沪教版（上海）数学九年级第二学期-28.4 表示一组数据波动程度的量（1）-----------方差与标准差 教案

§28．4表示一组数据波动程度的量（1）-----------方差与标准差
教学目标：
1.理解方差、标准差的概念，知道它们是表示一组数据波动程度的量；会计算一组数据的方差、标准差；初步学会利用方差或标准差解释与一组数据波动性有关的实际问题.
2.通过探索、讨论、动手计算，从不同的角度去分析、处理人们在生产或生活中搜集的一组数据，提高创造性解决实际问题的能力.
教学重点与难点：
重点：一组数据的方差和标准差的计算.
难点：方差概念的理解.
教学过程：
教师活动
学生活动
设计意图
一、情景引入：1、问题：某食品厂有甲乙两条流水线生产某种100克袋装食品，在试生产时，从这两条流水线分别随机各抽取5袋食品，称出各袋食品的重量（克）分别是：甲：100，101，99，101，99；乙：102，98，101，98，101.（1）甲乙两条流水线生产的5袋食品重量的平均数分别是多少克？师：根据题目所给的数据，我们看到用方法二求平均值会更简便.
将数据在图中表示，并回答下列问题.（2）哪一条流水线生产的5袋食品的重量波动较小？教师引导思考和讨论.问1：观察上图，你认为甲的波动大还是乙的波动大？理由是什么？问2：能否将你的直观感觉用数据分析来表示呢？追问：还有什么方法？师：统计学中用“各数减平均数所得差的平方的平均数”来表示组内各数据与平均数的偏差，这个结果成为方差.2、方差、标准差的概念：
如果一组数据：，它们的平均数为，那么这n个数与平均数的差的平方分别为：，它们的平均数叫做这n个数的方差（variance），记作.即………………………………………..
方差的非负平方根叫做标准差（standard
deviation），记作s.即………………………………………..小结：1、方差的单位为数据的平方单位，标准差的单位与数据的单位相同，如未指明要写方差的单位，通常就将它省略.2、方差和标准差反映了一组数据波动的大小，即一组数据偏离平均数的程度.从计算公式可知：一组数据越接近于它们的平均数，方差和标准差就越小，说明这组数据波动越小，越稳定，这时平均数就越具有代表性；反之，若方差和标准差越大，说明数据波动越大，越不稳定.3、特别的，当一组数据中所有的数都相等时，方差和标准差才可能为零.二、新知运用例1：某区要从甲乙两名设计运动远中挑选一人参加全市比赛，在选拔赛中，每人进行了5次射击，甲的成绩（环）为：
9.7，10，9.6，9.8，9.9；乙的平均成绩为9.8环，方差为0.032.据估计，如果成绩达到9.8环就可能夺得金牌，为了夺得金牌，应选谁参加比赛？分析：问1：应选谁参加比赛？选择根据是什么呢？
问2：如何比较谁的成绩好呢？问3：请先计算出甲的平均成绩，并与乙的平均成绩进行比较.问4：他们平均成绩相同，再如何比较？教师根据学生回答板书：解：设甲的成绩的平均数为，则所以，.设甲的成绩的方差为，则因为：，所以甲运动员的成绩较稳定，乙运动员的成绩波动较大.
为了夺得金牌，应选成绩较稳定的甲运动员参加比赛.适时小结：方差越小，说明数据的波动性越小.例2：100克的鱼和家禽中，可食用部分蛋白质的含量如图所示.（1）100克的鱼和家禽中，可食用部分的蛋白质含量的平均数各是多少克？（2）100克的鱼和家禽中，可使用部分的蛋白质含量的平均数中，哪一个更具有代表性？请说说判断的理由.分析：问1：请先分别计算平均数？问2：哪一组的平均数更具代表性呢？根据学生回答板书：解：（2）用分别表示100克鱼和家禽中可使用部分的蛋白质含量的方差，则因为，所以100克鱼中可食用部分的蛋白质含量的平均数根据有代表性.适时小结：方差反映一组数据的波动程度，方差越小，则这组数据的波动就越小，平均数的代表性就越大.三、课堂练习练习1：1、甲、乙两人在射击比赛，打靶的次数相同，且所得还数的平均数相同，如果甲的射击成绩比较稳定，那么方差的大小关系是.2、数据90、91、92、93的标准差是________________.3、甲乙两组数据如下甲：2，4，6，8，10；乙：3，5，6，7，9.用分别表示这两组数据的方差，那么.练习2：1、已知一个样本的方差则这个样本的平均数是
，样本的容量是
.2、已知某样本的方差是4，则这个样本的标准差是———.3、已知一个样本1、3、2、x、5，其平均数是3，则这个样本的标准差是————.4、某中学要从小孙和小凡两名同学中挑选一人参加全市数学竞赛，在最近的五次选拔测试中，他们两人的成绩如下：小孙：60
75
75
90
100
小凡：70
80
90
80
80解答下列问题：（1）完成下表：姓名平均成绩（分）中位数（分）众数（分）方差（分2）小孙807575190小凡（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将80分以上（含80分）的成绩视为优秀，那么小孙和小凡在这五次测试中的优秀率各是多少？（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含80分）就很可能获奖，成绩达到90分以上（含90分）就很可能获得一等奖，那么你认为应该选派谁参加市数学竞赛比较合适？说明你的理由.四、自主小结
通过本节课的学习你有何收获？五、布置作业练习册
28.4(1)
答（1）：预设方法一：预设方法二：由于数据都在100附近，所以用算式来计算.（2）学生小组讨论并作答.预设1：甲的波动大，因为甲组中的值离开平均值的距离较远.预设2：生1：用各数减平均数的差，再求他们的和.（但是：如上题中，所得的和依然都是0，无法比较）.生2：用各数减平均数的差的绝对值，再求他们的和.生3：用各数减平均数的差的平方，再求他们的和.……预设生答：答1：应选择成绩好的参加比赛.答2：应先计算甲运动员的平均成绩.然后比较两人的平均成绩，如果平均成绩不同，那么谁的成绩好选谁是公正的.答3：所以，.答4：如果平均成绩相同，应该选择成绩波动较小的，即比较两人成绩的方差，再确定选谁参加比赛.答1：解：（1）用分别表示100克鱼和家禽中可使用部分的蛋白质含量的平均数，则（克）(克)答2：方差反映一组数据的波动程度，方差越小，则这组数据的波动就越小，平均数的代表性就越大.预设生答：1、<；2、；3、所以，.补充练习：1、4；5.2、2.3、4、（1）小凡：80；80；80；4.（2）成绩比较稳定的是小凡，优秀率：小孙：40%，小凡：80%.（3）略.预设生答：方差、标准差的概念.2、方差和标准差反映了一组数据波动的大小，即一组数据偏离平均数的程度；一组数据越接近于它们的平均数，方差和标准差就越小，说明这组数据波动越小，越稳定，这时平均数就越具有代表性；反之，若方差和标准差越大，说明数据波动越大，越不稳定.特别的，当一组数据中所有的数都相等时，方差和标准差才可能为零.
问题设计激发学生探究欲，为后面学习方差做好铺垫.
（1）复习平均值的求法.并进一步引发思考，如何确定数据“波动”情况.即对方差公式进行探究.通过学生的小组讨论，自主探究，亲自参与研究探索的情感体验，逐渐形成良好的个性思维品质.例题1是方差和标准差的实际应用，引导学生学会用所学知识解决和解释简单的实际问题.选什么样的运动员参赛，与参赛的过程及目的有关.在对问题的分析中，指出了挑选的原则，可向学会进一步解释，（2）中对夺得金牌所要达到的成绩有估计，在两人都有夺金实力的情况下，当然要选成绩稳定的运动员.利用方差或标准差解释与一组数据波动性有关的实际问题.提高学生运用统计知识分析和解决数学实际问题的能力.
例题2是有关方差实际应用的问题，还有识图训练的要求.
重量（克）
1
2
98
3
4
5
99
100
101
102
乙
甲
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