4.3 一元一次方程的应用 同步练习（含答案）

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第四章 一元一次方程
3 一元一次方程的应用
考点知识清单
考点1 立体图形的变化问题
例1 把一个长5 cm、宽6 cm、高40 cm的长方体铁块锻压成一个半径为4 cm的圆柱，圆柱的高是多少？（π取3）
思路提示: 铁块由长方体变形为圆柱体，体积未变，故可由等量关系“长方体的体积＝圆柱体的体积”构建方程求解.
方法归纳
实际生活中，立体图形的形状发生变化时，其高度、长度、宽度都可能发生变化，但是其体积保持不变所以解决此类问题，往往根据体积不变这个等量关系列一元一次方程，从而解决问题.
题组训练
1.将棱长为20 cm的正方体铁块锻造成一个长为100 cm、宽为5 cm的长方体铁块，求长方体铁块的高度.
考点2 平面图形的变化问题
例2 用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形。
（1）如果长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽；
（2）如果长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积.
思路提示:（1）不妨设长方形的长为x厘米，则宽为x厘米，然后依据等量关系:（长+宽）×2＝60，构建方程求解.（2）同（1），先求得长方形的长与宽，再利用面积公式求面积的大小。
方法归纳
实际生活中，平面图形的形状发生变化时，其长度、宽度、面积都可能发生变化，但是周长保持不变，所以解决此类问题，往往根据周长不变这个等量关系列出一元一次方程，从而解决实际问题。
题组训练
2.用一根长60米的绳子围出一个长方形，使它的长是宽的1.5倍，求长和宽分别是多少？（列方程求解）
考点3 打折销售问题
例3 某商品的售价为每件900元，为了参与市场竞争，商店按售价的9折再让利40元销售，此时仍可获利10％，此商品的进价是多少元？
思路提示: 设此商品的进价为x元，则其最终利润为10％x元，从另一角度考虑，该利润也可表示为（900×90％－40－x）元，据此可构建一元一次方程，求解即得结果。
方法归纳
商品的标价与进价之间的关系:标价（定价）＝进价×［1＋提价的百分数］；商品在不打折时，售价＝标价；打折时，实际售价＝标价×折数÷10.
题组训练
3.一家商店将某种服装按成本价提高40％标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本为多少元？
考点4 门票问题
例4 五一期间，春华旅行社组织一个由成人和学生共20人组成的旅行团到凤凰古城旅游，景区门票售票标准是:成人门票148元/张，学生门票20元/张，该旅行团购买门票共花费1936元，问该团购买成人门票和学生门票各多少张？
思路提示: 本题蕴含两个等量关系:（1）成人人数＋学生人数＝20；（2）成人票款＋学生票款＝1936。可由前者选设未知元与表示未知量，利用后者构建方程求解。
方法归纳
用一元一次方程解应用题的一般步骤:（1）审；（2）设；（3）找；（4）列；（5）解；（6）验；（7）答.
题组训练
4.心连心艺术团在世纪广场组织了一场义演为“灾区”募捐活动，共售出3000张门票，已知成人票每张15元，学生票每张6元，共收入票款34200元，问:成人票和学生票各多少张？
考点5 行程问题
例5 一队学生去校外进行训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟的时候，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员需多长时间可以追上学生队伍？
思路提示: 设通讯员需要x小时追上学生队伍，则这个时间里通讯员走了14x千米，队伍行走了5x千米，且它们的差为队伍先走的5×千米，于是可建立方程求解.对于行程问题，一般通过画线段图帮助理解题意，寻求等量关系。
方法归纳
行程问题主要包括相遇问题和追击问题相遇时，甲、乙的行程之和＝甲、乙起点之间的距离；同向而行包括两种:一是同时不同地，等量关系为:甲、乙行程之差＝甲、乙起点之间的距离或甲、乙通过不同的路程所用的时间相等；二是同地不同时，等量关系为:甲、乙的行程之差一慢者提前出发行走的路程或甲、乙用不同时间通过相同的路程。
题组训练
5.甲列车从A地开往B地，速度是60千米/时，乙列车同时从B地开往A地，速度是90千米/时，已知A，B两地相距200千米，两车相遇的地方离A地多远？
考点6 储蓄问题
例6 去年小张到银行存了一笔年利率为2.25％的普通储蓄，今年存满一年后，扣除20％的利息所得税后的本息正好够买一台随身听，已知随身听每台509元，问一年前小张存了多少元钱？
思路提示: 本题蕴含的等量关系为:本金＋本金×2.25％×（1－20％）＝509（元），故可直接设未知元列方程求解。
方法归纳
我们在解决储蓄这样的问题时，要注意以下关系:（1）对于教育储蓄这样的不纳利息税的储蓄，利息＝本金×利率×期数；本息和本金＋利息＝本金（1＋利率×期数）；（2）对于需纳20％的利息税的蓄，利息本金×利率×期数×（1－20％）；本息和本金＋利息本金＋本金×利率×期数×（1－20％）.只要很好地利用好这几个关系，储蓄的问题就可很容易地变成刻画储蓄问题的一元一次方程。
题组训练
6.已知银行一年期定期储蓄的年利率为3.25％.所得利息要缴纳20％的利息税，例如:某人将100元按一年期的定期储蓄存入银行，到期储户纳税后所得利息的计算公式为:税后利息＝100×3.25％－100×3.25％×20％＝100×3.25％（1－20％）.已知某储户有一笔一年期的定期储蓄，到期纳税后，得到利息650元，问:该储户存入了多少本金？
提分突破
A 基础巩固
1.要用90 cm的铁丝做一个长方形的教具，使长比宽多5 cm，求长方形的长与宽
2.小明的妈妈在银行存入人民币5000元，国家规定缴纳20％的利息税，存期2年，到期可得人民币5240元，求年利率.
3.某种商品的标价为220元，为了吸引顾客，按标价的90％出售，这时仍可盈利10％，则这种商品的进价是多少元？
4.小明坚持长跑健身.他从家匀速跑步到学校，通常需30分钟.某周日，小明与同学相约早上八点学校见，他七点半从家跑步出发，平均每分钟比平时快了40米，结果七点五十五分就到达了学校，求小明家到学校的距离。
5.暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛.勇士队在第一轮比赛中共赛了9场，得分17分.比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.勇士队在这一轮比赛中只负了2场，那么这个队胜了几场？平了几场呢？
6.把一个长、宽、高分别为9厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为5厘米的正方体铁块熔铸成一个圆柱体，其底面直径是20厘米，试求该圆柱体的高.（π取3.14）
7.把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本这个班有多少名学生？
B 综合运用
8.下面是师傅与徒弟关于他们年龄的对话:师傅:我是你现在年龄的时候，你才18岁！
徒弟:我到你现在年龄的时候，咱俩的年龄加起来是86岁！
你知道他们两人现在的年龄吗？
9.一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售，将亏本20元.如果按标价的8折出售，将盈利40元求:
（1）每件服装的标价是多少元？
（2）为保证不亏本，最多能打几折？
10.已知某铁路桥长500 m，现在一列火车匀速通过该桥，火车从开始上桥到过完桥共用了30 s，整列火车完全在桥上的时间为20 s，则火车的长度为多少？
11.在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒.七年级（2）班共有学生44人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个.
（1）七年级（2）班有男生、女生各多少人？
（2）要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少人剪筒身，多少人剪筒底？
C 拓展探究
12.抗震救灾重建家园，为了修建在地震中受损的一条公路，若由甲工程队单独修建需3个月完成，每月耗资12万元；若由乙工程队单独修建需6个月完成，每月耗资5万元。
（1）请问甲、乙两工程队合作修建需几个月完成？共耗资多少万元？
（2）若要求最迟4个月完成修建任务，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金.（时间按整月计算）
参考答案
考点知识清单
例1 解:设圆柱的高是xcm.根据题意，得π×42x＝5×6×40，解得x＝25.
答:圆柱的高是25cm。
题组训练
1.解:设长方体铁块的高度为x cm。
由题意得20×20×20＝100×5×x，解得x＝16.
答:长方体铁块的高度为16 cm.
例2解:（1）设长方形的长为x厘米，根据题意，得2（x＋x）＝60.
解得x＝18，x＝×18＝12
答:长方形的长为18厘米，宽为12厘米.
（2）设长方形的长为y厘米，根据题意，得2（y－4＋y）＝60.解得y＝17.
17－4＝13（厘米），13×17＝221（平方厘米）
答:这个长方形的面积是221平方厘米
题组训练
2.解:设长方形的宽为x米，则长方形的长为1.5x米.根据题意，得2（x＋1.5x）＝60，解得x＝12.所以长为12×1.5＝18（米）.
答:长方形的长和宽分别是18米，12米。
例3 解:设此商品的进价是x元，根据题意，得900×90％－40＝（1＋10％）x.
解得x＝700。
答:此商品的进价是700元。
题组训练
3.解:设这种服装每件的成本为x元，根据题意，得80％（1＋40％）x－x＝15。
解得x＝125.答:这种服装每件的成本为125元。
例4 解:设该团购买成人门票x张.根据题意，得
148x＋20（20－x）＝1936，解得x＝12. 20－12＝8（张）.
答:该团购买成人门票12张，学生门票8张
题组训练
4.解:设成人票有x张，则学生票有（3000－x）张.列方程:15x＋6（3000－x）＝34200，解得x＝1800.所以学生票＝3000－1800＝1200（张）
答:成人票1800张，学生票1200张。
例5 解:设通讯员需要x小时可以追上学生队伍，根据题意，得14x－5x＝×5.
解得x＝。
答:通讯员需要小时可以追上学生队伍。
题组训练
5.解:设两车x小时相遇，由题意得60x＋90x＝200，解得x＝，两车相遇的地方离A地距离:60×＝80（千米）答:两车相遇的地方离A地80千米.
例6 解:设一年前小张存了x元钱，根据题意，得x＋2.25％x·（1－20％）＝509.
解得x＝500.
答:一年前小张存500元钱.
题组训练
6.解:设该储户存了本金x元根据题意得3.25％x×（1－20％）＝650，解得x＝25000（元）.答:该储户存入了本金25000元。
【提分突破】
A基础巩固
1.解:设长方形的宽为x cm，则长为（x＋5）cm，由题意得2［x＋（x＋5）］＝90，解得x＝20，x＋5＝25.答:长方形的宽为20cm，长为25cm。
2.解:设这种存款方式的年利率为x，根据题意得5000×x×2×（1－20％）＝5240－5000，
解得x＝3％.答:这种存款方式的年利率为3％。
3.解:设这种商品的进价是x元，由题意得220×90％－x＝10％x，解得x＝180。
答:这种商品的进价是180元。
4.解:设小明家到学校的距离为x米，由题意，得＋40＝，解得x＝6000。
答:小明家到学校的距离为6000米。
5.解:设这个队胜了x场，由题意得3x＋（9－2－x）×1＋2×0＝17，解得x＝5，则平的场数为9－2－5＝2（场），答:这个队胜了5场，平了2场。
6.解:设该圆柱体的高为x厘米，则9×7×3＋5×5×5＝π×（20÷2）2×x，解得x＝1.答:该圆柱体的高为1厘米。
7.解:设有x名学生，根据书的总量相等可得3x＋20＝4x－25，解得x＝45
答:这个班有45名学生。
B 综合运用
8.解:设现在师傅x岁，则徒弟（x＋18）岁，依题意有x＋［x－（x＋18）］＋x＝86，解得x＝38，（x＋18）＝28.答；现在师傅38岁，则徒弟28岁。
9.解:（1）设每件服装标价为x元.0.5x＋20＝0.8x－40，解得x＝200.故每件服装标价为200元；
（2）设能打x折由（1）可知成本为0.5×200＋20＝120，列方程得200×＝120，解得x＝6.故最多能打6折。
10.解:设火车的长度为xm，根据火车的速度不变可得方程:，2（500＋x）＝3（500－x），x＝100.答:火车的长度为100m。
11.解:（1）设七年级（2）班有女生x人，则男生（x－2）人，由题意，得x＋（x－2）＝44，解得x＝23，所以男生有:44－23＝21（人）.答:七年级（2）班有女生23人，男生21人；
（2）设分配a人剪筒身，（44－a）人剪筒底，由题意，得50a×2＝120（44－a），
解得a＝24.所以剪筒底的有20人.答:分配24人剪筒身，20人剪筒底。
C 拓展探究
12.解:（1）设甲、乙两工程队合作修建需x个月完成，（＋）x＝1，解得x＝2.
（12＋5）×2＝34（万元）
答:甲、乙两工程队合作修建需要两个月完成，共耗资34万元；
（2）设甲、乙合作y个月，剩下的由乙来完成.（＋）y＋＝1，解得y＝1.故甲、乙合作1个月，剩下的由乙来做3个月就可以。
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