11-12学年度高二上学期单元测试（4） 数学试题命题范围： 选修2-1

2011—2012学年度上学期单元测试
高二数学试题（4）【人教版】
命题范围： 选修2-1
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
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一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）在下列各小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选项前的字母填入下表相应的空格内．
1．给出命题：p：，q：，则在下列三个命题：“p且q” “p或q” “非p”中，真命题的个数为 （ ）
A．0 B．3 C．2 D．1
2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是 （ ）
A． B． C． D．
3．“m=-2”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m－2）x+（m+2）y－3=0相互垂直”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．给出下列三个命题
①若,则
②若正整数m和n满足,则
③设为圆上任一点，圆O2以为圆心且半径为1．当时,圆O1与圆O2相切
其中假命题的个数为 （ ）21世纪教育网
A．0 B．1 C．2 D．3
5．双曲线的渐近线方程是 （ ）
A． B． C． D．
6．已知M（-2,0）,N（2,0）,|PM|-|PN|=4,则动点P的轨迹是 （ ）
A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支
7．如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是 （ ）
A．（0,+∞） B．（0,2） C．（1,+∞） D．（0,1）
8．已知向量与向量平行,则x,y的值分别是 （ ）
A．6和-10 B．–6和10 C．–6和-10 D．6和10
9．已知ABCD是平行四边形,且A（4,1,3）,B（2,-5,1）,C（3,7,-5）,则顶点D的坐标为（ ）
A．（1,1,-7） B．（5,3,1） C．（-3,1,5） D．（5,13,-3）21世纪教育网
10．方程表示的曲线为 （ ）
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆
11．已知双曲线方程为，过的直线L与双曲线只有一个公共点，则直线L的条数共有 （ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
12．有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是 （ ）21世纪教育网
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）请将答案直接添在题中的横线上．
13．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为___
14．直线l过抛物线 （a>0）的焦点,并且与x轴垂直,若l被抛物线截得的线段长为4,则a= ．
15．已知下列命题（是非零向量）
（1）若,则;
（2）若,则;
（3）
则假命题的个数为___________
16．已知向量，且A、B、C三点共线，
则k= ．
三、解答题：（共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本题满分10分）如果正△ABC中,D∈AB,E∈AC,向量,求以B,C为焦点且过点D,E的双曲线的离心率．
18．（本小题満分12分） 设p ：指数函数在R上是减函数；q：。若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求的取值范围。
19．（本小题満分12分）
已知一条曲线上的每个点M到A（1,0）的距离减去它到y轴的距离差都是1．
（1）求曲线的方程;
（2）讨论直线y=kx+1 （k∈R）与曲线的公共点个数．
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20．（本小题満分12分） 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0），右顶点为。
（1） 求双曲线C的方程；
（2） 若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的取值范围。
21．（本小题満分12分）
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点．
（Ⅰ）证明AD⊥D1F;
（Ⅱ）求AE与D1F所成的角;
（Ⅲ）证明面AED⊥面A1FD1;
22．（本小题満分12分） 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．
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参考答案
选择题 DDBBA CDADA CC
填空题
13．e1, e2; 14．4; 15．3; 16．
解答题
17．解:
18．解：∵p∨q是真命题，p∧q是假命题
∴p真q假 或 q假p真
p ：指数函数在R上不是减函数，即增函数；q：
∴或
所以的取值范围是
19．解：（1）设点M（x,y）是曲线上任意一点,则-|x|=1，
化简得:y2=2x+2|x|
所求曲线的方程．C1：当x0时， y2=4x；C2：当x<0时，y=0．
（2）直线y=kx+1过定点（0,1），
y=kx+1，与y2=4x联列：ky2-4y+4=0, =16-16k
当k=0时,直线与C1有一个公共点,而与C2没有公共点,共1个公共点;
当k=1时, =0，直线与C1和C2各一个公共点,共2个公共点;
当00,直线与C1有2个公共点，和C2一个交点,共3个公共点;
当k<0时，>0,直线与C1有两个公共点，和C2没有公共点,共2个公共点;
当k>1时, <0,直线与C1没有公共点，和C2有1个公共点,共1个公共点;
所以:当k=0,或k>1时,直线与曲线有1个公共点;
当k=1,或k<0时,直线与曲线有2个公共点;
当020．解：（Ⅰ）设双曲线方程为
由已知得
故双曲线C的方程为
（Ⅱ）将
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即 ① 设，则
而
于是 ②
由①、②得 故k的取值范围为
21．（Ⅰ）
∴AD⊥D1F
（Ⅱ）[来源:21世纪教育网]
∴AE⊥D1F
AE与D1F所成的角为900
（Ⅲ）由以上可知D1F⊥平面AED
∴面AED⊥面A1FD1;
22．（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、
B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、
P（0，0，2）、E（0，，1），
从而
设的夹角为θ，则
∴AC与PB所成角的余弦值为．
（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则，由NE⊥面PAC可得，
∴
即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，．