8.4 三元一次方程组的解法（共36张ppt）

(共36张PPT)
第八章
二元一次方程组
8.4
三元一次方程组
的解法
1
课堂讲解
三元一次方程组的识别
三元一次方程组的解法
三元一次方程组的简单应用
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲
数的2倍与乙数的和
比丙数大20,求这三个数.
在上述问题中，设甲数为x，乙数为y，丙数为z，由
题意可得到方程组：
这个方程组和前面学
过的二元一次方程组有什
么区别和联系？
含有三个未知数
含未知数的项次数都是一次
特点
1
知识点
三元一次方程组的识别
含有三个未知数，并且含未知数的项的次数是一次的方程组叫做三元一次方程组.
三元一次方程组必备条件：
(1)是整式方程；
(2)共含三个未知数；
(3)三个都是一次方程；
(4)联立在一起．
例1
下列方程组中，是三元一次方程组的是(　　)
A.
B.
C.
D.
D
A选项中，方程x2－y＝1与xz＝2中有含未知数的
项的次数为2的项，
不符合三元一次方程组的定
义，故A选项不是；B选项中
不是整式，
故B选项不是;
C选项中方程组中共含有四个未知
数,故C选项不是;
D选项符合三元一次方程组的
定义．故答案为D.
导引：
三元一次方程组需满足的条件：
(1)方程组中一共含有三个未知数；
(2)每个方程中所含未知数的项的次数都是1；
(3)每个方程均是整式方程．
总
结
1
下列方程是三元一次方程的是______．(填序号)
①x＋y－z＝1;
②4xy＋3z＝7；
③
④6x＋4y－3＝0.
①
2
下列方程组中是三元一次方程组的是(　　)
A.
B.
C.
D.
B
3
若(a＋1)x＋5yb＋1＋2z2－|a|＝10是一个三元一次方程，则(　　)
A．a＝1，b＝0
B．a＝－1，b＝0
C．a＝±1，b＝0
D．a＝0，b＝0
C
2
知识点
三元一次方程组的解法
怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一
次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，
化成一元一次方程求解.
那么，能不能用同样的思
路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个
未知数，把它化成二元一次方程组呢？
让我们看前面列出的三元一次方程组
仿照前面学过的代入法，我们可以把③分别
代入①②，得到两个只含y，z的方程：
4y+y+z=12，
4y+2y+5z=22.
它们组成方程组
得到二元一次方程组之后，就不难求出y和z，进而
可求出x.
（来自《教材》）
从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的
基本思路是：通过“代入”
或“加减”进行消元，
把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转
化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次
方程.
这与解二元一次方程组的思路是一样的.
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程组
试一试
上面的三元一次方程组能否应用加减消元法
求解?
比较一下，哪种方法更简便？
解三元一次方程组的一般步骤：
(1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未
知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系
数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一
起．
解三元一次方程组：
例2
②×3+③，得11x+10z＝35.
④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
解：
方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y,
得
到一个只含x，z
的方程，与方程①组成一个二
元一次方程组.
分析：
把x=5,
z=
-2代人②，得
2×5+3y
-2
=
9，
所以?
因此，这个三元一次方程组的解为
（来自教材）
总
结
解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可
以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程
组选择最为简便的解法．此题中的方法一最为简便．
要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步
骤和消元方法，不要盲目消元．
解下列三元一次方程组：
（来自《教材》）
1
③－①，得2z＋2y＝56，即y＋z＝28　④，
②＋④，得2y＝31，所以y＝15.5.
把y＝15.5代入①，得x＝22.
把y＝15.5代入②，得z＝12.5.
所以原方程组的解为
（来自《教材》）
解：
①＋②，得5x＋2y＝16　④，
①－③，得2x－2y＝－2　⑤，
④＋⑤，得7x＝14，所以x＝2.
将x＝2代入④，得y＝3.
将x＝2，y＝3代入③，得z＝1.
所以原方程组的解为
（来自《教材》）
解：
3
知识点
三元一次方程组的简单应用
列三元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表
示题目中的数量关系．
(2)找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系；
(3)根据等量关系列出方程，建立方程组；
(4)解出方程组求出未知数的值；
(5)写出答案，包括单位名称．
在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当
x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60.
求a，b，c的
值．
例3
导引：
把a，b，c看成三个未知数，分别把已知的x，y值
代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组.
根据题意，得三元一次方程组
解：
②－①，得a＋b＝1；
④
　
③－①，得4a＋b＝10.
⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把
代入①，得c＝－5.
因此
即a，b，c的值分别为3，－2，－5.
某汽车在相距70
km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有
一坡度均匀的小山.
该汽车从甲地到乙地需要2.5
h,
从
乙地到甲地需要2.3
h.
假设该汽车在平路、上坡路、下
坡路的行驶过程中的时速分别是30
km,
20
km,
40
km，
则从甲地到乙地的过程中,
上坡路、平路、下坡路的长
度各是多少？
例4
导引：
题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡
路长度＝70
km；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋
平路时间＋下坡时间＝2.5
h；③从乙地到甲地的过程中，
上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3
h.
设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路
的长度分别是x
km，y
km和z
km.
由题意得
答：从甲地到乙地的过程中，上坡路的长度是12
km，
平路的长度是54
km，下坡路的长度是4
km.
解得
解：
总
结
解此题的关键是理解在汽车往返行驶的过程中，
如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地
时就变成了下坡路段．
甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的
等于丙数的
，求这三个数.
1
设甲数为x，乙数为y，丙数为z，
则有
解这个方程组，得
答：甲数为10，乙数为15，丙数为10.
解：
已知单项式－8a3x＋y－zb12cx＋y＋z与2a2b2x－yc6是同类项，则x＝________，y＝________，z＝________．
2
4
－4
6
在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝0；当x＝0时，y＝－5，可列出关于a，b，c的三元一次方程组是(　　)
A.
B.
C.
D.
3
C
【中考·黑龙江】小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为2元、4元、6元，购买这些学习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法(　　)
A．6
B．5
C．4
D．3
4
D
解三元一次方程组的基本思路仍是消元，是将复杂问
题简单化的一种方法．其目的是利用代入法或加减法消去
一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方
程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．其基
本过程为：三元
二元
一元．
1
知识小结
2
易错小结
解方程组
解：
由②＋①×2，得7x＋8z＝4.④
由③＋②×2，得2x＋3z＝3.⑤
由④⑤组成方程组，得
解得
把
代入①，得y＝－2.
所以原方程组的解为
解三元一次方程组时，通常需在某些方程两边同乘某常数，以便于消去同一未知数；在变形过程中，易漏乘常数项而出现方程①变形为4x＋2y＋6z＝1的错误．
易错点：加减消元时，易漏乘某项系数而出错