人教版数学九年级上册 第24章 24.3正多边形和圆同步测试试题（一）（Word版 含解析）

正多边形和圆同步测试试题（一）
一．选择题
1．半径为R的圆内接正六边形边长为（　　）
A．
R
B．R
C．
R
D．2R
2．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a等于（　　）
A．
cm
B．2cm
C．2cm
D．
cm
3．如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（　　）
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
4．正六边形具备而菱形不具备的性质是（　　）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．每条对角线平分一组对边
5．如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别交于点M，N，则下列结论正确的是（　　）
A．EM：AE＝2：
B．MN：EM＝：
C．AM：MN＝：
D．MN：DC＝：2
6．如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
7．正六边形的边心距为，这个正六边形的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．12
8．第六届世界数学团体锦标赛于2015年11月25日至11月29日在北京举行，其会徽如图所示，它的内围与外围分别是由七个与四边形ABCD全等的四边形和七个与四边形BEFC全等的四边形依次环绕而成的正七边形．设AD＝a，AB＝b，CF＝c，EF＝d，则该会徽内外两个正七边形的周长之和为（　　）
A．7（a+b+c﹣d）
B．7（a+b﹣c+d）
C．7（a﹣b+c+d）
D．7（b+c+d﹣a）
9．用一枚直径为25mm的硬币完全覆盖一个正六边形，则这个正六边形的最大边长是（　　）
A．
mm
B．
mm
C．
mm
D．
mm
10．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（　　）
A．△OAB是等边三角形
B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C．OC平分弦AB
D．∠BAC＝30°
二．填空题
11．如图，⊙O的半径为1，作两条互相垂直的直径AB、CD，弦AC是⊙O的内接正四边形的一条边．若以A为圆心，以1为半径画弧，交⊙O于点E，F，连接AE、CE，弦EC是该圆内接正n边形的一边，则该正n边形的面积为　
　．
12．如图，圆O的周长是1cm，正五边形ABCDE的边长是4cm，圆O从A点出发，沿A→B→C→D→E→A顺时针在正五边形的边上滚动，当回到出发点时，则圆O共滚动了　
　周．
13．如图，⊙O的半径为，以⊙O的内接正八边形的一边向⊙O内作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积为　
　．
14．如图，A，B，C是⊙O上顺次三点，若AC，AB，BC分别是⊙O内接正三角形，正方形，正n边形的一边，则n＝　
　．
15．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE边长是6，则它的外接圆心P的坐标是　
　．
三．解答题
16．已知正方形的面积为2平方厘米，求它的半径长、边心距和边长．
17．如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧上任意一点，求证：为定值．
18．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为10；求图中阴影部分的面积．
19．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接BM，CM．
（1）求证：BM＝CM；
（2）求∠BOM的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：如图，ABCDEF是⊙O的内接正六边形，连接OA，OB，
则三角形AOB是等边三角形，所以AB＝OA＝R．
故选：B．
2．【解答】解：如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于D，
由正六边形，得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，
∴∠BCD＝∠BAC＝30°，
由AC＝3，得CD＝1.5，
Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，
∴AB＝2BD＝a，
∴AD＝＝a，
即a＝1.5，
∴a＝（cm），
故选：A．
3．【解答】解：如图，
∵AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，
∴OA＝OE＝AF＝EF，
∴四边形AOEF是平行四边形，
同理：四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形FABOD都是平行四边形，共6个，
故选：C．
4．【解答】解：A、正六边形和菱形均具有，故不正确；
B、正六边形和菱形均具有，故不正确；
C、正六边形具有，而菱形不具有，故正确；
D、正六边形和菱形均具有，故不正确；
故选：C．
5．【解答】证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴DE＝AE＝AB，∠AED＝∠EAB＝108°，
∴∠ADE＝∠AEM＝36°，
∴△AME∽△AED，
∴，
∴AE2＝ADAM，
∵AE＝DE＝DM，
∴DM2＝ADAM，
设AE＝DE＝DM＝2，
∴22＝AM（AM+2），
∴AM＝﹣1，（负值设去），
∴EM＝BN＝AM＝﹣1，AD＝+1，
∵BE＝AD，
∴MN＝BE﹣ME﹣BN＝3﹣，
∴MN：CD＝：2，
故选：D．
6．【解答】解：如图，圆心角为∠1，
∵五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°，
∴五边形的每一个内角为：540°÷5＝108°，
∴∠1＝108°×2﹣180°＝216°﹣180°＝36°，
∵360°÷36°＝10，
∵360°÷36°＝10，
∴他要完成这一圆环共需10个全等的五边形．
∴要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是：10﹣3＝7．
故选：C．
7．【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．
在Rt△AOG中，OG＝，∠AOG＝30°，
∵OG＝OAcos
30°，
∴OA＝＝＝2，
∴这个正六边形的面积＝6S△OAB＝6××2×＝6．
故选：C．
8．【解答】解：如图，∵它的内围与外围分别是由七个与四边形ABCD全等的四边形和七个与四边形BEFC全等的四边形依次环绕而成的正七边形，
∴AM＝BM﹣AB＝AD﹣AB＝a﹣b，FN＝EF+EN＝EF+CF＝c+d，
∴内外两个正七边形的周长之和为7（a﹣b）+7（c+d）＝7（a﹣b+c+d），
故选：C．
9．【解答】解：根据题意得：圆内接半径r为mm，如图所示：
则OB＝，
∴BD＝OBsin30°＝×＝（mm），
则BC＝2×＝（cm），
完全覆盖住的正六边形的边长最大为mm．
故选：A．
10．【解答】解：∵OA＝AB＝OB，
∴△OAB是等边三角形，选项A正确，
∴∠AOB＝60°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°，AC＝BC，弧AC＝弧BC，
∴＝12，∠BAC＝∠BOC＝15°，
∴选项B、C正确，选项D错误，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：如图，连接OE，
根据题意可知：
AB⊥CD，AE＝AO＝EO，
∴∠AOC＝90°，∠AOE＝60°，
∴∠EOC＝30°，
∴EC是该圆内接正12边形的一边，
∵△COE是顶角为30度的等腰三角形，
作EG⊥OC于点G，
∴EG＝OE＝，
∴正12边形的面积为：12S△COE＝12×OCEG＝12×1×＝3．
故答案为：3．
12．【解答】解：圆O从A点出发，沿A→B→C→D→E→A顺时针在正五边形的边上滚动，
∵圆O的周长是1cm，正五边形ABCDE的边长是4cm，
∴圆在边上转了4×5＝20圈，
而圆从一边转到另一边时，圆心绕五边形的一个顶点旋转了五边形的一个外角的度数，
∴圆绕五个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，
∴圆回到原出发位置时，共转了21圈．
故答案为：21．
13．【解答】解：连接OA、OD，过A作AE⊥OD于E，如图所示：
则∠AEO＝∠AED＝90°，
∵∠AOD是正八边形的中心角，
∴∠AOD＝＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE＝OE＝OA＝1，
∴DE＝OD﹣OE＝﹣1，
∴AD2＝AE2+DE2＝1+（﹣1）2＝4﹣2，
∴正方形ABCD的面积＝AD2＝4﹣2，
故答案为：4﹣2．
14．【解答】解：如图，连接OA，OC，OB．
∵若AC、AB分别是⊙O内接正三角形、正方形的一边，
∴∠AOC＝120°，∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，
由题意得30°＝，
∴n＝12，
故答案为：12．
15．【解答】解：连接PA，PA，
∵正六边形OABCDE的外接圆心是P，
∴∠OPA＝＝60°，PO＝PA，
∴△POA是等边三角形，
∴PO＝PA＝OA＝6，
过P作PH⊥OA于H，则∠OPH＝∠OPA＝30°，OH＝OA＝3，
∴PH＝＝＝3，
∴P的坐标是（3，3），
故答案为：（3，3）．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】解：∵正方形的面积为2，
∴正方形的边长为AB＝，
边心距OC＝AB＝，
对角线长为2，
∴半径为1，
∴正方形的半径为1，边心距为，边长为．
17．【解答】解：延长PA到E，使AE＝PC，连接BE，
∵∠BAE+∠BAP＝180°，∠BAP+∠PCB＝180°，
∴∠BAE＝∠PCB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
在△ABE和△CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，
∴∠ABE+∠ABP＝∠ABP+∠CBP＝90°，
∴△BEP是等腰直角三角形，
∴PA+PC＝PE＝PB．
即：＝，
∴为定值．
18．【解答】解：连接CO、DO，
∴S阴影部分＝6（S扇形OCD﹣S正三角形OCD）
＝6（﹣25）
＝100π﹣150．
19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴＝，
∵M为的中点，
∴＝，
∴＝，
∴BM＝CM；
（2）解：连接OA、OB、OM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB＝90°，
∵M为的中点，
∴∠AOM＝45°，
∴∠BOM＝∠AOB+∠AOM＝135°．