沪教版（上海）数学七年级第二学期 -12.1 实数的概念 教案

实数的概念教学
教学目标：
1．通过动手操作体验发现无理数的过程，知道无理数是客观存在的数，同时渗透割补的数学思想．
2．通过对比分析和反证法，理解无理数只能是无限不循环小数，会辨别无理数．
3．通过简单数的发展史让学生了解数的产生、发展的过程，对学生进行科学精神与人文精神的教育．在了解数的范围从整数到有理数、再到实数的扩展过程中，知道实数的分类，体会分类的数学思想．
教学重点：无理数、实数的概念以及实数的分类．
教学难点：有理数与无理数的区别．
教学过程：
教师活动
学生活动
教学设计意图
一、复习引入教师设问：(1)
我们已经学习了有理数，你能举出几个有理数吗？(2)
和
统称为有理数．如果把整数看成是分母为1的分数，那么有理数都可以用统一的形式表示为用两个整数之比表示的分数：（q≠0）．那么分数都可以化为什么样的小数．(3)是不是所有的数都能表示为分数（p、q都是整数，且q≠0）的形式？请大家看下面的操作．二、学习新知操作剪拼正方形引出．能否将两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形？怎样剪拼？它的面积是多少？边长如何表示？师：如果设该正方形的边长为x，那么，即x是这样一个数，它的平方等于2．这个数表示面积为2的正方形的边长，是现实世界中真实存在的线段长度．由于这个数和2有关，我们现在用（读作“根号2”）来表示．说明是一个无限不循环小数．（给出证明）师：前面我们讲到有理数都可以化为的形式，下面我们说明不可以化为的形式．假设是一个有理数，设，等式两边分别平方，可以得到2=
，则=
，由此可知p一定是一个
（填“奇”或“偶”）数，再设p=2n(n表示整数)，代入上式，那么=
，同理可知q也是
.这时发现p、q有了共同的因数2，这与之前假设中的“
”矛盾.因此假设不成立，即不是
，而是无限不循环小数.师生总结：从以上填空可以说明不是有理数，就一定是无限不循环小数.
问：除了
，无限不循环小数还有吗？问：面积为3的正方形，它的边长又如何表示？若面积为5呢？此外，我们还可以构造几个无限不循环小数，如：0.202002000200002……、0.1234567891011121314……等．三、实数的概念1．无理数无限不循环小数叫做无理数．无理数也有正、负之分．只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数．比如：与、π与–π它们互为相反数．板书：2．实数板书：有理数和无理数统称为实数．（简述数的发展史）例题1
将下列各数放入图中适当的位置：0、–2、、4、3.1416、、、、π、0.3737737773…（它们的位数无限且相邻两个“3”之间“7”的个数依次加1个）．问：1、在这个图中你有什么发现？
2、如果把这些数按照正、负、0分类、可以吗？3、实数还可以怎样分类？例题2
判断下列说法是否正确，并说明理由：(1)
无限小数都是无理数；
(2)
无理数都是无限小数；(3)
有理数都是有限小数；(4)
正实数包括正有理数和正无理数；(5)
实数可以分为正实数和负实数两类．解：(1)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，所以(1)不正确．(2)无理数是无限不循环小数，当然也是无限小数，所以(2)正确．(3)不正确．
(4)正实数按有理数和无理数分类，可分为正有理数和正无理数，所以(3)正确．
(5)因为零是实数，但它既不是正实数，也不是负实数，而在(4)的实数分类中没有把零包含在内，所以(4)不正确．四、巩固练习1．在、0.013、、0、、、π、和（每相邻两个“8”之间的“1”的个数从左到右依次递增且是无限小数）中，无理数有
，正有理数有
，非负数有
，整数有
．四、拓展提高：请写出几个在3和4之间的无理数．五、课堂小结谈谈这节课你有什么收获、你最感兴趣的是什么、你还有疑问吗?思想方法：分类思想、割补思想六、布置作业练习册：习题12.1
预设生答：(1)
2，等(2)
整数和分数
有限小数或无限循环小数
或等学生口答：预设生答：、、π……在完成实数的概念及第一种分类后倾听老师讲小故事：其实人类最初是没有数的概念的，随着生产生活的需要，逐渐产生了整数、分数也就是以前我们所知道的有理数．那么数的概念是不是发展到这里就为止了呢？通过今天的学习同学们知道其实不是．大约2400年以前，有一个著名的学派叫毕达哥拉斯学派，其中有个弟子叫希帕斯，当时他发现了不能被精确的度量、也就是不是有理数，这一发现与此学派所崇奉的“万物皆为有理数”这一信念是相违背的、传说希帕斯因此受到迫害、被扔进了大海．但是多年以后人们还是证实了无理数这一伟大发现，这是人类理性智慧的胜利、也是人类对数的认识的一次飞跃，更是数学发展史的一次重大突破。希望大家珍惜我们的前人用鲜血乃至生命换来的科学成果．预设生答1：实数的分类，以及它们的包含关系．2：可以．3：学生口答学生口答预设生答：π、等预设学生答：1．无限不循环小数叫做无理数．2．有理数和无理数统称为实数．3．实数的不同分类．等等
前两个问题引导学生复习已有的相关知识，
同时第（2）问让学生明确分数可以化为有限小数或无限循环小数．为下面要说明是无限不循环小数做铺垫．第三个问题设置疑问，引发学生的思考，带着这样的困惑和好奇学习新知．
通过操作，让学生感受的现实意义，同时渗透割补的数学思想．并认识到用已有的有理数不能准确表示这一线段长度，因而需要寻找一种新的数来解决问题．本节中“”的出现先于定义，暂只作为一个记号，其含义待下一节课详述．针对本班学生的基础较好的实际情况，这里用了填空的形式说明是一个无限不循环小数．让学生的知识系统更清晰、更明了.举例是否存在其它的无限不循环小数，说明无限不循环小数普遍存在．在前面的基础上，引进无理数，归纳得到实数的概念，体验数的扩充的过程和必要性．数的发展史让学生了解数的产生、发展的过程，对学生进行科学精神与人文精神的教育，激发学生学习的兴趣．实数的分类能帮助学生更好认识实数，构建数系知识结构，领会分类思想．例题1从不同的角度帮助学生理解实数范围中各类数的概念．题中应注意，它是一个无限循环小数，学生容易将它归入无理数范畴．还应注意数后面的“省略号”也非常重要．问题2是为自然引出实数的第二种分类方法．要注意统一分类标准．例题2是为了帮助学生进一步理解实数范围中各类数的概念．第（3）、（4）两小题，建议与实数的分类作比较分析，即可得出正确结论．巩固练习是帮助学生进一步理解实数范围中各类数的概念．梳理知识点，培养学生归纳反思的能力．
板书设计：
教学反思：
本节课的知识形成过程：首先通过学生实际操作，得到面积为2的正方形，提出
“正方形的边长怎样表示”的问题，引出边长为“”.然后通过与有理数比较分析并且说理，推出只能是一个无限不循环小数，即无理数，紧接着再举几个无理数的例子。（即：第一，探究生活中是否存在无理数：通过操作产生面积为2的正方形，由正方形的边长引出“”；第二，探究是什么样的数：通过与有理数比较分析，推出只能是一个无限不循环小数，即无理数；第三，探究是否存在其他的无理数：举面积为3、5、6、7、8、10…的正方形边长及圆周率π为例，或自己构造无限不循环小数说明无理数普遍存在。）在此基础上，引进无理数，归纳得到实数的概念，体验数的扩充的过程和必要性。
（1）动手操作和问题讨论的目的，是让学生感受的现实意义，同时渗透割补的数学方法。并认识到用已有的有理数不能准确表示这一线段长度，因而需要寻找一种新的数来解决问题；同时调动学生学习和思维的积极性，帮助学生体验无理数的产生过程，引导学生用科学的眼光认识世界。本节中“”的出现先于定义，暂只作为一个记号，其含义待下一节课详述。
（2）考虑到学生层次相对较好，教学中以为例，教师与学生一起通过说理，说明了不是有理数，而是一个无限不循环小数.让学生的知识系统更加清晰、明了。
（3）把无限不循环小数叫做无理数，是与有理数的意义进行比较后，通过理性思考得到的，无理只是相对于有理而言。无理数的相反数的概念在“实数运算”一节有定义，这里只对特殊的数作说明。
（4）实数的第一种按类型分类的办法，本堂课与有理数分类方法进行比较。实数的第二种分类的办法按符号分不是强加给学生、而是由例题1通过学生动手、动口重新组合自然而然的得到第二种分类，这样帮助学生更好认识实数，构建数系知识结构，突出了本堂课重点。在此要帮助学生领会数的分类应遵循的规则，领会分类思想。
（5）数的发展史小故事让学生了解数的产生、发展的过程，对学生进行科学精神与人文精神的教育，激发学生学习的兴趣。
（6）例题及从不同的角度帮助学生理解实数系中各类数的概念。例题1中应给予关注，它是一个无限循环小数，学生容易将它归入无理数范畴。也应引起重视、学生也易出错。
因此在例1之后给出例2的一组判断题帮助学生更好地理解实数的概念及分类、理解无理数与有理数的区别，突出本堂课重点、突破本堂课难点。
(7)个人感觉本堂课环节仅仅相扣、知识点清晰、明了，学生掌握比较好。数学发展史是我在网上所查的资料，我觉得是对学生进行科学教育和人文教育的一个良好契机。
（8）在本堂课小结过程中，我没有让学生只谈收获，而是再谈谈有什么疑问。有一个学生提出怎样很快用面积方法找出3与4之间的无理数，还有一位学生提出无限小数一定是无理数吗？学生们提出的问题同伴之间给与解决，让学生心中不留疑惑、让这堂课更加丰满。
12.1
实数
无理数的概念
无理数的例子（用面积得到、由π生成
实数的概念
例1：
或自己构造）
实数按类型分类
实数按符号分类
有理数
无理数
整数
正整数数数