人教版数学九年级上册 《24.1.4 圆内接多边形》课件（共18张PPT）

第二十四章 圆的有关性质
人教版数学九年级上册
24.1.4 圆内接多边形
学习目标
1.了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念。
2.掌握圆内接四边形的概念及其性质定理。
3.熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明.
导入新知
如图是一张圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？
四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.
合作探究
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
猜想：∠A与∠C，∠B与∠D之间的关系为：
∠A+ ∠C=180?，
∠B+ ∠D=180?.
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
如何证明你的猜想呢？
圆的内接四边形的对角互补.
C
O
D
B
A
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
E
∵∠BCD＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
1.如图所示，四边形ABCD为 ⊙O 的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是( )
A.80° B.120° C.100° D.90°
B
解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=180°-∠BCD=60°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°．
典型例题
1.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形.AB与DC的延长线交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50° ，则∠DBC的度数为( )
C
A.50° B.60° C.80° D.90°
解：延长AE交⊙O于点F，
∵AE⊥CD，∴ ????????=????????，
∴∠DBC=2∠DAF，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADE=∠GBC=50°，
∴∠DAF=40°，
∴∠DBC=2∠DAF=80°.
?
F
课堂练习
2.如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，点 D 是 ???????? 的中点，点 E 是 ???????? 上的一点，若 ∠CED=40°，则∠ADC=_____度 .
?
解：如图，连接 AE，
∵点 D 是 ???????? 的中点，
∴∠AED=∠CED，
∵∠CED=40°，
∴∠AEC=2∠CED=80°，
∵四边形 ADCE 是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∴∠ADC=180°-∠AEC=100°.
?
100
3.如图，在△ABC中，∠ACB =90° ，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF.若∠EDC= 135°，CF =22，则AE2 +BE2的值为( )
?
A.8 B.12 C.16 D.20
解：∵四边形BCDE内接于⊙O，且∠EDC=135°，
∴∠EFC=∠ABC=180°-∠EDC=45°，
∵∠ACB=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
又∵EF是⊙O的直径，
∴∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°，∴∠BCF=∠ACE，
∵四边形BECF是⊙O的内接四边形，
∴∠AEC=∠BFC，∴△ACE≌△BCF (ASA)，
∴AE=BF，
∵在Rt△ECF中，CF=22，∠EFC=45°，∴EF2=16，
则AE2+BE2=BF2+BE2=EF2=16.
?
如图，在△ABC中，∠ACB =90° ，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF.若∠EDC= 135°，CF =22，则AE2 +BE2的值为( )
?
C
1.如图，点A，B，C，D在⊙O上，????????= ?????????，∠CAD =30°，∠ACD =50° ，则∠ADB= °.
?
70
解：∵ ????????= ????????，∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠CAD=30°，
∴∠DBC=∠DAC=30°，
∵∠ACD=50°，
∴∠ABD=50°，
∴∠ACB=∠ADB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-30°-50°-30°=70°．
?
中考实题
2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的度数为( )
C
A.45° B.50° C.60° D.75°
解：∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC=∠AOC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
由圆周角定理得，∠ADC=12∠AOC，
∴∠ADC=60°.
?
3.求证：圆内接平行四边形是矩形.
已知：平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B=∠D，∠B+∠D=180°，
∴∠B=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
圆内接四边形的角的“三种关系”：
1.对角互补，若四边形ABCD为⊙O的内接四边形，则∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
2.四个内角的和是360°，若四边形ABCD为⊙O 的内接四边形，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.
3.任一外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内接四边形的外角等于其内对角．
归纳新知
再 见