沪教版（上海）数学九年级第二学期-27.3 垂径定理 教案

课题：垂径定理
一、教学目标
1．利用圆的对称性感知演绎证明垂径定理.
2．能应用垂径定理解决圆中相关的证明与计算，了解在实际应用问题中的建模方法.
3.
深切感悟数学来自生活，又服务于生活，同时，进一步渗透民族精神教育.
二、重点、难点
1．重点：应用圆对称性感知并演绎证明垂径定理，会用垂径定理解决相关证明和计算，并能用建模数学方法解决实际问题.
2．难点：用垂径定理解决应用问题.
三、教学过程
（一）发现规律，传授新知
操作：
把一个圆沿着它的一条直径对折，你有什么发现？
归纳1：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的
对称轴.
思考：如图,在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，
垂足为点M，那么：
（1）线段AM与BM是否相等？
（2）AC与BC是否相等？AD与BD是否相等？
你能用推理的方法来证明吗？
归纳2：圆的一个性质定理：
垂径定理
如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径
平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧.
（二）初步练习，巩固理解
练一练：
1.
如图，已知⊙0的直径CD垂直于弦AB，
垂足为点M,AB=10,
AB=12,
则AM=
，BD=
.
2.
如图，已知⊙0的半径OC垂直于弦AB，
垂足为点M,AM=2,AB=5,
则AB=
，AC=
.
3.
如图，已知⊙0的弦AB长为8,圆心O到AB
的距离为3,则⊙O的半径为
.
（三）应用新知，培养能力
例题1
已知：如图，以点Ｏ为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于Ｃ、D两点．求证：AC=BD．
例题2一千三百多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形．已知桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米.
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2米.求桥拱所在圆的半径的长(精确到0.1米)．
（赵州桥是我国年代最古的石拱桥，建于隋朝,采用弓形敞肩造法.?法国泰克河上的赛雷桥也是这样的桥，但比赵州桥晚了七百余年，而且它只存在了三百年就塌毁了。赵州桥却已经历了一千三百九十多年,今天仍然挺拔地屹立在洨河水面上，这是世界古桥中的瑰宝，是人类的奇迹，更是中国人的骄傲!）
概念：由圆的弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
例2中的拱高也叫弓形高．
（四）反复练习，深化理解
练一练：如图已知⊙0半径长为50厘米，弦AB的长为50厘米，求：(1)点O到AB的距离；　(2)∠AOB的大小．
（五）课堂小结
（六）布置作业
练习册
习题27.3
四、设计说明
垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置．另外，通过“实验--观察--猜想--证明”的途径，进一步培养学生的动手能力，观察能力，分析、联想能力，同时利用圆的轴对称性，可以对学生进行数学美的教育．因此，这节课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育方面都起着十分重要的作用．
本节课要研究的是利用圆的对称性让学生感知演绎证明垂径定理；能应用垂径定理解决圆中相关的证明与计算，了解在实际应用问题中的建模方法；
深切感悟数学来自生活，又服务于生活，同时，进一步渗透民族精神教育．重点是应用圆对称性感知并演绎证明垂径定理，会用垂径定理解决相关证明和计算，并能用建模数学方法解决实际问题．难点是用垂径定理解决应用问题.
鉴于教材特点及初三学生的认知水平，我选用引导发现法和直观演示法，引导发现法属于启发式教学，通过教师的引导，启发调动学生的积极性，让学生在课堂上多活动、多观察，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理，这符合现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教学论中自觉性和积极性、教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则．例题的设计也反应特殊与一般的关系，渗透辩证唯物主义的观点．同时在教学中，还充分利用教具，在实验，演示，操作，观察，练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合教学论中直观性与可接受性原则．关于教材的处理：(1)对于圆的轴对称性及垂径定理的发现、证明，采用师生共同演示的方法．(2)练一练1讲完后总结出辅助线作法的七字口诀“半径半弦弦心距”，得直角三角形中三边的关系式：r2=d2+()2．（3）例1是垂径定理的直接应用，起到巩固定理的作用；例2是数学实际问题，通过这个问题，让学生了解在实际应用问题中的数学建模方法，
深切感悟数学来自生活，又服务于生活，同时进一步渗透民族精神教育．(4)练一练2要求学生课堂完成，进一步巩固本节课所学的内容．课堂小结由师生共同完成．
本节课中，教师应引导学生学会归纳的学习方法．培养学生的想象能力，充分调动学生自己的积极性，引导他们自己分析、讨论、得出结论．突出重点，突破难点，培养学生的数学能力．
五、教后反思
本节课分成四个部分：（1）通过实验操作认识圆的轴对称性及垂径定理的发现、证明，采用师生共同演示的方法．(2)练一练1讲完后总结出辅助线作法的七字口诀“半径半弦弦心距”，得直角三角形中三边的关系式r2=d2+(a/2)2，总结方法．（3）例1是垂径定理的直接应用，起到巩固定理的作用；例2是数学实际问题，通过这个问题，让学生了解在实际应用问题中的数学建模方法，
深切感悟数学来自生活，又服务于生活，同时进一步渗透民族精神教育．(4)练一练2要求学生课堂完成，进一步巩固本节课所学的内容．课堂小结由师生共同完成．
课堂教学中，第一部分垂径定理的证明中，关于如何添辅助线，可能我的问题设计不好，因而有些学生不知怎么回答，故有些学生的回答是错的，与原来的设计有点偏离．第二部分练一练中，对于这三个简单但形式不同的计算题的练习，学生做得比较好，这说明学生已初步掌握了垂径定理，我也及时地进行方法总结，因此这部分与原来的设计相吻合．第三部分例题的教学中，例1完成的比较好，例2的完成中，可能实际问题比较难，故学生的思维不够活跃，这也与原来的设计有点偏离．第四部分练一练2，因为时间比较紧张，故留作课后解决了．
尽管这堂课留下了一些遗憾，但我仍觉得整个教学过程是成功的，收获很大．我将不断的探求教学方法，不断完善自己的教学艺术，使自己的教学水平再上一个台阶．
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