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9.3
一元一次不等式组
第2课时
应用一元一次不等式解决六种方案问题
第九章
不等式与不等式组
1．(中考·郴州)某工厂有甲种原料130
kg，乙种原料144
kg.现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件.已知生产每件A产品需甲种原料5
kg，乙种原料4
kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3
kg，乙种原料6
kg，且每件B产品可获利900元.
1
类型
生产方案
设生产A产品x件(产品件数为整数)，根据以上信息解答下列问题：
(1)生产A，B两种产品的方案有哪几种？
(2)设生产这30件产品可获利y元，写出y与x之间的关系式，写出(1)中利润最大的方案，并求出最大利润.
解：(1)根据题意得：
解得18≤x≤20.
因为x是正整数，所以x＝18或19或20.
共有三种生产方案：
方案一：生产A产品18件、B产品12件；
方案二：产A产品19件、B产品11件；
方案三：生产A产品20件、B产品10件．
(2)根据题意，得y＝700x＋900(30－x)＝－200x＋27
000.
当x＝18时，y＝23
400；
当x＝19时，y＝23
200；
当x＝20时，y＝23
000.
故利润最大的方案是方案一：生产A产品18件、B产品12件，
最大利润为23
400元．
2．某服装厂现有A种布料70
m，B种布料52
m，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80套，已知做一套M型号的时装需用A种布料0．6
m，B种布料0．9
m，可获得利润45元；做一套N型号的时装需用A种布料1．
1
m，B种布料0．4
m，可获得利润50元.若设生产N型号的时装套数为x套，用这些布料生产这两种型号的时装所获得的总利润为y元.
(1)求y(元)与x(套)之间的关系式，并写出x的取值范围.
(2)该服装厂在生产这批时装时，当生产N型号的时装多少套时，所获得的利润最大？最大利润为多少？
解：(1)由题意得：
解得40≤x≤44.
由题意得y＝50x＋45(80－x)，
即y＝5x＋3
600(40≤x≤44，且x为整数)．
(2)当x＝40时，y＝3
800；
当x＝41时，y＝3
805；
当x＝42时，y＝3
810；
当x＝43时，y＝3
815；
当x＝44时，y＝3
820.
故当生产N型号的时装44套时，所获得的利润最大，最大利润为3
820元．
3．(中考·广安)某班级45名同学自发筹集到1
700元资金，用于初中毕业时各项活动的经费.通过商议，决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照，其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品.已知每件文化衫28元，每本相册20元.
2
类型
购买方案
(1)设用于购买文化衫和相册的总费用为W元，求总费用W(元)与购买的文化衫件数t(件)之间的关系式.
(2)购买文化衫和相册有哪几种方案？为了使拍照的资金更充足，应选择哪种方案？并说明理由.
解：(1)购买文化衫t件，则购买相册(45－t)本．
根据题意，得W＝28t＋20(45－t)＝8t＋900.
(2)根据题意得：
解得30≤t≤32.
故有三种购买方案：
方案一：购买30件文化衫、15本相册；
方案二：购买31件文化衫、14本相册；
方案三：购买32件文化衫、13本相册．
易知当t＝30时，W最小，此时用于拍照的费用最多．
因此，为了使拍照的资金更充足，应选择方案一：购买30件文化衫、15本相册．
4．(中考·恩施州)某学校为改善办学条件，计划采购A，B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用39
000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6
000元.
(1)求A型空调和B型空调每台各需多少元；
(2)若学校计划采购A，B两种型号空调共30台，
且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调
的采购总费用不超过217
000元，该校共有哪几种采购方
案？
(3)在(2)的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
解：(1)设A型空调每台需x元，B型空调每台需y元．
由题意得
解得
答：A型空调每台需9
000元，B型空调每台需6
000元．
(2)设A型空调采购a台，则B型空调采购(30－a)台．
由题意得：
解得10≤a≤
.
∵a只能取整数，∴a可取10，11，12.
因此，共有3种采购方案：①采购10台A型空调、20台B型
空调．
②采购11台A型空调、19台B型空调．
③采购12台A型空调、18台B型空调．
(3)要使费用最低，应尽可能少地购买A型空调，尽可能多地购买B型空调．因此方案①的费用最低，最低费用是10×9
000＋20×6
000＝210
000(元)．
5．(中考·凉山州)为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办.在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：
3
类型
进货方案
(1)商店用4
200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个；
?
篮球
排球
进价/(元/个)
80
50
售价/(元/个)
105
70
(2)设商店所获利润为y(单位：元)，购进篮球的个数为x(单位：个)，请写出y与x之间的关系式(不要求写出x的取值范围)；
(3)若要使商店的进货成本在4
300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1
400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少.
解：(1)设购进篮球m个，排球n个．
根据题意，得
解得
答：购进篮球40个，排球20个．
(2)根据题意，得y＝(105－80)x＋(70－50)(60－x)＝
5x＋1
200.
(3)根据题意得：
解得40≤x≤
.
因为x取整数，
所以x＝40或41或42或43.
共有四种进货方案：
方案一：购进篮球40个、排球20个；
方案二：购进篮球41个、排球19个；
方案三：购进篮球42个、排球18个；
方案四：购进篮球43个、排球17个．
易知当x＝43时，可获得最大利润，最大利润为5×43＋1
200＝1
415(元)．
6．(中考·济宁)“绿水青山就是金山银山”.为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
4
类型
资金分配方案
村庄
清理养鱼网箱人数/人
清理捕鱼网箱人数/人?
总支出/元?
A
15
9
57
000
B
10
16
68
000
(1)若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元.
(2)在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备协调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱.要使总支出不超过102
000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？
解：(1)设清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用分别为
x元、y元．
根据题意，得
解得
答：清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用分别
为2
000元、3
000元．
(2)设分配a人清理养鱼网箱，则分配(40－a)人清理捕鱼网箱．
根据题意得：
解得18≤a＜20.
∵a为正整数，∴a＝18或19.
∴一共有2种分配方案，分别为：
方案一：分配18人清理养鱼网箱、22人清理捕鱼网箱；
方案二：分配19人清理养鱼网箱、21人清理捕鱼网箱．
7．(中考·长沙)2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁悬浮线正式开通运营，该线路连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受.星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，
5
类型
调运方案
拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31
t，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70
t.
(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148
t，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？
解：(1)设一辆大型渣土运输车一次运输土方x
t，一辆小型
渣土运输车一次运输土方y
t.
根据题意，得
解得
答：一辆大型渣土运输车一次运输土方8
t，一辆小
型渣土运输车一次运输土方5
t.
(2)设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车m辆，则派
出小型渣土运输车(20－m)辆．
根据题意，得
解得16≤m≤18.
因为m取整数，
所以m可取16，17，18.
故有三种派车方案：
方案一：大型渣土运输车16辆、小型渣土运输车4辆；
方案二：大型渣土运输车17辆、小型渣土运输车3辆；
方案三：大型渣土运输车18辆、小型渣土运输车2辆．
8．(中考·咸宁)为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动.在参加此次活动的师生中，若每名老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每名老师带18个学生，就有一名老师少带4个学生.
6
类型
租车方案
现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示：
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3
100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师.
?
甲种客车
乙种客车
载客量/(人/辆)
30
42
租金/(元/辆)
300
400
(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
解：(1)设老师有x人，学生有y人．
依题意得
解得
答：此次参加研学旅行活动的老师有16人，学生有
284人．
(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为______辆.
(3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由.
8
(3)设乙种客车租a辆，则甲种客车租(8－a)辆．
∵租车总费用不超过3
100元，
∴400x＋300(8－a)≤3
100，解得a≤7.
为使300名师生都有车坐，有42a＋30(8－a)≥300，解得a≥5.
∴5≤a≤7(a为整数)．
∴共有3种租车方案：
方案一：租用甲种客车3辆、乙种客车5辆，租车费用为2
900元；
方案二：租用甲种客车2辆、乙种客车6辆，租车费用为3
000元；
方案三：租用甲种客车1辆、乙种客车7辆，租车费用为3
100元；
∴最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆、乙种客车5辆．
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9.3
一元一次不等式组
第1课时
解一元一次不等
式组
第九章
不等式与不等式组
1
课堂讲解
一元一次不等式组
一元一次不等式组的解集
一元一次不等式组的解法
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
要小于6
要大于
3
不等式组
一元一次不等式组
1
知识点
一元一次不等组
问题
用每分可抽30
t水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过1200
t而不足1500
t，那么将污水抽完所用时间的范围是什么？
设用x
min能将污水抽完，则x同时满足不等式
30x＞1200，
①
30x＜1500
.
②
类似于方程组，把这两个不等式合起来，组成
一个一元一次不等式组，记作
一般地，关于同一未知数的几个一元一次不
等式合在一起，就组成一个一元一次不等式
组．
定义
如何判定一元一次方程组：
(1)这里的“几个”是指两个或两个以上；
(2)每个不等式只能是一元一次不等式；
(3)每个不等式必须含有同一个未知数．
下列各不等式组，其中是一元一次不等式组的有________．(填序号)
①
②
③
④
⑤
⑥
（来自《点拨》）
例1
③④⑤
导引：
紧扣一元一次不等式组的定义去识别：①中含有
两个未知数；②中未知数的最高次数是2；⑥中
不是整式．
总
结
判定一个不等式组是一元一次不等式组，要从以
下两个方面考虑：
(1)组成不等式组的每个不等式必须是一元一次不等式；
(2)这个不等式组中只含有一个未知数．
1 下列各不等式组，其中是一元一次不等式组的有____________(填序号)．
③④⑤
2
知识点
一元一次不等式组的解集
怎样确定不等式组中x的可取值的范围呢？
类比方程组的解，不等式组中的各不等式解集
的公共部分，就是不等式组中x可以取值的范围.
由不等式①，解得
x＞40.
由不等式②，解得x＜50.
（来自《教材》）
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来(如图).
从图容易看出，x取值的范围为
40＜x＜50.
这就是说，将污水抽完所用时间多于40
min
而少
于50
min
.
一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫
做由它们所组成的不等式组的解集.
解不等式组就是求它的解集
.
探索不等式组
的解集与组成它的不等式①
、②的解集有什么联系？
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
在同一数轴上分别表示出不等式①
、②的解集.
公共部分
这个不等式组的解集为3≤x＜5.
注意：
在数轴上表示不等式的解集时应注意：
大于向右画，小于向左画；有等号的画实心圆点，无等号的画空心圆圈.
利用数轴求下列不等式组的解集：
(1)
(2)
(3)
(4)
例2
导引：
解题时先在同一数轴上表示出各不等式组中两
个不等式的解集，再找出两个不等式解集的公
共部分．
解：
(1)两个不等式的解集在数轴上的表示如图1所示．
所以这个不等式组的解集为x≥2.
(2)两个不等式的解集在数轴上的表示如图2所示．
所以这个不等式组的解集为x＜－1.
图1
图2
(3)两个不等式的解集在数轴上的表示如图3所示．
所以这个不等式组无解．
(4)两个不等式的解集在数轴上的表示如图4所示．
所以这个不等式组的解集为－1＜x≤2.
图3
图4
总
结
确定一元一次不等式组解集的常用方法：
(1)数轴法：就是将几个不等式的解集在同一数轴上表
示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分
就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，那么
这个不等式组无解．这种方法体现了数形结合思想，
既直观又明了，易于掌握．
(2)口诀法：“同大取大”“同小取小”“大小小大中
间找”“大大小小无处找”，该方法便于记忆．
1
不等式组
的解集是( )
A．x＜1
B．x≥3
C．1≤x＜3
D．1＜x≤3
D
3
知识点
一元一次不等式组的解法
1．定义：求不等式组的解集的过程叫做解不等式组．
2．解一元一次不等式组的一般步骤：
(1)分别解每一个不等式；
(2)利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集；
(3)写出不等式组的解集．
解下列不等式组：
例3
解：
(1)解不等式①，得
x＞2.
解不等式②，得
x＞3.
（来自《教材》）
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来(如图).
（来自《教材》）
从上图可以找出两个不等式解集的公共部分，得不
等式组的解集x＞3.
（来自《教材》）
(2)解不等式①，得
x≥8.
解不等式②，得
x＜
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来(如图).
（来自《教材》）
从上图可以看到这两个不等式的解集没有公共部分，
不等式组无解.
总
结
解不等式组的关键：一是要正确地求出每个不等
式的解集；二是要利用数轴正确地表示出每个不等式
的解集，并找出不等式组的解集．
1
解下列不等式组：
（来自《教材》）
解：
解不等式①，得x>
，解不等式②，得x>1，
所以原不等式组的解集为x>1.
（来自《教材》）
解不等式①，得x<－6，解不等式②，得x≥2.
所以不等式组无解．
解不等式①，得x>－
，
解不等式②，得x≤
.
所以原不等式组的解集为－
.
（来自《教材》）
2
x取哪些正整数值时，不等式x＋3＞6与2x－1＜10都成立？
（来自《教材》）
解：
解不等式组
得3，
所以x可取的正整数值是4，5.
【中考·深圳】不等式组
的解集为( )
A．x>－1
B．x<3
C．x<－1或x>3
D．－13
D
不等式组
的最大整数解为
( )
A．8
B．6
C．5
D．4
4
C
【中考·孝感】不等式组
的解集在数轴上表示正确的是( )
5
D
【中考·宿迁】已知4的整数解共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6
B
【中考·金华】若关于x的一元一次不等式组
的解集是x<5，则m的取值范围是( )
A．m≥5
B．m>5
C．m≤5
D．m<5
7
A
1．一元一次不等式组的基本概念：
(1)一元一次不等式组的定义；
(2)一元一次不等式组的解集；
(3)解一元一次不等式组.
2．一元一次不等式组的解法：
(1)分别解每一个不等式；
(2)利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集；
(3)写出不等式组的解集．
1
知识小结
【中考?绥化】关于x的不等式组
的解集为x＞1，
则a的取值范围是( )
A．a＞1
B．a＜1
C．a≥1
D．a≤1
易错点：运用解集求原不等式组中字母的取值范围时易忽略等号
2
易错小结
D
此题学生容易遗漏a＝1的情况而错选B.
