北师大版八年级数学下册课件： 1.1 第4课时 等边三角形的判定和含30°角的直角三角形（共20张ppt）

第一章 三角形的证明
1 第4课时
等边三角形的判定和含30°角的直角三角形
知识回顾
等边三角形的性质：
(1)等边三角形的三边都相等；
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；
(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线；
(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等．
定理　三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理　有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
你能证明这些定理吗？
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知识点一：等边三角形的判定
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
核心是等腰三角形判定的两次应用
已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.
求证： AB=AC=BC.
证明：∵ ∠A= ∠ B,
∴ AC=BC.
∵ ∠ B=∠C,
∴ AB=AC.
∴AB=AC=BC.
A
B
C
三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理1：
等腰三角形的性质+内角和定理=定理1
已知： 若AB=AC , ∠A= 60°.
求证： AB=AC=BC.
证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °.
∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A)= 60°.
∴∠A= ∠ B=∠C.
∴AB=AC=BC.
定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？
例题讲解
例1 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC.
求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
若把此条件改为AD=AE呢？
知识点二：含30°角的直角三角形的性质
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操作: 用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？
30°
30°
30°
30°
30°
等边三角形
等腰三角形
结论:在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半.
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°，∠A=30°.
求证:BC= AB.
A
30°
B
C
证明：延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD.
∵∠ACB ＝ 90°，∠BAC＝30°.
∴∠ACD＝90°，∠B＝ 60°.
∵AC ＝AC,∴△ABC≌△ADC ( SAS ).
∴AB＝AD(全等三角形的对应边相等）.
∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等
腰三角形是等边三角形）
∴ BC＝ BD＝ AB.
30°
A
B
C
D
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,
那么它所对的直角边等于斜边的一半．
几何语言：
在△ABC中,
∵∠ACB=90°,∠A=30°．
∴BC= AB．(在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半)
A
B
C
30°
例题讲解
例2 求证：如果等腰三角形的底角为15°，
那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC中，AB = AC， ∠B＝15°，
CD是腰AB上的高.
求证：CD＝ AB
C
B
A
D
证明：在△ABC中，
∵AB＝AC，∠B＝15°
∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.
∴CD是腰AB上的高，
∴∠ADC＝ 90°.
∴CD= AC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半).
∴CD = AB.
C
B
A
D
随堂演练
1. 等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是(　　)
A．有一个内角是60°
B．有一个外角是120°
C．有两个角相等
D．腰与底边相等
C
2. 如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形(　　)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
D
3.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，
AB⊥AD，则下列关系式正确的为(　　)
A．BD＝CD B．BD＝2CD
C．BD＝3CD D．BD＝4CD
B
4.由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图①,衣架杆OA=OB=18 cm,若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图②,则此时A,B两点之间的距离是　　cm.
18
5.如图,在△ABC中,∠B＝90°,∠C＝30°,AB＝3,
则AC=____,BC=______．
6
A
B
C
3
30°
6.如图,AC与BD相交于点O,若OA=OB,∠A=60°,且AB∥CD.求证:△OCD是等边三角形.
证明:∵OA=OB,∠A=60°, ∴∠B=∠A=60°.
又∵AB∥CD,
∴∠C=∠A=60°,∠D=∠B=60°, ∴∠COD=∠D=∠C=60°, ∴△OCD是等边三角形.
7．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°, BC= AB．
求证：∠BAC=30°．
C
B
A
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC，
∴△ACB≌△ACD(SAS)．
∴AB=AD．
∵CD=BC，∴BC=　BD．
又∵BC= 　AB，∴AB=BD．
∴AB=AD=BD，
即△ABD是等边三角形．
∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．
C
B
A
D
课堂小结
等边三角形的判定方法：
(2) 含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对
的直角边等于斜边的一半．
+底和腰相等
+有一个角是60°
等腰三角形 等边三角形
三个角相等
三角形 等边三角形