沪教版（上海）初中数学七年级第一学期 9.11 平方差公式 教案

课题
9.11平方差公式
课型
新授课
执教者
教学目标
1.经历平方差公式的探求过程，理解平方差公式的意义，知道平方差公式与多项式乘法法则的关系。2.熟悉平方差公式的特征，掌握平方差公式及其简单运用。
教材分析
教学重点
对平方差公式的理解，掌握平方差公式的结构特征，熟练运用平方差公式进行简单计算。
教学难点
理解平方差公式的几何意义及特点，理解公式中字母的广泛含义，代数推理能力的培养。
教学内容
教师活动
学生活动
一、旧知回顾、复习引入我们之前的课学习了多项式乘以多项式的乘法法则，请同学们先回顾这个法则，如果用字母可以表示为:(a+m)(b+n)=ab+an+bm+mn,多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一多项式的每一项，再把所得的积相加。【活动一】计算下列多项式的积：
A组：（1）；
（2）；
（3）；
（4）
B组：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
①板书：(a+m)(b+n)=ab+an+bm+mn①请大家利用多项式乘法法则，分组完成活动一A、B组计算.②小结：两项式乘以两项式，一般计算得到4项，而这4项有时能够合并为3项，甚至有时更特殊，合并为2个项.③提问：B两组题中，B组正好符合这样特殊的规律，请大家4人一组讨论、思考B组各题等号前的式子有什么特点？结果又有什么规律？④追问：能否用字母a、b来表示这些式子的一般形式？
口答学生口答，出示课件学生思考，讨论得到：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差。(a＋b)(a－b)＝a2－b2
探究新知、猜想验证(a＋b)(a－b)＝a2－b2两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差。这个公式叫做（乘法的）平方差公式。【活动二】请用学过的知识尝试对平方差公式的正确性进行说明1．平方差公式的推导（代数法验证）(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2（多项式乘法法则）＝a2－b2（合并同类项）图形验证（a+b）（a-b）=。
法1：
法2：
另一种理解方式：平方差公式结构特征：①左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。②右边是乘式中两项的平方差。即结果可以看成是相同的平方与相反项的平方的差。讲解+板书圈划说明：公式中的a，b可以表示一个数或一个单项式，也可以表示一个多项式。
①板书：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差。(a＋b)(a－b)＝a2－b2这个公式叫做（乘法的）平方差公式。（板书课题）②请大家一起读一读这个公式。①提问：这只是我们根据从特殊到一般进行的猜想、猜测，你能否用原来学过的知识来说明一下此结论的正确性呢？②追问：如果没有这个公式，你如何计算(a＋b)(a－b)？③还能用其它方法证明此结论的正确性吗？除了代数法我们还经常会用到数形结合的思想，我们可以考虑利用图形的面积来说明公式的正确性。（提示：图中给出图形阴影部分面积为，要说明此结论正确只需表示出（a+b）（a-b））大家试试看，如果觉得有困难，可以小组讨论一下。①提问：除了这么切割，你还有不同的切割方法吗？我们已经用多种方法将平方差公式进行证明，现在你可以放心大胆的运用这个公式。在运用时，也可以这样理解，使用起来会更加方便：①左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。②右边是乘式中两项的平方差。即结果可以看成是相同的平方与相反项的平方的差。说明：公式中的a，b可以表示一个数或一个单项式，也可以表示一个多项式。
朗读公式，记忆公式代数验证，学生思考，学生口答图形验证，小组讨论，投影展示，代表交流学生交流Or老师介绍
举例练习、巩固新知练习一：选择1.下列各式中,能用平方差公式运算的是(
)
A.(2a-3b)(3a+2b)
B.(a-b)(b-a)
C.(-a+b)(-a-b)
D.(-a+b)(b-a)2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是(
)
A.(x-2y)(2y+x)
B.(-x+2y)(-x-2y)
C.(-2y-x)(x+2y)
D.(-2b-5)(2b-5)快速反应：下列各式中,哪些可以用平方差公式？
(1)(x-y)(y+x);
(2)(-x+y)(-x-y);
(3)(-x+y)(-x+y);
(4)(-x-y)(x-y);
(5)(-x-y)(x+y);
(6)(x-y)(-x+y).
例1
计算：⑴
(3x+2)(3x-2)
;
⑵
;(3)
.练习二：判断下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）(x+2)(x-2)
=
x2-2
（2）(-3a-2)(3a-2)
=
9a2-4
（3）(2x-3y)(3x+2y)
=
6x2
-6y2例2
计算：（1）(3x+4)(3x-4)–(2x+3)(3x-2);（2）(2x-y)(4x2+y2)(2x+y);例3
计算：⑴
102
×
98;
⑵
30.2
×
29.8;
【挑战自我】例4
运用平方差公式计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
有同学在算（2+1)(22+1)(24+1)时，将积式乘以（2-1）得：解：原式
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)
=(24-1)(24+1)
=28-1
①接下来我们来2题进行实战演练一下。出示课件②提问：选什么？③追问：说一说你是怎么想的？④提问：选什么？⑤追问：为什么？①会了吗？再来做几个快速反应检验一下出示课件②如果可以，请你说说相同项与相反项？既然大家都会判断了，我们来试试计算行不行①板书（1）②提问：可否用平方差公式？③追问：相同项是？相反项是？结果为？④提醒：建议用横线、浪线划出相同项、相反项，结果是相同项的平方减去相反项的平方.⑤小结：计算时应注意什么？出示课件，判断对错①提问：对不对？为什么？应该怎么改正？②小结：你觉得我们自己在做题时应注意什么？灵活运用公式，完成例2计算公式的主要作用是简化运算，我们掌握了公式的特点，就可以更快更准确地去运算了。请看例题3①板书（1）你能根据他的想法来计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)吗？
学生口答两个多项式中：两项为相同项，两项为相反项则可以运用平方差公式两组都是相反项判断口答学生练习（2）（3）投影校对学生口答，说出理由注意点：每项平方看清相同项、相反项看清能不能用平方差公式，不能用的只能用乘法法则计算注：不能用平方差公式添括号、去括号简便运算学生练习（2）投影校对学生尝试
四、课堂小结请同学们谈谈：本节课你的收获是什么？
师生共同完成.
五、作业完成课后学习单
《平方差公式》学习单
班级___________
姓名___________
【学习目标】
1.经历平方差公式的探求过程，理解平方差公式的意义，知道平方差公式与多项式乘法法则的关系。
2.熟悉平方差公式的特征，掌握平方差公式及其简单运用。
【活动一】计算下列多项式的积：
A组：（1）___________；
（2）___________；
（3）___________；
（4）___________.
B组：（1）___________；
（2）___________；（3）___________；
（4）___________.
请你思考B组各题等号前的式子有什么特点？结果又有什么规律？
两个数的
与
的乘积，等于这两数的
.
能否用字母a、b来表示这些式子的一般形式？_________________________________.
【活动二】请用学过的知识尝试对平方差公式的正确性进行说明.
代数法：(a＋b)(a－b)＝____________________________________________________________
.
数形结合：
（备用图）
例1
计算：
⑴
(3x+2)(3x-2)
;
⑵
;
(3)
.
例2
计算：
(1)
(3x+4)(3x-4)–(2x+3)(3x-2);
(2)
(2x-y)(4x2+y2)(2x+y);
例3
计算：
⑴
102
×
98;
⑵
30.2
×
29.8;
例4
运用平方差公式计算：
【本课小结】本节课你的收获是什么？
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
【过关检测】计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
《平方差公式》课后学习单
班级___________
姓名___________
1、计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）(200＋1)(200－1)
2、计算：
（1）；
（2）；
（3）.
3、计算：
（1）；
（2）；
（3）；
4、计算：
（1）；
（2）
；
5、运用平方差公式计算：
（1）
（2）
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