2．30°，45°，60° 角的三角函数值
知识清单
1
知识清单
3．仰角和俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做________，视线在水平线下方的叫做________．
4．坡度和坡角
通常把坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 之比叫做________，用字母 i 表示，即 i＝________．把坡面与水平面的夹角叫做________，记作∠α，于是 i＝___＝tan α，显然，坡度越大，α 角越大，坡面就越陡．
仰角
俯角
坡度
坡角
典例精讲
类型之一 锐角三角函数的有关计算
【例 1】如图，在△ABC 中，D 是 AB 的中点，DC⊥AC，且 tan∠BCD＝ ，求 tan A．
[解析]过点 D 作 DE⊥CD，交 BC 于点 E． 在 Rt△CDE 中，
故可设 DE＝x，则 CD＝3x．
又∵CD⊥AC， ∴DE∥AC．
典例精讲
又∵D 为 AB 的中点，
∴E 为 BC 的中点．
∴AC＝2DE＝2x． 在 Rt△ACD 中，∠ACD＝90°，
AC＝2x，CD＝3x， ∴tan A＝ CD
变式训练
1．如图，在△ABC 中，AC＝2， ，求 cos A 的值．
解：过点C作CD⊥AB于点D．
在Rt△BDC中，
又∵在Rt△ACD中，AC＝2，
典例精讲
类型之二 特殊角的三角函数值
【例 2】计算：
[解析]原式＝
变式训练
2．先化简，再求代数式 的值，其中 a＝6 tan 60°－2
解：原式＝
典例精讲
类型之三 解直角三角形
【例 3】如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求 BC 的长．
[解析]∵AD⊥BC 于点 D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°． 在 Rt△ABD 中，
∵AB＝8，∠ABD＝30°，
在 Rt△ADC 中，
∵∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，
∴DC＝AD＝4．
变式训练
3．如图，在△ABC 中，已知 AC＝2，∠B＝30°，∠A＝120°，求△ABC 的面积（结果可保留根号）．
解：如图，过点C作CD⊥AB，与BA的延长线相交于点D．
∵AB＝2，∠B＝30°，∠CAB＝120°，
∴∠CAD＝60°，∠ACB＝∠B＝30°，∴AB＝AC＝2．
在Rt△ACD中，
典例精讲
类型之四 三角函数的应用
【例 4】如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡 AE 的长度，她先在山脚下点 E 处测得山顶 A 的仰角是 30°，然后她沿着坡度是 i＝1∶1（即 tan∠CED＝1∶1）的斜坡步行 15 分钟到达 C 处，此时，测得 A 点的俯角是 15°．已知小丽的步行速度是18 米/分，图中点 A， B，E，D，C 在同一平面内，且点 D，E，B 在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡 AE 的长度．（参考数据： ≈1.41，结果精确到 0.1 米）
典例精讲
[解析]过点 E 作 EF⊥AC 交 AC 于点 F． 在 Rt△CDE 中，
∵∠D＝90°， ，∴∠CED＝45°．
∵CK∥DB，∴∠KCE＝∠CED＝45°，
∴∠ECF＝∠KCE－∠KCF＝30°．
∵EF⊥AC，∴∠EFC＝∠EFA＝90°．
在 Rt△CFE 中，
又∵CE＝18×15＝270（米），∴EF＝135 米．
∵∠CEF＝90°－∠ECF＝60°，∠AEB＝30°，
典例精讲
∴∠AEF＝180°－∠AEB－∠CEF－∠CED＝45°，
∴在 Rt△AEF 中，EF＝AE×cos ∠AEF＝ AE，
∴AE＝ 2 EF＝135 ≈190.4（米）．
答：娱乐场地所在山坡 AE 的长度约为 190.4 米．
变式训练
4．为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在对城区沱江河段进行区域性景观打造，某试工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点 A，再在河这边沿河边取两点 B，C，在 B 处测得点 A 在北偏东 30°方向上，在点 C 处测得点 A 在西北方向上，量得 BC 长为 200米．
求小河的宽度（结果保留根号）．
变式训练
解：过点A作AD⊥BC于点D．
根据题意，得∠ABC＝90°－30°＝60°，∠ACD＝45°．∴∠CAD＝45°，
∴∠ACD＝∠CAD，∴AD＝CD，∴BD＝BC－CD＝200－AD．
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝ ，
∴AD＝BD·tan∠ABD＝(200－AD)·tan60°＝ (200－AD)，
答：该河段的宽度为（300－100 ）米．
区校真题
1．（龙岗）若锐角 A 满足 cos A＝ ，则∠A 的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．（福田）如图，一棵珍贵的树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，现采取以下措施：在地面上选取一点 C，测得∠BCA＝37°，AC＝28 米，∠BAC＝45°，则这棵树的高 AB 约为（ ）（参考数据： ）
A．14 米 B．15 米 C．17 米 D．18 米
A
C
区校真题
3．（宝安）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点 D，如果 BC＝4，sin∠DBC＝ ，那么线段 AB 的长是__________．
4．（福田）一个长方体木箱沿坡度 l＝1∶ 坡面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3 m，已知木箱高BE＝ m，则木箱端点 E 距地面 AC 的高度 EF 为_____________m．
3
区校真题
5．（罗湖）为庆祝中华人民共和国成立 70 周年，深圳举办了灯光秀，某数学兴趣小组为测量“平安金融中心”AB 的高度，他们在地面 C 处测得另一幢大厦 DE 的顶部 E 处的仰角为 32°，测得“平安中心”AB的顶部 A 处的仰角为 44°．登上大厦 DE 的顶部 E 处后，测得“平安中心”AB 的顶部 A 处的仰角为 60°（如图所示）．已知 C，D，B 三点在同一水平直线上，且 CD＝400 米，求平安金融中心 AB 的高度．
（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，tan44°≈0.99， ）
区校真题
解：过点E作EF∥BC交AB于点F，如图所示：
∵DE＝CD·tan 32°＝400×tan 32°，
设BD＝x，则AB＝BC·tan 44°＝(400＋x)tan 44°，
∴AF＝AB－BF＝AB－DE＝(400＋x)tan 44°－400×tan 32°．
∴ ＝tan 60°，分别把AF，BF代入上式可得出x值，即x＝200．
把x值代入AB＝BC·tan 44°＝(400＋x)tan 44°中，得AB＝600×tan 44°＝594．
故平安金融中心AB的高度为594 m．
区校真题
6．（2020 龙华二模，20）在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图 1 是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏 AB 可以绕 O 点旋转一定角度．研究表明：当眼睛 E 与显示屏顶端 A 在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个 18°俯角（即望向屏幕中心 P 的的视线 EP 与水平线 EA 的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端 A 与底座 C 的连线 AC 与水平线 CD 垂直时（如图 2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽 AB 为 32 cm．
（1）求眼睛 E 与显示屏顶端 A 的水平距离 AE；（结果精确到 1 cm）
区校真题
（2）求显示屏顶端 A 与底座 C 的距离 AC．（结果精确到 1 cm）
（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9， ）
区校真题
解：（1）由已知得AP＝BP＝ AB＝16 cm，
在Rt△APE中， ，
答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为53 cm．
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．
∵∠EAB＋∠BAF＝90°，∠EAB＋∠AEP＝90°，∴∠BAF＝∠AEP＝18°．
在Rt△ABF中，AF＝AB·cos∠BAF＝32×cos 18°≈32×0.9≈28.8，
BF＝AB·sin∠BAF＝32×sin 18°≈32×0.3≈9.6．
∵BF∥CD，∴∠CBF＝∠BCD＝30°．
区校真题
∴AC＝AF＋CF＝28.8＋5.44≈34(cm)．
答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34 cm．
中考链接
1．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是 BC 边上的中线，∠C＝45°，sin B＝ ，AD＝1． （1）求 BC 的长；
（2）求 tan∠DAE 的值．
解：（1）∵AB是BC边上的高，∴AD⊥BC．
在Rt△ABD中，∵sin B＝
又∵AD＝1，∴AB＝3，∴BD＝
在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1，∴BC＝ ＋1．
（2）∵AE是BC边上的中线，
中考链接
2．如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65°方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45°方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远？（结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可）
中考链接
解：如图，过点P作PD⊥AB于点D．
由题意知∠DPB＝∠DBP＝45°．
在Rt△PBD中， ，∴PB＝ PD．
∵点A在点P的北偏东65°方向上，∴∠APD＝90°－65°＝25°．
在Rt△PAD中，cos25°＝ ．
∴PD＝PAcos25°＝80cos25°（海里），∴PB＝80 cos25°（海里）．
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北师大版 九年级上册
知识清单
1．锐角三角函数
△ABC 中，∠C＝90°．∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tan A，即 tan A＝____________；
∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦：记作 sin A，即 sin A＝__________； ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦：记作 cos A，即 cos A＝_________； 2．30°，45°，60° 角的三角函数值
知识清单
1
知识清单
3．仰角和俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做________，视线在水平线下方的叫做________．
4．坡度和坡角
通常把坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 之比叫做________，用字母 i 表示，即 i＝________．把坡面与水平面的夹角叫做________，记作∠α，于是 i＝___＝tan α，显然，坡度越大，α 角越大，坡面就越陡．
仰角
俯角
坡度
坡角
典例精讲
类型之一 锐角三角函数的有关计算
【例 1】如图，在△ABC 中，D 是 AB 的中点，DC⊥AC，且 tan∠BCD＝ ，求 tan A．
[解析]过点 D 作 DE⊥CD，交 BC 于点 E． 在 Rt△CDE 中，
故可设 DE＝x，则 CD＝3x．
又∵CD⊥AC， ∴DE∥AC．
典例精讲
又∵D 为 AB 的中点，
∴E 为 BC 的中点．
∴AC＝2DE＝2x． 在 Rt△ACD 中，∠ACD＝90°，
AC＝2x，CD＝3x， ∴tan A＝ CD
变式训练
1．如图，在△ABC 中，AC＝2， ，求 cos A 的值．
解：过点C作CD⊥AB于点D．
在Rt△BDC中，
又∵在Rt△ACD中，AC＝2，
典例精讲
类型之二 特殊角的三角函数值
【例 2】计算：
[解析]原式＝
变式训练
2．先化简，再求代数式 的值，其中 a＝6 tan 60°－2
解：原式＝
典例精讲
类型之三 解直角三角形
【例 3】如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求 BC 的长．
[解析]∵AD⊥BC 于点 D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°． 在 Rt△ABD 中，
∵AB＝8，∠ABD＝30°，
在 Rt△ADC 中，
∵∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，
∴DC＝AD＝4．
变式训练
3．如图，在△ABC 中，已知 AC＝2，∠B＝30°，∠A＝120°，求△ABC 的面积（结果可保留根号）．
解：如图，过点C作CD⊥AB，与BA的延长线相交于点D．
∵AB＝2，∠B＝30°，∠CAB＝120°，
∴∠CAD＝60°，∠ACB＝∠B＝30°，∴AB＝AC＝2．
在Rt△ACD中，
典例精讲
类型之四 三角函数的应用
【例 4】如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡 AE 的长度，她先在山脚下点 E 处测得山顶 A 的仰角是 30°，然后她沿着坡度是 i＝1∶1（即 tan∠CED＝1∶1）的斜坡步行 15 分钟到达 C 处，此时，测得 A 点的俯角是 15°．已知小丽的步行速度是18 米/分，图中点 A， B，E，D，C 在同一平面内，且点 D，E，B 在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡 AE 的长度．（参考数据： ≈1.41，结果精确到 0.1 米）
典例精讲
[解析]过点 E 作 EF⊥AC 交 AC 于点 F． 在 Rt△CDE 中，
∵∠D＝90°， ，∴∠CED＝45°．
∵CK∥DB，∴∠KCE＝∠CED＝45°，
∴∠ECF＝∠KCE－∠KCF＝30°．
∵EF⊥AC，∴∠EFC＝∠EFA＝90°．
在 Rt△CFE 中，
又∵CE＝18×15＝270（米），∴EF＝135 米．
∵∠CEF＝90°－∠ECF＝60°，∠AEB＝30°，
典例精讲
∴∠AEF＝180°－∠AEB－∠CEF－∠CED＝45°，
∴在 Rt△AEF 中，EF＝AE×cos ∠AEF＝ AE，
∴AE＝ 2 EF＝135 ≈190.4（米）．
答：娱乐场地所在山坡 AE 的长度约为 190.4 米．
变式训练
4．为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在对城区沱江河段进行区域性景观打造，某试工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点 A，再在河这边沿河边取两点 B，C，在 B 处测得点 A 在北偏东 30°方向上，在点 C 处测得点 A 在西北方向上，量得 BC 长为 200米．
求小河的宽度（结果保留根号）．
变式训练
解：过点A作AD⊥BC于点D．
根据题意，得∠ABC＝90°－30°＝60°，∠ACD＝45°．∴∠CAD＝45°，
∴∠ACD＝∠CAD，∴AD＝CD，∴BD＝BC－CD＝200－AD．
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝ ，
∴AD＝BD·tan∠ABD＝(200－AD)·tan60°＝ (200－AD)，
答：该河段的宽度为（300－100 ）米．
区校真题
1．（龙岗）若锐角 A 满足 cos A＝ ，则∠A 的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．（福田）如图，一棵珍贵的树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，现采取以下措施：在地面上选取一点 C，测得∠BCA＝37°，AC＝28 米，∠BAC＝45°，则这棵树的高 AB 约为（ ）（参考数据： ）
A．14 米 B．15 米 C．17 米 D．18 米
A
C
区校真题
3．（宝安）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点 D，如果 BC＝4，sin∠DBC＝ ，那么线段 AB 的长是__________．
4．（福田）一个长方体木箱沿坡度 l＝1∶ 坡面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3 m，已知木箱高BE＝ m，则木箱端点 E 距地面 AC 的高度 EF 为_____________m．
3
区校真题
5．（罗湖）为庆祝中华人民共和国成立 70 周年，深圳举办了灯光秀，某数学兴趣小组为测量“平安金融中心”AB 的高度，他们在地面 C 处测得另一幢大厦 DE 的顶部 E 处的仰角为 32°，测得“平安中心”AB的顶部 A 处的仰角为 44°．登上大厦 DE 的顶部 E 处后，测得“平安中心”AB 的顶部 A 处的仰角为 60°（如图所示）．已知 C，D，B 三点在同一水平直线上，且 CD＝400 米，求平安金融中心 AB 的高度．
（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，tan44°≈0.99， ）
区校真题
解：过点E作EF∥BC交AB于点F，如图所示：
∵DE＝CD·tan 32°＝400×tan 32°，
设BD＝x，则AB＝BC·tan 44°＝(400＋x)tan 44°，
∴AF＝AB－BF＝AB－DE＝(400＋x)tan 44°－400×tan 32°．
∴ ＝tan 60°，分别把AF，BF代入上式可得出x值，即x＝200．
把x值代入AB＝BC·tan 44°＝(400＋x)tan 44°中，得AB＝600×tan 44°＝594．
故平安金融中心AB的高度为594 m．
区校真题
6．（2020 龙华二模，20）在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图 1 是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏 AB 可以绕 O 点旋转一定角度．研究表明：当眼睛 E 与显示屏顶端 A 在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个 18°俯角（即望向屏幕中心 P 的的视线 EP 与水平线 EA 的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端 A 与底座 C 的连线 AC 与水平线 CD 垂直时（如图 2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽 AB 为 32 cm．
（1）求眼睛 E 与显示屏顶端 A 的水平距离 AE；（结果精确到 1 cm）
区校真题
（2）求显示屏顶端 A 与底座 C 的距离 AC．（结果精确到 1 cm）
（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9， ）
区校真题
解：（1）由已知得AP＝BP＝ AB＝16 cm，
在Rt△APE中， ，
答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为53 cm．
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．
∵∠EAB＋∠BAF＝90°，∠EAB＋∠AEP＝90°，∴∠BAF＝∠AEP＝18°．
在Rt△ABF中，AF＝AB·cos∠BAF＝32×cos 18°≈32×0.9≈28.8，
BF＝AB·sin∠BAF＝32×sin 18°≈32×0.3≈9.6．
∵BF∥CD，∴∠CBF＝∠BCD＝30°．
区校真题
∴AC＝AF＋CF＝28.8＋5.44≈34(cm)．
答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34 cm．
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1．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是 BC 边上的中线，∠C＝45°，sin B＝ ，AD＝1． （1）求 BC 的长；
（2）求 tan∠DAE 的值．
解：（1）∵AB是BC边上的高，∴AD⊥BC．
在Rt△ABD中，∵sin B＝
又∵AD＝1，∴AB＝3，∴BD＝
在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1，∴BC＝ ＋1．
（2）∵AE是BC边上的中线，
中考链接
2．如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65°方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45°方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远？（结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可）
中考链接
解：如图，过点P作PD⊥AB于点D．
由题意知∠DPB＝∠DBP＝45°．
在Rt△PBD中， ，∴PB＝ PD．
∵点A在点P的北偏东65°方向上，∴∠APD＝90°－65°＝25°．
在Rt△PAD中，cos25°＝ ．
∴PD＝PAcos25°＝80cos25°（海里），∴PB＝80 cos25°（海里）．
谢谢
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