课题
数学思考（1）
教学目标
1、学生通过画图，由简到繁，发现规律，总结规律，进一步巩固、发展学生找规律的能力，体会找规律对解决问题的重要性。
2、体会一些数学思想、方法在解决问题中的作用，掌握一些数学思想和数学方法，会用一些数学思想方法解决生活中的问题。
3、进一步体验充满着探索与创造的数学活动，激发学生学习数学、探索规律的兴趣。
教学重点
用数学的思想去发现规律。
教学难点
发现规律并能正确运用。
教学方法
教具、实验情况
教学过程
个性调整
【复习导入】
1.课件出示一组题，比一比，谁最能干。
（1）根据数的变化规律填数。
13、11、9、（
）、（
）、（
）。
（2）你能快速算出下面的答案吗?
1+2+3+……+10=
（3）2、4、8、16、（
）、（
）
（课件说明：先出现16、（
）、（
），让学生找不到或者不容易找到答案。体会必须要找到规律。再出现2、4、8、16，再次让学生体会要从给出的条件出发找到规律）。
2.揭示课题：
教师：这就是我们的一种数学思考方法，难的问题解决不了或不容易解决，我们就从简单问题入手。通过比较、分析，找到规律，然后再解决问题。下面我们就利用这一策略来解决问题。
【探索规律】
游戏引入：请你们拿出纸和笔在纸上任意点上8个点，并将它们每两点连成一条线，再数一数，看看连成了多少条线段。
（1）
独立思考，发现规律。
①给时间让学生动手操作，老师边巡视，观察学生在做什么，怎么操作的，边询问学生是怎么想的。
②针对学生的情况，抽一两个人说说自己的发现。其他同学听，培养学生的倾听习惯。困惑——如果发表格，那就限制了学生的思维。如果不发，那怎么揭示这个规律？(每人发一张白纸，这样难度拔高了，但可以试一试。）
（2）动手操作，（发现）验证规律。
①连线填表。
学生同桌之间相互合作，也可以让学生自己选择，是合作还是独立做。
如果发一张白纸，就让学生自己设计，有可能就是这样的，也有可能出现其它结果。
看看图上的数据和自己的操作，思考一下，你会有什么发现？（课件说明：这张表格用课件展示，但是不完整，在课堂上边听学生回答边填写）
②交流汇报。指名到投影上汇报，教师板书。
从2个点开始。
板书：2个点共连1条
学生：3个点共连3条
提问：这3条线段是怎么得到的？（增加一个点，这个点可以和前面已有的每个点都连成一条线段。前面2个点，就增加2条，所以3条。）
板书：3个点共连1+2=3（条）
学生：4个点共连6条线段。
提问：这6条线段又是怎么得到的？（增加一个点，这个点就可以和前面已有的每个点都连成一条线段。前面3个点，就增加3条，所以6条。）
板书：4个点共连1+2+3=6（条）
追问：观察算式，6条是从1开始的几个什么样的数相加？
学生：从1开始的3个连续自然数相加。（板书）提问：你能快速说出5个点可以连成几条线段吗？是从1开始的几个连续自然数相加？
板书：5个点共连1+2+3+4=10（条）
（从1开始的4个连续自然数相加）
提问：6个、8个、12个、20个点能连成多少条线段？你能自己列出算式并算出结果吗？
学生列式后回答：6个点共连1+2+3+4+5=15（条）
（从1开始的5个连续自然数相加）
8个点连成线段的条数：1+2+3+4+5+6+7=28（条）
（从1开始的7个连续自然数相加）
12个点连成线段的条数：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66（条）
（从1开始的11个连续自然数相加）
20个点连成线段的条数：1+2+3+??+19=190（条）
（从1开始的19个连续自然数相加）
总结规律：
提问：如果有n个点，你能说出可以连成多少条线段吗？你会用算式表示吗？
学生讨论后，得出规律。
教师小结：本题的规律也可以用字母表示，n个点可连线段的总条数就等于从1开始的（n-1）个连续自然数相加的和，也就是连续自然数的个数比点数少1。用算式表示为：1+2+3＋4＋5＋6＋7＋??＋（n-1）
方案三：
①继续思考，你还有什么方法解决问题吗？
②学生汇报
两个点能连1条。
△
一个点能引2条，那么有3个点就共有2×3，但是每条线段分别重复了一次，所以，实际上有2×3÷2。
四个点呢？谁能说说怎么连接？四个点、五个点??同理。
根据规律，你知道15个点能连成多少条线段？
第七个问题，再思考，如果有
n个点呢？(给学生思考的空间，实在说不出来了，再提示）
有n×
(n-1）÷2
解读关系式：点数×（点数-1）÷2【指导阅读】
计算全班每个人都与同学握手，一共要握手多少次？
生答：人数×（人数-1）÷2。
【课堂作业】
教材第103页练习二十二第1、2、4题
【课堂小结】
通过这节课的学习，你有什么收获？
数学思考（1）
点数
条数
2
1条
3
1+2=3（条）
4
1+2+3=6（条）
5
1+2+3+4=10（条）
6
1+2+3+4+5=15（条）
n
1+2+3＋4＋5＋6＋7＋??＋（n-1）
[教学反思]《数学思考·找规律》教学设计
教学内容：义务教育教科书六年级下册第１００页数学思考例１及相关练习。
教学目标：1、使学生正确理解点与点之间连线段的内在规律，掌握正
确计算线段数的方法。
2、经历观察、分析、归纳等过程，进一步发展合情推理能力和问题解
决能力。
3、使学生进一步体会化繁为简和数形结合思想，感受数学的魅力，增
强数学学习的兴趣。
教学重点：理解点与点之间连线段的内在规律，掌握正确计算线段数的方法。
教学难点：发现隐藏在其中的规律与发现结论的过程。
教学方法；操作、观察、归纳、讲解
教学准备：课件、作业纸
教学流程：
游戏设疑，激趣导入
1、老师和全班同学握手问好，一共要握几次手？
2、思考：全班同学每2人之间握一次手，一共要握几次手？
3、引出用“数学的思考方法”去研究。（板书课题：数学思考）
二、逐层探究，发现规律。
1、情境模拟，数学表达。
2人握手后，用“·
”表示人，用“—”表示握手，指名上黑板画图。3人握手——图示。
4人握手——图示。5人握手——图示。
2、表格整理，探究“点数与线段条数增加之间的关系。”
(每次增加的线段数就是（点数－1）。)
3、动态演示，完善表格，探究“点数与线段总条数之间的关系”。找到规律。
课件动态演示从2个点开始，逐步增加点数。
小结规律：有几个点，线段的条数就是求“从1开始依次连加到点数减1”。
4、8个点一共可以连成多少条线段呢？怎样列式？
12个点、40个点呢？n个点呢？
三、总结算法，归纳小结，提升思想
1、8个点一个可以连成多少条线段，该怎样计算呢？
引出：（1+7）×7÷2=28（条）
交流12点、40个点、n个点的算法。
2、假设用p表示线段总条数，n表示点数，那么p和n的关系怎样表示？（p=n（n-1）÷2）
3、谁能联系我们的握手来解释这个算式的具体意义?p表示握手总次数，n表示人数，那么（n-1）表示什么?（在相互握手里，自己不可能与自己握手，所以要减1）为什么要除以2？
4、总结提升。
（1）回顾学习方法。
（2）提炼数学思想：请同学们回忆一下，刚才我们是如何解决“全班同学和老师一起握手交友，每2个人握1次，一共要握几次？”这个问题的？先用“.”表示人，用“—”表示握手，通过画图（板书：画图），然后从2个点开始想起，也就是遇到复杂的问题时，先从简单的想起，这是数学上一个重要的数学思想：化繁为简（板书：化繁为简）再通过举例子，有序思考，观察分析等数学方法，找到内在的规律，（板书：枚举、有序思考，探究规律）通过规律推理出两者之间的关系，从而解决问题。推理是研究问题的重要方法。
三、巩固练习
P100页做一做
观察下图，想一想。
（1）第7幅图有多少个棋子？第15幅图呢？
（2）第n幅图有多少个棋子？
2.练习二十二第2题。（机动练习）
师：同学们，你们可以先用小棒摆一摆，找找其中的规律。
(学生独立完成，鼓励学生多角度思考问题，多样化解决方法）
四、全课总结
这节课你学会了什么？有什么收获？
板书设计：
数学思考
化繁为简
推理
画图
规律
解决问题
枚举
有序思考课
题
推理P102例4
课时
1
课型
学+展
备注
学
习
目
标
1.
在解决问题中体会一些数学思想方法还可以解决几何知识中的推理问题。
2．在数学活动中，经历并理解推理的过程。
3．在丰富的数学情境中感受数学的魅力。
学
习
重难点
在数学活动中，经历并理解推理的过程。
※开门见山，走进课堂
孩子们，让我们今天再一次走进数学思考的殿堂，继续享受由数学思考带来的“思维盛宴”，敢挑战吗？
※合作探究，初步感受
1.探究有关平角与直线的知识
①出示图形---锐角---直线---平角
提问1：怎样移动会变成平角？
预设：两条边在同一直线上。
提问2：平角与直线有什么区别？
预设：①平角是个角，而直线是条“线”；②平角可度量，1平角=180度；直线不可度量；③平角有一个顶点和两条边，而直线没有。
②出示图形---相交的两条直线
提问：在同一平面内，两条直线相交于点O，你发现了什么？
预设：每相邻两个角可以组成一个平角，一共能组成4个平角；
预设：有生提到：“∠1=∠3，∠2=∠4，”抓课堂生成资源追问：你用什么理由说明它们相等？不用量角器测量，你有什么办法说明∠1=∠3？
2．应用数学思想，初步感受推理
①师生共同探究办法说明∠1=∠3。
抽生口头说明。
教师：你能用算式表示这个过程吗？（板演。）
预设1：因为∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，那么，∠1+∠2=∠2+∠3，利用等式的性质在等式两边同时减去∠2，所以∠1=∠3。
预设2：因为∠1+∠4=180°，∠4+∠3=180°，那么，∠1+∠4=∠4+∠3，利用等式的性质在等式两边同时减去∠4，所以∠1=∠3。
提问：在等式两边同时减去∠2，依据是什么？什么是等式的性质？
抽生复述，齐读过程。
②揭示课题。
提问：在证明∠1=∠3的过程中，我们应用了哪些知识？
③小结。
像这样应用“平角和等式的性质”两个知识，作为依据，说明了∠1=∠3，这个过程叫做推理。在推理过程中每一步都要做到有理有据。
※自主探究，体验方法
1.自主探究一：利用平角和等式的性质进行推理
①试一试，用推理的方法说明∠2=∠4。
教师：你也能像刚才这样用推理的方法说明∠2=∠4吗？完成导学案“试一试”。
②独立思考，抽生板演说明理由。
2.
自主探究二：利用平角、三角形的内角和与等式的性质进行推理
教师：孩子们，你们能用平角和等式的性质解决了图形中的推理问题。真了不起！还想探究其它的数学思想和方法吗?
出示图形。
教师：把目光教给我。把三角形ABC的BC边延长，已知∠2是45°，∠4是85°，你能推理出∠1等于多少度吗？对子互相讨论并计算。
抽生汇报。
出示图形（标注角1的度数），并提问。
教师：通过计算，我们得出∠1是40°，仔细观察，图中∠1∠2和∠4的度数有什么关系？如果把AC边移一移，∠4还等于∠1+∠2吗？想一想，什么变了，什么没变？
独立完成“想一想”，再在小组交流并进行全班展示。
④展示汇报。
提问：在证明∠4=∠1+∠2过程中，我们应用了哪些知识？板书：三角形的内角和
抽生复述推理过程，强调要说清依据。
教师：数学思想的魅力真是无穷，看，我们在平角、三角形的内角和与等式的性质的帮助下，又一次进行成功的推理，把掌声送给自己！还想挑战自己吗？
3.
自主探究三：三角形的外角和是多少度？
①图形变形。
教师：把三角形ABC变矮，再变矮，∠4还等于∠1+∠2吗？
②继续图形变形。
教师：∠4=∠1+∠2，那∠5就等于？∠6呢？根据这些条件，你能推理∠4+∠5+∠6等于多少度吗？小组合作完成“推一推”。
③小组交流再展示汇报学习情况。
④小结。
※巩固练习，拓展延伸
思考题：四边形的外角和是多少度呢？
※总结反思，巩固提升
回顾今天的学习，你一定有所获，有所思，把你的想法与大家分享分享，可以吗？
板书设计
推理
依据
平角
∠1+∠2
=180°
等式的性质
∠2+∠3
=180°
三角形的内角和
∠1+∠2
=∠2+∠3
有理有据
∠1
=∠3“数学思考”教学设计
【教学内容】
《义务教育课程标准实验教科书·数学》六年级下册第91页例4及练习十八第1～3题。
【教学目标】
1．通过学生观察、探索，使学生掌握数线段的方法。
2．渗透“化难为易”的数学思想方法，能运用一定规律解决较复杂的数学问题。
3．培养学生归纳推理探索规律的能力。
【教学重、难点】
引导学生发现规律，找到数线段的方法。
【教具、学具准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、游戏设疑，激趣导入。
1．师：同学们，课前我们来做一个游戏吧，请你们拿出纸和笔在纸上任意点上8个点，并将它们每两点连成一条线，再数一数，看看连成了多少条线段。（课件出现下图，之后学生操作）
2．师：同学们，有结果了吗？（学生表示：太乱了，都数昏了）大家别着急，今天，我们就一起来用数学的思考方法去研究这个问题。（板书课题）
二、逐层探究，发现规律。
1.
从简到繁，动态演示，经历连线过程。
师：同学们，用8个点来连线，我们觉得很困难，如果把点减少一些，是不是会容易一些呢？下面我们就先从2个点开始，逐步增加点数，找找其中的规律。
师：2个点可以连1条线段。为了方便表述我们把这两个点设为点A和点B。
（同步演示课件，动态连出AB，之后缩小放至表格内，并出现相应数据）
师：如果增加1个点，我们用点C表示，现在有几个点呢？
（生：3个点）
如果每2个点连1条线段，这样会增加几条线段？
（生：2条线段，课件动态连线AC和BC）
那么3个点就连了几条线段？（生：3条线段）
师：你说得很好！为了便于观察，我们把这次连线情况也记录在表格里。（课件动态演示，如下图）
师：如果再增加1个点，用点D表示（课件出现点D）
现在有几个点？又会增加几条线段呢？（根据学生回答课件动态演示连线过程）
那么4个点可以连出几条线段？（生:4个点可以连出6条线段。课件动态演示，如下图）
师：大家接着想想5个点可以连出多少条线段？为什么？（引导学生明白：4个点连了6条线段，再增加1个点后，又会增加4条线段，所以5个点时可以连出10条线段。课件根据学生回答同步演示，如下图）
师：现在大家再想想，6个点可以连多少条线段呢？就请同学们翻到书第91页，请看到表格的第6列，自己动手连一连，再把相应的数据填写好。（学生动手操作，之后指名一生展示作品并介绍连线情况，课件演示：完整表格中6个点的图与数据）
2.
观察对比，发现增加线段与点数的关系。
师：仔细观察这张表格，在这张表格里有哪些信息呢？
（引导学生明确：2个点时总条数是1，3个点时就增加2条线段，总条数是3；4个点时增加了3条线段，总条数是6；5个点时增加了4条线段，总条数是10；到6个点时增加了5条线段，总条数是15。）
师：那么，看着这些信息你有什么发现吗？
（学生尝试回答出：2个点时连1条线段，增加到3个点时就增加了2条线段，到4个点时就会再增加3条线段，5个点就增加4条线段，6个点就增加5条线段。每次增加的线段数和点数相差1。）
那么，你们有什么新发现？
师小结：我们可以发现，每次增加的线段数就是（点数－1）。3．进一步探究，推导总线段数的算法。
（1）分步指导，逐个列出求总线段数的算式。
师：同学们，我们知道了6个点可以连15条线段，现在你们有什么办法知道8个点可以连多少条线段吗？
（尝试让学生回答，学生可能会从7个点连线的情况去推理8个点的连线情况。）
师追问：如果当点数再大一些时，我们这样去计算是不是很麻烦呢？
师：我们先来看看，3个点时，可以连多少条线段？你是怎么知道的？
生：2个点连1条线段，增加一个点，就增加了2条线段，1＋2＝3（条），所以3个点就连了3条线
（贴示黑板条：
）
师：接着想想4个点共连了6条线段，这又可以怎么计算呢？师：计算3个点连出的线段数时，我们用了1＋2，再增加1个点，就在增加了3条线段，我们就再加3，所以列式为1＋2＋3＝6（条），那么按着这个方法，你能列出5个点共连线段的算式吗？
（2）观察算式，探究算理。
师：下面，同学们仔细观察看看这些算式，有什么发现吗？
生1：计算3个点的总线段数是1＋2，计算4个人的总线段数是1＋2＋3，计算5个点的总线段数是1＋2＋3＋4，它们都是从1开始依次加的。
生2：我觉得计算总线段数其实就是从1开始加2，加3，加4，一直加到比点数少1的数。
生3
：可以，比如3个点的总线段数，就是从1加到2；4个点的总线段数，就是从1开始依次加到3，5个点时，就是1一直加到4，这样推理下去，就是从1开始一直加到点数数减1的那个数。
师：那么你说的点数减1的那个数其实是什么数？（生：就是每次增加一个点时，增加的线段数。）
（3）归纳小结，应用规律。
师：现在我们知道了总线段数其实就是从1依次连加到点数减1的那个数的自然数数列之和。因此，我们只要知道点数是几，就从1开始，依次加到几减1，所得的和就是总线段数。同学们，你们明白了吗？
师：下面我们运用这条规律去计算一下6个点和8个点时共连的线段数，就请同学们打开数学书91页，把算式写在书上相应的横线上！
（学生独立完成，教师巡视，之后学生板演算式集体评议）
4．回应课前游戏的设疑，进一步提升。
（1）师：现在我们就知道了课前游戏的答案，在纸上任意点上8个点，每两点连成一条线，可以连成28条线段。有这么多条，难怪同学们数时会比较麻烦呢！看来利用这个规律可以非常方便的帮助我们计算点数较多时的总线段数。下面你们能根据这个规律，计算出12个点、20个点能连多少条线段？（学生独立完成）
（2）反馈
师：我们来看看答案吧！（课件示：12个点共连了1+2+3+4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＝45（条），
师：20个点共连的线段数为：1＋2＋3＋4＋5一直加到19,为了书写方便，这些列式还可以省略不写中间的一些加数，列式可以写为：1＋2＋3……＋9＋10＋11＝45（条）（课件示）
5．还原生活，解决问题。
师：下面，我们一起来看看小精灵聪聪给我们带来了什么题目！(课件示情景问题：10个好朋友，每2位好朋友握手1次，大家一共要握多少次手？)
师：你们能帮他解决这个问题吗？小组同学互相说说！
三、巩固练习
同学们，在我们生活中有许多看似复杂的问题，我们都可以尝试从简单问题去思考，逐步找到其中的规律，从而来解决复杂的问题。下面我们就来看看书上的几道练习题，看看能不能运用这样的思考方法去解决它们。
1．练习十八第2题。（学生独立完成，鼓励学生多角度思考问题，多样化解决方法）
2．练习十八第3题。
3．练习十八第1题。学生独立完成
四、全课总结
：今天同学们都表现得非常棒，我们运用了化难为易的数学思考方法，解决了一些问题。希望同学们在以后的学习中经常运用数学思考方法去解决生活中的问题。
