人教版数学八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解复习课件（共25张ppt）

第十四章 整式的乘法与因式分解
小结与复习
人教版·八年级上册
知识点归纳
一、幂的乘法运算
1.同底数幂的乘法：底数________,指数______.
a
m
a
n
·
=_______
am+n
不变
相加
2.幂的乘方：底数________,指数______.
不变
相乘
a
m
( )
n
=____________
a
mn
3.积的乘方：积的每一个因式分别_____，再把所得的幂_____.
乘方
相乘
ab
n
( )
=____________
a
n
b
n
(1)将_____________相乘作为积的系数；
二、整式的乘法
1.单项式乘单项式：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
单项式的系数
(2)相同字母的因式，利用_________的乘法,作为积的一个因式；
同底数幂
(3)单独出现的字母，连同它的______，作为积的一个因式；
指数
注：单项式乘单项式，积为________.
单项式
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点:
①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。
这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆;
②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则;
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式;
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用;
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
(1)单项式分别______多项式的每一项；
2.单项式乘多项式：
(2)将所得的积________.
注：单项式乘多项式，积为多项式，项数与原多项式的项数________.
实质是转化为单项式乘单项式的运算
单项式与多项式相乘时要注意以下几点:
①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同;
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号;
③在混合运算时，要注意运算顺序。
乘以
相加
相同
3.多项式乘多项式：
先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的______，再把所得的积________.
实质是转化为单项式乘单项式的运算
多项式与多项式相乘时要注意以下几点:
①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是:在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积;
②多项式相乘的结果应注意合并同类项;
③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积
每一项
相加
考点一 幂的运算
解析：幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除.
1.计算
(1) －4xy2·(xy2)2·(－2x2)3；
(2) (－a3b6)2＋(－a2b4)3.
方法总结：涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项．
解：(1)原式=－4xy2·x2y4·(－8x6)
=32x9y6;
(2)原式=a6b12+(－a6b12)
=0;
2.如果（an?bm?b)3=a9b15,求m, n的值.
解：∵（an?bm?b)3=a9b15,
? （an）3?（bm）3?b3=a9b15,
? a 3n ?b 3m?b3=a9b15 ,
? a 3n ?b 3m+3=a9b15,
? 3n=9 ,3m+3=15.
?n=3,m=4.
幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法.这四种运算性质是整式乘除及因式分解的基础.其逆向运用可以使一些计算简便，从而培养一定的计算技巧，达到学以致用的目的.
归纳总结
三、整式的除法
同底数幂相除，底数_______,指数_________.
1.同底数幂的除法：
a
m
a
n
÷
=_______
am-n
不变
相减
规定：任何不等于0的数的0次幂都等于________.
1
=a
m
a
m
÷
=____1___
a
0
2.单项式除以单项式：
单项式相除, 把_______、____________分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的_______一起作为商的一个因式.
系数
同底数的幂
指数
3.多项式除以单项式：
多项式除以单项式，就是用多项式的 除以这个 ，再把所得的商 .
单项式
每一项
相加
考点二 整式的运算
1. 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.
解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则.
解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y
=(2x3y2-2x2y) ÷3x2y
当x=1,y=3时，
原式=
2. 已知am＝12，an＝2，a＝3，求am－n－1的值．
方法总结：解此题的关键是逆用同底数幂的除法，对am－n－1进行变形，再代入数值进行计算．
解：∵am＝12，an＝2，a＝3，
∴am－n－1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2.
整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以单项式，其中单项式乘以单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握它们的运算法则.整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要算括号里的.
归纳总结
四、乘法公式
1.平方差公式
两数______与这两数______的积,等于这两数的______.
和
差
平方差
(a+b)(a-b) =_________
a
2
b
2
-
2.完全平方公式
两个数的和（或差）的平方，等于它们的_______，加上（或减去）它们的______的2倍.
平方和
积
(a+b)
2
=______________
a
2
b
2
2ab
+
+
考点三 乘法公式的运用
例 先化简再求值：[(x-y)2+(x+y)(x-y)] ÷2x,其中 x=3,y=1.5.
解析：运用平方差公式和完全平方公式，先计算括号内的，再计算整式的除法运算.
原式=3-1.5=1.5.
解：原式=(x2-2xy+y2+x2-y2) ÷2x
=(2x2-2xy) ÷2x
=x-y.
当x=3,y=1.5时，
用简便方法计算
(1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．（4） 102×98
解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25；
(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2；
(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；
(4) 102×98
=（100＋2）(100－2)
= 1002-22
=10000 – 4
归纳总结
整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度.
五、因式分解
把一个多项式化为几个________的________的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
1.因式分解的定定义
整式
乘积
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
特征：左边是多项式，
右边是几个整式的乘积
是互为相反的变形，即
整式乘法与因式分解
2.因式分解的方法
(1)提公因式法
(2)公式法
①平方差公式：__________________
②完全平方公式：_______________________
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
步骤：
1.提公因式；
2.套用公式；
3.检查分解是否彻底；
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
找出多项式的公因式的步骤：
考点四 因式分解及应用
例 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( B )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x2－1＝(x＋1)(x－1)
C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3
D．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
点拨：(1)多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；(2)判断过程要从左到右保持恒等变形.
例 把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是( C )
A．2(x2－8) B．2(x－2)2
C．2(x＋2)(x－2) D．2x(x－ )
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止.
归纳总结
把下列各式因式分解：
(1)2m(a－b)－3n(b－a)；
(2)16x2－64；
(3)－4a2＋24a－36.
解：(1) 原式＝(a－b)(2m＋3n)．
(2) 原式＝16(x＋2)(x－2)
(3) 原式＝－4(a－3)2
幂的运算性质
整式的乘法
整式的除法
互逆
运算
乘法公式
（平方差、完全平方公式）
特殊
形式
相反变形
因式分解
（提公因式、公式法）
相反变形
课堂小结
课后作业：
课本复习题14