(共34张PPT)
第八章
二元一次方程组
8.2
消元——解二元一次方程组
第1课时
代入消元法
1
课堂讲解
代入消元法
代入消元法的应用
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
1、什么是二元一次方程的解？
2、什么是二元一次方程组的解？
复
习
提
问
1
知识点
代入消元法
在8.1节中我们已经看到，直接设两个未知数：胜
x场、负y场，可以列方程组
表示本章引
言中问题的数量关系.
如果只设一个未知数:胜x场，那
么这个问题也可以用一元一次方程
2x+(10-x)
=
16
来解.
思考
上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关
系？
我们发现，二元一次方程组中第一个方程x+y=10
可以写为y=10-x.
由于两个方程中的y都表示负的场数，
所以，我们把第二个方程2x+y=16
中的y换为10-x，这
个方程就化为一元一次方程2x+(10-x)
=
16.解这
个方程，
得x=6.
把x=6代入y=10-x，得y=4.从而得到这个方程组
的解.
1．消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果
消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转
化为一元一次方程，先求出一个未知数，然后再求
另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐
一解决的思想，叫消元思想．
2．代入消元：
(1)定义：将二元一次方程组中一个方程中的某个未
知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并
代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二
元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的
方法称为代入消元法，简称代入法．
(2)用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤及方法：
①变形为y＝ax＋b(或x＝ay＋b)的形式；
②代入；
③求出一个未知数；
④求出另一个未知数；
⑤写出解
.
解方程组：
（来自教材）
例1
解：
由①，得
x=y+3.
③
将③代入②，得
3(y+3)
-8y=14.
解这个方程，得
y=-1.
把y=
-1代入
③，得
x=2.
所以这个方程组的解是
分析：
方程①中x的系数是1，用含y的式子表示x，
比较简便.
总
结
利用代入法解二元一次方程组的思路：
将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个
未知数的式子表示出来，并代入另一个方程，从而
消去一个未知数，化二元方程为一元方程．用代入
法解方程组时，选择方程用一个未知数表示另一个
未知数是解题关键，它影响着解题的繁简程度，因
此应尽量选取系数比较简单的方程．
用代入消元法解二元一次方程组：
将两个方程先化简，再将化简后方程组中的一个
进行变形，然后用代入消元法进行求解．
例2
导引：
解：原方程组化简得：
由①得
把③代入②得
把x＝9代入③，得y＝6.
所以原方程组的解为
解得x＝9.
总
结
当二元一次方程组中的系数较复杂时，可先将
方程组整理成二元一次方程组的标准形式
这里a1，b1，c1，a2，b2，c2是常数，x，y是未知数．
用代入法解下列方程组
（来自《教材》）
1
把①代入②，
得3x＋2(2x－3)＝8，解得x＝2.
把x＝2代入①，得y＝1.
所以原方程组的解是
（来自《教材》）
解：
由①，得y＝2x－5.
③把③代入②，得3x＋4(2x－5)＝2，
解得x＝2.
把x＝2代入③，得y＝－1.
所以原方程组的解是
（来自《教材》）
用代入法解方程组
下列说法正确的是( )
A．直接把①代入②，消去y
B．直接把①代入②，消去x
C．直接把②代入①，消去y
D．直接把②代入①，消去x
2
B
3
用代入法解方程组
较简单的
方法是( )
A．消y
B．消x
C．消x和消y一样
D．无法确定
A
2
知识点
代入消元法的应用
例3
用代入消元法解方程组：
观察方程组可以发现，两个方程中x与y的系数的
绝对值都不相等，但①中y的系数的绝对值是②
中y的系数的绝对值的4倍，因此可把2y看作一个
整体代入．
导引：
解：由②，得2y＝3x－5.③
把③代入①，得4x＋4(3x－5)＝12，解得x＝2.
把x＝2代入③，得
所以这个方程组的解是
总
结
解方程组时，不要急于求解，首先要观察方程组
的特点，因题而异，灵活选择解题方法，达到事半功
倍；本题中，若由②求得y后再代入①，既增加了一
步除法运算又因为出现分数而增加了运算量，而把2y
看作一个整体，则大大简化了解题过程．
根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500
g)和小瓶装(250
g)两种产品的销售数量(按瓶计算)比为
2:
5.
某厂每天生产这种消毒液22.5
t，
这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
导引：
例4
问题中包含两个条件：
大瓶数：小瓶数=2
:
5，
大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液=总生产量.
（来自《教材》）
设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶.
根据大、
小瓶数的比，以及消毒液分装量与总生产量的
数量关系，得
由①，得
把③代人②，得
500x+250×
=22
500
000,
（来自《教材》）
解：
解这个方程，得
x=20
000.
把x=20
000代入③，得
y=50
000.
所以这个方程的解是
答：这些消毒液应该分装20
000大瓶和50
000
小瓶.
（来自《教材》）
1
有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排
球队12人，每名运动员只能参加一项比赛.
篮球、排球队各有多少支参赛？
（来自《教材》）
设篮球队有x支参赛，排球队有y支参赛．
根据题意，得
由①，得x＝48－y.③
把③代入②，得10(48－y)＋12y＝520，
解得y＝20.
把y＝20代入③，得x＝28.
所以方程组的解是
答：篮球队有28支参赛，排球队有20支参赛．
（来自《教材》）
解：
2
张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，1.5
h
后到达县城.
他骑车的平均速度是15
km/h，步行的平均速度是5
km/h，路程全长20
km.
他骑车与步行各用多少时间？
（来自《教材》）
设张翔骑车用x
h，步行用y
h．
根据题意，得
由①，得x＝1.5－y.③
把③代入②，得15(1.5－y)＋5y＝20，
解得y＝0.25.
把y＝0.25代入③，得x＝1.25.
所以方程组的解是
答：张翔骑车与步行分别用1.25
h，0.25
h.
（来自《教材》）
解：
【中考·绵阳】若
则
(b－a)2
015＝( )
A．－1
B．1
C．5
2
015
D．－5
2
015
3
A
已知关于x，y的方程组
则y用
只含x的式子表示为( )
A．y＝2x＋7
B．y＝7－2x
C．y＝－2x－5
D．y＝2x－5
4
B
【中考·常德】某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有( )
A．9天
B．11天
C．13天
D．22天
5
B
利用代入消元法解二元一次方程组的关键是找准代
入式，在方程组中选择一个系数最简单(尤其是未知数前
的系数为±1)的方程，进行变形后代入另一个方程，从
而消元求出方程组的解．
1
知识小结
2
易错小结
【中考·广州】解方程组
解：
由①得x＝5－y，③
把③代入②得10－2y＋3y＝11，解得y＝1.
把y＝1代入③得x＝4.
则方程组的解为
本题容易出现将③代入①这种循环代入错误，从而解不出方程组．
易错点：用代入法消元时因循环代入而致错(共42张PPT)
第八章
二元一次方程组
8.2
消元——解二元一次方程组
第2课时
加减消元法
1
课堂讲解
直接加减消元
先变形，再加减消元
用适当的方式解二元一次方程组
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
主要步骤：
基本思路:
写解
求解
代入
把变形后的方程代入到另一个方程中，消去一个元
分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
变形
用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数,
写成y=ax+b或x=ay+b
消元:
二元
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
2、用代入法解方程的步骤是什么？
一元
1
知识点
直接加减消元
把②变形得
代入①，不就消去x了!
怎样解下面的二元一次方程组呢？
按小丽的思路，你能消去一个未知数吗?
把②变形得5y＝2x＋11,
可以直接代入①呀！
5y和－5y互为相反数……
两个方程相加，可以得到5x
=
10,
x
=
2.
将x
=
2代入①，得
6
+
5y
=
21，
y
=
3.
所以方程组
的解是
加减法定义：当二元一次方程组的两个方程中同
一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边
分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一
元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
用加减法解方程组：
例1
导引：
两个方程中x的系数相同，y的系数互为相反数，
这样可以把两个方程相加消去y，或者把两个方
程相减消去x.
方法一：①＋②，得6x＝12，解得x＝2.把x＝2
代入②，得3×2＋7y＝13，解得y＝1.
所以原方程组的解为
解：
方法二：①－②，得－14y＝－14，解得y＝1.
把y＝1代入①，得3x－7×1＝－1，解得x＝2.
所以原方程组的解为
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数
的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相
加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一
次方程，然后解答方程即可.
总
结
1
方程组
中，x的系数的特点是_______，
方程组
中，y的系数的特点是
____________，这两个方程组用________消元法
解较简便．
相等
互为相反数
加减
2
方程组
既可以用__________消去未知数_____；也可以用______________消去未知数______．
①＋②
y
①－②或②－①
x
3
用加减法解方程组
时，
①－②得( )
A．5y＝2
B．－11y＝8
C．－11y＝2
D．5y＝8
A
4
解方程组
时，用加减消元法
最简便的是( )
A．①＋②
B．①－②
C．①×2－②×3
D．①×3＋②×2
A
5
【中考·宁夏】已知x，y满足方程组
则x＋y的值为( )
A．9
B．7
C．5
D．3
C
2
知识点
先变形，再加减消元
如果二元一次方程组的未知数的系数相同或
互为相反数，我们可以运用加减法来解．那么对
于一些系数不同或不互为相反数的二元一次方程
组，还能用加减法来解吗?
用加减法解方程组：
（来自教材）
例2
这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相
等，直接加减这两
个方程不能消元.
我们对方程
变形，使得这两个方程中某个未知数的系数相反
或相等.
分析：
（来自教材）
解：
①×3，得
9x+12y=48.
③
②×2，得
10x-12y=66.
④
③+④，得19x=114，
即
x=6.
把x=6代入①
，得
3×6+4y=16，
4y=
-2，
y＝
所以这个方程组的解是
例3
解方程组：
导引：方程组中，两个方程中y的系数的绝对值成倍数
关系，方程②乘以3就可与方程①相加消去y.
解：
由②×3，得
51x－9y＝222，③
由①＋③，得
59x＝295，解得
x＝5.
把x＝5代入①，得8×5＋9y＝73，解得
所以原方程组的解为
1
用加减法解方程组：
（来自《教材》）
①＋②，得4x＝8，
解这个方程，得x＝2.
把x＝2代入①，得y＝
.
因此，这个方程组的解是
（来自《教材》）
解：
①×2，得10x＋4y＝50.③
③－②，得7x＝35，解这个方程，得x＝5.
把x＝5代入①，得5×5＋2y＝25，y＝0.
因此，这个方程组的解是
（来自《教材》）
解：
①×3，得6x＋15y＝24.③
②×2，得6x＋4y＝10.④
③－④，得11y＝14，y＝
.
把y＝
代入①，得2x＋5×
＝8，x＝
.
因此，这个方程组的解是
（来自《教材》）
解：
①×2，得4x＋6y＝12.③
②×3，得9x－6y＝－6.④
③＋④，得13x＝6，x＝
.
把x＝
代入①，得2×
＋3y＝6，y＝
.
因此，这个方程组的解是
（来自《教材》）
解：
用加减法解方程组
时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种变形的结果：
其中变形正确的是( )
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
2
B
3
知识点
用适当的方法解二元一次方程组
2台大收割机和5台小收割机同时工作2
h共收割小麦3.
6
hm2,
3台大收割机和2台小收割机同时工作5
h共收割小麦8
hm2.
1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
例4
（来自教材）
分析：
如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小
麦x
hm2和y
hm2,
那么2台大收割机和5台小收割
机同时工作1
h共收割小麦_____________
hm2,
3台大收割机和2台小收割机同时工作1
h共收割
小麦________hm2.
由此考虑两种情况下的工作
量.
（来自教材）
解：
设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦
x
hm2和y
hm2.
根据两种工作方式中的相等关系，
得方程组
去括号，得
②-①，得11x=4.4.
解这个方程，得x=0.4.
（来自教材）
把x=0.4代入①，得y=0.2.
因此，这个方程组的解是
答：1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小
麦0.
4
hm2和0.
2
hm2
上面
（来自教材）
例5
解方程组：
导引：方程①和②中x，y的系数的绝对值都不相等，
也不成倍数关系，应取系数的绝对值的最小
公倍数6，可以先消去x，也可以先消去y.
解：方法一：①×3，得6x＋9y＝9.③
②×2，得6x＋4y＝22.④
③－④，得5y＝－13，即
把
解得
所以这个方程组的解为
代入①，得
方法二：①×2，得4x＋6y＝6.⑤
②×3，得9x＋6y＝33.⑥
⑥－⑤，得5x＝27，解得
把
解得
所以这个方程组的解为
代入①，得
总
结
用加减消元法解二元一次方程组时，一般有三种
情况：
①方程组中某个未知数的系数的绝对值相等，则直接
利用加减法求解；
②方程组中任一个未知数的系数的绝对值都不相等，
但某个未知数的系数的绝对值成倍数关系，则其中
一个方程乘这个倍数后再利用加减法求解；
③方程组中任一个未知数的系数的绝对值既不相等，
也不成倍数关系，可利用最小公倍数的知识，把两
个方程都适当地乘一个数，使某个未知数的系数的
绝对值相等，然后再利用加减法求解．
一条船顺流航行，每小时行20
km；逆流航行，每小时行16
km.
求轮船在静水中的速度与水的流速.
（来自《教材》）
1
设轮船在静水中的速度为每小时x
km，水的流速为每小时y
km.依题意，得
①＋②，得2x＝36，x＝18.把x＝18代入①，得y＝2.
所以原方程组的解为
答：轮船在静水中的速度为每小时18
km，
水的流速为每小时2
km.
解：
运输360
t化肥，装载了
6节火车车厢和15辆汽车；运输440
t化肥，装载了
8节火车车厢和10辆汽车.
每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
（来自《教材》）
1
设每节火车车厢平均装x
t化肥，
每辆汽车平均装y
t化肥．
依题意，得
解：
（来自《教材》）
①×2，得12x＋30y＝720.③
②×3，得24x＋30y＝1
320.④
④－③，得12x＝600，x＝50.
把x＝50代入①，得
6×50＋15y＝360，y＝4.
所以原方程组的解为
答：每节火车车厢平均装50
t化肥，
每辆汽车平均装4
t化肥．
若方程组
的解也是二元一次方程
5x－my＝－11的一个解，则m的值等于( )
A．5
B．－7
C．－5
D．7
3
D
【中考·黔东南州】小明在某商店购买商品A，B共
两次，这两次购买商品A，B的数量和费用如表：
4
?
购买商品A的数量/个
购买商品B
的数量/个?
购买总
?费用/元
第一次购物
4
3
93
第二次购物
6
6
162
若小丽需要购买3个商品A和2个商品B，则她要花费( )
A．64元
B．65元
C．66元
D．67元
C
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)变形：将方程组中某一未知数的系数变为相等或
相反．
(2)加减：消去一个未知数．
(3)求解：得到一个未知数的值．
(4)回代：求另一个未知数的值．
(5)写出解．
1
知识小结
2
易错小结
解方程组：
解：
令x＋y＝a，x－y＝b，则原方程组可化为
解得
所以x＋y＝7，x－y＝1，将它们组成新方程组，即
解得
所以原方程组的解是
本题用换元法解方程组，容易犯偷换概念的错误，误认为a和b的值就是原方程组的解．
易错点：误将换元的解当作原方程组的解(换元法)(共24张PPT)
第八章
二元一次方程组
1
知识点
用适当的方法解二元一次方程组
1．解二元一次方程组的基本思路是________，即变“________
”为“________
”，其方法有两种：________消元法和________消元法
.
消元
二元
一元
代入
加减
当方程组中某个方程的系数比较简单（尤其是未知数的系数为±1)时，用_______消元法为宜；当两个方程的某一个未知数的系数的绝对值相等时，用_______消元法为宜；若不具备上述条件，可以通过适当变形，用________消元法求解.
代入
加减
加减
2．解方程组①
②
比较简便的方法是( )
A.都用代入法
B.都用加减法
C.①用代入法，②用加减法
D.①用加减法，②用代入法
y＝x－3
7x＋5y＝－9
3x＋5y＝12
3x－15y＝－6
C
3．用加减法解方程组
时，要使方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形，以下四种变形正确的是( )
①
②
③
④
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
3x＋2y＝6
2x＋3y＝1
9x＋6y＝6
4x＋6y＝2
9x＋6y＝18
4x－6y＝2
9x＋6y＝18
4x＋6y＝2
6x＋4y＝12
6x＋9y＝3
C
3x－5y＝2
①
9x＋2y
＝23
②
4．用代入法解方程组
的最佳策略是( )
A.消y，由②得y＝
(23－9x)
B.消x，由①得x＝
(5y＋2)
C.消x，由②得x＝
(23－2y)
D.消y，由①得y＝
(3x－2)
B
5．已知x，y满足
如果①×a＋②×b可整体得到x＋11y的值，那么a，b的值可以是( )
A.a＝2，b＝－1
B.a＝－4，b＝3
C.a＝1，b＝－7
D.a＝－7，b＝5
2
知识点
方程组与其他知识的综合运用
2x－3y＝1
①
3x－2y＝5
②
D
6．
(中考·桂林)若
，则x，y的值为( )
B.
C.
D.
x＝1
y＝4
x＝2
y＝0
x＝0
y＝2
x＝1
y＝1
D
7．若方程组
的解也是二元一次方程5x－my＝－11的一个解，则m的值等于( )
A.5
B.－7
C.－5
D.7
2x－y＝1
3x＋2y＝12
D
8．如图，在正方形ABCD的每个顶点上写一个数，把这个正方形每条边的两端点上的数加起来，将和写在这条边上，已知AB上的数是3，BC上的数是7，
CD上的数是12，则AD上的数是( )
A.2
B.7
C.8
D.15
C
9．
(中考·黔东南州)小明在某商店购买商品A，B共两次，这两次购买商品A，B的数量和总费用如下表：
若小丽需要购买3个商品A和2个商品B，则她要花费( )
A.64元
B.65元
C.66元
D.67元
C
10．(中考·舟山)用消元法解方程组
时，
两位同学的解法如下：
解法一：由①－②，得3x＝3.
解法二：由②，得3x＋(x－3y)＝2.③
把①代入③，得3x＋5＝2.
1
题型
适当的消元方法在解方程组中的应用
x－3y＝5
①
4x－3y＝2
②
(1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”.
(2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答.
(1)解法一中的计算有误(标记略)．
(2)由①－②，得－3x＝3，解得x＝－1.把x＝－1代入①，得－1－3y＝5，解得y＝－2.
所以原方程组的解是
解：
x＝－1
y＝－2
2
题型
解方程组在求新定义中字母值中的应用
11．(中考·扬州)对于任意实数a，b，定义关于“?”的一种运算如下：a
?
b＝2a＋b.例如3
?
4＝2×3＋4＝10.
(1)求2
?(－5)的值；
(2)若x
?(－y)＝2，且2y
?
x＝－1，求x＋y的值.
解：
(1)2?(－5)＝2×2＋(－5)＝4－5＝－1.
(2)由题意，得
解得
则x＋y＝
.
2x－y＝2
4y＋x＝－1
3
题型
方程组的解与二元一次方程的解之间的关系在求字母值中的应用
12．若关于x，y的二元一次方程组
的解满足3x＋y＝6，求k的值.
x＋y＝5k＋2
x－y＝4k－5
解：
①＋②，得x＝
；
①－②，得y＝
，
则
，解得k＝
.
x＋y＝5k＋2
①
x－y＝4k－5
②
换元法
13．用多种方法解方程组：
解：
解法一(代入法)：
方程组化简，得
由①，得y＝5x－36.③
把③代入②，得x＋5(5x－36)＝28，解得x＝8.
把x＝8代入③，得y＝4.
所以原方程组的解为
5x－y＝36
①
x＋5y＝28
②
x＝8
y＝4
解法二(加减法)：
方程组化简，得
①×5＋②，得26x＝208，x＝8.
把x＝8代入①，得40－y＝36，y＝4.
所以原方程组的解为
5x－y＝36
①
x＋5y＝28
②
x＝8
y＝4
解法三(换元法)：
设x＋y＝m，x－y＝n，
则原方程组可变为：
由①得2m＋3n＝36.③
③×2＋②×3，得13m＝156，
故m＝12.
①
3m－2n＝28
②
把m＝12代入②，解得n＝4.
于是可得方程组
解得
x＝8
y＝4
x＋y＝12
x－y＝4
【思路点拨】
一般方法：可将方程组化简成一般形式，用代入法或加减法解方程组；
特殊方法：可将x＋y，x－y分别作为一个整体，用换元法解.
