(共37张PPT)
第八章
二元一次方程组
8.1
二元一次方程组
第1课时
二元一次方程
1
课堂讲解
二元一次方程
二元一次方程的解
用含一个未知数的式子表示另一个未知数
二元一次方程的应用及整数解
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
判断下列式子是否是一元一次方程：
回顾旧知
一元一次方程
1、只有一个未知数
2、未知数的指数是一次
3、方程的两边都是整式
1
知识点
二元一次方程
思考
引言中的问题包含了哪些必须同时满足的条件？
设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些
条件表示出来吗？
由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：
胜的场数+负的场数=总场数，
胜场积分+负场积分=总积分.
这两个条件可以用方程
x
+
y
=10,
2x
+
y
=
16
表示.
想一想：
上面问题中，我们分别得到方程x
+
y
=10,
2x
+
y
=
16．这些方程各含有几个未知数？
含未知数的项的次数是多少？
1、只含有两个未知数
2、未知数的最高次数是1次
可以发现
3、方程的两边必须是整式
二元
一次
整式方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的
次数都是1的方程叫做二元一次方程．
定义
(1)二元一次方程的条件：
①整式方程；
②只含两个未知数；
③两个未知数系数都不为0；
④含有未知数的项的次数都是1.
(2)二元一次方程的一般形式：ax＋by＝c(a≠0，
b≠0)．
有下列方程：①xy
＝1;
②2x＝3y;
③
④x2＋y＝3;
⑤
⑥ax2＋2x＋3y＝0
(a＝0)，其中，二元一次方程有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
根据二元一次方程的定义，①含未知数的项xy的次
数是2；③不是整式方程；④含未知数的项x2，y中，
x2的次数不是1.只有②⑤⑥满足．其中⑥已指明
a＝0，所以ax2＝0，则方程化简后为2x＋3y＝0.
C
例1
导引：
总
结
判断一个方程是否为二元一次方程的方法：
一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；
二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都
不为0且含未知数的项的次数都是1.
例2
(1)已知方程(a＋2)x＋(b－3)y＝9是关于x，y的
二元一次方程，则a的取值范围是________，
b的取值范围是________；
(1)因为方程(a＋2)x＋(b－3)y＝9是关于x，y的
二元一次方程，所以a＋2≠0，b－3≠0，所
以a≠－2，b≠3；
a≠－2
b≠3
导引：
(2)已知xm－2－yn＋1＝99是关于x，y的二元一次
方程，则m＝____，n＝____.
(2)因为xm－2－yn＋1＝99是关于x，y的二元一次
方程，所以m－2＝1，n＋1＝1，所以m＝3，
n＝0.
3
0
导引：
总
结
在含有字母参数的方程中，如果指明它是二元一次方程，那么它必定隐含两个条件：
(1)含未知数的项的次数都是1；
(2)两个未知数的系数都不为0，根据这两个条件，可
分别得到关于字母参数的方程或不等式(下章将学
到)，由此可求得字母参数的值或取值范围．
1
在下列式子:①
②
③3x＋
y2－2＝0；④x＝y；⑤x＋y－z－1＝8;
⑥2xy＋
9＝0中，是二元一次方程的是_____．(填序号)
①
④
2
下列各式中，是二元一次方程的是( )
A．x－4＝y2
B．4x＋y＝6z
C.
＋1＝y
D．5x－2y＝19
D
3
若xa＋2＋yb－1＝－3是关于x，y的二元一次方程，则a，b应满足( )
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝－1，b＝2
D．a＝1，b＝2
C
4
方程(m2－9)x2＋x－(m＋3)y＝0是关于x，y的二元一次方程，则m的值为( )
A．±3
B．3
C．－3
D．9
B
2
知识点
二元一次方程的解
二元一次方程的解：
定义：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，
叫做这个二元一次方程的一个解．
二元一次方程x－2y＝1有无数组解，下列四组值
中不是该方程的解的是(
)
A.
B.
C.
D.
例3
导引：
二元一次方程的解是能使方程两边相等的一对未
知数的值；因此将各个选项逐一代入原方程中，
能使方程左右两边相等，则是方程的解，否则就
不是方程的解．
B
总
结
(1)判断一组数值是不是方程的解，可将这组数值分别
代入方程中，若满足该方程，则这组数值就是这个
方程的解，若不满足该方程，则这组数值就不是这
个方程的解；
(2)二元一次方程中，如果已知其中一个未知数的值，
我们可以利用二元一次方程的解的定义求出与它对
应的另一个未知数的值．
1
【中考·台湾】x＝－3，y＝1为下列哪一个二元一次方程的解？( )
A．x＋2y＝－1
B．x－2y＝1
C．2x＋3y＝6
D．2x－3y＝－6
A
2
已知
是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是( )
A．1
B．3
C．－3
D．－1
A
3
如果
是方程x－3y＝－3的一组解，那么代数式5－a＋3b的值是( )
A．8
B．5
C．2
D．0
A
3
知识点
用含一个未知数的式子表示另一个未知数
二元一次方程x＋y=6，
(1)用含有x的代数式表示y为__________;
(2)用含有y的代数式表示x为__________.
把方程2x+2y=6改写成用含x的式子表示y的形式，得______________.
本题是将二元一次方程变形，用一个未知数表示另
一个未知数，可先移项，再系数化为1．把方程
2x+2y=6移项得：2y=6-2x，化简：y=3-x.
例4
解析：
y=3-x
总
结
用含一个未知数的式子表示另一个未知数的变形
步骤为：
(1)移项，把被表示项移到一边，把其他项移到另
一边；
(2)化系数为1，在方程两边同除以被表示项的系数.
1
由
可以得到用x表示y的式子为( )
A．
B．
C．
D．
C
如果2x－7y＝8，那么用含y的代数式表示x正确的是( )
A．
B．
C．
D．
2
C
4
知识点
二元一次方程的应用及整数解
例5
求二元一次方程3x＋2y＝12的非负整数解．
导引：对于二元一次方程3x＋2y＝12而言，它有无数组
解，但它的非负整数解是有限的，可利用尝试取
值的方法逐个验证．
解：
原方程可化为
因为x，y都是非负整数，
所以必须保证12-3x能被2整除，
所以x必为偶数．
而由
所以x＝0或2或4.
当x＝0时，y＝6；当x＝2时，y＝3；当x＝4时，y＝0，
所以原方程的非负整数解为
x≥0，得0≤x≤4，
总
结
求二元一次方程的整数解的方法：(1)变形：把x看
成常数，把方程变形为用x表示y的形式；(2)划界：根据
方程的解都是整数的特点，划定x的取值范围；(3)试值：
在x的取值范围内逐一试值；(4)确定：根据试值结果得
到二元一次方程的整数解．其求解流程可概述为：
变形
用x表示y
确定x的范围
逐一验证
划界
确定．
试值
二元一次方程2x＋y＝5的正整数解有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
1
【中考·龙江】“双11”促销活动中，小芳的妈妈计划用1
000元在唯品会购买价格分别为80元和120元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有( )
A．4种
B．5种
C．6种
D．7种
2
A
1.
二元一次方程的特征：
(1)是整式方程；
(2)只含有两个未知数；
(3)含有未知数的项的次数都是1；
(4)能整理成ax＋by＝c的形式，且a≠0，b≠0.
1
知识小结
2.
二元一次方程的解：
(1)二元一次方程的解一般都有无数多个；其整数
解一般是有限个；
(2)每个解都是一对实数，通常用大括号联立．
若(m＋2)x|m|－1＋y2n＋m＝5是关于x，y的二元一次方程，
则m＝________，n＝________．
2
易错小结
2
易错点：忽视二元一次方程定义的隐含条件而致错
由已知方程是二元一次方程可得|m|－1＝1，且m
＋2≠0，解得m＝2；另外，由2n＋m＝1得n＝
.
此题易错之处在于求m的值时，忽略题目中的隐含条件m＋2≠0，从而导致m的取值出现两种结果.(共31张PPT)
第八章
二元一次方程组
8.1
二元一次方程组
第2课时
二元一次方
程组
1
课堂讲解
二元一次方程组
二元一次方程组的解
建立二元一次方程组的模型
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数
都是1的方程叫做一元一次方程.
使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方
程的解.
1
知识点
二元一次方程组
我国是一个淡水资源严重缺乏的国家．有关数据
显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资
源占有量的
,
中、美两国人均淡水资源占有量之和
为13
800
m3，那么中、美两国人均淡水资源占有量各
为多少?
我们假设中国人均淡水资源占有量为x
m3，美
国人均淡水资源占有量为y
m3，根据题意得出方程
y=5x．x+y=13
800．如果将这两个方程组合在一
起．将会得到
它们两个都是二元
一次方程，并且含有相同的未知数．
像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组
成的一组方程，叫做二元一次方程组．
1.定义：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的
一组方程，叫做二元一次方程组．
2.要点精析：
二元一次方程组的条件：
(1)共含有两个未知数．
(2)每个方程都是一次方程．
有下列方程组：① ②
③ ④
⑤
其中二元一次方程组有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
例1
导引：①方程组中第一个方程含未知数的项xy的次
数不是1；②方程组中第二个方程不是整式
方程；③方程组中共有3个未知数．只有④
⑤满足，其中⑤中的π是常数．
总
结
识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法：
一看方程组中的方程是否都是整式方程；
二看方程组中是不是只含有两个未知数；
三看含未知数的项的次数是不是都为1.
1
下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A.
B.
C.
D.
C
2
下列不属于二元一次方程组的是( )
A.
B.
C.
D.
D
2
知识点
二元一次方程组的解
二元一次方程组的解：
定义：二元一次方程组中各个方程的公共解，
叫做这个二元一次方程组的解．
根据下表所给出的x的值及关于x，y的二元一次方
程，求出相应的y的值，并填入表内．
请你从上表中找出二元一次方程组
的解．
根据二元一次方程组的解的概念，找出同时满足
两个二元一次方程的公共解，即为二元一次方程
组的解．
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y＝2x
y＝x＋5
例2
导引：
填表如下：
从表中可以看出
解，也是二元一次方程
y＝x＋5的解，
所以二元一次方程组
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y＝2x
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
y＝x＋5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
既是二元一次方程y＝2x的
的解是
解：
总
结
本题运用定义法，检验一组数是不是某个二元一次
方程组的解，常用的方法是将这组数分别代入方程组的
每个方程中去，只要这组数满足每个方程，才能说这组
数是此方程组的解；只要发现这组数不满足其中一个方
程，即可判定这组数不是二元一次方程组的解．
关于x，y的方程组
的解是
其中y的值被盖住了，不过仍能求出p，则p的
值是( )
A．－
B.
C．－
D.
1
A
已知二元一次方程组
下面说法正确的是( )
A．同时适合方程①和方程②的x，y的值是方程
组的解
B．适合方程①的x，y的值是方程组的解
C．适合方程②的x，y的值是方程组的解
D．适合方程①或方程②的x，y的值，一定是方
程组的解
2
A
【中考·泰安】方程5x＋2y＝－9与下列方程构成的方程组的解为
的是( )
A．x＋2y＝1
B．3x＋2y＝－8
C．5x＋4y＝－3
D．3x－4y＝－8
3
D
【中考·舟山】若二元一次方程组
的解为
则a－b＝( )
A．1
B．3
C．－
D.
4
D
3
知识点
建立二元一次方程组的模型
某中学组织七年级学生春游，原计划租用45座的客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，试问七年级学生人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？(只列方程组)
例3
此题中有两个未知量——七年级学生人数和原计划
租用45座客车的辆数，有两个等量关系：
(1)45×45座客车的辆数＋15＝七年级学生人数；
(2)60×(45座客车的辆数－1)＝七年级学生人数．
设七年级学生有x人，原计划租用y辆45座客车．
根据题意，有
导引：
解：
总
结
这是与现实生活有关的方程类问题，解决这类问
题的关键是建立恰当的数学模型．列方程组的方法可
类比列一元一次方程的方法；不同的是根据实际问题
找出题目中的两个等量关系，并分别列出相应的方程．
对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解.
加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人
每天可完成1
200件.
现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每
天第一、第二道工序所完成的件数相等？
（来自《教材》）
1
设应安排x人参加第一道工序，y人参加第二道
工序，根据题意得
方程组整理为
因为x，y只能取
正整数，并且都小于7，可以看出当x＝4，y＝3时能满足方程组，所以应安排4人参加第一道工序，3人参加第二道工序．
（来自《教材》）
解：
若单项式5xa＋by3与
x5ya－b是同类项，则a，b
的值分别为( )
A．a＝4，b＝1
B．a＝－4，b＝1
C．a＝4，b＝－1
D．a＝－4，b＝－1
2
A
【中考·内江】端午节前夕，某超市用1
680元购进A、B两种商品共60件，其中A型商品每件
24元，B型商品每件36元．设购买A型商品x件、B型商品y件，依题意列方程组正确的是( )
A.
B.
C.
D.
3
B
【中考·茂名】我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为( )
A.
B.
C.
D.
4
C
1．二元一次方程组的特征：
(1)整个方程组(不是方程组中的每个方程)含有且
只含有两个未知数；
(2)每个方程都是一次方程；
(3)每个方程都是整式方程．
1
知识小结
2.
二元一次方程组的解：
(1)常见的二元一次方程组一般都只有一组解(有时
无解)；
(2)只要告诉一组值是某个二元一次方程组的解，
就说明这组值是方程组中每个方程的解；
(3)方程组的解一定是方程组中每个方程的解；而
方程组中的某一方程的解不一定是方程组的解．
2
易错小结
判断
是否是二元一次方程组
的解．
解：
将
分别代入方程①和方程②中，得4x＋2y
＝2成立，x＋y＝－1不成立，所以
不是方程组
的解．
本题中方程组的解应是方程组中两个方程的公
共解．此题易错之处在于只将
代入方程①后，就进行判断，从而得出错误结论．
易错点：对二元一次方程组的解理解不透彻，导致
在检验时出错
