同底数幂的乘法1

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第十五章
整式的乘除与因式分解
15.1
整式的乘法
第 1 课时 同底数幂的乘法
实验中学数学组
an 表示的意义是什么？其中a、n、an分 别叫做什么
an
底数
幂
指数
an = a × a × a ×… a
n个a
复习
102 × 105 × 10 7 等于多少呢？
问题： 2002年9月，一个国际空间站研究小组发现了太阳系以外的第100颗行星，距离地球约100光年.1光年是指光经过一年所行的距离，光的速度大约是3×105 千米/秒.
一年以3×107 秒计算，第100颗行星与地球之间的距离约为多少千米？
3×105
× 3×107
=9×102×105 × 107
102
×
（千米）


15.1.1 同底数幂的乘法
25表示什么？
10×10×10×10×10 可以写成什么形式
问题：
25 = .

2×2×2×2×2
105
10×10×10×10×10 = .
(乘方的意义）
(乘方的意义）
式子103×102的意义是什么？
思考：
103与102 的积
底数相同
这个式子中的两个因数有何特点？
请同学们先根据自己的理解，解答下列各题。
103 ×102 =
（10×10×10）×（10×10）
=10×10×10×10×10
=105
（乘方的意义）
（乘法结合律）
（乘方的意义）
思考：
请同学们先根据自己的理解，解答下列各题。
103 ×104=
= 10（ ）；
23 ×22 =
= 2（ ）；
（10×10×10）
7
×（10×10×10×10）
5
（2×2×2）×（2×2）
=2×2×2×2×2
a3×a2 = = a（ ） 。
（a a a）
5
.（a a）
= a a a a a
3个a
2个a
5个a
思考：
请同学们观察下面各题左右两边，底数、指数有什么关系？
103 ×104 = 10（ ）
23 ×22 = 2（ ）
a3× a2 = a（ ）
7
5
5
猜想: am · an= (当m、n都是正整数)
　　分组讨论，并尝试证明你的猜想是否正确。
3+2
3+4
3+2
= 10（ ）；
= 2（ ）；
= a（ ） 。
猜想: am · an= (当m、n都是正整数)
am · an =
m个a
n个a
= aa…a
=am+n
(m+n)个a
即
am · an = am+n (当m、n都是正整数)
（aa…a）.
（aa…a）
am+n

（乘方的意义）
（乘法结合律）
（乘方的意义）
真不错，你的猜想是正确的！
am · an = am+n (当m、n都是正整数)
同底数幂相乘，
想一想：
底数　　，指数 。
不变
相加
同底数幂的乘法法则：
　请你尝试用文字概括这个结论。
我们可以直接利用它进行计算。
如 43×45=
43+5
=48
am·an·ap =
am+n+p
（m、n、p都是正整数）
运算形式
运算方法
（同底、乘法）
（底不变、指数相加）
同底数幂的乘法法则
探究：(1)32×33＝(3×3)(3×3×3)
＝3×3×3×3×3＝3( ) .
5
(2)a2·a3＝(
)(
)
a·a
a·a·a
＝
＝a( ).
5
5
(3)a4·a3＝(a·a·a·a) ·(a·a·a)
＝
＝a( ).
7
7
(4)a5·a4＝________.
a9
……
am+n
(5)am·an＝________(m、n 都是正整数)．
不变
相加
归纳：同底数幂相乘，底数________，指数________．
例1.计算：
（1）108 ×103 ； （2）x3 · x5 .
解：（1）108 ×103 =108 +3= 1011
（2）x3 · x5 = x3 + 5 = x8
例2.计算：（1）23×24×25 （2）y · y3 · y5
解：（1）23×24×25=23+4+5=212
（2）y · y3 · y5 = y1+3+5=y9
am · an = am+n (当m、n都是正整数) 　 　am·an·ap = am+n+p （m、n、p都是正整数）
y的指数是1
指数较大时,结果以幂的形式表示.
开头问题中第100颗行星与地球之间的距离约为 千米。
9×102×105 × 107
=9×102+5+7
=9 ×1014（千米）
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
（1）b5 · b5= 2b5 （ ） （2）b5 + b5 = b10 （ ）
(3)x2 ·x3 = x6 ( ) （4）(-7)8 · 7 3 = (-7)11 ( )
（5）a · a6 = a6 ( ) （6）m + m3 = m4 ( )
b5 · b5= b10
b5 + b5 = 2b5
x2 · x3 = x5
(-7)8 · 73 = 711
a · a6 = a7
m + m3 = m + m3
通过上面的练习你认为同底数幂的乘法法则的应用应注意什么
1.同底数幂相乘时,指数是相加的
2.注意 am · an 与am + an的区别
3.不能疏忽指数为1的情况
判
断
×
×
×
×
×
×
1．下列运算正确的是(
)
C
A．a4·a4＝2a4
C．a4·a4＝a8
B．a4＋a4＝a8
D．a4·a4＝a16
B
2．计算－x3·x2的结果是(
A．x5
C．x6
)
B．－x5
D．－x6
5
3．若 a7·am＝a2·a10，则 m＝__________.
思考题
(1) x n · xn+1
(2) (x+y)3 · (x+y)4
1.计算:
解:
x n · xn+1 =
解:
(x+y)3 · (x+y)4 =
am · an = am+n
xn+(n+1)
= x2n+1
公式中的a可代表一个数、字母、式子等。
(x+y)3+4 =(x+y)7
解：(1)1099×10100＝1099+100
＝－a200.
(3)(b＋2)3 ·(b＋2)5·(b＋2)＝(b＋2)3+5+1
同底数幂的乘法法则(重点)
例 1：计算：
(1)1099×10100；
(2)－a·a199；
(3)(b＋2)3· (b＋2)5·(b＋2)．
＝10199.
(2)－a·a199＝－(a·a199)＝－a1+199
＝(b＋2)9.
运用同底数幂的乘法法则计算下
列各式,并用幂的形式表示结果：
2 7 × 23 (2) (-3) 4 × (-3)7
(3) (-5) 2 × (-5)3 ×54 (4) (x+y) 3× (x+y)
解: (1) 2 7 × 23 = 27+3 = 210
(2) (-3) 4 × (-3)7 = (-3) 4+7 = (-3)11
(3) (-5) 2 × (-5)3 × (-5) 4 = (-5) 2+3+4 =(-5)9
(4) (x+y) 3× (x+y)= (x+y) 3+1= (x+y)4
拓展与延伸
(1)长方形地块的长为105m，宽为104 m,
则面积为_________m2
(2)已知:an-3×a2n+1=a10,则n＝________
(3)如果a m =2,an=8,求a m+n的值。
(4)如果2n=2,2m=8,则3n × 3 m =____.
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应用提高、拓展创新
例1 计算：
2－22－23－24－25－26－27－28－29+210.
原式=210－29－28－27－26－25－24－23－22+2
=2·29－29－28－27－26－25－24－23－22+2
=29－28－27－26－25－24－23－22+2
=…
=22+2=6 .
同底数幂乘法法则的逆用
例 2：计算：22 010－22 011.
思路导引：将 2 011拆写成2 010＋1，再逆用同底数幂的乘
法法则．
判断下列各式的计算是否正确,如果错误,指出错的原因,并把它改正过来.
(1)52×53=55
(2)a5+a5=a10
(3)- m3×(-m)3=-m6
(4)a6-a2×a3=a6-a6=0
(5)(a-b)2×(b-a)3=-(b-a)5
课堂训练
1.计算
(1)a3.(-a)4 (2)m5.(-m4)
(3)(-x)3.(-x)2.(-x)5
(4)(x-y)2.(y-x)
2.若m=-2求-m.(-m)4.(-m)3的值
作 业
1．下列运算正确的是(
)
C
A．a4·a4＝2a4
C．a4·a4＝a8
B．a4＋a4＝a8
D．a4·a4＝a16
B
2．计算－x3·x2的结果是(
A．x5
C．x6
)
B．－x5
D．－x6
5
3．若 a7·am＝a2·a10，则 m＝__________.
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C
提炼小结 完善结构
通过本节课的学习，你在知识上有哪些收获，你学到了哪些方法？
幂的意义:
an= a·a· … ·a
n个a
同底数幂的乘法性质：
am · an =am+n(m,n都是正整数）
am· an· ap = am+n+p （m、n、p都是正整数)
注意：同底数幂相乘时
底数 ，指数_________
不变
相加