湘教版（2012）初中数学八年级上册 5.1 二次根式 课件（共21张ppt）

5.1 二次根式
第5章 二次根式
第1课时 二次根式的概念及性质
导入新课
(1) 5的平方根是 ________，算术平方根是______.
(2)正实数a的平方根是_____，算术平方根是______.
(3)如果一个正方形的的面积是 S，那么它的边长是 .
回顾与思考
讲授新课
二次根式的概念
一
问题1 上面问题的结果分别是 ，它们表示的是算术平方根.那么什么样的数有算术平方根呢？
我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，只能是非负数.
问题2 上面问题的结果分别是 ，分别从形式上和被开方数上看有什么共同特点？
①含有“ ”
②被开方数a ≥0
归纳总结
二次根式的定义
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号，a叫做被开方数.
要点提醒
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数a ≥0
例1 下列各式是二次根式吗?并说明理由。
典例精析
是
不是
不是
（x,y异号）
不是
不是
是
不是
不含二次根号
被开方数是负数
当m>0时被开方数是负数
xy＜0
非负数+正数恒大于零
根指数是3
二次根式有意义的条件
二
由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此
只有当被开方数是非负实数时,二次根式才在实数范围内有意义.
例2 当x是怎样的实数时，二次根式 在实数范围内有意义？
解 : 由 x－1≥0，
解得 x ≥ 1.
因此，当x≥1时，
在实数范围内有意义.
注意：我们都是在实数范围内讨论二次根式有没有意义，今后不再写出“在实数范围内”这几个字.
二次根式的双重非负性
三
思考: 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
算术平方根
平方运算
0

1
a(a≥0)
0
1
观察：两者有什么关系？
填一填：
二次根式的性质
四
4
2
0
思考：根据前面得出的结论填一填．
你能把所得的公式用字母表示出来吗？
归纳总结
的性质：
一般地， ＝a (a ≥0).
例3 计算：
解：
想一想：此小题用到了幂的哪条基本性质呢？
积的乘方：
（ab）2=a2b2
平方运算
算术平
方根
-4

0
1
-1
a
4
0
1
1
填一填：
观察：两者有什么关系？
（-4）2=16
02=0
12=1
（-1）2=1




2
0.1
0
如何用字母表示你所得的公式呢？
思考：根据前面得出的结论填一填．
归纳总结
的性质
一般地， ＝a (a≥0).
例4 计算：
解:
一般地，当a<0时， 因此，我们可以得到：
当a<0时， 是否仍然成立？为什么？
议一议
辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
×
×
√
√
议一议：如何区别 与 ？
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方,后平方
先平方，后开方
a≥0
a取任何实数
a
∣a∣
当堂练习
1.式子 有意义的条件是 （ ）
A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
A
2. 计算：
答案：3
答案：
答案：0.01
3.实数a，b在数轴上的位置如图所示，求 - a-b 。
a
0
b
解：由图可知a＜0，b＞0，且 a ＞ b
∴a-b＜0， - a-b =-a+a-b=-b
（2）设 ，试求2x+y的值.
4.（1）若 ，求a -b+c的值.
解：
（1）由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4
所以a-b+c=2-3+4=3;
（2）由题意知，1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=2017,
所以2x+y=2×1+2017=2019.
课堂小结
二次根式
二次根式的概念
二次根式的表示
二次根式有意义的条件
被开方数≥0
→
性质
应用