2020-2021学年江苏扬州高三上数学第二次月考试卷 Word版含解析

2020-2021学年江苏扬州高三上数学月考试卷
一、选择题
?
1. 设集合 A={x|y=2x},?B={x|x3?x<0}?则?AB=(? ? ? ? )



A.(?∞,0)∪(3,+∞)? B.(?∞,0]∪[3,+∞)
C.?[0,3]? D.[3,+∞)
?
2. 已知复数2+ai3+i在复平面内对应的点在直线y=x上，则实数a=(? ? ? ? )




A.?2 B.?1 C.1 D.2
?
3. 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f14=1，当x<0时，f(x)=log2(?x)+m，则实数m=(? ? ? ? )




A.?1 B.0 C.1 D.2
?
4. 设x∈R，则“x2?5x<0”是“|x?1|<1”的(? ? ? ? )


A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
?
5. 若点P坐标为(cos2020??，tan2020?)，则点P在(? ? ? ? )




A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
?
6. 函数fx=ln|x|+x2x3+sinx的图象大致为(? ? ? ? )
A.
B.
C.
D.
?
7. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x（万元）
2
3
4
5
6
销售额y（万元）
19
25
34
38
44
根据上表可得回归直线方程为y=6.3x+a，下列说法正确的是(? ? ? ? )
A.回归直线y=6.3x+a必经过样本点2,19，6,44
B.这组数据的样本中心点x?,y?未必在回归直线y=6.3x+a上
C.回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元
D.据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元
?
8. 已知函数fx=?x2+a，gx=x2ex，若对任意的x2∈?1，1，存在唯一的x1∈?12，2，使得fx1=gx2，则实数a的取值范围是(? ? ? ? )




A.(e,4] B.(e+14,4] C.e+14,4 D.14,4
二、多选题
?
9. 若a>0，b>0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是(? ? ? ? )




A.0<1ab≤14 B.ab<2 C.1a+1b≥1 D.1a2+b2≤18
?
10. 下列判断正确的是(? ? ? ? )
A.若随机变量ξ服从正态分布N(1,?σ2)，P(ξ≤4)=0.79，则P(ξ≤?2)=0.21
B.已知直线l⊥平面α，直线m?//?平面β，则“α?//?β”是“l⊥m”的必要不充分条件
C.若随机变量ξ服从二项分布：ξ?B(4,14)，则E(ξ)=1
D.am2>bm2是a>b的充分不必要条件
?
11. 如图是2018年10月—2019年10月中国钢铁同比增速及日均产量统计图，则下列陈述中正确的是(? ? ? ? )

A.2019年6月同比增速最大
B.2019年3月—5月同比增速平稳
C.2019年8月钢材总产量比2019年9月钢材总产量低
D.2019年10月钢材总产量约10264万吨
?
12. 设函数fx=xlnx ，gx=f′xx，给定下列命题，其中是正确命题的是(? ? ? ? )
A.不等式gx>0的解集为1e,+∞
B.函数gx在0,e单调递增，在e,+∞单调递减
C.若m≥1，则当x1>x2>0时，有m2x12?x22>fx1?fx2
D.若函数Fx=fx?ax2有两个极值点，则实数a∈0,12
三、填空题
?
13. 函数fx=alnxex在点P1,f1处的切线与直线2x+y?3=0垂直，则a=_________.
?
14. 如果3x+1x3n的展开式中各项系数之和为4096，则展开式中x的系数为________.
?
15. 函数y=loga(x+4)+2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则sin2θ=________.
?
16. 一圆柱形封闭容器内有一个棱长为2的正四面体，若该正四面体可以绕其中心在容器内任意转动（正四面体顶点恰好触碰到容器内壁可视为可以转动），则容器体积的最小值为________.
四、解答题
?
17. 在①A∩B=A，②A∩B=?，③B??RA，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.
问题：已知集合A={x|x?ax+1<0,x∈R}，B={x|log2(1?x)≤1,x∈R}，是否存在实数a，使得________.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
?
18. 设函数fx=a?2x?2?xa∈R．
(1)若函数y=fx的图象关于原点对称，求函数gx=fx+32的零点x0；

(2)若函数hx=fx+4x+2?x在x∈0,1的最大值为?2，求实数a的值．
?
19. 销售甲种商品所得利润是P万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式P=att+1，销售乙种商品所得利润是Q万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式Q=bt，其中a，b为常数.现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为94万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元.若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f(x)万元.
(1)求函数f(x)的解析式；

(2)怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值.
?
20. 如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC?//?AD，AB⊥BC，PA=AB=2，AD=2BC=2，M是PD的中点．

(1)求证：CM?//?平面PAB；

(2)求二面角M?AC?D的余弦值．
?
21. 《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布Nμ,σ2，并把质量差在μ?σ,μ+σ内的产品为优等品，质量差在μ+σ,μ+2σ内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：

(1)根据频率分布直方图，求样本平均数x?.

(2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x?作为μ的近似值，用样本标准差S作为σ的估计值．求该厂生产的产品为正品的概率.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ?σ<ξ≤μ+σ≈0.6827，Pμ?2σ<ξ≤μ+2σ≈0.9545，Pμ?3σ<ξ≤μ+3σ≈0.9973．

(3)假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求X的分布列以及期望值．
?
22. 已知函数f(x)=x3+klnx(k∈R)，f′(x)为f(x)的导函数.
(1)当k=6时，
(i)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(ii)求函数g(x)=f(x)?f′(x)+9x的单调区间和极值；

(2)当k≥?3时，求证：对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2>f(x1)?f(x2)x1?x2.
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏扬州高三上数学月考试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
分式不等式的解法
指数函数的定义、解析式、定义域和值域
补集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ A={x|y=2x}=R,?B={x|x3?x<0}={x|x<0?或x>3}
∴ ?AB={x|0≤x≤3}，
即 ?AB=[0,3].
故选C.
2.
【答案】
C
【考点】
复数代数形式的混合运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
（1）根据题目所给信息进行求解即可.
【解答】
解：已知复数z=(2+ai)(3+i)=6?a+(2+3a)i ，
已知其在复平面内对应的点在直线y=x上，
即6?a=2+3a，
解得a=1.
故选C.
3.
【答案】
C
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ f(x)是定义在R上的奇函数,
∴ f?14=?f14=?1,
由题意知，f?14=log214+m=?2+m=?1,
∴ m=1.
故选C.
4.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
一元二次不等式的解法
【解析】
充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果
【解答】
解：∵ x2?5x<0，
∴ 解得0∵ |x?1|<1，
∴ 解得0∵ 0∴ 0即x2?5x<0是|x?1|<1的必要不充分条件．
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
三角函数值的符号
象限角、轴线角
【解析】
? ?
【解答】
解：∵ cos2020?=cos5×360?+220?=cos220?<0，
tan2020?=tan5×360?+220?=tan220?>0，
∴ 点P在第二象限.
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
函数的图象
【解析】
求出函数fx的定义域?∞,0∪0,+∞，排除A项，再根据fx+f?x=0，可知函数fx是奇函数，其图象关于坐标原点对称，排除D项．再利用特殊点的值即可得解.
【解答】
解：由题意可得，x3+sinx≠0，
∴ x≠0，
∴ 函数fx的定义域为?∞,0∪0,+∞，故排除A选项；
∵ fx+f?x=ln|x|+x2x3+sinx+ln|?x|+?x2?x3+sin?x
=ln|x|+x2x3+sinx?ln|x|+x2x3+sinx=0，
∴ 函数fx是奇函数，故排除D选项；
∵ fe?2=?2+e?4e?6+sine?2<0，
∴ 排除B选项.
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
回归分析的初步应用
求解线性回归方程
【解析】
? ?
【解答】
解：回归直线不一定过样本点，但一定过样本中心点x?,y?，故A，B均错误；
回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，
销售额大约增加6.3万元，故C错误；
由统计数据可得，?x?=2+3+4+5+65=4，
?y?=19+25+34+38+445=32.
∵ y=6.3x+a恒过样本中心点(4,32),
∴ a=32?6.3×4=6.8,
∴ 回归直线方程为y=6.3x+6.8.
将x=7代入y=6.3x+6.8得，
y=6.3×7+6.8=50.9（万元），
∴ 据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元，故D正确.
故选D．
8.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的最值
函数恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
求得fx在（12,2]的值域A，以及函数y=gx的导数，判断单调性，求得在?1,1的值域B，由题意可得B包含于A，可得a的不等式，解不等式可得所求范围．
【解答】
解：易得，fx=?x2+a在?12,2上的值域为a?4,a，
且fx在(12,2]上单调递减，此时fx∈[a?4,?a?14).
∵ gx=x2ex，
∴ g′x=2xex+x2ex=xx+2ex，
∴ gx在?1,0上单调递减，在(0,1]上单调递增，
∴ gx在?1,1上的最小值为g?0?=0，最大值为g1=e，
∴ g(x)在?1,1上的值域为0,e.
∵ 对任意的x2∈?1,1，存在唯一的x1∈?12,2,使得fx1=gx2,
∴ [0,e]?[a?4,?a?14)，
即a?4≤0故选B．
二、多选题
9.
【答案】
C,D
【考点】
基本不等式
不等式比较两数大小
【解析】
? ?
【解答】
?解：A，∵ a>0，b>0，且a+b=4，
∴ 0∴ 1ab≥14，故A错误；
B，ab≤a+b2=2 ，当且仅当a=b=2时等号成立，故B错误；
C，∵ 1ab≥14，
∴ 1a+1b=a+bab=4ab≥4×14=1，
当且仅当a=b=2时等号成立，故C正确；
D，1a2+b2=1a+b2?2ab≤142?2×4=18 ，
当且仅当a=b=2时等号成立，故D正确．
故选CD.
10.
【答案】
A,C,D
【考点】
正态分布的密度曲线
二项分布的应用
必要条件、充分条件与充要条件的判断
命题的真假判断与应用
【解析】
A，根据正态分布概率的性质，计算即可；
B，判断充分性与必要性是否成立即可；
C，根据二项分布计算即可；
D，判断充分性与必要性是否成立即可．
【解答】
解：A，随机变量ξ服从正态分布N(1,?σ2)，所以图象关于x=1对称，
根据P(ξ≤4)=0.79，可得P(ξ≥4)=1?P(ξ≤4)=0.21，
所以P(ξ≤?2)=P(ξ≥4)=0.21，故A正确；
B，直线l⊥平面α，直线m?//?平面β，
若α?//?β，则l⊥m是真命题；若l⊥m，则α?//?β是假命题，
所以“α?//?β”是“l⊥m”的充分不必要条件”，故B错误；
C，随机变量ξ服从二项分布：ξ?B(4,14)，
则E(ξ)=4×14=1，故C正确；
D，若am2>bm2，则a>b是真命题；
若a>b，则am2>bm2是假命题，如m2=0时不成立，
所以am2>bm2是a>b的充分不必要条件，故D正确．
故选ACD.
11.
【答案】
A,B,D
【考点】
频率分布折线图、密度曲线
频率分布直方图
【解析】
??
【解答】
解：A，由图可知，2019年6月同比增速最大，故A正确；
B，由图可知，2019年3月—5月同比增速平稳，故B正确；
C，2019年8月钢材总产量为343.2×31=10639.2(万吨)，
2019年9月钢材总产量为347.9×30=10437(万吨).
∵ 10639.2>10437，
∴ 2019年8月钢材总产量比2019年9月钢材总产量高，故C错误；
D，∵ 331.1×31=10264.1≈10264(万吨)，
∴ 2019年10月钢材总产量约10264万吨，故D正确.
故选ABD．
12.
【答案】
A,C,D
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
?
【解答】
解：A，∵ fx=xlnx，x>0，
∴ f′x=lnx+1，
∴ gx=lnx+1x，
令gx>0，即lnx+1x>0，
∴ lnx+1>0，解得：x>1e，?故A正确；
B，∵ gx=lnx+1x，
∴ g′x=?lnxx2.
∵ 当00；当x>1时，g′x<0，
∴ 函数gx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，故B错误；
C，m2x12?x22>fx1?fx2 可转化为：
fx2?m2x22>fx1?m2x12.
令Hx=fx?m2x2，x>0.
∵ x1>x2>0，
∴ Hx在0,+∞上单调递减，
∴ H′x=1+lnx?mx≤0在0,+∞上恒成立，
即m≥1+lnxx=g(x)在0,+∞上恒成立.
∵ gx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
∴ gxmax=g1=1，
∴ m≥1 ，故C正确；
D，函数Fx=fx?ax2有两个极值点，
即F′x=f′x?2ax有两个零点，
即lnx+1?2ax=0，则2a=lnx+1x，
∴ y=2a和gx=lnx+1x?的图象有2个交点.
∵ gx=lnx+1x?在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
且gxmax=g1=1，当x→+∞时，g(x)→0，
∴ 2a∈0,1，即a∈0,12?，故D正确.
故选ACD.
三、填空题
13.
【答案】
e2
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
??
【解答】
解：∵ fx=alnxex，
∴ f′(x)=ax?alnxex.
∵ 函数fx=alnxex在点P1,f1处的切线与直线2x+y?3=0垂直，
∴ 切线的斜率k=12.
∴ f′1=ae=12，
∴ a=e2.
故答案为：e2.
14.
【答案】
1215
【考点】
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
由二项展开式中各项系数之和求出n的值，再利用展开式的通项公式计算含r项的系数．
【解答】
解：令x=1，可得3+1n=4096，
解得：n=6，
∴ Tr+1=C6r?36?r?x6?52r.
令6?52r=1，解得：r=2，
∴ 展开式中x的系数为C62?36?2=1215.
故答案为：1215．
15.
【答案】
?1213
【考点】
二倍角的正弦公式
对数函数的图象与性质
同角三角函数间的基本关系
【解析】
? ?
【解答】
解：∵ 函数y=loga(x+4)+2(a>0，且a≠1)，
当x=?3时，f(?3)=2，
∴ 函数y=loga(x+4)+2的图象恒过定点A(?3,?2).
∵ 点A在角θ的终边上，
∴ sinθ=21313，cosθ=?31313，
∴ sin2θ=2sinθcosθ=2×21313×(?31313)=?1213.
故答案为：?1213.
16.
【答案】
36π2
【考点】
球内接多面体
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
? ?
【解答】
解：由已知得，要使该正四面体可以绕其中心在容器内任意转动，
只需该正四面体的外接球在圆柱形的封闭容器内即可，
作出正四面体S?ABC与其外接球O的位置关系如图所示，
SD是球的直径，与面ABC交于点E，连接CE，CD，
易知，CE=233.
∵ SE⊥CE，
∴ SE=SC2?CE2=22?2332=263，
∴ SA2=SE?SD，即22=263?SD，
∴ SD=6，
∴ 外接球O的半径为62，
∴ 圆柱形封闭容器的体积V≥π×62?2×6=36π2.
∴ 容器体积的最小值为36π2.
故答案为：36π2.
四、解答题
17.
【答案】
解：A={x|x?ax+1<0,x∈R}={x|x?ax+1<0,x∈R}，
B={x|log21?x≤1,x∈R}=[?1,1)，
当a>?1时，A=?1,a；
当a=?1时，A=?；
当a若选择①A∩B=A，则A?B，
当a>?1时，要使?1,a??1,1，则a≤1，
所以?1当a=?1时，A=?，满足题意；
当a所以若选择①，则实数a的取值范围是?1,1．
若选择②A∩B≠?，
当a>?1时，A=?1,a，B=?1,1，满足题意；
当a=?1时，A=?，不满足题意；
当a所以若选择②，则实数a的取值范围是?1,+∞．
若选择③B??RA，
当a>?1时，A=?1,a，?RA=?∞,?1∪a,+∞，
而B=?1,1，不满足题意；
当a=?1时，A=?，?RA=R，而B=?1,1，满足题意；
当a而B=?1,1，满足题意．
所以若选择③，则实数a的取值范围是?∞,?1．
【考点】
交、并、补集的混合运算
交集及其运算
集合的包含关系判断及应用
【解析】
? ?
【解答】
解：A={x|x?ax+1<0,x∈R}={x|x?ax+1<0,x∈R}，
B={x|log21?x≤1,x∈R}=[?1,1)，
当a>?1时，A=?1,a；
当a=?1时，A=?；
当a若选择①A∩B=A，则A?B，
当a>?1时，要使?1,a??1,1，则a≤1，
所以?1当a=?1时，A=?，满足题意；
当a所以若选择①，则实数a的取值范围是?1,1．
若选择②A∩B≠?，
当a>?1时，A=?1,a，B=?1,1，满足题意；
当a=?1时，A=?，不满足题意；
当a所以若选择②，则实数a的取值范围是?1,+∞．
若选择③B??RA，
当a>?1时，A=?1,a，?RA=?∞,?1∪a,+∞，
而B=?1,1，不满足题意；
当a=?1时，A=?，?RA=R，而B=?1,1，满足题意；
当a而B=?1,1，满足题意．
所以若选择③，则实数a的取值范围是?∞,?1．
18.
【答案】
解：(1)∵ f(x)的图象关于原点对称，
∴ f(?x)+f(x)=0，
∴ a?2x?2?x+a?2x?2?x=0，
即∴ (a?1)?(2?x+2x)=0，
∴ a=1．
令g(x)=2x?2?x+32=0，
则2?(2x)2+3?2x?2=0，
∴ (2x+2)?(2?2x?1)=0，
又2x>0，
∴ x=?1，
所以函数g(x)的零点为x0=?1．
(2)h(x)=a?2x?2?x+4x+2?x，x∈[0,1]，
令2x=t∈[1,2]，
h(x)=t2+at，t∈[1,2]，
对称轴t0=?a2，
①当?a2≤32，即a≥?3时，
hmax(t)=h(2)=4+2a=?2，
∴ a=?3；
②当?a2>32，即ahmax(t)=h(1)=1+a=?2，
∴ a=?3（舍）．
综上：实数a的值为?3．
【考点】
函数最值的应用
函数的零点
奇函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ f(x)的图象关于原点对称，
∴ f(?x)+f(x)=0，
∴ a?2?x?2?x+a?2x?2x=0，
即∴ (a?1)?(2?x+2x)=0，
∴ a=1．
令g(x)=2x?2?x+32=0，
则2?(2x)2+3?(2x)?2=0，
∴ (2x+2)?(2?2x?1)=0，
又2x>0，
∴ x=?1，
所以函数g(x)的零点为x0=?1．
(2)h(x)=a?2x?2?x+4x+2?x，x∈[0,1]，
令2x=t∈[1,2]，
h(x)=t2+at，t∈[1,2]，
对称轴t0=?a2，
①当?a2≤32，即a≥?3时，
hmax(t)=h(2)=4+2a=?2，
∴ a=?3；
②当?a2>32，即ahmax(t)=h(1)=1+a=?2，
∴ a=?3（舍）．
综上：实数a的值为?3．
19.
【答案】
解：(1)∵ P=att+1,?Q=bt，
∴ 当t=3时，P=3a3+1=94，Q=3b=1，
解得：a=3,?b=13，
∴ P=3tt+1,?Q=13t，
∴ f(x)=3xx+1+3?x3,?x∈[0,3].
(2)由(1)知，f(x)=3xx+1+3?x3=133?3x+1+x+13.
∵ x∈[0,3]，
∴ x+1∈[1,4]，
∴ 3x+1+x+13≥2，
∴ f(x)≤133?2=73，
当且仅当3x+1=x+13，即当x=2时取等号，
∴ f(x)的最大值为73.
答：分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时，
所得利润总和最大，最大利润是73万元.
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
根据实际问题选择函数类型
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ P=att+1,?Q=bt，
∴ 当t=3时，P=3a3+1=94，Q=3b=1，
解得：a=3,?b=13，
∴ P=3tt+1,?Q=13t，
∴ f(x)=3xx+1+3?x3,?x∈[0,3].
(2)由(1)知，f(x)=3xx+1+3?x3=133?3x+1+x+13.
∵ x∈[0,3]，
∴ x+1∈[1,4]，
∴ 3x+1+x+13≥2，
∴ f(x)≤133?2=73，
当且仅当3x+1=x+13，即当x=2时取等号，
∴ f(x)的最大值为73.
答：分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时，
所得利润总和最大，最大利润是73万元.
20.
【答案】
(1)证明：取AP的中点E，连接BE，EM，
∵ E，M分别为PA，PD的中点，
∴ EM?//?AD，AD=2EM.
又∵ BC?//?AD，且AD=2BC，
∴ EM?//?BC，EM=BC，
∴ 四边形BCME为平行四边形，
∴ BE?//?CM.
又CM?平面PAB，BE?平面PAB，
∴ CM?//?平面PAB．
(2)解：由题意知，PA，AB，AD两两垂直，
故以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为
x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,?0,?0)，D(0,?2,?0)，C(2,1,0)，
P(0,0,2)，M(0,1,22)，
∴ AC→=(2,1,0)，AM→=(0,1,22)，AP→=(0,0,2).
设平面MAC的法向量为n→=(x,y,z)，
则n→?AC→=2x+y=0,n→?AM→=y+22z=0,?
令y=2，则x=?1，z=?2，
∴ n→=(?1,2,?2)．
∵ PA⊥平面ABCD，
∴ AP→为平面ACD的一个法向量，
∴ cos=AP→?n→|AP→|?|n→|
=?222×7=?277.
由图可知，二面角M?AC?D为锐二面角，
∴ 二面角M?AC?D的余弦值为277．
【考点】
用空间向量求平面间的夹角
直线与平面平行的判定
【解析】
（1）取AP的中点E，连接BE，EM，由中位线的性质和平行四边形的性质可推出BE?//?CM，再由线面平行的判定定理即可得证；
（2）以A为坐标原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，依次写出A、D、C、P、M的坐标；根据法向量的性质求出平面MAC的法向量n→，而AP→为平面ACD的一个法向量；再由空间向量数量积的坐标运算求出cos即可得解．
【解答】
(1)证明：取AP的中点E，连接BE，EM，
∵ E，M分别为PA，PD的中点，
∴ EM?//?AD，AD=2EM.
又∵ BC?//?AD，且AD=2BC，
∴ EM?//?BC，EM=BC，
∴ 四边形BCME为平行四边形，
∴ BE?//?CM.
又CM?平面PAB，BE?平面PAB，
∴ CM?//?平面PAB．
(2)解：由题意知，PA，AB，AD两两垂直，
故以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为
x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,?0,?0)，D(0,?2,?0)，C(2,1,0)，
P(0,0,2)，M(0,1,22)，
∴ AC→=(2,1,0)，AM→=(0,1,22)，AP→=(0,0,2).
设平面MAC的法向量为n→=(x,y,z)，
则n→?AC→=2x+y=0,n→?AM→=y+22z=0,?
令y=2，则x=?1，z=?2，
∴ n→=(?1,2,?2)．
∵ PA⊥平面ABCD，
∴ AP→为平面ACD的一个法向量，
∴ cos=AP→?n→|AP→|?|n→|
=?222×7=?277.
由图可知，二面角M?AC?D为锐二面角，
∴ 二面角M?AC?D的余弦值为277．
21.
【答案】
解：(1)x?=0.010×10×46+562+0.020×10×56+662+
0.045×10×66+762+0.020×10×76+862+
0.005×10×86+962=70．
(2)由题意可知，样本方差S2=100，故σ≈S2=10?，
∴ X?N70,102?，
∴ 该厂生产的产品为正品的概率P=P(60=P(60=12×0.6827+0.9545=0.8186．
(3)X的可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=C30C53C83=528，
P(X=1)=C31C52C83=1528，
P(X=2)=C32C51C83=1556，
P(X=3)=C33C50C83=156．
∴ X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
528
1528
1556
156
期望值为：
E(X)=0×528+1×1528+2×1556+3×156=98．
【考点】
众数、中位数、平均数
频率分布直方图
正态分布的密度曲线
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)x?=0.010×10×46+562+0.020×10×56+662+
0.045×10×66+762+0.020×10×76+862+
0.005×10×86+962=70．
(2)由题意可知，样本方差S2=100，故σ≈S2=10?，
∴ X?N70,102?，
∴ 该厂生产的产品为正品的概率P=P(60=P(60=12×0.6827+0.9545=0.8186．
(3)X的可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=C30C53C83=528，
P(X=1)=C31C52C83=1528，
P(X=2)=C32C51C83=1556，
P(X=3)=C33C50C83=156．
∴ X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
528
1528
1556
156
期望值为：
E(X)=0×528+1×1528+2×1556+3×156=98．
22.
【答案】
(1)解：(i)当k=6时，
f(x)=x3+6lnx，f′(x)=3x2+6x，
可得f(1)=1，f′(1)=9，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为：
y?1=9(x?1)，即y=9x?8；
(ii)依题意，g(x)=x3?3x2+6lnx+3x，x∈(0,+∞)．
从而可得g′(x)=3x2?6x+6x?3x2，
整理可得：g′(x)=3(x?1)3(x+1)x2，
令g′(x)=0，解得x=1．
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
x=1
(1,+∞)
g′(x)
?
0
+
g(x)
单调递减
极小值
单调递增
所以，函数g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)；
g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值；
(2)证明：由f(x)=x3+klnx，得f′(x)=3x2+kx．
对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，
令x1x2=t(t>1)，
则x1?x2f′x1+f′x2?2fx1?fx2
=x1?x23x12+kx1+3x22+kx2?2x13?x23+klnx1x2
=x13?x23?3x12x2+3x1x22+kx1x2?x2x1?2klnx1x2
=x23t3?3t2+3t?1+kt?1t?2lnt①．?
令h(x)=x?1x?2lnx，x∈(1,+∞)．
当x>1时，h′(x)=1+1x2?2x=1?1x2>0，
由此可得h(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以当t>1时，h(t)>h(1)，即t?1t?2lnt>0．
因为x2≥1，t3?3t2+3t?1=(t?1)3>0，k≥?3,
所以x23t3?3t2+3t?1+kt?1t?2lnt
≥t3?3t2+3t?1?3t?1t?2lnt
=t3?3t2+6lnt+3t?1②．
由(1)(ii)可知，当
t>1时，g(t)>g(1)，即t3?3t2+6lnt+3t>1，
故t3?3t2+6lnt+3t?1>0③．
由①②③可得x1?x2(f′x1)+f′x2?2(fx1?fx2)>0，
所以，当k≥?3时，任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有
f′x1+f′x22>fx1?fx2x1?x2．
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
?(1)(i)根据导数的几何意义即可求出切线方程；
(ii)根据导数与函数单调性、极值的关系，即可求出；
(2)要证不等式成立，只要证明(x1?x2)f′(x1)+f′(x2)?2f(x1)?f(x2)>0，根据导数与函数最值的关系，利用放缩法即可证明．
【解答】
(1)解：(i)当k=6时，
f(x)=x3+6lnx，f′(x)=3x2+6x，
可得f(1)=1，f′(1)=9，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为：
y?1=9(x?1)，即y=9x?8；
(ii)依题意，g(x)=x3?3x2+6lnx+3x，x∈(0,+∞)．
从而可得g′(x)=3x2?6x+6x?3x2，
整理可得：g′(x)=3(x?1)3(x+1)x2，
令g′(x)=0，解得x=1．
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
x=1
(1,+∞)
g′(x)
?
0
+
g(x)
单调递减
极小值
单调递增
所以，函数g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)；
g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值；
(2)证明：由f(x)=x3+klnx，得f′(x)=3x2+kx．
对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，
令x1x2=t(t>1)，
则x1?x2f′x1+f′x2?2fx1?fx2
=x1?x23x12+kx1+3x22+kx2?2x13?x23+klnx1x2
=x13?x23?3x12x2+3x1x22+kx1x2?x2x1?2klnx1x2
=x23t3?3t2+3t?1+kt?1t?2lnt①．?
令h(x)=x?1x?2lnx，x∈(1,+∞)．
当x>1时，h′(x)=1+1x2?2x=1?1x2>0，
由此可得h(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以当t>1时，h(t)>h(1)，即t?1t?2lnt>0．
因为x2≥1，t3?3t2+3t?1=(t?1)3>0，k≥?3,
所以x23t3?3t2+3t?1+kt?1t?2lnt
≥t3?3t2+3t?1?3t?1t?2lnt
=t3?3t2+6lnt+3t?1②．
由(1)(ii)可知，当
t>1时，g(t)>g(1)，即t3?3t2+6lnt+3t>1，
故t3?3t2+6lnt+3t?1>0③．
由①②③可得x1?x2(f′x1)+f′x2?2(fx1?fx2)>0，
所以，当k≥?3时，任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有
f′x1+f′x22>fx1?fx2x1?x2．