第七章 平行线的证明
2 定义与命题
第1课时 命题
1．下列语句中，不是命题的是(
)
A．同角的补角相等
B．对顶角相等
C．不是对顶角的两个角不相等
D．连接A，B两点
2．下列语句：
①角的大小与边的长短有关；
②两条直线被第三条直线所截得的同位角相等；
③两点确定一条直线；
④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．
其中错误的语句是_______．(填序号)
3．命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的条件是________
______________________，结论是_________________
__．
4．判断下列语句是否为命题．
(1)动物都需要水；
(2)玫瑰花是动物；
(3)过直线l外一点作l的平行线；
(4)美丽的天空；
(5)你的作业做完了吗？
(6)如果a＞b，a＞c，那么b＝c.
5．下列命题的条件是什么？结论是什么？
(1)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
(2)等腰三角形的两底角相等；
(3)如果a＋b＝b＋c，那么a＝c；
(4)无论n为怎样的自然数，式子n2－n＋11的值都是质数．
6．[2018春·赣县区期末]先把下列两个命题分别改写成“如果……那么……”的形式，再判断该命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．
(1)同旁内角互补，两直线平行；
(2)一个角的补角一定是钝角．
7．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.
其中是真命题的是__①②④__(填写序号)．
8．判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，举一个反例．
(1)若a2＞b2，则a＞b；
(2)同位角相等，两直线平行；
(3)一个角的余角小于这个角．
参考答案
1．D
2．①②④
3．两条直线垂直于同一条直线
这两条直线平行
4．解：通过题中所给出的语句知(1)、(2)、(6)对事物作出了明确的判断，它们是命题，(3)、(4)、(5)不是命题．
5．解：(1)条件：两条直线平行，并且都被第三条直线所截．
结论：同位角相等．
(2)条件：一个三角形是等腰三角形．
结论：该三角形的两底角相等．
(3)条件：a＋b＝b＋c.
结论：a＝c.
(4)条件：n为任意的自然数．
结论：式子n2－n＋11的值都是质数．
6．解：(1)如果两条直线被第三条直线所截得的同旁内角互补，那么这两条直线平行．
是真命题．
(2)如果一个角是另一个角的补角，那么这个角一定是钝角．
是假命题．
如：设∠1＝60°，∠2＝120°，∠1是∠2的补角，但∠1不是钝角．
7．①②④
8．解：(1)假命题．例如：a＝－3，b＝0.
∵9＞0，即a2＞b2，但是－3＜0，即a＜b.
(2)真命题．
(3)假命题．例如：∠α＝20°，
则∠α的余角为70°，显然70°＞20°，
此时，∠α的余角大于∠α.第七章 平行线的证明
2 定义与命题
第2课时 证明
1．填空，完成下列说理过程．
如图，DP平分∠ADC交AB于点P，∠DPC＝90°.如果∠1＋∠3＝90°，那么∠2和∠4相等吗？请说明理由．
解：∵DP平分∠ADC，
根据____________________，
∴∠3＝∠____．
∵∠APB＝________，且∠DPC＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°.
又∵∠1＋∠3＝90°，
根据________________，∴∠2＝∠3，
∴∠2＝∠4.
2．如图，AB∥CD，CD∥EF.求证：∠B＋∠BDF＋∠F＝360°.(请你在横线上填入合适的推理及理由)
证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠____＋∠________＝180°(________________________)．
∵CD∥EF(已知)，
∴∠________＋∠__F__＝180°(_________________________)，
∴∠B＋∠BDC＋∠CDF＋∠F＝360°(________________)．
∵∠BDF＝∠BDC＋∠CDF(已知)，
∴∠B＋∠BDF＋∠F＝360°(____________)．
3．请从以下三个等式中，选出一个等式填在横线上，并加以证明．
等式：AB＝CD；∠A＝∠C；∠AEB＝∠CFD.
已知：AB∥CD，BE＝DF，____________________．
求证：△ABE≌△CDF.
4．(1)如图1，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF.求证：△AFC≌△DEB.
(2)如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，图3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
图1
图2 图3
5．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE.①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②?③；①③?②；②③?①.
(1)以上三个命题是真命题的为_________________________
________
(直接作答)；
(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题，然后证明)．
参考答案
1．角平分线的定义
180°
同角的余角相等
2．
B
BDC
两直线平行，同旁内角互补
FDC
F
两直线平行，同旁内角互补
等量加等量和不变
等量代换
3．
AB＝CD(答案不唯一)
证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠D.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
4．(1)证明：∵AB＝CD，
∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD.
∵DE∥AF，∴∠A＝∠D.
在△AFC和△DEB中，
∴△AFC≌△DEB(SAS)．
(2)解：在图2，图3中结论依然成立．理由：
如在图3中，∵AB＝CD，
∴AB－BC＝CD－BC，即AC＝BD.
∵AF∥DE，∴∠A＝∠D.
在△AFC和△DEB中，
∴△AFC≌△DEB(SAS)．
5．
(1)①②?③；①③?②；②③?①
(2)解：(2)选择①③?②进行证明．
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD＝AE.北师大版数学八年级上册
第七章 平行线的证明
7．2 定义与命题
同步测试
1．下列命题属于定义的是(
)
A．两点之间线段最短
B．25的平方根是±5
C．同旁内角互补
D．含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程是二元一次方程
2．下列叙述：①两点确定一条直线；②同位
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角相等；③每一个偶数都能被4整除；④点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度．其中是定义的是(
)
A．①
B．②
C．③
D．④
3．下列语句是命题的是(
)
A．连接P，Q两点
B．画一条线段等于已知线段
C．过点M作直线PQ的垂线
D．两条直线相交，有且只有一个交点
4．命题：①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短．其中真命题的个数有(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列命题中：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.
其中真命题有__________．(填写真命题的序号)
6．说明命题“如果a，b，c是△ABC的三边，那么长为a－1，b－1，c－1的三条线段能构成三角形”是假命题的反例可以是(
)
A．a＝2，b＝2，c＝3
B．a＝2，b＝2，c＝2
C．a＝3，b＝3，c＝4
D．a＝3，b＝4，c＝5
7．命题“直角三角形两个锐角互余”的条件是________________________________________．
8．将命题“等腰三角形的两个底角相等”改写
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为“如果……那么……”的形式：如果___________________________________，那么_______________________．
9．要说明命题“如果x>y，那么a2x>a2y”是一个假命题，可以举的反例是__________________．
10．如图所示，O是直线l上一点，∠AOB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝100°，则∠1＋∠2＝80°，根据上述条件用“如果……那么……”的形式写出一个真命题_____________________________________________．
11．写出下列命题的条件与结论．
(1)两条直线平行，同位角相等；
(2)同角或等角的补角相等；
(3)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
12．下列语句哪些是命题？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)对于命题，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论，并指出是真命题还是假命题，并说明为什么是假命题．
(1)小亮今年上八年级，明年一定上九年级；
(2)作一条线段的垂直平分线；
(3)互为倒数的两个数的积为1；
(4)内错角相等；
(5)不等式的两边同时乘以一个数，不等号的方向改变．
答案：
1.
D
2.
D
3.
D
4.
C
5.
①②④
6.
A
7.
一个直角三角形中的两个锐角一个直角三角形中的两个锐角
8.
一个三角形是等腰三角形
它的两个底角相等
9.
a＝0时，a2x＝a2y
10.
点O是直线l上一点，如果∠AOB＝100°，那么∠1＋∠2＝80°
11.
解：(1)条件：两条直线平行，结论：同位角相等
(2)条件：同角或等角的补角，结论：相等
(3)条件：两条直线被第三条直线所截，内错角相等，结论：两条直线平行
12.
解：(2)不是命题，(1)(3)(4)(5)都是命题，(3)是真命题，改写略，理由略
