2020-2021学年安徽省滁州市全椒县九年级上学期期中数学试卷 （Word版 含解析）

2020-2021学年安徽省滁州市全椒县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．（4分）抛物线y＝2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（3，4 ）
2．（4分）点（﹣1，4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　）
A．（4，﹣1） B．（﹣，1） C．（﹣4，﹣1） D．（，2）
3．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则的值是（　　）
A． B．1 C． D．
4．（4分）如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC＝∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（　　）
A．∠DAC＝∠ABC B．AC是∠BCD的平分线
C．AC2＝BC?CD D．＝
5．（4分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
6．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（4分）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　）
A．（40﹣40）cm B．（80﹣40）cm
C．（120﹣40）cm D．（80﹣160）cm
9．（4分）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
10．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→C向点C运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C向点C运动，直到它们都到达点C为止．若△APQ的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），则S与t的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若＝，则＝　 　．
12．（5分）将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是　 　．
13．（5分）如图，点A在反比例函数y1＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数y2＝（x＞0）的图象于点C，P为y轴上一点，连接PA，PC，则△APC的面积为　 　．
14．（5分）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝　 　，BE＝　 　．
三.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c＝12，请你探索△ABC的形状．
16．（8分）已知抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点．
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1．
18．（8分）“至诚宾馆”客房都有80个房间供游客居住，旅游旺季，当每个房间的定价增加时，就会有一些房间空闲，具体数据如下表：
每个房间的定价x（元） 150 200 250 300
每天入住的房间数y（间） 80 60 48 40
（1）请你认真分析表中数据，写出能表示其变化规律的函数表达式；
（2）对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，同时为促进当地旅游业的蓬勃发展，市旅游局将对每个实际入住的房间予以每间每天奖励50元，求每天入住的房间数为50时宾馆每天的纯利润．
五.（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数y＝ax2+bx来表示，已知OA＝8米，距离O点2米处的棚高BC为米．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若借助横梁DE（DE∥OA）建一个门，要求门的高度为1.5米，求横梁DE的长度是多少米？
20．（10分）如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，分别延长BC，CB至点E，点D，使CE＝2cm，∠EAC＝∠D．
（1）求证：△ADB∽△EAC；
（2）求BD的长．
六.（本题满分12分）
21．（12分）已知A（a，﹣2a）、B（﹣2，a）两点是反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△ABO的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．
七.（本题满分12分）
22．（12分）李师傅承包了一片池塘养鱼，他用总长为120m的围网围成如图所示的6个矩形区域，其中除矩形AEFJ外，其它5个矩形的面积都相等．若AE＝xm，矩形ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，y取得最大值，最大值是多少？
八.（本题满分14分）
23．（14分）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．
（1）求证：△ABC∽△DCA；
（2）求证：CA2＝BC?AB；
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（4分）抛物线y＝2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（3，4 ）
解：y＝2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．
故选：D．
2．（4分）点（﹣1，4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　）
A．（4，﹣1） B．（﹣，1） C．（﹣4，﹣1） D．（，2）
解：将点（﹣1，4）代入y＝，
∴k＝﹣4，
∴y＝，
∴点（4，﹣1）在函数图象上，
故选：A．
3．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则的值是（　　）
A． B．1 C． D．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴＝，
故选：A．
4．（4分）如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC＝∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（　　）
A．∠DAC＝∠ABC B．AC是∠BCD的平分线
C．AC2＝BC?CD D．＝
解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，
如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：
①∠DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分线；
②＝；
故选：C．
5．（4分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣10＜0，
∴此函数图象在二、四象限，
∵﹣1＜0，
∴点A（﹣1，y1）在第二象限，
∴y1＞0，
∵3＞2＞0，
∴B（2，y2），C（3，y3）两点在第四象限，
∴y2＜0，y3＜0，
∵函数图象在第四象限内为增函数，3＞2，
∴y2＜y3＜0．
∴y1，y2，y3的大小关系为y1＞y3＞y2．
故选：B．
6．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）
A． B． C． D．
解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，
∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，
∴△ABE∽△CGE，
∴＝＝＝，
故选：C．
7．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，结论①正确；
②∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确；
③∵抛物线与x轴由两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；
④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误；
故选：B．
8．（4分）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　）
A．（40﹣40）cm B．（80﹣40）cm
C．（120﹣40）cm D．（80﹣160）cm
解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，
∴AC＝BD＝80×＝40﹣40，
∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝80﹣160，
故选：D．
9．（4分）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴＝，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．
故选：B．
10．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→C向点C运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C向点C运动，直到它们都到达点C为止．若△APQ的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），则S与t的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
解：①当0≤t≤时，点Q在AB上，
∴AQ＝2t，AP＝t，
过Q作QD⊥AC交AC于点D，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，
∴BC＝3cm，
∴＝，
∴QD＝t，
S△APQ＝×AP×QD＝×t×t＝t2，
②当＜t≤4时，点Q在BC上，
S△APQ＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△ABQ＝×3×4﹣×（4﹣t）×（8﹣2t）﹣×4×（2t﹣5）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
综上所述，正确的图象是D．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若＝，则＝　　．
解：∵＝，
∴2x+2y＝3x，
故2y＝x，
则＝．
故答案为：．
12．（5分）将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是　﹣5　．
解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，
表达式为：y＝ax2+bx+2，
∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，
则8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5，
故答案为：﹣5．
13．（5分）如图，点A在反比例函数y1＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数y2＝（x＞0）的图象于点C，P为y轴上一点，连接PA，PC，则△APC的面积为　6　．
解：连接OA和OC，
∵点P在y轴上，AB∥y轴，则△AOC和△APC面积相等，
∵点A在反比例函数y1＝（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y2＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴，
∴S△AOC＝S△OAB﹣S△OBC＝6，
∴△APC的面积为6，
故答案为6．
14．（5分）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝　2　，BE＝　﹣1　．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，
∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，
∴CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE，
∴CF＝AD，∠CFD＝90°，
∴∠ADE+∠CDF＝∠CDF+∠DCF＝90°，
∴∠ADF＝∠DCF，
∴△ADE≌△FCD（ASA），
∴DF＝AE＝2；
∵∠AFE＝∠CFD＝90°，
∴∠AFE＝∠DAE＝90°，
∵∠AEF＝∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴，
∴＝，
∴EF＝﹣1（负值舍去），
∴BE＝EF＝﹣1，
故答案为：2，﹣1．
三.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c＝12，请你探索△ABC的形状．
解：令＝k．
∴a+4＝3k，b+3＝2k，c+8＝4k，
∴a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8．
又∵a+b+c＝12，
∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）＝12，
∴k＝3．
∴a＝5，b＝3，c＝4．
∴△ABC是直角三角形．
16．（8分）已知抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点．
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点，
∴△＝b2﹣4ac＝16﹣8c＞0，
∴c＜2；
（2）抛物线y＝2x2﹣4x+c的对称轴为直线x＝1，
∴A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，
当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴m＜n；
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1．
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
18．（8分）“至诚宾馆”客房都有80个房间供游客居住，旅游旺季，当每个房间的定价增加时，就会有一些房间空闲，具体数据如下表：
每个房间的定价x（元） 150 200 250 300
每天入住的房间数y（间） 80 60 48 40
（1）请你认真分析表中数据，写出能表示其变化规律的函数表达式；
（2）对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，同时为促进当地旅游业的蓬勃发展，市旅游局将对每个实际入住的房间予以每间每天奖励50元，求每天入住的房间数为50时宾馆每天的纯利润．
解：（1）由题意得：
y＝；
（2）y＝50时，x＝＝240，
（240﹣20+50）×50＝13500．
答：每天入住的房间数为50时宾馆每天的纯利润．
五.（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数y＝ax2+bx来表示，已知OA＝8米，距离O点2米处的棚高BC为米．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若借助横梁DE（DE∥OA）建一个门，要求门的高度为1.5米，求横梁DE的长度是多少米？
解：（1）由题意可得，抛物线经过（2，），（8，0），
故，
解得：，
故抛物线解析式为：y＝﹣x2+x；
（2）由题意可得：当y＝1.5时，
1.5＝﹣x2+x，
解得：x1＝4+2，x2＝4﹣2，
故DE＝x1﹣x2＝4+2﹣（4﹣2）
＝4．
20．（10分）如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，分别延长BC，CB至点E，点D，使CE＝2cm，∠EAC＝∠D．
（1）求证：△ADB∽△EAC；
（2）求BD的长．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，且边长为3cm，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝3cm，
∵∠ABC＝∠D+∠BAD，∠ACB＝∠E+∠EAC，
又∵∠EAC＝∠D，
∴∠E＝∠BAD，
∴△EAC∽△ADB，即：△ADB∽△EAC；
（2）由（1）知，△ADB∽△EAC，
∴＝，
∴＝，
∴DB＝cm，
则BD的长为cm．
六.（本题满分12分）
21．（12分）已知A（a，﹣2a）、B（﹣2，a）两点是反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△ABO的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．
解：（1）∵A（a，﹣2a）、B（﹣2，a）两点在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝﹣2a?a＝﹣2a，
解得a＝1，m＝﹣2，
∴A（1，﹣2），B（﹣2，1），反比例函数的解析式为y＝﹣．
将点A（1，﹣2）、点B（﹣2，1）代入到y＝kx+b中，
得：，解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1．
（2）在直线y＝﹣x﹣1中，令y＝0，则﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×2+×1＝；
（3）观察函数图象，发现：
当x＜﹣2或0＜x＜1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，
∴不等式kx+b﹣＞0的解集为x＜﹣2或0＜x＜1．
七.（本题满分12分）
22．（12分）李师傅承包了一片池塘养鱼，他用总长为120m的围网围成如图所示的6个矩形区域，其中除矩形AEFJ外，其它5个矩形的面积都相等．若AE＝xm，矩形ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，y取得最大值，最大值是多少？
解：（1）∵除矩形AEFJ外，其它5个矩形的面积都相等，且AE＝xm，
∴IC＝3ID＝3xm，3AE+3AD+5IC＝120，
∴3x+3AD+5×3＝120，
∴AD＝（40﹣6x）m，
∴y＝4x（40﹣6x）＝﹣24x2+160x，
∵AD＞0，40﹣6x＞0，
∴0＜x＜，
∴y＝﹣24x2+160x（0＜x＜）；
（2）y＝﹣24x2+160x
＝﹣24+，
∵﹣24＜0，
∴x＝时，y取得最大值，最大值是．
八.（本题满分14分）
23．（14分）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．
（1）求证：△ABC∽△DCA；
（2）求证：CA2＝BC?AB；
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值．
解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
又∵∠BAC＝∠ADC，
∴△ABC∽△DCA；
（2）由（1）知△ABC∽△DCA，
∴，即CA2＝BC?AD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴CA2＝BC?AB；
（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，
∵AB＝AD，
∴BH＝BD，
∵AD∥BC，∠ADC＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BHA＝∠BCD＝90°，
又∵∠ABH＝∠DBC，
∴△ABH∽△DBC，
∴，即AB?BC＝BH?DB，
∴AB?BC＝BD2，
又∵AB?BC＝AC2，
∴BD2＝AC2，
∴＝．