5.1 任意角与弧度制 同步练习（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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5.1
任意角与弧度制
一、单选题（本大题共16小题，每小题5分，共80分。）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，请用2B铅笔在答题卷上将选定的答案代号涂黑。
1.在
的范围内，与
终边相同的角是（???
）
A.?330°?????????????????????????????????????B.?210°?????????????????????????????????????C.?150°?????????????????????????????????????D.?30°
2.若角α是第二象限角，则
是(??
)
A.?第一象限角????????????????B.?第二象限角????????????????C.?第一或第三象限角????????????????D.?第二或第四象限角
3.扇形的中心角为120°，半径为
，则此扇形的面积为（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
4.与40°角终边相同的角是(???
)
A.?
，
??????????????????????????????????B.?
，
C.?
，
???????????????????????????????????D.?
，
5.下列说法中，正确的是（??
）
A.?第二象限的角是钝角???????????????????????????????????????????B.?第三象限的角必大于第二象限的角
C.?－831°是第二象限角??????????????????????????????????????????D.?－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角
6.半径为
，圆心角为
的扇形面积为（??
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
7.若角α满足α＝
(k∈Z)，则α的终边一定在(???
)
A.?第一象限或第二象限或第三象限?????????????????????????B.?第一象限或第二象限或第四象限
C.?第一象限或第二象限或x轴非正半轴上?????????????????D.?第一象限或第二象限或y轴非正半轴上
8.如图所示，扇形OAB中，弦AB的长等于半径，则弦AB所对的圆心角的弧度数
满足（???
）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?以上都不是
9.英国浪漫主义诗人
(雪莱)在《西风颂》结尾写道“
”春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的
节气.它将黄道(地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆)分为
等份，每等份为一个节气.2019年12
月22日为冬至，经过小寒和大寒后，便是立春.则从冬至到次年立春，地球公转的弧度数约为（???
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
10.下列说法正确的是（????
）
A.?第一象限的角一定是正角????????????????????????????????????B.?三角形的内角不是锐角就是钝角
C.?锐角小于90
????????????????????????????????????????????????????D.?终边相同的角相等
11.设
为小于
的角}，
为第一象限角}，则
等于（???
）
A.?
为锐角}????????????????????????????????????????????????????????B.?
为小于
的角}
C.?
为第一象限角}?????????????????????????????????????????????D.?
12.下列转化结果错误的是（????
）
A.?67
30'化成弧度是
B.?
化成角度是-600
C.?-150
化成弧度是
D.?
化成角度是15
13.在
中与
终边相同的角有(???
)
A.?
个?????????????????????????????????????B.?
个?????????????????????????????????????C.?
个?????????????????????????????????????D.?
个
14.如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（???
）
A.?2?????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
15.如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（???
）
A.?
B.?
C.?
D.?
16.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是(　　)
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
17.若时针走过2小时40分，则分针走过的角是________.
18.大于
且终边与角
重合的负角是________.
19.2弧度的圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所夹的扇形面积的数值是________.
20.已知半径为1的圆
上的一段圆弧
的长为3，则圆心角
________（用弧度制表示），扇形
的面积为________．
21.
的弧度数为________．
三、解答题（本大题有4小题，共40分，各小题都必须写出解答过程）
22.已知角
.
（Ⅰ）把角
写成
（
）的形式，并确定角
所在的象限；
（Ⅱ）若角
与
的终边相同，且
，求角
.
23.已知扇形的圆心角为
（
），半径为R．
（1）若
，
，求圆心角
所对的弧长；
（2）若扇形的周长是
，面积是
，求
和R．
24.在与
角终边相同的角中，求满足下列条件的角．
（1）最大的负角；
（2）最小的正角；
（3）在
内的角．
25.已知扇形AOB的周长为8．
（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小。
（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB。
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
【解析】解:因为
,
则在
的范围内，与
终边相同的角是
,
故答案为：B.
【分析】由
，由终边相同的角的表示
，则
终边相同，再判断即可得解.
2.【答案】
C
【解析】∵α是第二象限角，
∴
＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∴
＋kπ＜
＜
＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，
是第一象限角；
当k为奇数时，
是第三象限角
故答案为：C
【分析】由角α是第二象限角，得到
＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，，由此能求出-
是第一或第三象限角．
3.【答案】
A
【解析】因为扇形的中心角为120°
即扇形的圆心角弧度数为
则扇形的弧长为
则扇形面积为
故答案为：A
【分析】将扇形的中心角转换为弧度，先求得扇形的弧长，即可求得扇形的面积．
4.【答案】
C
【解析】与40°角终边相同的角是
，
.
故答案为：C.
【分析】直接利用终边相同的定义得到答案.
5.【答案】
D
【解析】对于A，取第二象限角
，但该角不为钝角；
对于B，取第三象限角
及第二象限角
，可知第三象限的角不一定大于第二象限的角；
对于C，
，可知其终边在第三象限；
对于D，
，
，
故
，
，
终边相同，
故答案为：D.
【分析】利用钝角和第二象限角的关系、钝角的定义、第二象限角和第三象限角的定义以及终边相同的角的定义，从而找出正确的选项。
6.【答案】
C
【解析】由题意得，扇形面积
故选：C
【分析】根据扇形的面积公式：
即得解.
7.【答案】
D
【解析】当
时，
，终边位于第一象限
当
时，
，终边位于第二象限
当
时，
，终边位于
轴的非正半轴上
当
时，
，终边位于第一象限
综上可知，则
的终边一定在第一象限或第二象限或
轴的非正半轴上
故答案为：
【分析】利用对k取特殊值进行分类讨论的方法求出角的值，从而判断出角α的终边所在的象限和在坐标轴上的位置。
8.【答案】
A
【解析】由题意,
,故
是正三角形,即
.
故答案为：A.
【分析】由弦
的长等于半径,可知
是正三角形,进而可求得角
的弧度数.
9.【答案】
A
【解析】解：由题可得每一等份为
，
从冬至到次年立春经历了
等份，即
.
故答案为：A.
【分析】找到每一等份的度数，进而可得答案．
10.【答案】
C
【解析】
是第一象限角，但不是正角，
错误；
当三角形一个内角为
时，该内角既不是锐角也不是钝角，
错误；
锐角
的范围为
，
正确；
与
终边相同，但不相等，
错误；
故选：
.
【分析】通过反例可排除
，再根据锐角定义可知
正确.
11.【答案】
D
【解析】
为小于
的角}，
为第一象限角}
则
故答案为：
【分析】直接利用交集的运算法则得到答案.
12.【答案】
C
【解析】对于A，
，正确；对于B，
，正确；对于C，
，错误；对于D，
，正确.
故答案为：C.
【分析】根据两个基本等式：
，逐项分析即可.
13.【答案】
D
【解析】与
终边相同的角为
.当
时，
，故在
中与
终边相同的角有
个，所以选D.
【分析】先写出与
终边相同的角的表达式，然后对
赋值，求得在
范围内角的个数.
14.【答案】
D
【解析】连接圆心与弦的中点，则以弦心距，弦长的一半和半径长为长度的线段构成一个直角三角形，半弦长为2，其所对的圆心角也为2，故半径长为
.这个圆心角所对弧长为
.
故选：D
【分析】利用半弦长，弦心距，半径组成直角三角形得半径长度，再利用弧长公式求解
15.【答案】
C
【解析】解：在
间阴影部分区域中边界两条终边表示的角分别为
，
.
所以阴影部分的区域在
间的范围是
.
所以终边在阴影部分区域的角的集合为：
.
故选：C.
【分析】在
间阴影部分区域表示的角的范围是
，然后再写出终边落在阴影部分的区域内的角的集合
16.【答案】
A
【解析】将表的分针拨慢10分钟，则分针逆时针转过60°，即分针转过的角的弧度数是
.
故答案为：A.
【分析】由已知将表的分针拨慢10分钟，得到分针逆时针转过60°，利用角度制与弧度制的互化即可得结果.
二、填空题
17.【答案】
-960°
【解析】时针走过60分钟，则分针走过的角为-360°，
故当时针走过2小时40分，则分针走过的角为
.
故答案为：-960°.
【分析】时针走过60分钟，则分针走过的角为-360°，据此可计算所求的角度.
18.【答案】
-285°
【解析】大于
且终边与角
重合的负角是-285°.
故答案为：-285°
【分析】根据终边相同的角的概念进行判断.
19.【答案】
【解析】如图，
在
中，
，
，由
，得
，
所对的弧长
，扇形的面积
.
故答案为：
.
【分析】计算
，
所对的弧长
，计算面积得到答案.
20.【答案】
3；
【解析】由题意知，弧长
，半径
，所以
.
所以：
，
故答案为：3，
.
【分析】由扇形的弧长及面积公式直接求解
21.【答案】
【解析】因为
，
所以
，
故答案为：
【分析】根据弧度与角度互化公式即可求解.
三、解答题
22.【答案】
解：（Ⅰ）
,
,
.
角
与
终边相同,
角
是第二象限角.
（Ⅱ）
角
与
的终边相同,
设
.
,
由
,可得
.
又
,
.
【分析】（Ⅰ）根据任意角的转化,即可把角
写成
的形式.进而根据
的值确定
所在的象限;（Ⅱ）根据
与
的终边相同且
,即可确定
的值.
23.【答案】
（1）解：∵
，
∴弧长
（2）解：由题意可得：
，
，
解得
，
．
【分析】（1）根据扇形的弧长公式
计算即可（2）根据周长及面积联立方程组，求解即可.
24.【答案】
（1）解：与
角终边相同的角为
，
.
由
且
，可得
，故所求的最大负角为
（2）解：由
且
，可得
，故所求的最小正角为
（3）解：由
且
，可得
，故所求的角为
【分析】写出与
角终边相同的角为
，
.（1）解不等式
，得出整数k的值，代入可求得最大负角；（2）解不等式
，得出整数k的值，代入可求得最小正角；（3）解不等式
，得出整数k的值，代入可得出在
内与角
终边相同的角.
25.【答案】
（1）解：扇形半径为
,扇形弧长为
，周长为
,
所以
,解得
?
或
，圆心角
,或是
（2）解：根据
，
，得到
,
,当
时，
，此时
，那么圆心角
，
那么
，所以弦长
【分析】（1）根据扇形面积公式，和扇形周长公式，
，分别解出弧长和半径，然后利用原型机的公式
；（3）将面积转化为关于半径
的二次函数，同时根据实际问题得到
的范围，利用二次函数求最值，同时得到取得最大值时的
，然后利用三角形由圆心和弦的中点连线与弦垂直，利用直角三角形求弦长．
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