备战2021年上海中考真题模拟题汇编专题（word版含解析）

备战上海21年中考试题汇编02讲：整式及运算
1．（2019?上海）下列运算正确的是（　　）
A．3x+2x＝5x2
B．3x﹣2x＝x
C．3x?2x＝6x
D．3x÷2x
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解析】（A）原式＝5x，故A错误；（C）原式＝6x2，故C错误；（D）原式，故D错误；故选：B．
2．（2016?上海）下列单项式中，与a2b是同类项的是（　　）
A．2a2b
B．a2b2
C．ab2
D．3ab
【分析】根据同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，结合选项解答即可．
【解析】A、2a2b与a2b所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项正确；
B、a2b2与a2b所含字母相同，但相同字母b的指数不相同，不是同类项，故本选项错误；
C、ab2与a2b所含字母相同，但相同字母a和字母b的指数都不相同，不是同类项，本选项错误；
D、3ab与a2b所含字母相同，但相同字母a的指数不相同，不是同类项，本选项错误．故选：A．
3．（2020?杨浦区二模）下列计算中，正确的是（　　）
A．a2?a4＝a8
B．（a3）4＝a7
C．（ab）4＝ab4
D．a6÷a3＝a3
【分析】结合幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法和除法的概念和运算法则进行求解即可．
【解析】A、a2?a4＝a6≠a8，本选项错误；B、（a3）4＝a12≠a7，本选项错误；
C、（ab）4＝a4b4≠ab4，本选项错误；D、a6÷a3＝a3，本选项正确．故选：D．
4．（2020?宝山区二模）下列计算正确的是（　　）
A．ab﹣b＝a
B．a2+a3＝a5
C．a3÷a2＝a
D．（a2）3＝a5
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解析】A、原式为最简结果，不符合题意；B、原式不能合并，不符合题意；
C、原式＝a，符合题意；D、原式＝a6，不符合题意．故选：C．
5．（2020?嘉定区二模）当x≠0时，下列运算正确的是（　　）
A．x3+x2＝x5
B．x3?x2＝x6
C．（x3）2＝x9
D．x3÷x2＝x
【分析】分别根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减进行计算即可．
【解析】A、不能合并，故原题计算错误；B、x3?x2＝x5，故原题计算错误；
C、（x3）2＝x6，故原题计算错误；D、x3÷x2＝x，故原题计算正确；故选：D．
6．（2020?青浦区二模）计算（﹣2x）2的结果是（　　）
A．2x2
B．﹣2x2
C．4x2
D．﹣4x2
【解析】（﹣2x）2＝4x2．故选：C．
7．（2019?静安区二模）计算（1﹣a）（﹣1﹣a）的结果是（　　）
A．a2﹣1
B．1﹣a2
C．a2﹣2a+1
D．﹣a2+2a﹣1
【解析】原式＝（﹣a）2﹣12＝a2﹣1，故选：A．
8．（2019?松江区二模）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a2＝a4
B．（2a）3＝6a3
C．3a2?（﹣a3）＝﹣3a5
D．4a6÷2a2＝2a3．
【分析】根据合并同类项法则、单项式的乘方、乘法和除法逐一计算可得．
【解析】A．a2+a2＝2a2，此选项错误；B．（2a）3＝8a3，此选项错误；
C．3a2?（﹣a3）＝﹣3a5，此选项正确；D．4a6÷2a2＝2a4，此选项错误；故选：C．
9．（2020?长宁区二模）下列单项式中，与xy2是同类项的是（　　）
A．x2y
B．x2y2
C．2xy2
D．3xy
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关．
【解析】A．x2y与xy2所含字母的指数不同，所以不是同类项；
B．x2y2与xy2所含字母的指数不尽相同，所以不是同类项；
C.2xy2与xy2所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项；
D.3xy与xy2所含字母的指数不尽相同，所以不是同类项．故选：C．
10．（2020?闵行区二模）在下列各式中，与是同类项的是（　　）
A．2xy
B．﹣y2x
C．
D．x2y
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．
【解析】A、所含字母相同；相同字母的指数不同，故本选项不符合题意；
B、所含字母相同；相同字母的指数相同，故本选项符合题意；
C、是多项式，与不是同类项，故本选项不符合题意；
D、所含字母相同；相同字母的指数不同，故本选项不符合题意；故选：B．
11．（2020?上海）计算：2a?3ab＝　6a2b　．
【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
【解析】2a?3ab＝6a2b．故答案为：6a2b．
12．（2019?上海）计算：（2a2）2＝　4a4　．
【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可．
【解析】（2a2）2＝22a4＝4a4．
13．（2018?上海）计算：（a+1）2﹣a2＝　2a+1　．
【分析】原式利用完全平方公式化简，合并即可得到结果．
【解析】原式＝a2+2a+1﹣a2＝2a+1，
14．（2017?上海）计算：2a?a2＝　2a3　．
【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的指数分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
【解析】2a?a2＝2×1a?a2＝2a3．
15．（2016?上海）计算：a3÷a＝　a2　．
【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算即可求解．
【解析】a3÷a＝a3﹣1＝a2．
16．（2016?上海）如果a，b＝﹣3，那么代数式2a+b的值为　﹣2　．
【分析】把a与b的值代入原式计算即可得到结果．
【解析】当a，b＝﹣3时，2a+b＝1﹣3＝﹣2，
17．（2020?普陀区二模）计算：a?（3a）2＝　9a3　．
【分析】先根据积的乘方法则计算，再根据单项式乘以单项式法则计算．
【解析】原式＝a?9a2＝9a3，
18．（2020?长宁区二模）计算：（x3）2÷（﹣x）2＝　x4　．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【解析】（x3）2÷（﹣x）2＝x6÷x2＝x4．
19．（2020?黄浦区二模）计算：6a4÷2a2＝　3a2　．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解析】6a4÷2a2＝3a2．
20．（2020?奉贤区二模）计算：9a3b÷3a2＝　3ab　．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解析】原式＝3ab．
21．（2020?静安区二模）计算：a11÷a7＝　a4　．
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【解析】a11÷a7＝a4．
22．（2020?宝山区二模）计算：（m﹣n）（m+n）＝　m2﹣n2　．
【分析】两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．即可利用平方差公式相乘．
【解析】（m﹣n）（m+n）＝m2﹣n2．
23．（2020?崇明区二模）计算：（3a3）2＝　9a6　．
【分析】利用积的乘方的性质：积的乘方，等于把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，首先计算积的乘方，再利用幂的乘方乘方性质：底数不变，指数相乘，计算（a3）2可得答案．
【解析】（3a3）2＝32?（a3）2＝9?a3×2＝9a6．
24．（2020?普陀区二模）已知一件商品的进价为a元，超市标价b元出售，后因季节原因超市将此商品打八折促销，如果促销后这件商品还有盈利，那么此时每件商品盈利　（0.8b﹣a）　元．（用含有a、b的代数式表示）
【分析】“标价售价”用代数式表示出售价，再根据“售价﹣进价＝利润”用代数式表示盈利．
【解析】根据题意得，每件商品盈利（0.8b﹣a）元，
25．（2019?杨浦区三模）某大型超市从生产基地以每千克a元的价格购进一种水果m千克，运输过程中重量损失了10%，超市在进价的基础上増加了30%作为售价，假定不计超市其他费用，那么售完这种水果，超市获得的利润是　0.17am　元（用含m、a的代数式表示）
【分析】根据题意可以用含a的代数式表示出超市获得的利润，本题得以解决．
【解析】由题意可得，
超市获得的利润是：a（1+30%）×[m（1﹣10%）]﹣am＝0.17am（元），
26．（2019?徐汇区校级一模）如图，图中所有四边形都是正方形，其中左上角的n个小正方形与右下角的1个小正方形边长相等，若最大正方形边长是最小正方形边长的m倍，则用含n的代数式表示m的结果为m＝　2n+5　．
【分析】如图，过A作AB⊥FG于B，根据相似三角形的性质得到2，设小正方形的边长为1，则答正方形的边长为m，求得BC＝2DE＝2，CDAB（m﹣1），列方程即可得到结论．
【解析】如图，过A作AB⊥FG于B，则△ABC∽△CDE，∴2，
设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为m，∴AB＝m﹣1，BF＝n，DE＝1，
∴BC＝2DE＝2，CDAB（m﹣1），∴FG＝FB+BC+CD+DG＝n+2（m﹣1）+1＝m，∴m＝2n+5，
27．（2019秋?嘉定区期末）计算：（2x﹣y）2﹣（y2﹣4xy）﹣（2x+y）（x﹣2y）．
【分析】先根据完全平方公式，多项式乘多项式的计算法则计算，再去括号合并同类项即可求解．
【解析】（2x﹣y）2﹣（y2﹣4xy）﹣（2x+y）（x﹣2y）
＝4x2﹣4xy+y2﹣y2+4xy﹣（2x2﹣3xy﹣2y2）
＝4x2﹣2x2+3xy+2y2
＝2x2+3xy+2y2．
28．（2019秋?黄浦区校级期中）已知（x+y）2＝16，（x﹣y）2＝4，求x2+y2和3xy的值．
【分析】已知等式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求．
【解析】由题意可知x2+2xy+y2＝16①，x2﹣2xy+y2＝4②，
①+②得：2x2+2y2＝20，
∴x2+y2＝10，
①﹣②得：4xy＝12，
∴xy＝3，
∴3xy＝9．
29．（2019秋?黄浦区校级期中）计算：
（1）3x2+x（7y﹣3x）
（2）（﹣a2b）（2ab）3+10a5b4
（3）（x﹣2y）（x2+4y2）（x+2y）
（4）（a+2b﹣3c）（a﹣2b﹣3c）
【分析】（1）直接去括号再合并同类项得出答案；
（2）直接利用积的乘方运算法则计算得出答案；
（3）直接利用乘法公式计算得出答案；
（4）直接利用乘法公式计算得出答案．
【解析】（1）原式＝3x2+7xy﹣3x2＝7xy；
（2）原式＝（﹣a2b）（8a3b3）+10a5b4＝﹣8a5b4+10a5b4＝2a5b4；
（3）原式＝（x2﹣4y2）（x2+4y2）＝x4﹣16y4；
（4）原式＝（a﹣3c）2﹣4b2＝a2﹣6ac+9c2﹣4b2．
30．（2019秋?黄浦区校级期中）（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）
（2）m2（a+b）﹣25（a+b）
（3）3a3﹣12a2+12a
（4）（x+y）2﹣11（x+y）+18
【分析】（1）提取公因式（x﹣y）分解因式即可求解；
（2）先提取公因式（a+b），再根据平方差公式分解因式即可求解；
（3）先提取公因式3a，再根据完全平方公式分解因式即可求解；
（4）根据十字相乘法分解因式即可求解．
【解析】（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）＝a（x﹣y）+b（x﹣y）+c（x﹣y）＝（x﹣y）（a+b+c）；
（2）m2（a+b）﹣25（a+b）＝（a+b）（m2﹣25）＝（a+b）（m+5）（m﹣5）；
（3）3a3﹣12a2+12a＝3a（a2﹣4a+4）＝3a（a﹣2）2；
（4）（x+y）2﹣11（x+y）+18＝（x+y﹣9）（x+y﹣2）．
31．（2019秋?嘉定区期中）阅读下列材料：
让我们来规定一种运算：ad﹣bc
例如：1×5﹣2×4＝5﹣8＝﹣3，再如：按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：
①　﹣5　；（只填最后结果）
②当x＝　　时，0；（只填最后结果）
③将下面式子进行因式分解：（写出解题过程）
【分析】①直接利用运算公式计算得出答案；
②直接利用运算公式计算得出答案；
③直接利用运算公式计算得出答案．
【解析】①由本题运算规则，得原式＝（﹣4）×2﹣（﹣1）×3＝﹣5；
②由题意得，2×x﹣（1﹣x）×1＝0，解得：x；
③由本题运算规则，得原式＝（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）（﹣3）
＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1+
＝（x2﹣2x+1）2．
＝（x﹣1）4．
32．（2019秋?浦东新区期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“贾宪三角（贾宪是北宋时期的数学家）”就是一例．如图1，这个三角形中的数字给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按字母a
的降幂排列）的系数规律．例如：如图2，在三角形中第三行的三个数是1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数．
（1）请根据上面的规律，写出（a+b）4的展开式（a+b）4＝　a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4　；
（2）利用上面的规律计算：24﹣4×23+6×22﹣4×2+1＝　1　．
【分析】（1）根据图中数据的规律即可写出结果；
（2）根据（1）中的规律即可求解．
【解析】（1）（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
故答案为a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
（2）24﹣4×23+6×22﹣4×2+1＝（2﹣1）4＝1更
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专题03分式的性质及计算（28题）
一．选择题（共5小题）
1．（2019?浦东新区二模）如果分式有意义，则x与y必须满足（　　）
A．x＝﹣y
B．x≠﹣y
C．x＝y
D．x≠y
【分析】根据分式有意义的条件是x﹣y≠0，可得x﹣y≠0，进而可得答案．
【解析】由题意得：x﹣y≠0，
即：x≠y，
故选：D．
2．（2019秋?浦东新区期末）下列分式化简正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】首先把分子分母分解因式，再去约分化简即可．
【解析】A、2（a+b）＝2a+2b，故原题计算错误；
B、，故原题计算正确；
C、，故原题计算错误；
D、不能约分，故原题计算错误；
故选：B．
3．（2019秋?闵行区期末）下列分式是最简分式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用分式的性质分别化简得出答案．
【解析】A、，故不是最简分式，不合题意；
B、，是最简分式，符合题意；
C、，故不是最简分式，不合题意；
D、，故不是最简分式，不合题意；
故选：B．
4．（2019秋?闵行区期末）如果将分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　）
A．缩小到原来的
B．扩大到原来的3倍
C．不变
D．扩大到原来的9倍
【分析】把分式中的分子，分母中的x，y都同时变成原来的3倍，就是用3x，3y分别代替式子中的x，y，看得到的式子与原式子的关系．
【解析】因为，所以分式的值变为原来的．
故选：A．
5．（2019秋?浦东新区期末）若分式的值总是正数，a的取值范围是（　　）
A．a是正数
B．a是负数
C．a
D．a＜0或a
【分析】根据题意列出不等式即可求出a的范围．
【解析】由题意可知：a＞0且2a﹣1＞0，或a＜0且2a﹣1＜0，
∴a或a＜0，
故选：D．
二．填空题（共12小题）
6．（2020?上海）已知f（x），那么f（3）的值是　1　．
【分析】根据f（x），可以求得f（3）的值，本题得以解决．
【解析】∵f（x），
∴f（3）1，
故答案为：1．
7．（2020?徐汇区二模）计算：　　．
【分析】直接通分运算，再利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解析】
．
故答案为：．
8．（2020?奉贤区二模）如果代数式在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是　x≠3　．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0求解可得．
【解析】根据题意知3﹣x≠0，
解得x≠3，
故答案为：x≠3．
9．（2020?闵行区二模）化简：　　．
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可．
【解析】原式
．
故答案为：
10．（2020?嘉定区二模）化简　　．
【分析】原式利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．
【解析】原式，
故答案为：
11．（2019?长宁区二模）计算：　　．
【分析】直接利用负指数幂的性质以及有理数的混合运算法则计算得出答案．
【解析】原式＝4﹣2﹣1
＝4
＝3．
故答案为：3．
12．（2020春?浦东新区期末）计算：（）﹣2＝　　．
【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可．
【解析】（）﹣2．
故答案为：．
13．（2019秋?浦东新区期末）当x　　时，分式有意义．
【分析】根据分式有意义的条件可得2x+3≠0，再解即可．
【解析】由题意得：2x+3≠0，
解得：x，
故答案为：．
14．（2019秋?浦东新区期末）计算　　．
【分析】首先计算分式的乘方和负整数指数幂，再算乘法即可．
【解析】原式?（），
，
故答案为：．
15．（2019秋?嘉定区期末）将分式表示成不含分母的形式：　2﹣1a﹣2b﹣3（a+b）　．
【分析】直接利用负指数幂的性质化简得出答案．
【解析】将分式表示成不含分母的形式：2﹣1a﹣2b﹣3（a+b）．
故答案为：2﹣1a﹣2b﹣3（a+b）．
16．（2019秋?闵行区期末）若分式有意义，那么x的取值范围是　x≠﹣1　．
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解析】分式有意义，
则2x+2≠0，
解得：x≠﹣1．
故答案为：x≠﹣1．
17．（2019秋?闵行区期末）将代数式2﹣1x﹣3y2化为只含有正整数指数幂的形式　　．
【分析】根据负整数指数幂的意义即可求出答案．
【解析】原式，
故答案为：
三．解答题（共11小题）
18．（2018?上海）先化简，再求值：（），其中a．
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【解析】原式＝[]
?
，
当a时，
原式5﹣2．
19．（2020?普陀区二模）先化简，再求值：，其中x1．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解析】原式?
，
当x1时，
原式
＝23．
20．（2020?杨浦区二模）先化简，再求值：（），其中a1．
【分析】先化简分式，然后将中a1代入求值．
【解析】原式
．
当
时，
原式
．
21．（2020?浦东新区二模）先化简，再求值：，其中a2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【解析】原式?
，
当a2时，
原式．
22．（2020?虹口区二模）先化简，再求值：（1），其中x2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解析】原式＝（）
?
，
当x2时，
原式
．
23．（2020?福田区模拟）先化简，再求值：，其中x．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解析】原式
，
当时，原式．
24．（2020?静安区一模）先化简，再求值：，其中x＝sin45°，y＝cos60°．
【分析】现将原式化简为，再将x＝sin45°，y＝cos60°代入计算即可．
【解析】原式?，
当x＝sin45°，y＝cos60°时，
原式．
25．（2019?长宁区二模）先化简，再求值：，其中．
【分析】先计算括号内的分式减法，再计算除法运算，化简后，代入x的值求解．
【解析】原式
．
当时，原式．
26．（2019?奉贤区二模）先化简，再求值：，其中x．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x代入，根据分母有理化法则计算即可．
【解析】原式?
，
当x时，原式33．
27．（2019?崇明区二模）先化简，再求值：（a+1），其中a．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算，得到答案．
【解析】原式?
，
当a时，原式1．
28．（2019?杨浦区三模）先化简，再计算：，其中x．
【分析】原式约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解析】原式?，
当x1时，
原式2．;
备战2021年中考数学真题模拟题分类汇编（上海专版）
专题04一元二次方程及应用（40题）
一．选择题（共10小题）
1．（2018?上海）下列对一元二次方程x2+x﹣3＝0根的情况的判断，正确的是（　　）
A．有两个不相等实数根
B．有两个相等实数根
C．有且只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
【解析】∵a＝1，b＝1，c＝﹣3，
∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×（1）×（﹣3）＝13＞0，
∴方程x2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．（2017?上海）下列方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣2x＝0
B．x2﹣2x﹣1＝0
C．x2﹣2x+1＝0
D．x2﹣2x+2＝0
【分析】分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．
【解析】A、△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；
B、△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；
C、△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；
D、△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．
故选：D．
3．（2020?虹口区二模）如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围为（　　）
A．m≤4
B．m＜4
C．m≥4
D．m＞4
【分析】由方程有两个不相等的实数根得出△＝（﹣4）2﹣4m＞0，解之可得．
【解析】根据题意知△＝（﹣4）2﹣4m＞0，
解得m＜4，
故选：B．
4．（2020?奉贤区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，那么实数m的值可以是（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m＞0，解不等式得到m的范围，然后对各选项进行判断．
【解析】根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＞0，
解得m＜1，
所以m可以取0．
故选：A．
5．（2020?静安区二模）如果关于x的方程x2+2x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是（　　）
A．m＜1
B．m≤1
C．m＞1
D．m≥1
【分析】由关于x的方程x2+2x+m＝0有实数根知△＝b2﹣4ac≥0，据此求解可得．
【解析】根据题意知△＝22﹣4m≥0，
解得m≤1，
故选：B．
6．（2020?黄浦区二模）下列方程没有实数根的是（　　）
A．x2＝0
B．x2+x＝0
C．x2+x+1＝0
D．x2+x﹣1＝0
【分析】分别计算出每个方程判别式的值，再进一步判断即可得出答案．
【解析】A．此方程判别式△＝02﹣4×1×0＝0，故方程有两个相等的实数根；
B．此方程判别式△＝12﹣4×1×0＝1＞0，故方程有两个不相等的实数根；
C．此方程判别式△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，故方程没有实数根；
D．此方程判别式△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，故方程有两个不相等的实数根；
故选：C．
7．（2020?徐汇区二模）下列方程中，有实数根的是（　　）
A．x2+1＝0
B．x2﹣1＝0
C．1
D．0
【分析】A、变形得x2＝﹣1＜0，由此得到原方程无实数根；
B、变形得x2＝1，由此得到原方程有实数根；
C、根据非负数的性质可得原方程无实数根；
D、先把方程两边乘x﹣1得1＝0，由此得到原方程无实数根．
【解析】A、方程变形得x2＝﹣1＜0，故没有实数根，此选项错误；
B、方程变形得x2＝1，故有实数根，此选项正确；
C、二次根式非负，故没有实数根，此选项错误；
D、方程两边乘x﹣1得1＝0，没有实数根，此选项错误．
故选：B．
8．（2020?闵行区二模）方程x2﹣2x+3＝0根的情况（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有一个实数根
C．无实数根
D．有两个相等的实数根
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解析】由题意可知：△＝（﹣2）2﹣4×1×3＝12﹣12＝0，
故选：D．
9．（2020?宝山区二模）关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实数根，则k的值的范围是（　　）
A．k＞﹣1
B．k≥﹣1
C．k＜﹣1
D．k≤﹣1
【分析】由方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出k的范围即可．
【解析】∵关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实数根，
∴△＝4+4k≥0，
解得：k≥﹣1．
故选：B．
10．（2020?闵行区一模）下列方程中，有实数根的是（　　）
A．x
B．0
C．
D．x2+2020x﹣1＝0
【分析】A选项中，0，﹣x＜0，则方程无实数根；B选项中，当x＝1时有最小值1，则方程无实数根；C选项中，解得x＝1是方程的增根，则方程无实数根；D选项中，△＞0，则方程有两个不相等的实数根．
【解析】∵0，x﹣1≥0，
∴x≥1，
∴﹣x＜0，
∴x，
∴A不正确；
∵0，0，
当x＝1时有最小值1，
∴1，
∴B不正确；
两边同时乘以x2﹣1，得x＝1，
经检验x＝1是方程的增根，
∴方程无解；
∴C不正确；
x2+2020x﹣1＝0，
∵△＝20202+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴D正确；
故选：D．
二．填空题（共22小题）
11．（2019?上海）如果关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是　m　．
【分析】由于方程没有实数根，则其判别式△＜0，由此可以建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．
【解析】由题意知△＝1﹣4m＜0，
∴m．
故填空答案：m．
12．（2016?上海）如果关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是　　．
【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解析】∵关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×k＝9﹣4k＝0，
解得：k．
故答案为：．
13．（2020?普陀区二模）如果把二次方程x2﹣xy﹣2y2＝0化成两个一次方程，那么所得的两个一次方程分别是　x﹣2y＝0或x+y＝0　．
【分析】由于二元二次方程x2﹣xy﹣2y2＝0进行因式分解可以变为（x﹣2y）（x+y）＝0，即可解决问题．
【解析】∵x2﹣xy﹣2y2＝0，
∴（x﹣2y）（x+y）＝0，
∴x﹣2y＝0或x+y＝0．
故答案为：x﹣2y＝0或x+y＝0
14．（2020?普陀区二模）方程x的解是　x＝0　．
【分析】先两边平方得到x2﹣5x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣5）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x＝0或x﹣5＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝5，检验原方程的解为x＝0．
【解析】把方程x两边平方，得
5x＝x2，
∴x2﹣5x＝0，
∴x（x﹣5）＝0，
∴x＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝0，x2＝5．
检验：把x1＝0，x2＝5代入方程x，
可知x1＝0是原方程的根，x2＝5是原方程的增根，
所以原方程的解为x＝0．
故答案为：x＝0．
15．（2020?普陀区二模）如果关于x的方程（x﹣2）2＝m﹣1没有实数根，那么m的取值范围是　m＜1　．
【分析】根据直接开平方法定义即可求得m的取值范围．
【解析】∵关于x的方程（x﹣2）2＝m﹣1没有实数根，
∴m﹣1＜0，
解得m＜1，
所以m的取值范围是m＜1．
故答案为：m＜1．
16．（2020?黄浦区二模）如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是　4　厘米．
【分析】设正方形的边长为x厘米，根据题意用x表示出矩形的两边，根据题意列出方程，解一元二次方程得到答案．
【解析】设正方形的边长为x厘米，则矩形的一边长为2x厘米，另一边长为（x﹣1）厘米，
由题意得，2x（x﹣1）﹣x2＝8，
整理得，x2﹣2x﹣8＝0，
解得，x1＝﹣2（舍去），x2＝4，
故答案为：4．
17．（2020?松江区二模）方程组的解是　或　．
【分析】根据代入消元法解方程组即可得到结论．
【解析】方程组，
由①得，y＝2﹣x③，
把③代入②得，x（2﹣x）＝﹣3，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
把x1＝3，x2＝﹣1分别代入③得，y1＝﹣1，y2＝3，
∴原方程组的解为：或．
故答案为：或．
18．（2020?嘉定区二模）方程3的根是　x＝11　．
【分析】把方程两边平方，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．
【解析】两边平方得x﹣2＝9，解得x＝11，
经检验x＝11为原方程的解．
故答案为x＝11．
19．（2020?静安区二模）方程0的根为　x＝4　．
【分析】利用有理数积的乘法得到x﹣4＝0或x+2＝0，然后解一元一次方程后进行检验确定原方程的解．
【解析】根据题意得x﹣4＝0或x+2＝0，
解得x＝4或x＝﹣2，
经检验x＝4为原方程的解．
故答案为x＝4．
20．（2020?徐汇区二模）如果关于x的方程3x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是　　．
【分析】根据方程有两个相等的实数根得出△＝b2﹣4ac＝0，据此列出关于m的方程，解之可得．
【解析】∵关于x的方程3x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝42﹣4×3×m＝0，
解得m，
故答案为：．
21．（2020?崇明区二模）如果方程x2﹣6x+m＝0没有实数根，那么m的取值范围是　m＞9　．
【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣6）2﹣4m＜0，然后解不等式即可．
【解析】根据题意得△＝（﹣6）2﹣4m＜0，
解得m＞9．
故选B．
22．（2020?宝山区二模）方程x1的解是　x＝1　．
【分析】先移项得到1﹣x，再两边平方得x﹣1＝（1﹣x）2，解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．
【解析】1﹣x，
两边平方得x﹣1＝（1﹣x）2，
整理得x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
经检验x＝2为原方程的增根，x＝1为原方程的解，
所以原方程的解为x＝1．
故答案为x＝1．
23．（2020?闵行区二模）方程的解是　x＝2　．
【分析】两边平方得出关于x的整式方程，解之求得x的值，再根据二次根式有意义的条件得出符合方程的x的值，可得答案．
【解析】两边平方得（x﹣2）（x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得：x＝2或x＝1，
又，
解得：x≥2，
则x＝2，
故答案为：x＝2．
24．（2020?奉贤区二模）方程4的解是　x＝15　．
【分析】将无理方程化为一元一次方程，然后求解即可．
【解析】原方程变形为：x+1＝16，
∴x＝15，
x＝15时，被开方数x+1＝16＞0‘
∴方程的解为x＝15．
故答案为x＝15．’
25．（2020?杨浦区二模）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是　m＜1且m≠0　．
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解析】∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＜1且m≠0．
故答案为：m＜1且m≠0．
26．（2020?徐汇区二模）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，可列出的方程是　（3+x）（4﹣0.5x）＝15　．
【分析】设每盆多植x株，则平均每株盈利（4﹣0.5x），根据总利润＝株数×每株的盈利即可得．
【解析】设每盆多植x株，可列出的方程：（3+x）（4﹣0.5x）＝15，
故答案为：（3+x）（4﹣0.5x）＝15．
27．（2020?松江区二模）若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是　m　．
【分析】根据一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根得到△≥0，即△＝1﹣4（﹣m）≥0，求出m的取值范围即可．
【解析】∵关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根，
∴△≥0，
∴△＝1﹣4（﹣m）≥0，即m，
故答案为：m．
28．（2020?浦东新区二模）方程x的根是　1　．
【分析】此题需把方程两边平方去根号后求解，然后把求得的值进行检验即可得出答案．
【解析】两边平方得：3﹣2x＝x2，
整理得：x2+2x﹣3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝﹣3，x＝1，
检验：当x＝﹣3时，原方程的左边≠右边，
当x＝1时，原方程的左边＝右边，
则x＝1是原方程的根．
故答案为：1．
29．（2020?虹口区二模）方程1的解为　x＝1　．
【分析】方程两边平方即可去掉绝对值符号，解方程求得x的值，然后把x的值代入进行检验即可．
【解析】方程两边平方，得：2﹣x＝1，
解得：x＝1．
经检验：x＝1是方程的解．
故答案是：x＝1．
30．（2020?浦东新区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k值为　3　．
【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4k＝0，然后解关于k的一元一次方程即可．
【解析】根据题意得△＝（﹣2）2﹣4k＝0，
解得k＝3．
故答案为：3．
31．（2020?金山区二模）方程的根是　x＝1　．
【分析】把方程两边平方去根号后即可转化成整式方程，解方程即可求得x的值，然后进行检验即可．
【解析】两边平方得：2﹣x＝x2，
整理得：x2+x﹣2＝0，
解得：x＝1或﹣2．
经检验：x＝1是方程的解，x＝﹣2不是方程的解．
故答案是：x＝1．
32．（2020?杨浦区二模）方程x的根是　x＝2　．
【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x+2＝x2，解此一元二次方程得到x1＝2，x2＝﹣1，把它们分别代入原方程得到x2＝﹣1是原方程的增根，由此得到原方程的根为x＝2．
【解析】方程两边平方得，x+2＝x2，
解方程x2﹣x﹣2＝0得x1＝2，x2＝﹣1，
经检验x2＝﹣1是原方程的增根，
所以原方程的根为x＝2．
故答案为：x＝2．
三．解答题（共8小题）
33．（2020?上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
【分析】（1）根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额＝前六天的总营业额+第七天的营业额，即可求出结论；
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】（1）450+450×12%＝504（万元）．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350（1+x）2＝504，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
34．（2020?金山区二模）解方程组：．
【分析】由①得：x＝y+2，代入②并整理得：y2﹣2y﹣3＝0，解这个一元二次方程并代入求值即可．
【解析】，
由①得：x＝y+2…③，
把③代入②并整理得：y2﹣2y﹣3＝0，
解这个方程得，y1＝3，y2＝﹣1，
把y的值分别代入③，得x1＝5，x2＝1．
∴原方程组的解为．
35．（2020?黄浦区二模）解方程组：．
【分析】由①得：y＝3﹣x，代入②并整理得：x2﹣3x﹣4＝0，解这个一元二次方程并代入求值即可．
【解析】由①得：y＝3﹣x…③，
把③代入②得：x2+3x（3﹣x）+（3﹣x）2＝5，
整理得：x2﹣3x﹣4＝0，
解这个方程得，x1＝4，x2＝﹣1，
把x的值分别代入③，得y1＝﹣1，y2＝4．
∴原方程组的解为，．
36．（2020?闵行区一模）解方程组：
【分析】先将第2个方程变形为x+6y＝0，x﹣y＝0，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．
【解析】，
由②得：x+6y＝0，x﹣y＝0，
原方程组可化为或，
故原方程组的解为，．
37．（2020?闵行区一模）某电脑公司2019年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为800万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2021年经营总收入要达到2880万元，且计划从2019年到2021年，每年经营总收入的年增长率相同，问2020年预计经营总收入为多少万元？
【分析】设从2019年到2021年，平均经营总收入增长率为x，根据等量关系：2019年经营总收入×（1+增长率）2＝2021年经营总收入，列出方程求解即可．
【解析】从2019年到2021年，平均经营总收入增长率为x，根据题意可得：
800÷40%（1+x）2＝2880，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意舍去），
则800÷40%×（1+20%）＝2400（万元），
答：2020年预计经营总收入为2400万元．
38．（2019春?金山区期中）为提高农民收入，某区一水果公园引进一种新型蟠桃，蟠桃进价为每公斤40元．上市后通过一段时间的试营销发现：当蟠桃销售单价在每公斤40元至90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（公斤）与销售单价x（元/公斤）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示．
（1）求y与x的函数解析式，并写出定义域；
（2）如果想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤多少元．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式；根据函数图象确定定义域；
（2）根据利润＝实际售价﹣进价求得答案．
【解析】（1）由题意列方程组，
解得：．
则y与x的函数解析式是y＝﹣4x+360（40≤x≤90）．
（2）由题意，得（x﹣40）y＝2400．
代入，得（x﹣40）（﹣4x+360）＝2400．
解得x1＝60，x2＝70．
答：销售单价应定为每公斤60元或70元．
39．（2019秋?浦东新区期中）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米．
（1）饲养场另一边BC＝　（48﹣3x）　米（用含x的代数式表示）．
（2）若饲养场的面积为180平方米，求x的值．
【分析】（1）用（总长+2个2米的门的宽度）﹣3x即为所求；
（2）由（1）表示饲养场面积计算即可，
【解析】（1）由题意得：（48﹣3x）米．
故答案是：（48﹣3x）；
（2）由题意得：x（48﹣3x）＝180
解得x1＝6，x2＝10
40．（2019秋?徐汇区期中）某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，且所种桃树要少于原有桃树，那么应多种多少棵桃树？
【分析】每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，所以多种x棵树每棵桃树的产量就会减少2x个（即是平均产1000﹣2x个），桃树的总共有100+x棵，所以总产量是（100+x）（1000﹣2x）个．要使产量增加15.2%，达到100×1000×（1+15.2%）个．
【解析】设应多种x棵桃树，则由题意可得：
（100+x）（1000﹣2x）＝100×1000×（1+15.2%）
整理，得：x2﹣400x+7600＝0，
即（x﹣20）（x﹣380）＝0，
解得：x1＝20，x2＝380
因为所种桃树要少于原有桃树，
所以x＝380不符合题意，应舍去，取x＝20，
答：应多种20棵桃树．
日期：2020/7/15
17:17:43；用户：账号1；邮箱：yzsysx1@xyh.com；学号：25670025备战2021年中考数学真题模拟题分类汇编（上海专版）
专题05不等式及应用（上海25题）
一．选择题（共10小题）
1．（2019?上海）如果m＞n，那么下列结论错误的是（　　）
A．m+2＞n+2
B．m﹣2＞n﹣2
C．2m＞2n
D．﹣2m＞﹣2n
【分析】根据不等式的性质即可求出答案．
【解析】∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，
故选：D．
2．（2020?浦东新区三模）如果a＜b，那么下列结论不正确的是（　　）
A．a+3＜b+3
B．a﹣3＜b﹣3
C．3a＜3b
D．﹣3a＜﹣3b
【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解析】A、两边都加3，不等号的方向不变，故A结论正确；
B、两边都减3，不等号的方向不变，故B结论正确；
C、两边都乘以3，不等号的方向不变，故C结论正确；
D、两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故D结论不正确．
故选：D．
3．（2020?松江区二模）不等式组的解集是（　　）
A．x＞﹣2
B．x＜﹣2
C．x＞2
D．x＜2
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解析】解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2，
解不等式6﹣2x＜2，得：x＞2，
则不等式组的解集为x＞2，
故选：C．
4．（2020?崇明区二模）如果a＞b，那么下列结论中一定成立的是（　　）
A．2﹣a＞2﹣b
B．2+a＞2+b
C．ab＞b2
D．a2＞b2
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解析】A、∵a＞b，
∴2﹣a＜2﹣b，故本选项错误，不符合题意；
B、∵a＞b，
∴2+a＞2+b，故本选项正确，符合题意；
C、∵a＞b，
∴当b＞0时，ab＞b2，当b＜0时，ab＜b2，不能判断ab和b2的大小，故本选项错误，不符合题意；
D、∵a＞b，
不能判断a2和b2的大小，故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
5．（2020?闵行区一模）不等式﹣2x＞3的解集是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接把x的系数化为1即可．
【解析】不等式的两边同时除以﹣2得，x．
故选：D．
6．（2019?金山区二模）不等式组的解集是（　　）
A．x＞﹣3
B．x＜﹣3
C．x＞1
D．x＜1
【分析】求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解析】解不等式﹣x＞3，得：x＜﹣3，
解不等式x﹣1＜0，得：x＜1，
则不等式组的解集为x＜﹣3．
故选：B．
7．（2018?静安区二模）如果a＞b，m＜0，那么下列不等式中成立的是（　　）
A．am＞bm
B．
C．a+m＞b+m
D．﹣a+m＞﹣b+m．
【分析】根据①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．
【解析】A、am＜bm，故原题错误；
B、，故原题错误；
C、a+m＞b+m，故原题正确；
D、﹣a+m＜﹣b+m，故原题错误；
故选：C．
8．（2017?长宁区二模）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．
【解析】解不等式2x+3≥1，得：x≥﹣1，
解不等式x﹣2＜0，得：x＜2，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
故选：B．
9．（2017?徐汇区二模）已知点M（1﹣2m，m﹣1）在第四象限内，那么m的取值范围是（　　）
A．m＞1
B．m
C．m＜1
D．m或m＞1
【分析】根据坐标系内点的横纵坐标符号特点列出关于m的不等式组求解可得．
【解析】根据题意，可得：，
解不等式①，得：m，
解不等式②，得：m＜1，
∴m，
故选：B．
10．（2017?闵行区二模）已知a＞b，且c为非零实数，那么下列结论一定正确的是（　　）
A．ac＜bc
B．ac2＜bc2
C．ac＞bc
D．ac2＞bc2
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解析】A、c＜0时，ac＜bc，故A不符合题意；
B、c2＞0，∴ac2＞bc2，故B不符合题意；
C、c＜0时，ac＜bc，故C不符合题意；
D、c2＞0，∴ac2＞bc2，故D符合题意；
故选：D．
二．填空题（共8小题）
11．（2016?上海）不等式组的解集是　x＜1　．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解析】，
解①得x，
解②得x＜1，
则不等式组的解集是x＜1．
故答案是：x＜1．
12．（2020?杨浦区二模）不等式组的解集是　　．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解析】，
解不等式①，得x；
解不等式②，得x≤3；
所以原不等式组的解集为：，
故答案为：．
13．（2020?黄浦区二模）不等式组的整数解是　x＝1　．
【分析】首先解不等式组中的每个不等式，两个不等式组的解集的公共部分就是不等式组的解集，进一步得到不等式组的整数解．
【解析】，
解①得x，
解②得x＜2．
综上可得x＜2，
∵x为整数，
∴x＝1．
故答案为：x＝1．
14．（2020?浦东新区二模）不等式组的解集是　﹣6≤x　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解析】解不等式x+5≥﹣1，得：x≥﹣6，
解不等式2x＜5，得：x，
则不等式组的解集为﹣6≤x，
故答案为：﹣6≤x．
15．（2020?长宁区二模）不等式组的解集是　x≤6　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解析】解不等式3x+4≥0，得：x，
解不等式x﹣2≤1，得：x≤6，
则不等式组的解集为x≤6，
故答案为：x≤6．
16．（2020?静安区二模）不等式组的解集是　﹣1＜x＜1　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解析】解不等式3x+2＞x，得：x＞﹣1，
解不等式x﹣1＜0，得：x＜1，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜1，
故答案为：﹣1＜x＜1．
17．（2020?闵行区二模）不等式组的解集是　x＜7　．
【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
【解析】，
解不等式①得：x，
解不等式②得：x＜7，
∴不等式组的解集为x＜7，
故答案为：x＜7；
18．（2020?青浦区二模）不等式组的整数解是　﹣1，0，1　．
【分析】先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后求其整数解．
【解析】解不等式x+1≥0，得：x≥﹣1，
解不等式2﹣x＞0，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
所以不等式组的整数解为﹣1、0、1，
故答案为：﹣1、0、1．
三．解答题（共7小题）
19．（2020?上海）解不等式组：
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．
【解析】，
解不等式①得x＞2，
解不等式②得x＜5．
故原不等式组的解集是2＜x＜5．
20．（2018?上海）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．
【解析】
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤3，
则不等式组的解集是：﹣1＜x≤3，
不等式组的解集在数轴上表示为：
21．（2020?普陀区二模）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解析】，
解不等式①，得：x≤2，
解不等式②，得：x＞﹣1，
将不等式解集表示在数轴上如下：
所以不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
22．（2020?虹口区二模）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解析】解不等式①，得：x＜3，
解不等式②，得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
23．（2020?徐汇区二模）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解析】，
由①得：x＜5，
由②得：x≥﹣4，
∴不等式组的解集为﹣4≤x＜5，
24．（2019?长宁区二模）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．
【解析】，
由①得x＜3；
由②得x≥0；
∴不等式组的解集为0≤x＜3，
不等式组的解集在数轴上表示为：
．
25．（2019?浦东新区二模）解不等式组：，并写出这个不等式组的自然数解．
【分析】先分别解答不等式组中的两个不等式的解集，然后求其交集即为不等式组的解集，再根据不等式组的解集来取自然数解．
【解析】，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜4．
故不等式组的解集是：﹣1≤x＜4．
故这个不等式组的自然数解是：0，1，2，3．备战2021年中考数学真题模拟题分类汇编（上海专版）
专题06代数方程（38题）
一．选择题（共6小题）
1．（2020?上海）用换元法解方程2时，若设y，则原方程可化为关于y的方程是（　　）
A．y2﹣2y+1＝0
B．y2+2y+1＝0
C．y2+y+2＝0
D．y2+y﹣2＝0
【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设y，则原方程化为y2，再转化为整式方程y2﹣2y+1＝0即可求解．
【解析】把y代入原方程得：y2，转化为整式方程为y2﹣2y+1＝0．
故选：A．
2．（2020?徐汇区二模）下列方程中，有实数根的是（　　）
A．x2+1＝0
B．x2﹣1＝0
C．1
D．0
【分析】A、变形得x2＝﹣1＜0，由此得到原方程无实数根；
B、变形得x2＝1，由此得到原方程有实数根；
C、根据非负数的性质可得原方程无实数根；
D、先把方程两边乘x﹣1得1＝0，由此得到原方程无实数根．
【解析】A、方程变形得x2＝﹣1＜0，故没有实数根，此选项错误；
B、方程变形得x2＝1，故有实数根，此选项正确；
C、二次根式非负，故没有实数根，此选项错误；
D、方程两边乘x﹣1得1＝0，没有实数根，此选项错误．
故选：B．
3．（2020?闵行区一模）下列方程中，有实数根的是（　　）
A．x
B．0
C．
D．x2+2020x﹣1＝0
【分析】A选项中，0，﹣x＜0，则方程无实数根；B选项中，当x＝1时有最小值1，则方程无实数根；C选项中，解得x＝1是方程的增根，则方程无实数根；D选项中，△＞0，则方程有两个不相等的实数根．
【解析】∵0，x﹣1≥0，
∴x≥1，
∴﹣x＜0，
∴x，
∴A不正确；
∵0，0，
当x＝1时有最小值1，
∴1，
∴B不正确；
两边同时乘以x2﹣1，得x＝1，
经检验x＝1是方程的增根，
∴方程无解；
∴C不正确；
x2+2020x﹣1＝0，
∵△＝20202+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴D正确；
故选：D．
4．（2020春?嘉定区期末）下列方程中，有实数根的是（　　）
A．x4+1＝0
B．1＝0
C．x
D．
【分析】利用乘方的意义可对A进行判断；通过解无理方程可对B、C进行判断；通过解分式方程可对D进行判断．
【解析】A、x4≥0，x4+1＞0，方程x4+1＝0没有实数解；
B、1，则x﹣2＝1，解得x＝3，经检验原方程没有实数解；
C、两边平方得x+2＝x2，解得x1＝﹣1，x2＝2，经检验，原方程的解为x＝﹣1；
D、去分母得x＝1，经检验原方程没有实数解，
故选：C．
5．（2020春?浦东新区期末）下列方程中有实数解的是（　　）
A．x2+3x+4＝0
B．1＝0
C．
D．x
【分析】求出判别式即可判断A；根据算术平方根是一个非负数即可判断B；求出方程的解，代入x﹣3进行检验，即可判断C；解方程可得x＝0，进行检验，即可判断D．
【解析】A、x2+3x+4＝0，
△＝32﹣4×1×4＝﹣7＜0，
即此方程无实数解，故本选项错误；
B、可得1，
∵算术平方根是一个非负数，
∴此方程无实数解，故本选项错误；
C、，
方程两边都乘（x﹣3）得：x＝3，
∵x＝3代入x﹣3＝0，
∴x＝3是原方程的增根，即原方程无解，故本选项错误；
D、x，x＝x2，解得x1＝0，x2＝1（是增根，舍去），故本选项正确；
故选：D．
6．（2020春?徐汇区期末）下列方程中，有实数解的是（　　）
A．x6+1＝0
B．2
C．3＝0
D．
【分析】利用乘方的意义可对A进行判断；通过解无理方程可对B进行判断；利用二次根式的性质可对C进行判断；通过解分式方程可对D进行判断．
【解析】A、x6≥0，x6+1＞0，方程x6+1＝0没有实数解；
B、两边平方得2﹣x＝4，解得x＝﹣2，经检验x＝﹣2为原方程的解；
C、0，则3＝0没有实数解；
D、去分母得x＝2，经检验原方程无解．
故选：B．
二．填空题（共18小题）
7．（2018?上海）方程组的解是　，　．
【分析】方程组中的两个方程相加，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再代入求出y即可．
【解析】
②+①得：x2+x＝2，
解得：x＝﹣2或1，
把x＝﹣2代入①得：y＝﹣2，
把x＝1代入①得：y＝1，
所以原方程组的解为，，
故答案为：，．
8．（2016?上海）方程2的解是　x＝5　．
【分析】利用两边平方的方法解出方程，检验即可．
【解析】方程两边平方得，x﹣1＝4，
解得，x＝5，
把x＝5代入方程，左边＝2，右边＝2，
左边＝右边，
则x＝5是原方程的解，
故答案为：x＝5．
9．（2017?上海）方程1的解是　x＝2　．
【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方，解出x的值，然后，验根解答出即可．
【解析】，
两边平方得，2x﹣3＝1，
解得，x＝2；
经检验，x＝2是方程的根；
故答案为x＝2．
10．（2020?浦东新区三模）方程组的解是　，　．
【分析】观察方程组，选用代入法，即可达到降次的目的．
【解析】，
由①得x＝y+3③，
把③代入②式，整理得y2+3y+2＝0，
解得y1＝﹣1，y2＝﹣2．
把y1＝﹣1代入x＝y+3，得x1＝2，
把y2＝﹣2代入x＝y+3，得x2＝1．
故原方程组的解为，．
故答案为：，．
11．（2020?普陀区二模）如果把二次方程x2﹣xy﹣2y2＝0化成两个一次方程，那么所得的两个一次方程分别是　x﹣2y＝0或x+y＝0　．
【分析】由于二元二次方程x2﹣xy﹣2y2＝0进行因式分解可以变为（x﹣2y）（x+y）＝0，即可解决问题．
【解析】∵x2﹣xy﹣2y2＝0，
∴（x﹣2y）（x+y）＝0，
∴x﹣2y＝0或x+y＝0．
故答案为：x﹣2y＝0或x+y＝0
12．（2020?普陀区二模）方程x的解是　x＝0　．
【分析】先两边平方得到x2﹣5x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣5）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x＝0或x﹣5＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝5，检验原方程的解为x＝0．
【解析】把方程x两边平方，得
5x＝x2，
∴x2﹣5x＝0，
∴x（x﹣5）＝0，
∴x＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝0，x2＝5．
检验：把x1＝0，x2＝5代入方程x，
可知x1＝0是原方程的根，x2＝5是原方程的增根，
所以原方程的解为x＝0．
故答案为：x＝0．
13．（2020?黄浦区二模）如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是　4　厘米．
【分析】设正方形的边长为x厘米，根据题意用x表示出矩形的两边，根据题意列出方程，解一元二次方程得到答案．
【解析】设正方形的边长为x厘米，则矩形的一边长为2x厘米，另一边长为（x﹣1）厘米，
由题意得，2x（x﹣1）﹣x2＝8，
整理得，x2﹣2x﹣8＝0，
解得，x1＝﹣2（舍去），x2＝4，
故答案为：4．
14．（2020?松江区二模）方程组的解是　或　．
【分析】根据代入消元法解方程组即可得到结论．
【解析】方程组，
由①得，y＝2﹣x③，
把③代入②得，x（2﹣x）＝﹣3，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
把x1＝3，x2＝﹣1分别代入③得，y1＝﹣1，y2＝3，
∴原方程组的解为：或．
故答案为：或．
15．（2020?嘉定区二模）方程3的根是　x＝11　．
【分析】把方程两边平方，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．
【解析】两边平方得x﹣2＝9，解得x＝11，
经检验x＝11为原方程的解．
故答案为x＝11．
16．（2020?静安区二模）方程0的根为　x＝4　．
【分析】利用有理数积的乘法得到x﹣4＝0或x+2＝0，然后解一元一次方程后进行检验确定原方程的解．
【解析】根据题意得x﹣4＝0或x+2＝0，
解得x＝4或x＝﹣2，
经检验x＝4为原方程的解．
故答案为x＝4．
17．（2020?宝山区二模）方程x1的解是　x＝1　．
【分析】先移项得到1﹣x，再两边平方得x﹣1＝（1﹣x）2，解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．
【解析】1﹣x，
两边平方得x﹣1＝（1﹣x）2，
整理得x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
经检验x＝2为原方程的增根，x＝1为原方程的解，
所以原方程的解为x＝1．
故答案为x＝1．
18．（2020?闵行区二模）方程的解是　x＝2　．
【分析】两边平方得出关于x的整式方程，解之求得x的值，再根据二次根式有意义的条件得出符合方程的x的值，可得答案．
【解析】两边平方得（x﹣2）（x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得：x＝2或x＝1，
又，
解得：x≥2，
则x＝2，
故答案为：x＝2．
19．（2020?奉贤区二模）方程4的解是　x＝15　．
【分析】将无理方程化为一元一次方程，然后求解即可．
【解析】原方程变形为：x+1＝16，
∴x＝15，
x＝15时，被开方数x+1＝16＞0‘
∴方程的解为x＝15．
故答案为x＝15．’
20．（2020?浦东新区二模）方程x的根是　1　．
【分析】此题需把方程两边平方去根号后求解，然后把求得的值进行检验即可得出答案．
【解析】两边平方得：3﹣2x＝x2，
整理得：x2+2x﹣3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝﹣3，x＝1，
检验：当x＝﹣3时，原方程的左边≠右边，
当x＝1时，原方程的左边＝右边，
则x＝1是原方程的根．
故答案为：1．
21．（2020?虹口区二模）方程1的解为　x＝1　．
【分析】方程两边平方即可去掉绝对值符号，解方程求得x的值，然后把x的值代入进行检验即可．
【解析】方程两边平方，得：2﹣x＝1，
解得：x＝1．
经检验：x＝1是方程的解．
故答案是：x＝1．
22．（2020?金山区二模）方程的根是　x＝1　．
【分析】把方程两边平方去根号后即可转化成整式方程，解方程即可求得x的值，然后进行检验即可．
【解析】两边平方得：2﹣x＝x2，
整理得：x2+x﹣2＝0，
解得：x＝1或﹣2．
经检验：x＝1是方程的解，x＝﹣2不是方程的解．
故答案是：x＝1．
23．（2020?杨浦区二模）方程x的根是　x＝2　．
【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x+2＝x2，解此一元二次方程得到x1＝2，x2＝﹣1，把它们分别代入原方程得到x2＝﹣1是原方程的增根，由此得到原方程的根为x＝2．
【解析】方程两边平方得，x+2＝x2，
解方程x2﹣x﹣2＝0得x1＝2，x2＝﹣1，
经检验x2＝﹣1是原方程的增根，
所以原方程的根为x＝2．
故答案为：x＝2．
24．（2019?奉贤区二模）方程0的根是　x＝1　．
【分析】将无理方程化为一元二次方程，然后求解即可．
【解析】原方程变形为x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x＝0或x＝1，
∴x＝0时，被开方数x﹣1＝﹣1＜0，
∴x＝0不符合题意，舍去，
∴方程的根为x＝1，
故答案为x＝1．
三．解答题（共11小题）
25．（2019?上海）解方程：1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即x2+2x﹣8＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，
解得：x＝2或x＝﹣4，
经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣4．
26．（2017?上海）解方程：1．
【分析】两边乘x（x﹣3）把分式方程转化为整式方程即可解决问题．
【解析】两边乘x（x﹣3）得到3﹣x＝x2﹣3x，
∴x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x＝3或﹣1，
经检验x＝3是原方程的增根，
∴原方程的解为x＝﹣1．
27．（2016?上海）解方程：1．
【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行计算即可．
【解析】去分母得，x+2﹣4＝x2﹣4，
移项、合并同类项得，x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1，
经检验x＝2是增根，舍去；x＝﹣1是原方程的根，
所以原方程的根是x＝﹣1．
28．（2020?浦东新区二模）学校开展“书香校园”活动，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费了10000元，购买文学类图书花费了9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少100本，科普类图书平均每本的价格是多少元？
【分析】根据题意表示出科普类图书和文学类图书的平均价格，再利用购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少100本得出等式求出答案．
【解析】设科普类图书平均每本的价格是x元，则文学类图书平均每本的价格为（x﹣5）元，根据题意可得：
100，
解得：x＝20，
经检验得：x＝20是原方程的根，
答：科普类图书平均每本的价格是20元．
29．（2020?崇明区二模）解方程组：
【分析】先对x2﹣3xy+2y2＝0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．
【解析】将方程x2﹣3xy+2y2＝0
的左边因式分解，得x﹣2y＝0或x﹣y＝0，
原方程组可以化为或，
解这两个方程组得或，
所以原方程组的解是．
30．（2020?杨浦区二模）解方程组：．
【分析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程，即可组成方程组，即可求解．
【解析】由（2）得（x﹣y）（x﹣2y）＝0．
∴x﹣y＝0或x﹣2y＝0．（4分）
原方程组可化为（4分）
解这两个方程组，得原方程组的解为（2分）
另解：由（1）得x＝12﹣2y．（3）（2分）
把（3）代入（2），得（12﹣2y）2﹣3（12﹣2y）y+2y2＝0．（2分）
整理，得y2﹣7y+12＝0．（2分）
解得y1＝4，y2＝3．（2分）
分别代入（3），得x1＝4，x2＝6．（1分）
∴原方程组的解为（1分）
31．（2019?青浦区二模）解方程组：
【分析】先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．
【解析】原方程组变形为
，
∴或
∴原方程组的解为
或
32．（2019?静安区二模）解方程组：
【分析】先将二次方程化为两个一次方程，则原方程组化为两个二元一次方程组，解方程组即可．
【解析】
由②得：（x﹣2y）（x+5y）＝0
原方程组可化为：或
解得：，．
∴原方程组的解为，．
33．（2020春?浦东新区期末）解方程组：．
【分析】先降次转化成两个一次方程组，解方程组即可求解．
【解析】，
由方程（1）可得x+2y＝﹣3或x+2y＝3，
则方程组可变为或，
解得或．
34．（2019秋?闵行区期末）小华周一早展起来，步行到离家900米的学校去上学，到了学校他发现数学课本忘在家中了，于是他立即按照原路步行回家，拿到数学课本后立即按照原路改骑自行车返回学校，已知小华骑自行车的速度是他步行速度的3倍，步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟．小华骑自行车的速度是多少米每分？
【分析】设小华步行的速度是x米每分，则小华骑自行车的速度是3x米每分，根据时间＝路程÷速度结合小华步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解析】设小华步行的速度是x米每分，则小华骑自行车的速度是3x米每分，
依题意，得：10，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴3x＝180．
答：小华骑自行车的速度是180米每分．
35．（2019秋?嘉定区期末）A、B两地相距80千米，甲与乙开车都从A地前往B地，甲开车从A地出发小时后，乙出从A地出发，已知乙开车速度是甲开车速度的1.5倍，结果乙比甲提前10分钟到达B地，求甲开的速度．
【分析】可以用方程思想来求，设甲的速度是x千米/小时，则乙的速度是1.5x千米/小时，再由结果乙比甲提前10分钟到达B地列方程可求得未知数．
【解析】设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为1.5x千米/小时，
由题意得：
整理得：
方程两边同乘以3x，得：240＝160+x．
解得：x＝80．
经检验：x＝80是原方程的解，且符合题意．
答：甲的速度为80千米/小时．备战2021年中考数学真题模拟题分类汇编（上海专版）
专题07正比例函数与反比例函数（共40题）
一．选择题（共6小题）
1．（2020?上海）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（　　）
A．y
B．y
C．y
D．y
【分析】已知函数图象上一点的坐标求反比例函数解析式，可先设出解析式y，再将点的坐标代入求出待定系数k的值，从而得出答案．
【解析】设反比例函数解析式为y，
将（2，﹣4）代入，得：﹣4，
解得k＝﹣8，
所以这个反比例函数解析式为y，
故选：D．
2．（2019?上海）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（　　）
A．y
B．y
C．y
D．y
【分析】一次函数当a＞0时，函数值y总是随自变量x增大而增大，反比例函数当k＜0时，在每一个象限内，y随自变量x增大而增大．
【解析】A、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y随x的增大而增大，故本选项正确．
B、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y随x的增大而减小，故本选项错误．
C、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误．
D、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误．
故选：A．
3．（2020?普陀区二模）关于函数y，下列说法中错误的是（　　）
A．函数的图象在第二、四象限
B．y的值随x的值增大而增大
C．函数的图象与坐标轴没有交点
D．函数的图象关于原点对称
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解析】∵函数y，
∴该函数的图象在第二、四象限，故选项A正确；
在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B错误；
函数的图象与坐标轴没有交点，故选项C正确；
函数的图象关于原点对称，故选项D正确；
故选：B．
4．（2020?闵行区二模）在平面直角坐标系中，反比例函数y（k≠0）图象在每个象限内，y随着x的增大而增大，那么它的图象的两个分支分别在（　　）
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、二象限
D．第三、四象限
【分析】直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案．
【解析】∵反比例函数y（k≠0）图象在每个象限内y随着x的增大而增大，
∴k＜0，
∴它的图象的两个分支分别在第二、四象限．
故选：B．
5．（2020?嘉定区一模）如果A（﹣2，n），B（2，n），C（4，n+12）这三个点都在同一个函数的图象上，那么这个函数的解析式可能是（　　）
A．y＝2x
B．y
C．y＝﹣x2
D．y＝x2
【分析】由A（﹣2，n），B（2，n），C（4，n+12）可知，图象关于y轴对称，在y轴的右侧，y随x的增大而增大，据此判断即可．
【解析】∵A（﹣2，n），B（2，n），C（4，n+12）这三个点都在同一个函数的图象上，
∴A、B关于y轴对称，在y轴的右侧，y随x的增大而增大，
A、对于函数y＝2x，y随x的增大而增大，故不可能；
B、对于函数y，图象位于二、四象限，每个象限内y随x的增大而增大，故不可能；
C、对于函数y＝﹣x2，对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减小，故不可能；
D、对于函数y＝x2，对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大，故有可能；
故选：D．
6．（2020?长宁区二模）关于反比例函数y，下列说法不正确的是（　　）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上
B．它的图象在第一、三象限
C．它的图象关于原点中心对称
D．y
的值随着
x
的值的增大而减小
【分析】根据反比例函数y和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解析】∵反比例函数y，
∴当x＝﹣2时，y＝﹣1，即点（﹣2，﹣1）在它的图象上，故选项A正确；
它的图象在第一、三象限，故选项B正确；
它的图象关于原点中心对称，故选项C正确；
在每个象限内，y的值随着x的值的增大而减小，故选项D不正确；
故选：D．
二．填空题（共26小题）
7．（2018?上海）已知反比例函数y（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是　k＜1　．
【分析】由于反比例函数y的图象有一支在第二象限，可得k﹣1＜0，求出k的取值范围即可．
【解析】∵反比例函数y的图象有一支在第二象限，
∴k﹣1＜0，
解得k＜1．
故答案为：k＜1．
8．（2018?上海）如果一次函数y＝kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而　减小　．（填“增大”或“减小”）
【分析】根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，再利用一次函数的性质即可得出结论．
【解析】∵一次函数y＝kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），
∴0＝k+3，
∴k＝﹣3，
∴y的值随x的增大而减小．
故答案为：减小．
9．（2017?上海）如果反比例函数y（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而　减小　．（填“增大”或“减小”）
【分析】先根据题意得出k的值，再由反比例函数的性质即可得出结论．
【解析】∵反比例函数y（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），
∴k＝2×3＝6＞0，
∴在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小．
故答案为：减小．
10．（2016?上海）已知反比例函数y（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是　k＞0　．
【分析】直接利用当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，进而得出答案．
【解析】∵反比例函数y（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，
∴k的取值范围是：k＞0．
故答案为：k＞0．
11．（2020?普陀区二模）将正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴的一个方向平移|k|个单位后与x轴、y轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数y＝kx的坐标轴三角形，如果一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为5，那么这个正比例函数的解析式是　y＝10x　．
【分析】分别求出向上和向下平移时，与坐标轴的交点坐标，再根据它的坐标轴三角形的面积为5，求出k的值即可．
【解析】∵正比例函数的图象经过第一、三象限，
∴k＞0，
∴当正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴向上平移|k|个单位时，所得函数的解析式为y＝kx+k，
∴与x轴的交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，k），
∵它的坐标轴三角形的面积为5，
∴5，
∴k＝10，
∴这个正比例函数的解析式是y＝10x，
∵当正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴向下平移|k|个单位时，所得函数的解析式为y＝kx﹣k，
∴与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣k），
∵它的坐标轴三角形的面积为5，
∴5，
∴k＝10，
∴这个正比例函数的解析式是y＝10x，
故答案为：y＝10x．
12．（2020?青浦区二模）如果将直线y＝3x平移，使其经过点（0，﹣1），那么平移后的直线表达式是　y＝3x﹣1　．
【分析】根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为y＝3x+b，然后将点（0，﹣1）代入即可得出直线的函数解析式．
【解析】设平移后直线的解析式为y＝3x+b，
把（0，﹣1）代入直线解析式得﹣1＝b，
解得
b＝﹣1．
所以平移后直线的解析式为y＝3x﹣1．
故答案为：y＝3x﹣1．
13．（2020?徐汇区二模）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着自变量x的值增大而减小，那么符合条件的正比例函数可以是　y＝﹣2x　．（只需写出一个）
【分析】根据正比例函数的性质可得k＜0，然后确定k的值即可．
【解析】∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着自变量x的值增大而减小，
∴k＜0，
∴符合条件的正比例函数可以是y＝﹣2x，
故答案为：y＝﹣2x．
14．（2020?奉贤区二模）如果函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而　减小　．（填“增大”或“减小”）
【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．
【解析】函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，
故答案为：减小．
15．（2020?杨浦区二模）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数y的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是　4　．
【分析】过B作BD⊥OA于D，设B（m，n），根据三角形的面积公式得到OA，求得A（，0），求得C（，），列方程即可得到结论．
【解析】过B作BD⊥OA于D，
∵点B在反比例函数y的图象上，
∴设B（m，n），
∵△OAB的面积为6，
∴OA，
∴A（，0），
∵点C是AB的中点，
∴C（，），
∵点C在反比例函数y的图象上，
∴?mn，
∴mn＝4，
∴k＝4，
故答案为：4．
16．（2020?嘉定区二模）如果反比例函数y（k≠0）的图象经过点P（1，3），那么当x＜0时，函数值y随自变量x的值的增大而　减小　（从“增大”或“减小”中选择）．
【分析】根据题意，利用待定系数法解出k＝3，再根据k值的正负确定函数值的增减性．
【解析】反比例函数y（k≠0）的图象经过点P（1，3），
所以k＝1×3＝3＞0，
所以当x＜0时，y的值随自变量x值的增大而减小．
故答案为：减小．
17．（2020?浦东新区二模）如果点A（3，y1）、B（4，y2）在反比例函数y的图象上，那么y1　＞　y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】反比例函数y的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，判断出y的值的大小关系．
【解析】∵k＝2＞0，
∴反比例函数y的图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵A（3，y1）、B（4，y2）同在第一象限，且3＜4，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
18．（2020?静安区二模）如果反比例函数y（k是常数，k≠0）的图象经过点（﹣5，﹣1），那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而　减小　（填“增大”或“减小”）．
【分析】利用待定系数法求出k＝5，再根据k值的正负确定函数值的增减性．
【解析】反比例函数y（k是常数，k≠0）的图象经过点（﹣5，﹣1），
所以k＝﹣5×（﹣1）＝5＞0，
所以这个函数图象所在的每个象限内，y的值随自变量x值的增大而减小．
故答案为：减小．
19．（2020?奉贤区二模）从分别写有数字1，2，4的三张相同卡片中任取两张，如果把所抽取卡片上的两个数字分别作为点M的横坐标和纵坐标，那么点M在双曲线y上的概率是　　．
【分析】列表得出所有等可能的情况，然后判断落在双曲线上点的情况数，即可求出点M在双曲线y上的概率．
【解析】列表如下：
1
2
4
1
（2，1）
（4，1）
2
（1，2）
（4，2）
4
（1，4）
（2，4）
所有可能的情况有6种；
落在双曲线y上的点有：（1，4），（4，1）共2个，
则P．
20．（2020?嘉定区二模）函数y的定义域是　x　．
【分析】根据题目中的函数解析式，可知2x+3≠0，从而可以求得x的取值范围．
【解析】∵函数y，
∴2x+3≠0，
解得，x，
故答案为：．
21．（2020?松江区二模）函数y的定义域是　x≠﹣2　．
【分析】根据函数y，可知x+2≠0，从而可以求得x的取值范围．
【解析】∵函数y，
∴x+2≠0，
解得，x≠2，
故答案为：x≠﹣2．
22．（2020?金山区二模）函数y的定义域是　x≠3　．
【分析】根据函数y，可知3﹣x≠0，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决．
【解析】∵函数y，
∴3﹣x≠0，
解得，x≠3，
故答案为：x≠3．
23．（2020?崇明区二模）如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（8，4），C（0，4），反比例函数y在第一象限内的图象分别与线段AB、BC交于点F、E，连接EF．如果点B关于EF的对称点恰好落在OA边上．那么k的值为　12　．
【分析】根据A（8，0），B（8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点F的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示出点F的纵坐标和点E的横坐标，由三角形相似和对称，可求出AD的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．
【解析】过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于EF的对称点为D，连接DF、ED、BD，如图所示：
则△BEF≌△DEF，
∴BD＝DF，BE＝DE，∠FDE＝∠FBE＝90°，
∴∠EDG+∠ADF＝∠ADF+∠AFD，
∴∠EDG＝∠AFD，
∵∠EGD＝∠DAF，
∴△ADF∽△GED，
∴，
∴AD：EG＝BD：BE，
∵A（8，0），B（8，4），C（0，4），
∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，
∵E、F在反比例函数y的图象上，
∴E（，4）、F（8，）
∴OG＝EC，AF，
∴BF＝4，BE＝8，
∴，
∴ADEG＝2，
在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2
即：22+（）2＝（4）2
解得：k＝12，
故答案为12．
24．（2020?黄浦区二模）已知函数f（x），那么f（）＝　　．
【分析】把x＝3代入函数关系式，计算求值即可．
【解析】当x时，
f（）．
故答案为：．
25．（2020?虹口区二模）函数y的定义域为　x≥﹣1且x≠0　．
【分析】根据二次根式被开方数是非负数、分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解析】由题意得，x+1≥0，x≠0，
解得，x≥﹣1且x≠0，
故答案为：x≥﹣1且x≠0．
26．（2020?闵行区一模）已知f（x）＝2x2﹣1，且f（a）＝3，那么a＝　±　．
【分析】由已知可得f（a）＝2a2﹣1＝3，解出a即可．
【解析】∵f（x）＝2x2﹣1，f（a）＝3，
∴f（a）＝2a2﹣1＝3，
∴2a2﹣1＝3时，a＝±，
故答案为±．
27．（2020?静安区一模）已知f（x），那么f（3）＝　　．
【分析】将x＝3代入f（x）计算即可．
【解析】当x＝3是，f（3），
故答案为．
28．（2020?浦东新区二模）函数的定义域是　x≠1　．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x﹣1≠0，解可得自变量x的取值范围．
【解析】根据题意，有x﹣1≠0，
解可得x≠1．
故答案为x≠1．
29．（2020?浦东新区三模）已知函数，那么f（﹣2）＝　．　．
【分析】将﹣2代入已知的函数解析式即可求得函数值．
【解析】f（﹣2），
故答案为．
30．（2020?青浦区二模）函数的定义域是　x≥﹣3　．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【解析】根据题意得：x+3≥0，
解得：x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
31．（2020?普陀区二模）函数的定义域是　x≠﹣1　．
【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解析】根据题意得：x+1≠0，
解得：x≠﹣1．
故答案为x≠﹣1．
32．（2020?杨浦区二模）函数中自变量x的取值范围是　x＞1　．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解析】根据题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1．
故答案为：x＞1．
三．解答题（共8小题）
33．（2019?上海）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线yx，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．
【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，解方程即可得到结论；
（2）求得一次函数的图形与x轴的解得为B（﹣4，0），根据两点间的距离公式即可得到结论．
【解析】（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，
∵一次函数的图象平行于直线yx，
∴k，
∵一次函数的图象经过点A（2，3），
∴3b，
∴b＝2，
∴一次函数的解析式为yx+2；
（2）由yx+2，令y＝0，得x+2＝0，
∴x＝﹣4，
∴一次函数的图形与x轴的解得为B（﹣4，0），
∵点C在y轴上，
∴设点C的坐标为（0，y），
∵AC＝BC，
∴，
∴y，
经检验：y是原方程的根，
∴点C的坐标是（0，）．
34．（2020?金山区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知函数y＝2x的图象和反比例函数的在第一象限交于A点，其中点A的横坐标是1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）把直线y＝2x平移后与y轴相交于点B，且AB＝OB，求平移后直线的解析式．
【分析】（1）利用正比例函数解析式确定A（1，2），然后利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）设B（0，t），利用两点间的距离公式得到t2＝12+（2﹣t）2，解方程得到B（0，），再利用两直线平移的问题，设平移后的直线解析式为y＝2x+b，然后把B点坐标代入求出b即可．
【解析】（1）当x＝1时，y＝2x＝2，则A（1，2），
设反比例函数解析式为y
把A（1，2）代入得k＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为y；
（2）设B（0，t），
∵OB＝AB，
∴t2＝12+（2﹣t）2，解得t，
∴B（0，），
设平移后的直线解析式为y＝2x+b，
把B（0，）代入得b，
∴平移后的直线解析式为y＝2x．
35．（2020?黄浦区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标（2，3），过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交反比例函数在第一象限的图象于点B，且满足2．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）点C在x正半轴上，点D在该反比例函数的图象上，且四边形ABCD是平行四边形，求点D坐标．
【分析】（1）先求出点B坐标，利用待定系数法可求反比例函数解析式；
（2）利用平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD＝2，可求点D坐标．
【解析】∵点A坐标（2，3），
∴AH＝3，
∵2，
∴BH＝1，AB＝2，
∴点B（2，1），
设反比例函数的解析式为y（k≠0），
∵点B在反比例函数的图象上，
∴k＝2×1＝2，
∴反比例函数的解析式为y；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝2，
∵AB⊥x轴，
∴CD⊥x轴，
∴点D纵坐标2，
∴点D坐标（1，2）．
36．（2020?普陀区一模）函数y与函数y（m、k为不等于零的常数）的图象有一个公共点A（3，k﹣2），其中正比例函数y的值随x的值增大而减小，求这两个函数的解析式．
【分析】把点A（3，k﹣2）代入y，即可得出，据此求出k的值，再根据正比例函数y的值随x的值增大而减小，得出满足条件的k值即可求解．
【解析】根据题意可得
，
整理得k2﹣2k+3＝0，
解得k1＝﹣1，k2＝3，
∵正比例函数y的值随x的值增大而减小，
∴k＝﹣1，
∴点A的坐标为（3，﹣3），
∴反比例函数是解析式为：；
正比例函数的解析式为：y＝﹣x．
37．（2020?松江区二模）如图，在平面直角坐标系内xOy中，某一次函数的图象与反比例函数的y的图象交于A（1，m）、B（n，﹣1）两点，与y轴交于C点．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求的值．
【分析】（1）根据图象上点的坐标特征求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）过点A、B分别作y轴垂线，垂足为分别D、E，得出AD∥BE，根据平行线分线段成比例定理即可求得结论．
【解析】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
又∵A（1，m）、B（n，﹣1）在反比例函数的图象上
∴，，
∴m＝3，n＝﹣3，
∴A（1，3）、B（﹣3，﹣1），
一次函数y＝kx+b的图象过A（1，3）、B（﹣3，﹣1），
∴，
∴，
∴所求一次函数的解析式是y＝x+2；
（2）过点A、B分别作y轴垂线，垂足分别为D、E，
则AD∥BE，
∴，
∴．
38．（2020?奉贤区二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴的正半轴交于点B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC，点C的纵坐标为4．
（1）求直线AB的表达式；
（2）过点B作BD∥x轴，交反比例函数y的图象于点D，求线段CD的长度．
【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，如图，利用平行线分线段成比例得到1，则OH＝OA＝2，则点C的坐标为（2，4），然后利用待定系数法求直线AB的解析式；
（2）把C点坐标代入y中求出m＝8，再利用直线解析式确定点B的坐标为（0，2），接着利用BD∥x轴得到点D纵坐标为2，根据反比例解析式确定点D坐标，然后根据两点间的距离公式计算CD的长．
【解析】（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，如图，
∴1，
∵A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴OH＝OA＝2，
∵点C的纵坐标为4，
∴点C的坐标为（2，4），
设直线AB的表达式y＝kx+b（k≠0），
把A（﹣2，0），C（2，4）代入得，解得，
∴直线AB的表达式y＝x+2；
（2）∵反比例函数y的图象过点C（2，4），
∴m＝2×4＝8，
∵直线y＝x+2与y轴的正半轴交于点B，
∴点B的坐标为（0，2），
∵BD∥x轴，
∴点D纵坐标为2，
当y＝2时，2，解得x＝4，
∴点D坐标为（4，2），
∴CD2．
39．（2020?虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3与x，y轴分别交于点A、B，与双曲线y交于点C（a，6），已知△AOB的面积为3，求直线与双曲线的表达式．
【分析】先利用一次函数解析式确定B点坐标，再利用三角形面积公式求出OA得到A点坐标为（2，0），接着把A点坐标代入y＝kx+3中求出k得到一次函数解析式为yx+3，然后利用一次函数解析式确定C点坐标，最后利用待定系数法求反比例函数解析式．
【解析】当x＝0时，y＝kx+3＝3，则B（0，3），
∵△AOB的面积为3，
∴3×OA＝3，解得OA＝2，
∴A点坐标为（2，0），
把A（2，0）代入y＝kx+3得2k+3＝0，解得k，
∴一次函数解析式为yx+3，
把C（a，6）代入得a+3＝6，解得a＝﹣2，
∴C点坐标为（﹣2，6），
把C（﹣2，6）代入y得m＝﹣2×6＝﹣12，
∴反比例函数解析式为y．
40．（2020?槐荫区二模）如图，已知直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，矩形ACBE的顶点B在第一象限的反比例函数y图象上，过点B作BF⊥OC，垂足为F，设OF＝t．
（1）求∠ACO的正切值；
（2）求点B的坐标（用含t的式子表示）；
（3）已知直线y＝2x+2与反比例函数y图象都经过第一象限的点D，联结DE，如果DE⊥x轴，求m的值．
【分析】（1）先求出点A，点C坐标，可得OA＝1，OC＝2，即可求解；
（2）由余角的性质可得∠ACO＝∠CBF，可得tan∠CBF＝tan∠ACO，可求BF＝4﹣2t，即可求解；
（3）由“AAS”可证△BCF≌△AEH，可得AH＝BF＝4﹣2t，CF＝HE，可求点D坐标，由反比例函数的性质可得（3﹣2t）（8﹣4t）＝t（4﹣2t），可求t的值，即可求解．
【解析】（1）∵直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点A（﹣1，0），点C（0，2）
∴OA＝1，OC＝2，
∴tan∠ACO；
（2）∵四边形ACBE是矩形，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCF＝90°，且∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACO＝∠CBF，
∵OF＝t，
∴CF＝2﹣t，
∵tan∠CBF＝tan∠ACO，
∴BF＝4﹣2t，
∴点B（4﹣2t，t）；
（3）如图，连接DE，交x轴于H点，
∵DE⊥x轴，
∴∠AHE＝90°，
∴∠HAE+∠AEH＝90°，且∠CAO+∠HAE＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∠ACO+∠BCF＝90°，
∴∠AEH＝∠BCF，且∠CFB＝∠AHE，AE＝BC，
∴△BCF≌△AEH（AAS）
∴AH＝BF＝4﹣2t，CF＝HE，
∵点A（﹣1，0），
∴点H（3﹣2t，0），
∴当x＝3﹣2t时，y＝2（3﹣2t）+2＝8﹣4t，
∴点D坐标为（3﹣2t，8﹣4t），
∵点D，点B都在反比例函数y上，
∴（3﹣2t）（8﹣4t）＝t（4﹣2t）
∴t1＝2（不合题意舍去），t2；
∴点B（，）
∴m．备战2021年中考数学真题模拟题分类汇编（上海专版）
专题08一次函数及应用（共38题）
一．选择题（共4小题）
1．（2020?虹口区二模）直线y＝﹣x+1不经过（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【分析】由k＝﹣1＜0，b＝1＞0，即可判断出图象经过的象限．
【解析】∵直线y＝﹣x+1中，k＝﹣1＜0，b＝1＞0，
∴直线的图象经过第一，二，四象限．
∴不经过第三象限，
故选：C．
2．（2020?浦东新区二模）一次函数y＝﹣2x+3的图象经过（　　）
A．第一、二、三象限
B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限
D．第一、二、四象限
【分析】根据一次函数的性质即可求得．
【解析】∵一次函数y＝﹣2x+3中，k＝﹣2＜0，b＝3＞0，
∴一次函数y＝﹣2x+3的图象经过第一、二、四象限．
故选：D．
3．（2020?金山区二模）一次函数y＝2x﹣3的图象在y轴的截距是（　　）
A．2
B．﹣2
C．3
D．﹣3
【分析】代入x＝0，求出y值，此题得解．
【解析】当x＝0时，y＝2x﹣3＝﹣3，
∴一次函数y＝2x﹣3的图象在y轴的截距是﹣3．
故选：D．
4．（2020?崇明区二模）已知一次函数y＝（m﹣3）x+6+2m，如果y随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围为（　　）
A．m＜3
B．m＞3
C．m＜﹣3
D．m＞﹣3
【分析】根据一次函数的性质得到关于m的不等式，求解集即可．
【解析】根据题意，得：m﹣3＜0，
解得：m＜3，
故选：A．
二．填空题（共12小题）
5．（2020?上海）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行　350　米．
【分析】当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s＝70t+400，求出t＝15时s的值，从而得出答案．
【解析】当8≤t≤20时，设s＝kt+b，
将（8，960）、（20，1800）代入，得：
，
解得：，
∴s＝70t+400；
当t＝15时，s＝1450，
1800﹣1450＝350，
∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，
故答案为：350．
6．（2020?浦东新区三模）直线y＝﹣2x﹣3的截距是　﹣3　．
【分析】利用截距的定义，可找出直线y＝﹣2x﹣3的截距．
【解析】∵b＝﹣3，
∴直线y＝﹣2x﹣3的截距为﹣3．
故答案为：﹣3．
7．（2020?普陀区二模）将正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴的一个方向平移|k|个单位后与x轴、y轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数y＝kx的坐标轴三角形，如果一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为5，那么这个正比例函数的解析式是　y＝10x　．
【分析】分别求出向上和向下平移时，与坐标轴的交点坐标，再根据它的坐标轴三角形的面积为5，求出k的值即可．
【解析】∵正比例函数的图象经过第一、三象限，
∴k＞0，
∴当正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴向上平移|k|个单位时，所得函数的解析式为y＝kx+k，
∴与x轴的交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，k），
∵它的坐标轴三角形的面积为5，
∴5，
∴k＝10，
∴这个正比例函数的解析式是y＝10x，
∵当正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴向下平移|k|个单位时，所得函数的解析式为y＝kx﹣k，
∴与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣k），
∵它的坐标轴三角形的面积为5，
∴5，
∴k＝10，
∴这个正比例函数的解析式是y＝10x，
故答案为：y＝10x．
8．（2020?松江区二模）某市出租车计费办法如图所示，如果小张在该市乘坐出租车行驶了10千米，那么小张需要支付的车费为　30.8　元．
【分析】设超过3千米的函数解析式为y＝kx+b，根据题意列出方程组，利用待定系数法求得解析式，然后把x＝10代入即可求得．
【解析】由图象可知，出租车的起步价是14元，在3千米内只收起步价，
设超过3千米的函数解析式为y＝kx+b，则，解得，
∴超过3千米时（x＞3）所需费用y与x之间的函数关系式是y＝2.4x+6.8，
∴出租车行驶了10千米则y＝2.4×10+6.8＝30.8（元），
故答案为30.8．
9．（2020?徐汇区二模）已知直线y＝kx+b（k≠0）与x轴和y轴的交点分别是（1，0）和（0，﹣2），那么关于x的不等式kx+b＜0的解集是　x＜1　．
【分析】先利用待定系数法求出一次函数解析式，然后解不等式kx+b＜0即可．
【解析】把（1，0）和（0，﹣2）代入y＝kx+b得，解得，
所以一次函数解析式为y＝2x﹣2，
解不等式2x﹣2＜0得x＜1．
故答案为x＜1．
10．（2020?金山区二模）上海市居民用户燃气收费标准如表：
年用气量（立方米）
每立方米价格（元）
第一档0﹣﹣﹣310
3.00
第二档310（含）﹣﹣﹣520（含）
3.30
第三档520以上
4.20
某居民用户用气量在第一档，那么该用户每年燃气费y（元）与年用气量x（立方米）的函数关系式是　y＝3x（0≤x＜310）　．
【分析】根据该居民用户用气量在第一档，利用“总价＝单价×数量．”即可求出该用户每年燃气费y（元）与年用气量x（立方米）的函数关系式．
【解析】根据题意得第一档燃气收费标准为3.00（元/立方米），
∴该用户每年燃气费y（元）与年用气量x（立方米）的函数关系式是y＝3x（0≤x＜310）．
故答案为：y＝3x（0≤x＜310）．
11．（2020?虹口区二模）某公司市场营销部的个人月收入y（元）与其每月的销售量x（件）成一次函数关系，其图象如图所示，根据图中给出的信息可知，当营销人员的月销售量为0件时，他的月收入是　3000　元．
【分析】根据函数图象中的数据，可以求得y与x的函数关系式，然后令x＝0，求出相应的y的值，即可解答本题．
【解析】设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
，
解得，，
即y与x的函数关系式为y＝50x+3000，
当x＝0时，y＝3000，
即当营销人员的月销售量为0件时，他的月收入是3000元，
故答案为：3000．
12．（2020?闵行区二模）把直线y＝﹣x+b向左平移2个单位后，在y轴上的截距为5，那么原来的直线解析式为　y＝﹣x+7　．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则得到平移后的解析式y＝﹣x﹣2+b，再根据在y轴上的截距是5，可得原来的直线解析式．
【解析】由“左加右减”的原则可知，若沿x轴向左平移2个单位所得直线的解析式为y＝﹣（x+2）+b，即y＝﹣x﹣2+b，
∵在y轴上的截距是5，
∴﹣2+b＝5，
∴b＝7，
∴原来的直线解析式为：y＝﹣x+7，
故答案为：y＝﹣x+7．
13．（2020?闵行区一模）某同学计划购买一双运动鞋，在网站上浏览时发现如表所示的男鞋尺码对照表．
中码CHN
220
225
230
…
250
255
260
…
美码USA
4.5
5
5.5
…
7.5
8
8.5
…
如果美码（y）与中码（x）之间满足一次函数关系，那么y关于x的函数关系式为　y＝0.1x﹣17.5　．
【分析】设y关于x的函数关系式为：y＝kx+b，利用待定系数法求解析式．
【解析】设y关于x的函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可得：
解得：
∴y关于x的函数关系式为y＝0.1x﹣17.5，
故答案为：y＝0.1x﹣17.5．
14．（2020?闵行区一模）如图．函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象如图，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为　x＜2　．
【分析】从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx+b＞0的解集．
【解析】函数y＝kx+b的图象经过点（2，0），并且函数值y随x的增大而减小，
所以当x＜2时，函数值小于0，即关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2．
故答案为：x＜2．
15．（2020?东丽区一模）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，﹣5），且与直线y＝﹣3x+2平行，那么该一次函数的解析式为　y＝﹣3x﹣2　．
【分析】设一次函数的表达式为y＝kx+b，由于它的图象与直线y＝﹣3x+2平行，可知k＝﹣3，再由图象过点A（1，﹣5），可求出b，从而可求表达式．
【解析】∵一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣3x+2平行，
∴k＝﹣3，
∴一次函数解析式为y＝﹣3x+b，
∵图象经过点A（1，﹣5），
∴﹣3×1+b＝﹣5，
解得：b＝﹣2，
∴该一次函数的解析式为y＝﹣3x﹣2．
故答案为：y＝﹣3x﹣2．
16．（2020?杨浦区二模）定义：对于函数y＝f（x），如果当a≤x≤b时，m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a）（k是常数），那么称此函数为“k级函数”．如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3级函数”．如果一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，那么k的值是　2　．
【分析】根据一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”解答即可．
【解析】对于一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5），
当x＝1时，y＝1；
当x＝5时，y＝9．
因为y＝2x﹣1（1≤x≤5）是“k级函数”，
所以有9﹣1＝k（5﹣1），
解得k＝2．
故答案为2
三．解答题（共22小题）
17．（2020?上海）在平面直角坐标系xOy中，直线yx+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．
（1）求线段AB的长；
（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC，求这条抛物线的表达式；
（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．
【分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论；
（2）设点C（m，m+5），则BC|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论；
（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b＝﹣10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，﹣25a），即可得出结论．
【解析】（1）针对于直线yx+5，
令x＝0，y＝5，
∴B（0，5），
令y＝0，则x+5＝0，
∴x＝10，
∴A（10，0），
∴AB5；
（2）设点C（m，m+5），
∵B（0，5），
∴BC|m|，
∵BC，
∴|m|，
∴m＝±2，
∵点C在线段AB上，
∴m＝2，
∴C（2，4），
将点A（10，0），C（2，4）代入抛物线y＝ax2+bx（a≠0）中，得，
∴，
∴抛物线yx2x；
（3）∵点A（10，0）在抛物线y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0，
∴b＝﹣10a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a，
∴抛物线的顶点D坐标为（5，﹣25a），
将x＝5代入yx+5中，得y5+5，
∵顶点D位于△AOB内，
∴0＜﹣25a，
∴a＜0；
18．（2018?上海）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）
（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
【分析】根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为8升时行驶的路程，此题得解．
【解析】（1）设该一次函数解析式为y＝kx+b，
将（150，45）、（0，60）代入y＝kx+b中，
，解得：，
∴该一次函数解析式为yx+60．
（2）当yx+60＝8时，
解得x＝520．
即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．
530﹣520＝10千米，
油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．
∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．
19．（2017?上海）甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．
甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，如图所示．
乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500
元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．
（1）求如图所示的y与x的函数解析式：（不要求写出定义域）；
（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）绿化面积是1200平方米时，求出两家的费用即可判断；
【解析】（1）设y＝kx+b，则有，
解得，
∴y＝5x+400．
（2）绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为6400元，乙公司的费用为5500+4×200＝6300元，
∵6300＜6400
∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
20．（2016?上海）某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量yA（千克）与时间x（时）的函数图象，线段EF表示B种机器人的搬运量yB（千克）与时间x（时）的函数图象．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求yB关于x的函数解析式；
（2）如果A、B两种机器人连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？
【分析】（1）设yB关于x的函数解析式为yB＝kx+b（k≠0），将点（1，0）、（3，180）代入一次函数函数的解析式得到关于k，b的方程组，从而可求得函数的解析式；
（2）设yA关于x的解析式为yA＝k1x．将（3，180）代入可求得yA关于x的解析式，然后将x＝6，x＝5代入一次函数和正比例函数的解析式求得yA，yB的值，最后求得yA与yB的差即可．
【解析】（1）设yB关于x的函数解析式为yB＝kx+b（k≠0）．
将点（1，0）、（3，180）代入得：，
解得：k＝90，b＝﹣90．
所以yB关于x的函数解析式为yB＝90x﹣90（1≤x≤6）．
（2）设yA关于x的解析式为yA＝k1x．
根据题意得：3k1＝180．
解得：k1＝60．
所以yA＝60x．
当x＝5时，yA＝60×5＝300（千克）；
x＝6时，yB＝90×6﹣90＝450（千克）．
450﹣300＝150（千克）．
答：如果A、B两种机器人各连续搬运5小时，B种机器人比A种机器人多搬运了150千克．
21．（2020?浦东新区三模）甲、乙两辆汽车沿同一公路从A地出发前往路程为100千米的B地，乙车比甲车晚出发15分钟，行驶过程中所行驶的路程分别用y1、y2（千米）表示，它们与甲车行驶的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）分别求出y1、y2关于x的函数解析式并写出定义域；
（2）乙车行驶多长时间追上甲车？
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得y1、y2关于x的函数解析式并写出定义域；
（2）令（1）中的两个函数的函数相等，求出x的值，然后再减去15，即可得到乙车行驶多长时间追上甲车．
【解析】（1）设y1关于x的函数解析为y1＝kx，
120k＝100，得k，
即y1关于x的函数解析为y1x（0≤x≤120），
设y2关于x的函数解析为y2＝ax+b，
，得，
即y2关于x的函数解析为y2x﹣20（15≤x≤90）；
（2）令xx﹣20，得x＝40，
40﹣15＝25（分钟），
即乙车行驶25分钟追上甲车．
22．（2020?普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数y＝2x+m与yx+n的图象都经过点A（﹣2，0），且分别与y轴交于点B和点C．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）设点D在直线yx+n上，且在y轴右侧，当△ABD的面积为15时，求点D的坐标．
【分析】（1）依据一次函数y＝2x+m与yx+n的图象都经过点A（﹣2，0），即可得到m和n的值，进而得出B、C两点的坐标；
（2）依据S△ABC+S△BCD＝15，即可得到点D的横坐标，进而得出点D的坐标．
【解析】（1）将A（﹣2，0）代入y＝2x+m，解得m＝4，
∴y＝2x+4，
令x＝0，则y＝4，即B（0，4），
将A（﹣2，0）代入yx+n，解得n＝﹣1，
∴yx﹣1，
令x＝0，则y＝﹣1，即C（0，﹣1），
（2）如图，过D作DE⊥BC于E，
当△ABD的面积为15时，S△ABC+S△BCD＝15，
即AO×BCDE×BC＝15，
∴2×5DE×5＝15，
∴DE＝4，
yx﹣1中，令x＝4，则y＝﹣3，
∴D（4，﹣3）．
23．（2020?嘉定区二模）已知汽车燃油箱中的
y（单位：升）与该汽车行驶里程数
x（单位：千米）是一次函数关系．贾老师从某汽车租赁公司租借了一款小汽车，拟去距离出发地600公里的目的地旅游（出发之前，贾老师往该汽车燃油箱内注满了油）．行驶了200千米之后，汽车燃油箱中的剩余油量为40升；
又行驶了100千米，汽车燃油箱中的剩余油量为30升．
（1）求y关于x的函数关系式（不要求写函数的定义域）；
（2）当汽车燃油箱中的剩余油量为8升的时候，汽车仪表盘上的燃油指示灯就会亮起来．在燃油指示灯亮起来之前，贾老师驾驶该车可否抵达目的地？请通过计算说明．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）把y＝8代入（1）的结论解答即可．
【解析】（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b由题意，得，
解得，
∴y关于x的函数关系式为；
（2）当y＝8时，，
解得x＝520．
∵520＜600，
∴在燃油指示灯亮起来之前，贾老师驾驶该车不能抵达目的地．
24．（2020?青浦区二模）某湖边健身步道全长1500米，甲、乙两人同时从同一起点匀速向终点步行．甲先到达终点后立刻返回，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与出发的时间x（分）之间的关系如图中OA﹣AB折线所示．
（1）用文字语言描述点A的实际意义；
（2）求甲、乙两人的速度及两人相遇时x的值．
【分析】（1）根据题意结合图象解答即可；
（2）根据图象分别求出两人的速度，再根据题意列方程解答即可．
【解析】（1）点A的实际意义为：20分钟时，甲乙两人相距500米．
（2）根据题意得，（米/分），（米/分），
依题意，可列方程：75（x﹣20）+50（x﹣20）＝500，
解这个方程，得
x＝24，
答：甲的速度是每分钟75米，乙的速度是每分钟50米，两人相遇时x的值为24．
25．（2020?静安区二模）疫情期间，甲厂欲购买某种无纺布生产口罩，A、B两家无纺布公司各自给出了该种无纺布的销售方案．
A公司方案：无纺布的价格y（万元）与其重量x（吨）是如图所示的函数关系；
B公司方案：无纺布不超过30吨时，每吨收费2万元；超过30吨时，超过的部分每吨收费1.9万元．
（1）求如图所示的y与x的函数解析式；（不要求写出定义域）
（2）如果甲厂所需购买的无纺布是40吨，试通过计算说明选择哪家公司费用较少．
【分析】（1）运用待定系数法解答即可；
（2）把x＝40代入（1）的结论以及公司方案，分别求出每家公司所需的费用，再进行比较即可．
【解析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k、b为常数，k≠0），
由一次函数的图象可知，其经过点（0，0.8）、（10，20.3），
代入得，
解得，
∴这个一次函数的解析式为y＝1.95x+0.8．
（2）如果在A公司购买，所需的费用为：y＝1.95×40+0.8＝78.8万元；
如果在B公司购买，所需的费用为：2×30+1.9×（40﹣30）＝79万元；
∵78.8＜79，
∴在A公司购买费用较少．
26．（2020?长宁区二模）如图，反映了甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从A地到B地进行训练时行驶路程y（千米）和行驶时间x（小时）之间关系的部分图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求乙的行驶路程y和行驶时间x
（1≤x≤3）之间的函数解析式；
（2）如果甲的速度一直保持不变，乙在骑行3小时之后又以第1小时的速度骑行，结果两人同时到达B地，求A、B两地之间的距离．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得乙的行驶路程y和行驶时间x
（1≤x≤3）之间的函数解析式；
（2）根据函数图象中的数据，可以分别求得甲的速度和乙开始的速度，然后设出A、B两地之间的距离，再根据甲的速度一直保持不变，乙在骑行3小时之后又以第1小时的速度骑行，结果两人同时到达B地，可以列出相应的方程，从而可以得到A、B两地之间的距离．
【解析】（1）设乙的行驶路程y和行驶时间x
（1≤x≤3）之间的函数解析式为y＝kx+b，
，
解得，，
即乙的行驶路程y和行驶时间x
（1≤x≤3）之间的函数解析式是y＝10x+20；
（2）设A、B两地之间的距离为S千米，
甲的速度为60÷3＝20（千米/时），乙开始的速度为30÷1＝30（千米/时），
，
解得，S＝80，
答：A、B两地之间的距离是80千米．
27．（2020?崇明区二模）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时），关于已行驶路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已经行驶的路程为　150　千米．当0≤x≤150时，消耗1千瓦时的电量，汽车能行驶的路程为　6　千米．
（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量．
【分析】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；
（2）运用待定系数法求出y关于x的函数表达式，再把x＝160代入即可求出当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量．
【解析】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．
1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：（千米），
故答案为：150；6．
（2）设y＝kx+b（k≠0），把点（150，35），（200，10）代入，
得，解得，
∴y＝﹣0.5x+110，
当x＝160时，y＝﹣0.5×160+110＝30，
答：当150≤x≤200时，函数表达式为y＝﹣0.5x+110，当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量为30千瓦时．
28．（2020?宝山区二模）在抗击新冠状病毒战斗中，有152箱公共卫生防护用品要运到A、B两城镇，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批防护用品，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其中用大货车运往A、B两城镇的运费分别为每辆800元和900元，用小货车运往A、B两城镇的运费分别为每辆400元和600元．
（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A城镇，其余货车前往B城镇，设前往A城镇的大货车为x辆，前往A、B两城镇总费用为y元，试求出y与x的函数解析式．若运往A城镇的防护用品不能少于100箱，请你写出符合要求的最少费用．
【分析】（1）根据题意，可以先设这15辆车中大货车有a辆，则小货车有（15﹣a）辆，然后即可得到相应的方程，从而可以求得这15辆车中大小货车各多少辆；
（2）根据（1）中的结果和题意，可以得到y与x的函数关系式，再根据运往A城镇的防护用品不能少于100箱，可以得到x的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可解答本题．
【解析】（1）设这15辆车中大货车有a辆，则小货车有（15﹣a）辆，
12a+8（15﹣a）＝152
解得，a＝8，
则15﹣a＝7，
答：这15辆车中大货车8辆，小货车7辆；
（2）设前往A城镇的大货车为x辆，则前往A城镇的小货车为（10﹣x）辆，前往B城镇的大货车有（8﹣x）辆，前往B城镇的小货车有7﹣（10﹣x）＝（x﹣3）辆，
由题意可得，y＝800x+400（10﹣x）+900（8﹣x）+600（x﹣3）＝100x+9400，
即y与x的函数关系式为y＝100x+9400，
∵运往A城镇的防护用品不能少于100箱，
∴12x+8（10﹣x）≥100，
解得，x≥5，
∴当x＝5时，y取得最小值，此时y＝9900，
答：y与x的函数解析式y＝100x+9400，符合要求的最少费用为9900元．
29．（2020?闵行区二模）上海市为了增强居民的节水意识，避免水资源的浪费，全面实施居民“阶梯水价”．当累计水量达到年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和价格见下表．
仔细阅读上述材料，请解答下面的问题：
分档
户年用水量
（立方米）
自来水价格
（元/立方米）
污水处理费
（元/立方米）
第一阶梯
0﹣220（含220）
1.92
1.70
第二阶梯
220﹣300（含300）
3.30
1.70
第三阶梯
300以上
4.30
1.70
注：1．应缴纳水费＝自来水费总额+污水处理费总额
2．应缴纳污水处理费总额＝用水量×污水处理费×0.9
（1）小静家2019年上半年共计用水量100立方米，应缴纳水费　345　元；
（2）小静家全年缴纳的水费共计1000.5元，那么2019年全年用水量为　270　立方米；
（3）如图所示是上海市“阶梯水价”y与用水量x的函数关系，那么第二阶梯（线段AB）的函数解析式为　y＝4.83x﹣303.6　，定义域　220＜x≤300　．
【分析】（1）根据表格中的数据，可以计算出小静家2019年上半年共计用水量100立方米，应缴纳水费多少元；
（2）根据表格中的数据，先计算第一阶梯最多缴费多少和第二阶梯最多缴费多少，然后即可判断小静家2019年全年用水量在哪个阶梯内，然后设出未知数，即可得到相应的方程，从而可以求得2019年全年用水量；
（3）根据函数图象中的数据和（2）中的结果，可以先设出第二阶梯（线段AB）的函数解析式，该函数过点（220，759）、（300，1145.4），即可得到相应的函数解析式，写出定义域．
【解析】（1）100×1.92+100×1.70×0.9
＝192+153
＝345（元），
即小静家2019年上半年共计用水量100立方米，应缴纳水费345元，
故答案为：345；
（2）220×1.92+220×1.70×0.9＝759（元），
759+（300﹣220）×3.3+（300﹣220）×1.70×0.9＝1145.4（元），
∵759＜1000.5＜1145.4，
∴小静家2019年全年用水量在220﹣300之间，
设小静家2019年全年用水量为x立方米，
759+（x﹣220）×3.3+（x﹣220）×1.70×0.9＝1000.5
解得，x＝270，
即2019年全年用水量为270立方米，
故答案为：270；
（3）设第二阶梯（线段AB）的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
即第二阶梯（线段AB）的函数解析式为y＝4.83x﹣303.6（220＜x≤300），
故答案为：y＝4.83x﹣303.6，220＜x≤300．
30．（2019?杨浦区三模）在女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数关系分別如图中线段OA和折线OBCD所示．
（1）谁先到终点，当她到终点时，另一位同学离终点多少米？（请直接写出答案）
（2）起跑后的60秒内谁领先？她在起跑后几秒时被追及？请通过计算说明．
【分析】（1）小莹比小梅先到终点，此时小梅距离终点200米；
（2）根据图象可以知道跑后的60秒内小梅领先，根据线段的交点坐标可以求出小梅被追及时间．
【解析】（1）小莹比小梅先到终点，此时小梅距离终点200米；
（2）根据图象可以知道跑后的60秒内小梅领先，
小莹的速度为：（米/秒），
故线段OA的解析式为：yx，
设线段BC的解析式为：y＝kx+b，根据题意得：
，解得，
∴线段BC的解析式为y＝2.5x+150，
解方程，得，
故小梅在起跑后秒时被追及．
31．（2019?静安区二模）一个水库的水位在某段时间内持续上涨，表格中记录了连续5小时内6个时间点的水位高度，其中x表示时间，y表示水位高度．
x
（小时）
0
1
2
3
4
5
…
y（米）
3
3.3
3.6
3.9
4.2
4.5
…
（1）通过观察数据，请写出水位高度y与时间x的函数解析式（不需要写出定义域）；
（2）据估计，这种上涨规律还会持续，并且当水位高度达到8米时，水库报警系统会自动发出警报．请预测再过多久系统会发出警报．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y与x之间的函数解析式；
（2）将y＝8代入（1）中的函数解析式，求出x的值，再用x的值减去5即可解答本题．
【解析】（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
即y与x之间的函数解析式为y＝0.3x+3；
（2）把y＝8，代入y＝0.3x+3，得
8＝0.3x+3，
解得，x，
，
答：再过小时后系统会发出警报．
32．（2019?虹口区二模）甲、乙两组同时加工某种零件，甲组每小时加工80件，乙组加工的零件数量y（件）与时间x（小时）为一次函数关系，部分数据如下表所示．
x（小时）
2
4
6
y（件）
50
150
250
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）甲、乙两组同时生产，加工的零件合在一起装箱，每满340件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？
【分析】（1）运用待定系数法解答即可；
（2）设经过x小时恰好装满第1箱，可得方程80x+50x﹣50＝340，解方程即可解答．
【解析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）
把（2，50）（4，150）代入，
得解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝50x﹣50；
（2）设经过x小时恰好装满第1箱，
根据题意得80x+50x﹣50＝340，
∴x＝3，
答：经过3小时恰好装满第1箱．
33．（2019?长宁区二模）某文具店每天售出甲、乙两种笔，统计后发现：甲、乙两种笔同一天售出量之间满足一次函数的关系，设甲、乙两种笔同一天的售出量分别为x（支）、y（支），部分数据如表所示（下表中每一列数据表示甲、乙两种笔同一天的售出量）．
甲种笔售出x（支）
…
4
6
8
…
乙种笔售出y（支）
…
6
12
18
…
（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写出函数的定义域）
（2）某一天文具店售出甲、乙两种笔的营业额分别为30元和120元，如果乙种笔每支售价比甲种笔每支售价多2元，那么甲、乙两种笔这天各售出多少支？
【分析】（1）根据待定系数法即可求出y与x的函数关系式．
（2）根据题意列出关系式即可求出答案．
【解析】（1）设函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由图象过点（4，6），（6，12），
得：，
解之得：，
所以y关于x的解析式为：y＝3x﹣6．
（2）设甲种笔售出x支，则乙种笔售出（3x﹣6）支，由题意可得：
整理得：x2﹣7x﹣30＝0
解之得：x1＝10，x2＝﹣3（舍去）3x﹣6＝24
答：甲、乙两种这天笔各售出10支、24支．
34．（2019?嘉定区二模）某乒乓球馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；
②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元；暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设打乒乓x次时，所需总费用为y元．
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请根据函数图象，写出选择哪种消费方式更合算．
【分析】（1）根据题意可以直接写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）根据函数图象和（1）中的函数解析式可以分别求得普通票消费和银卡消费相等的情况，银卡消费和金卡消费相等的情况，再根据图象即可解答本题．
【解析】（1）由题意可得，
选择银卡消费时，y与x之间的函数关系式为：y＝10x+150，
选择普通票消费时，y与x之间的函数关系式为：y＝20x；
（2）当10x+150＝20x时，得x＝15，
当10x+150＝600时，得x＝45，
答：当打球次数不足15次时，选择普通票最合算，当打球次数介于15次到45次之间时，选择银卡最合算，当打球次数超过45次时，选择金卡最合算，当打球次数恰为15次时，选择普通票或银卡同为最合算，当打球次数恰为45次时，选择金卡或银卡同为最合算．
35．（2019?松江区二模）小明、小军是同班同学．某日，两人放学后去体育中心游泳，小明16：00从学校出发，小军16：03也从学校出发，沿相同的路线追赶小明．设小明出发x分钟后，与体育中心的距离为y米．如图，线段AB表示y与x之间的函数关系．
（1）求y与x之间的函数解析式；（不要求写出定义域）
（2）如果小军的速度是小明的1.5倍，那么小军用了多少分钟追上小明？此时他们距离体育中心多少米？
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得y与x之间的函数解析式；
（2）根据图象中的数据可以分别得甲乙的速度，从而可以解答本题．
【解析】（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
即y与x之间的函数解析式为y＝﹣60x+600；
（2）小明的速度为：600÷10＝60米/分钟，
则小军的速度为：60×1.5＝90米/分钟，
设小军用了a分钟追上小明，
90a＝60（a+3），
解得，a＝6，
当a＝6时，他们距离体育中心的距离是600﹣90×6＝60米，
答：小军用了6分钟追上小明，此时他们距离体育中心60米．
36．（2019?金山区二模）某演唱会购买门票的方式有两种．
方式一：若单位赞助广告费10万元，则该单位所购门票的价格为每张0.02万元；
方式二：如图所示．
设购买门票x张，总费用为y万元，方式一中：总费用＝广告赞助费+门票费．
（1）求方式一中y与x的函数关系式．
（2）若甲、乙两个单位分别采用方式一、方式二购买本场演唱会门票共400张，且乙单位购买超过100张，两单位共花费27.2万元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？
【分析】（1）方案一中，总费用＝广告赞助费10+门票单价0.02×票的张数；
（2）方案二中，当x＞100时，设出一次函数解析式，把其中两点的坐标代入即可求得相应的函数解析式；
设乙单位购买了a张门票，则甲单位购买了（400﹣a）张门票，进而根据（（1）得甲单位的总费用，再根据两单位共花费27.2万元，列出方程解答便可．
【解析】（1）方案一：单位赞助广告费10万元，该单位所购门票的价格为每张0.02万元，则y＝10+0.02x；
（2）方案二：当x＞100时，设解析式为y＝kx+b．
将（100，10），（200，16）代入，
得
，
解得
，
所以y＝0.06x+4．
设乙单位购买了a张门票，则甲单位购买了（400﹣a）张门票，根据题意得
0.06a+4+[10+0.02（400﹣a）]＝27.2，
解得，a＝130，
∴400﹣a＝270，
答：甲、乙两单位购买门票分别为270张和130张．
37．（2019?徐汇区二模）某市植物园于2019年3月﹣5月举办花展，按照往年的规律推算，自4月下旬起游客量每天将增加1000人，游客量预计将在5月1日达到最高峰，并持续到5月4日，随后游客量每天有所减少，已知4月24日为第一天起，每天的游客量y（人）与时间x（天）的函数图象如图所示，结合图象提供的信息，解答下列问题：
（1）已知该植物园门票15元/张，若每位游客在园内每天平均消费35元，试求5月1日﹣5月4日，所有游客消费总额约为多少元？
（2）当x≥11时，求y关于x的函数解析式．
【分析】（1）由图象可知，4月24日的游客量为33000人，再根据“自4月下旬起游客量每天将增加1000人，游客量预计将在5月1日达到最高峰，并持续到5月4日”得到5月1日到5月4日每天的游客量，进而由门票与园内消费计算出游客消费总额；
（2）设函数解析式为y＝kx+b，再由（11，40000）和（18，34400），用待定系数法便可求得结果．
【解析】（1）根据题意，得5月1日到5月4日每天的游客量均为：33000+7×1000＝40000（人），
∴所有游客消费总额为：（15+35）×40000×4＝8000000（元），
答：5月1日到5月4日所有游客消费总额为8000000元；
（2）设函数解析式为y＝kx+b，
把（11，40000）和（18，34400）都代入，得
，
解得，，
∴函数的解析式为：y＝﹣800x+48800．
38．（2019?闵行区二模）甲骑自行车以10千米/时的速度沿公路行驶，3小时后，乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶，速度为25千米/时．设甲出发后x小时，甲离开出发地的路程为y1千米，乙离开出发地的路程为y2千米．试回答下列问题：
（1）求y1、y2关于x的函数解析式；
（2）在同一直角坐标系中，画出（1）中两个函数的图象；
（3）当x为何值时，乙追上甲，此时他们离出发地的路程是多少千米？
【分析】（1）根据路程＝速度×时间列出函数解析式便可；
（2）确定两个点坐标，作出直线便可；
（3）联立两个解析式的方程组解答便可．
【解析】（1）由题意，得
y1＝10x（x≥0）；
y2＝25（x﹣3），即y2＝25x﹣75（x≥3）；
（2）列表
描点、连线，
（3）由题意，当乙追上甲时，有y1＝y2，则10x＝25x﹣75，
解得
x＝5
此时他们离出发地的路程是10×5＝50（千米），
答：当x＝5小时时，乙追上甲，此时他们离出发地的距离为50千米．
、备战2021年中考数学真题模拟题分类汇编（上海专版）
专题09二次函数的图象与性质（共48题）
一．选择题（共20小题）
1．（2018?上海）下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（　　）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．在对称轴右侧部分是下降的
【分析】A、由a＝1＞0，可得出抛物线开口向上，选项A不正确；
B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x，选项B不正确；
C、代入x＝0求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确；
D、由a＝1＞0及抛物线对称轴为直线x，利用二次函数的性质，可得出当x时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．
综上即可得出结论．
【解析】A、∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，选项A不正确；
B、∵，
∴抛物线的对称轴为直线x，选项B不正确；
C、当x＝0时，y＝x2﹣x＝0，
∴抛物线经过原点，选项C正确；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x，
∴当x时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．
故选：C．
2．（2016?上海）如果将抛物线y＝x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　）
A．y＝（x﹣1）2+2
B．y＝（x+1）2+2
C．y＝x2+1
D．y＝x2+3
【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．
【解析】∵抛物线y＝x2+2向下平移1个单位，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2﹣1，即y＝x2+1．
故选：C．
3．（2020?嘉定区二模）下列关于二次函数y＝x2﹣3的图象与性质的描述，不正确的是（　　）
A．该函数图象的开口向上
B．函数值y随着自变量x的值的增大而增大
C．该函数图象关于y轴对称
D．该函数图象可由函数y＝x2的图象平移得到
【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可得．
【解析】A、由a＝1＞0知抛物线开口向上，此选项描述正确；
B、∵抛物线的开口向上且对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而证得，故此选项描述错误；
由y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1知抛物线的顶点坐标为（1，1），此选项错误；
C、∵抛物线的对称轴为y轴，∴该函数图象关于y轴对称，此选项描述正确；
D、该函数图象可由函数y＝x2的图象向下平移3个单位得到，此选项描述正确；
故选：B．
4．（2020?徐汇区二模）关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的开口方向向上
B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1
C．抛物线对称轴左侧部分是下降的
D．抛物线顶点到x轴的距离是2
【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴、增减性以及顶点坐标，进一步可得出答案．
【解析】∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），
在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴A、B、C不正确；
∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|＝2，
∴D正确，
故选：D．
5．（2020?虹口区一模）抛物线y＝3（x+1）2+1的顶点所在象限是（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【分析】根据抛物线y＝3（x+1）2+1，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限．
【解析】∵抛物线y＝3（x+1）2+1，
∴该抛物线的顶点是（﹣1，1），在第二象限，
故选：B．
6．（2020?虹口区一模）已知抛物线y＝x2经过A（﹣2，y1）、B
（1，y2）两点，在下列关系式中，正确的是（　　）
A．y1＞0＞y2
B．y2＞0＞y1
C．y1＞y2＞0
D．y2＞y1＞0
【分析】依据抛物线的对称性可知：（2，y1）在抛物线上，然后依据二次函数的性质解答即可．
【解析】∵抛物线y＝x2，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴A（﹣2，y1）关于y轴对称点的坐标为（2，y1）．
又∵0＜1＜2，
∴y1＞y2＞0，
故选：C．
7．（2020?宝山区一模）二次函数y＝1﹣2x2的图象的开口方向（　　）
A．向左
B．向右
C．向上
D．向下
【分析】二次函数中二次项的系数决定抛物线的开口方向．
【解析】∵二次函数y＝1﹣2x2中﹣2＜0，
∴图象开口向下，
故选：D．
8．（2020?杨浦区一模）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是yx2+6x（0≤x≤4），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（　　）
A．1米
B．2米
C．5米
D．6米
【分析】根据二次函数的顶点式即可求解．
【解析】方法一：
根据题意，得
yx2+6x（0≤x≤4），
（x﹣2）2+6
所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．
方法二：
因为对称轴x2，
所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．
故选：B．
9．（2020?浦东新区一模）下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y＝2x﹣1
B．y
C．y＝x2+1
D．y＝（x﹣1）2﹣x2
【分析】根据二次函数的标准形式y＝ax2+bx+c（a≠0），从选项中直接可以求解．
【解析】二次函数的标准形式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∴y＝x2+1是二次函数，
故选：C．
10．（2020?闵行区一模）k为任意实数，抛物线y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0）的顶点总在（　　）
A．直线y＝x上
B．直线y＝﹣x上
C．x轴上
D．y轴上
【分析】求出抛物线的顶点为（k，﹣k），可以得到顶点在y＝﹣x直线上．
【解析】∵y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0），
∴抛物线的顶点为（k，﹣k），
∵k为任意实数，
∴顶点在y＝﹣x直线上，
故选：B．
11．（2020?金山区一模）将抛物线y＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（　　）
A．y＝（x﹣1）2﹣3
B．y＝（x+3）2﹣3
C．y＝（x+1）2﹣1
D．y＝（x+1）2﹣5
【分析】根据平移的规律即可求得答案．
【解析】∵将抛物线y＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位，
∴新抛物线的表达式为y＝（x+1﹣2）2﹣3＝（x﹣1）2﹣3，
故选：A．
12．（2020?静安区一模）如果将抛物线y＝x2﹣2平移，使平移后的抛物线与抛物线y＝x2﹣8x+9重合，那么它平移的过程可以是（　　）
A．向右平移4个单位，向上平移11个单位
B．向左平移4个单位，向上平移11个单位
C．向左平移4个单位，向上平移5个单位
D．向右平移4个单位，向下平移5个单位
【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．
【解析】∵抛物线y＝x2﹣8x+9＝（x﹣4）2﹣7的顶点坐标为（4，﹣7），抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），
∴顶点由（0，﹣2）到（4，﹣7）需要向右平移4个单位再向下平移5个单位．
故选：D．
13．（2020?奉贤区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
???
0
1
3
4
5
???
y
???
﹣5
﹣5
???
根据表，下列判断正确的是（　　）
A．该抛物线开口向上
B．该抛物线的对称轴是直线x＝1
C．该抛物线一定经过点（﹣1，）
D．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的
【分析】由表格中点（0，﹣5），（4，﹣5）可求对称轴x＝2，再任意取两点可确定函数的解析式即可．
【解析】由表格中点（0，﹣5），（4，﹣5），
可知函数的对称轴为x＝2，
设函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+c，
将点（0，﹣5），（1，）代入，
得到a，c＝﹣3，
∴函数解析式y（x﹣2）2﹣3；
∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分是上升的；
故选：C．
14．（2020?黄浦区一模）已知二次函数y＝x2，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的表达式是（　　）
A．y＝（x+1）2+2
B．y＝（x+1）2﹣2
C．y＝（x﹣1）2+2
D．y＝（x﹣1）2﹣2
【分析】根据平移的规律即可求得答案．
【解析】二次函数y＝x2，将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的解析式为y＝（x+1）2﹣2．
故选：B．
15．（2020?浦东新区一模）抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，1）
B．（2，1）
C．（﹣2，﹣1）
D．（2，﹣1）
【分析】利用配方法化成顶点式求解即可．
【解析】∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴顶点坐标为（2，1），
故选：B．
16．（2020?普陀区一模）如果二次函数y＝（x﹣m）2+n的图象如图所示，那么一次函数y＝mx+n的图象经过（　　）
A．第一、二、三象限
B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限
D．第二、三、四象限
【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断．
【解析】根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n），且在第四象限，
∴m＞0，n＜0，
则一次函数y＝mx+n经过第一、三、四象限．
故选：B．
17．（2020?徐汇区一模）已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，那么下列关于该函数的判断正确的是（　　）
A．该函数图象有最高点（0，﹣3）
B．该函数图象有最低点（0，﹣3）
C．该函数图象在x轴的下方
D．该函数图象在对称轴左侧是下降的
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解析】∵二次函数y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴该函数图象有最高点（1，﹣2），故选项A错误，选项B错误；
该函数图象在x轴下方，故选项C正确；
该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D错误；
故选：C．
18．（2020?青浦区一模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表，那么下列结论中正确的是（　　）
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
A．a＞0
B．b＜0
C．c＜0
D．abc＜0
【分析】根据图表信息，先确定出抛物线的对称轴，进而求得开口方向，从而确定a的符号，进一步求得b的符号，根据图象经过（0，6）求得c的符号，即可判断abc＜0正确．
【解析】由图可知，抛物线的对称轴为直线x，
∵在对称轴左侧，y随x增大而增大，
∴抛物线的开口向下，则a＜0，
∵，
∴b＞0，
∵x＝0时，y＝6，
∴与y轴的交点为（0，6），
∴c＝6＞0，
∴abc＜0，
故选项D正确．
故选：D．
19．（2020?松江区一模）如果点A（1，3）、B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣2）2+h上两个不同的点，那么m的值为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．
【解析】由点A（1，3）、B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣2）2+h上两个不同的点，得
A（1，3）与B（m，3）关于对称轴x＝2对称，
m﹣2＝2﹣1，
解得m＝3，
故选：B．
20．（2020?松江区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的（　　）
A．a＞0，b＞0，c＞0
B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0
D．a＜0，b＜0，c＞0
【分析】根据抛物线的开口方向确定a的符号，由对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与y轴交点的位置确定c的符号，选择做出答案．
【解析】抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交在正半轴，因此c＞0，
故选：C．
二．填空题（共28小题）
21．（2020?上海）如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　y＝x2+3　．
【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解．
【解析】抛物线y＝x2向上平移3个单位得到y＝x2+3．
故答案为：y＝x2+3．
22．（2020?松江区二模）已知点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）都在二次函数y＝﹣x2+c的图象上，那么y1与y2的大小关系是　y1＜y2　．
【分析】根据函数解析式求出对称轴，然后根据二次函数的增减性进行判断即可．
【解析】二次函数y＝﹣x2+c的开口向下，对称轴为y轴，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵﹣2＜﹣1，
∴y1＜y2．
故答案为：y1＜y2．
23．（2020?虹口区二模）如果抛物线y＝（k﹣1）x2+9在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是　k＜1　．
【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则k﹣1＜0，然后解不等式即可．
【解析】∵抛物线y＝（k﹣1）x2+9在y轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向下，
∴k﹣1＜0，
解得k＜1．
故答案为：k＜1．
24．（2020?长宁区二模）如果抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，那么a的取值范围是　a＜1　．
【分析】根据抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限可以确定不等式的开口方向，从而确定a的取值范围．
【解析】∵抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，且该抛物线与y轴交于负半轴，
∴a﹣1＜0，
解得：a＜1．
故答案为：a＜1．
25．（2020?崇明区二模）将抛物线y＝x2+2向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，那么所得新抛物线你的解析式为　y＝x2﹣6x+13　．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解析】抛物线y＝x2+2向右平移3个单位后的解析式为：y＝（x﹣3）2+2．
再向上平移2个单位后所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣3）2+2+2，即y＝x2﹣6x+13．
故答案是：y＝x2﹣6x+13．
26．（2020?闵行区二模）已知点（﹣1，y1），（，y2），（2，y3）在函数y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）的图象上，那么y1、y2、y3按由小到大的顺序排列是　y2＜y3＜y1　．
【分析】先确定抛物线的对称轴为直线x＝1，然后比较已知三点到直线x＝1的距离的大小，再利用二次函数的性质可判断y1、y2、y3的大小．
【解析】抛物线的对称轴为直线x1，
∵点（﹣1，y1）到直线x＝1的距离为2，点（，y2）到直线x＝1的距离为1，点（2，y3）到直线x＝1的距离为1，
∴点（﹣1，y1）到直线x＝1的距离最大，点（，y2）到直线x＝1的距离最小，
而抛物线的开口向上，
∴y2＜y3＜y1．
故答案为y2＜y3＜y1．
27．（2020?闵行区一模）如果两点A（2，a）和B（x，b）在抛物线y＝x2﹣4x+m上，那么a和b的大小关系为：a　≤　b．（从“＞”“≥”“＜”“≤”中选择）．
【分析】由已知可得当x＝2时函数有最小值，则可求b≥a．
【解析】∵抛物线y＝x2﹣4x+m的对称轴为x＝2，
∴当x＝2时函数有最小值，
∴b≥a，
故答案为≤．
28．（2020?闵行区一模）平移抛物线y＝2x2﹣4x，可以得到抛物线y＝2x2+4x，请写出一种平移方法　向左平移2个单位　．
【分析】把y＝2x2﹣4x和y＝2x2+4x改写成顶点式，进而解答即可．
【解析】∵y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，y＝2x2+4x＝2（x+1）2﹣2，
∴两抛物线的顶点坐标分别为（1，﹣2）和（﹣1，﹣2），
∴将抛物线y＝2x2﹣4x先向左平移2个单位长度，可以得到抛物线y＝2x2+4x．
故答案为：向左平移2个单位．
29．（2020?虹口区一模）如果函数y＝（m+1）x2是二次函数，那么m＝　　．
【分析】直接利用二次函数的定义得出m的值．
【解析】∵函数y＝（m+1）x2是二次函数，
∴m2﹣m＝2，
（m﹣2）（m+1）＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣1，
∵m+1≠0，
∴m≠﹣1，
故m＝2．
故答案为：2．
30．（2020?虹口区一模）沿着x轴正方向看，抛物线y＝﹣（x﹣1）2在对称轴　右　侧的部分是下降的（填“左”、“右”）．
【分析】根据抛物线y＝﹣（x﹣1）2可以得到该抛物线的对称轴和在对称轴两侧，y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
【解析】∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2，
∴该抛物线的对称轴为x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴在对称轴右侧的部分是下降的，
故答案为：右．
31．（2020?虹口区一模）如果抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向下，那么a的取值范围是　　．
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，则a＜0，利用不等式求解即可．
【解析】∵抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向下，
∴1﹣a＜0，解得，a＞1，
故答案为：a＞1．
32．（2020?虹口区一模）如图，抛物线的对称轴为直线x＝1，点P、Q是抛物线与x轴的两个交点，点P在点Q的右侧，如果点P的坐标为（4，0），那么点Q的坐标为　（﹣2，0）　．
【分析】根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐标，此题得解．
【解析】∵抛物线的对称轴为直线x＝1，点P的坐标为（4，0），
∴点Q的横坐标为1×2﹣4＝﹣2，
∴点Q的坐标为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
33．（2020?宝山区二模）若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第二象限，则m的取值范围为　﹣1＜m＜0　．
【分析】求出函数的顶点坐标为（m，m+1），再由第二象限点的坐标特点的得到：m＜0，m+1＞0即可求解．
【解析】∵y＝（x﹣m）2+（m+1），
∴顶点为（m，m+1），
∵顶点在第二象限，
∴m＜0，m+1＞0，
∴﹣1＜m＜0，
故答案为﹣1＜m＜0．
34．（2020?宝山区一模）二次函数y＝x2x的图象与y轴的交点坐标是　（0，）　．
【分析】根据图象与y轴的相交的特点可求出坐标．
【解析】由图象与y轴相交则x＝0，代入得：y，
∴与y轴交点坐标是（0，）；
故答案为（0，）．
35．（2020?宝山区一模）如图，点A在直线yx上，如果把抛物线y＝x2沿OA方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为　y＝（x﹣4）2+3　．
【分析】过点A作AB⊥x轴于B，求出OB、AB，然后写出点A的坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【解析】如图，过点A作AB⊥x轴于B，
∵点A在直线yx上，OA＝5，
∴OB＝4，AB＝3，
∴点A的坐标为（4，3），
∴平移后的抛物线解析式是y＝（x﹣4）2+3．
故答案为y＝（x﹣4）2+3．
36．（2020?奉贤区一模）抛物线y＝x2+bx+2与y轴交于点A，如果点B（2，2）和点A关于该抛物线的对称轴对称，那么b的值是　﹣2　．
【分析】先确定A点坐标为（0，2），再利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，然后根据对称轴方程可求出b的值．
【解析】当x＝0时，抛物线y＝x2+bx+2＝2，则A点坐标为（0，2），
∵点B（2，2）和点A关于该抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
即1，
∴b＝﹣2．
故答案为﹣2．
37．（2020?嘉定区一模）已知抛物线y＝x2﹣2x+c经过点A（﹣1，y1）和B（1，y2），那么y1　＞　y2（从“＞”或“＜”或“＝”选择）．
【分析】求出对称轴x＝1，判断点与对称轴的关系求解．
【解析】∵y＝x2﹣2x+c的对称轴为x＝1，
点A在对称轴左侧，B在对称轴上，
∵﹣1＜1，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
38．（2020?普陀区一模）抛物线y＝（a﹣2）x2在对称轴左侧的部分是上升的，那么a的取值范围是　a＜2　．
【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则a﹣2＜0，然后解不等式即可．
【解析】∵抛物线y＝（a﹣2）x2在对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向下，
∴a﹣2＜0，解得a＜2．
故答案为a＜2．
39．（2020?青浦区一模）如果点A（﹣3，y1）和点B（﹣2，y2）是抛物线y＝x2+a上的两点，那么y1　＞　y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）．
【分析】根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，再比较即可．
【解析】∵y＝x2+a，
∴抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，
∵﹣3＜﹣2＜0，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
40．（2020?浦东新区一模）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了如下的表格：
x
…
0
1
2
3
4
…
y＝ax2+bx+c
…
﹣3
0
1
0
﹣3
…
那么当x＝5时，该二次函数y的值为　﹣8　．
【分析】从表格可知：抛物线的顶点坐标为（2，1），抛物线过点（0，﹣3），代入求出抛物线的解析式，再把x＝5代入函数解析式，即可求出答案．
【解析】从表格可知：抛物线的顶点坐标为（2，1），
设y＝ax2+bx+c＝a（x﹣2）2+1，
从表格可知过点（0，﹣3），代入得：﹣3＝a（0﹣2）2+1，
解得：a＝﹣1，
即y＝﹣（x﹣2）2+1，
当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，
故答案为：﹣8．
41．（2020?静安区一模）某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为x（x＞0），六月份的营业额为y万元，那么y关于x的函数解式是　y＝200x2+400x+200　．
【分析】根据增长率问题公式列出函数解析式即可．
【解析】根据题意，得
y＝200（1+x）2
＝200x2+400x+200．
故答案为y＝200x2+400x+200．
42．（2020?金山区一模）如果一条抛物线经过点A（2，5），B（﹣3，5），那么它的对称轴是直线　x　．
【分析】因为A（2，5），B（﹣3，5）的纵坐标相同，A、B关于x对称，即可求抛物线的对称轴．
【解析】因为A（2，5），B（﹣3，5）的纵坐标相同，
∴A、B关于x对称，
∴抛物线的对称轴x，
故答案为x．
43．（2020?静安区一模）已知二次函数y＝a2x2+8a2x+a（a是常数，a≠0），当自变量x分别取﹣6、﹣4时，对应的函数值分别为y1、y2，那么y1、y2的大小关系是：y1　＞　y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】求出二次函数的对称轴x＝﹣4，由于函数开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，即可求解．
【解析】y＝a2x2+8a2x+a＝a2（x2+8x）+a＝a2（x+4）2+a﹣16a2，
∴对称轴x＝﹣4，
∵x分别取﹣6、﹣4时，在对称轴左侧，
∴y随x的增大而减小，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
44．（2020?浦东新区一模）将抛物线y＝﹣3x2向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为　y＝3x2﹣4　．
【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．
【解析】∵抛物线y＝﹣3x2向下平移4个单位，
∴抛物线的解析式为y＝﹣3x2﹣4，
故答案为：y＝﹣3x2﹣4．
45．（2020?浦东新区一模）二次函数y＝﹣2（x+1）2的图象在对称轴左侧的部分是　上升　．（填“上升”或“下降”）
【分析】由函数解析式可知二次函数的开口向下，图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大．
【解析】∵﹣2＜0，
∴二次函数的开口向下，
则图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大，
故答案为上升．
46．（2020?青浦区一模）如果抛物线y＝ax2﹣1的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是　a＞0　．
【分析】由于抛物线有最低点，所以抛物线开口向上．
【解析】∵抛物线y＝ax2﹣1的顶点是它的最低点，
∴抛物线的开口向上，
∴a＞0，
故答案为a＞0．
47．（2020?金山区一模）抛物线y＝2x2﹣1在y轴左侧的部分是　下降　．（填“上升”或“下降”）
【分析】抛物线y＝2x2﹣1的对称轴x＝0，抛物线开口向上，所以在y轴左侧的部分y随x的增加而减小．
【解析】抛物线y＝2x2﹣1的对称轴x＝0，抛物线开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增加而减小，
故答案为下降．
48．（2020?松江区一模）在直角坐标平面中，将抛物线y＝2（x+1）2先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线表达式是　y＝2x2+1　．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解析】抛物线y＝2（x+1）2向上平移1个单位后的解析式为：y＝2（x+1）2+1．
再向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝2x2+1．
故答案为：y＝2x2+1．备战2021年中考数学真题模拟题分类汇编（上海专版）
专题10二次函数压轴题（共34题）
一．解答题（共34小题）
1．（2020?上海）在平面直角坐标系xOy中，直线yx+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．
（1）求线段AB的长；
（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC，求这条抛物线的表达式；
（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．
【分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论；
（2）设点C（m，m+5），则BC|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论；
（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b＝﹣10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，﹣25a），即可得出结论．
【解析】（1）针对于直线yx+5，
令x＝0，y＝5，
∴B（0，5），
令y＝0，则x+5＝0，
∴x＝10，
∴A（10，0），
∴AB5；
（2）设点C（m，m+5），
∵B（0，5），
∴BC|m|，
∵BC，
∴|m|，
∴m＝±2，
∵点C在线段AB上，
∴m＝2，
∴C（2，4），
将点A（10，0），C（2，4）代入抛物线y＝ax2+bx（a≠0）中，得，
∴，
∴抛物线yx2x；
（3）∵点A（10，0）在抛物线y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0，
∴b＝﹣10a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a，
∴抛物线的顶点D坐标为（5，﹣25a），
将x＝5代入yx+5中，得y5+5，
∵顶点D位于△AOB内，
∴0＜﹣25a，
∴a＜0；
2．（2019?上海）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．
（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；
（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．
①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；
②平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．
【分析】（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1）；
（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣2t，即可求解；②新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），则新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），四边形OABC是梯形，则直线x＝m在y轴左侧，而点A（1，﹣1），点B（m，m），则m＝﹣1，即可求解．
【解析】（1）∵a＝1＞0，
故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1），
当x＞1，y随x的增大而增大，当x＜1，y随x增大而减小；
（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣2t，
解得：t＝0或3，
故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；
②当OC∥AB时，
∵新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），
∴新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），
∵四边形OABC是梯形，
∴直线x＝m在y轴左侧，
∵BC与OA不平行，
∴OC∥AB，
又∵点A（1，﹣1），点B（m，m），
∴m＝﹣1，
故新抛物线是由抛物线y＝x2﹣2x向左平移2个单位得到的；
当OB∥AC时，
同理可得：抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2+2＝x2﹣4x+6，
当四边形OABC是梯形，字母顺序不对，故舍去，
综上，新抛物线的表达式为：y＝（x+1）2﹣1．
3．（2018?上海）在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线yx2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y（x﹣2）2，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，设CD＝t，则D（2，t），根据旋转性质得∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，则P（2+t，t），然后把P（2+t，t）代入yx2+2x得到关于t的方程，从而解方程可得到CD的长；
（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式得到?（m2）?2＝8当m＜0时，利用梯形面积公式得到?（﹣m2）?2＝8，然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标．
【解析】（1）把A（﹣1，0）和点B（0，）代入yx2+bx+c得，解得，
∴抛物线解析式为yx2+2x；
（2）∵y（x﹣2）2，
∴C（2，），抛物线的对称轴为直线x＝2，
如图，设CD＝t，则D（2，t），
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，
∴P（2+t，t），
把P（2+t，t）代入yx2+2x得（2+t）2+2（2+t）t，
整理得t2﹣2t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝2，
∴线段CD的长为2；
（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），
∵抛物线平移，使其顶点C（2，）移到原点O的位置，
∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，
而P点（4，）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点E，
∴E点坐标为（2，﹣2），
设M（0，m），
当m＞0时，?（m2）?2＝8，解得m，此时M点坐标为（0，）；
当m＜0时，?（﹣m2）?2＝8，解得m，此时M点坐标为（0，）；
综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）．
4．（2017?上海）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x＝1，顶点为B．
（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；
（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP＝OQ，求点Q的坐标．
【分析】（1）依据抛物线的对称轴方程可求得b的值，然后将点A的坐标代入y＝﹣x2+2x+c可求得c的值；
（2）过点A作AC⊥BM，垂足为C，从而可得到AC＝1，MC＝m﹣2，最后利用锐角三角函数的定义求解即可；
（3）由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离，故此QP＝3，然后由点QO＝PO，QP∥y轴可得到点Q和P关于x对称，可求得点Q的纵坐标，将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值，则可得到点Q的坐标．
【解析】（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴x1，即1，解得b＝2．
∴y＝﹣x2+2x+c．
将A（2，2）代入得：﹣4+4+c＝2，解得：c＝2．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2．
配方得：y＝﹣（x﹣1）2+3．
∴抛物线的顶点坐标为（1，3）．
（2）如图所示：过点A作AG⊥BM，垂足为G，则AG＝1，G（1，2）．
∵M（1，m），G（1，2），
∴MG＝m﹣2．
∴cot∠AMBm﹣2．
（3）∵抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x轴上，
∴抛物线向下平移了3个单位．
∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x﹣1，PQ＝3．
∵OP＝OQ，
∴点O在PQ的垂直平分线上．
又∵QP∥y轴，
∴点Q与点P关于x轴对称．
∴点Q的纵坐标为．
将y代入y＝﹣x2+2x﹣1得：﹣x2+2x﹣1，解得：x或x．
∴点Q的坐标为（，）或（，）．
5．（2016?上海）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝5OB，抛物线的顶点为点D．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；
（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO＝∠ABC，求点E的坐标．
【分析】（1）先得出C点坐标，再由OC＝5BO，得出B点坐标，将A、B两点坐标代入解析式求出a，b；
（2）分别算出△ABC和△ACD的面积，相加即得四边形ABCD的面积；
（3）由∠BEO＝∠ABC可知，tan∠BEO＝tan∠ABC，过C作AB边上的高CH，利用等面积法求出CH，从而算出tan∠ABC，而BO是已知的，从而利用tan∠BEO＝tan∠ABC可求出EO长度，也就求出了E点坐标．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5与y轴交于点C，
∴C（0，﹣5），
∴OC＝5．
∵OC＝5OB，
∴OB＝1，
又点B在x轴的负半轴上，
∴B（﹣1，0）．
∵抛物线经过点A（4，﹣5）和点B（﹣1，0），
∴，解得，
∴这条抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣5．
（2）由y＝x2﹣4x﹣5，得顶点D的坐标为（2，﹣9）．
连接AC，
∵点A的坐标是（4，﹣5），点C的坐标是（0，﹣5），
又S△ABC4×5＝10，S△ACD4×4＝8，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝18．
（3）过点C作CH⊥AB，垂足为点H．
∵S△ABCAB×CH＝10，AB5，
∴CH＝2，
在RT△BCH中，∠BHC＝90°，BC，BH3，
∴tan∠CBH．
∵在RT△BOE中，∠BOE＝90°，tan∠BEO，
∵∠BEO＝∠ABC，
∴，得EO，
∴点E的坐标为（0，）．
6．（2020?浦东新区三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）联结AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；
（3）如果点P是原抛物线上的一点，且∠PAB＝∠DAC，将原抛物线向右平移m个单位（m＞0），使平移后新抛物线经过点P，求平移距离．
【分析】（1）利用待定系数法构建方程组即可解决问题．
（2）利用勾股定理求出AD，CD，AC，证明∠ACD＝90°即可解决问题．
（3）过点P作x轴的垂线，垂足为H．设P（a，﹣a2﹣2a+3），可得PH＝|﹣a2﹣2a+3|，AH＝a+3，由∠PAB＝∠DAC，推出tan∠PAB＝tan∠DAC．接下来分两种情形，构建方程求解即可．
【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），
则有，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D（﹣1，4）．
（2）∵A（﹣3，0），C（0，3），D（﹣1，4），
∴AD2，
CD，
AC3，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴tan∠DAC．
（3）过点P作x轴的垂线，垂足为H．
∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴设P（a，﹣a2﹣2a+3），可得PH＝|﹣a2﹣2a+3|，AH＝a+3，
∵∠PAB＝∠DAC，
∴tan∠PAB＝tan∠DAC．
①当a+3＝3（﹣a2﹣2a+3），解得a或﹣3（舍弃），
∴P（，），
过点P作x轴的平行线与抛物线交于点N，则点N与点P关于直线x＝﹣1对称，
根据对称性可知N（，），
∴平移的距离为．
②当a+3＝﹣3（﹣a2﹣2a+3），解得a或﹣3（舍弃），
∴P（，），
过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，则点Q与点P关于直线x＝﹣1对称，
根据对称性可知Q（，），
∴平移的距离为，
综上所述，平移的距离为或．
7．（2020?普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；
（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．
【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式中可得：a的值，从而得抛物线的解析式，配方得顶点C的坐标；
（2）根据∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，所以只能△CBP∽△DBC，列比例式可得BP的长，从而得点P的坐标；
（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，由等角三角函数得tan∠ABC＝tan∠EBD，设EH＝m，则BH＝2m，表示E（2m，m+1），代入抛物线的解析式，可得结论．
【解析】（1）∵点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，
∴A（3，0），
把A（3，0）代入抛物线y＝ax2﹣4ax+3中得：0＝9a﹣12a+3，
∴a＝1，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，
y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴C（2，﹣1）；
（2）当y＝1时，x2﹣4x+3＝1，
解得：x1＝2，x2＝2，
由题意得：D（2，1），
∵B（0，1），C（2，﹣1），
∴BC2，BD＝2，
∵∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，
只能△CBP∽△DBC，
∴，即，
∴BP＝8﹣4，
∴P（0，47）；
（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，
由旋转得：∠CBD＝∠ABE，
∴∠EBD＝∠ABC，
∵AB2＝32+12＝10，BC2＝22+22＝4，AC2＝12+12＝2，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴tan∠ABC，
∴tan∠EBD，
设EH＝m，则BH＝2m，
∴E（2m，m+1），
∵点E在抛物线上，
∴（2m）2﹣4×2m+3＝m+1，
4m2﹣9m+2＝0，
解得：m1＝2，m2（舍），
∴E（4，3）．
8．（2020?杨浦区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣3，0）和点B（3，2），与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直线AP的截距；
（3）在（2）小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点．当△EAO与△EAF全等时，求点E的纵坐标．
【分析】（1）把A（﹣3，0）和点B（3，2）代入抛物线的解析式，列方程组，可得结论；
（2）如图1，根据对称的性质得AD＝AC＝5，可得OD＝2，设OH＝a，则HC＝HD＝4﹣a，在Rt△HOD中，根据勾股定理得HD2＝OH2+OD2，列方程可得结论；
（3）分两种情况：先说明△AOE是直角三角形，所以△EAF也是直角三角形，根据∠EFA＝90°，画图，由勾股定理列方程可解答．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4过点A（﹣3，0）和点B（3，2），
∴，
解得，
∴；
（2）如图1，连接AC，DH，
∵点C关于直线AP的对称点D，
∴AD＝AC，
∵与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣3，0），
∴AC＝5，
∴AD＝5，
∴点D（2，0），
设直线AP与y轴交于点H，则HC＝HD，
设OH＝a，则HC＝HD＝4﹣a，
在Rt△HOD中，HD2＝OH2+OD2，
∴（4﹣a）2＝a2+22，
∴，
∴直线AP的截距为；
（3）∵点E是y轴正半轴上一点，
∴△AOE是直角三角形，且∠AOE＝90°
当△EAO与△EAF全等时，存在两种情况：
①如图2，当∠EFA＝∠AOE＝90°，△EFA≌△AOE，
∴EF＝OA，
∵∠AHO＝∠EHF，∠AOH＝∠EFH＝90°，
∴△AOH≌△EFH（AAS），
∴AH＝EH，
由（2）知：OH，
∴EH＝AH＝OE，
Rt△AHO中，AH2＝AO2+OH2，
∴（OE）2＝32，
解得：OE或（舍），
∴点E的纵坐标是；
②如图3，当∠EFA＝∠AOE＝90°，△EFA≌△EOA，
∴AF＝AO＝3，EF＝OE，
Rt△AHO中，AH，
∴FH3，EHOE，
Rt△EFH中，由勾股定理得：EH2＝FH2+EF2，
∴（OE）2＝（3）2+OE2，
解得：OE＝36，
∴点E的纵坐标是36；
综上，点E的纵坐标是或36．
9．（2020?嘉定区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知经过点A（﹣3，0）的抛物线y＝ax2+2ax﹣3与y轴交于点C，点B与点A关于该抛物线的对称轴对称，D为该抛物线的顶点．
（1）直接写出该抛物线的对称轴以及点B的坐标、点C的坐标、点D的坐标；
（2）联结AD、DC、CB，求四边形ABCD的面积；
（3）联结AC．如果点E在该抛物线上，过点E作x轴的垂线，垂足为H，线段EH交线段AC于点F．当EF＝2FH时，求点E的坐标．
【分析】（1）该抛物线的对称轴为直线x1，而点A（﹣3，0），求出点B的坐标，进而求解；
（2）将四边形ABCD的面积分解为△DAM、梯形DMOC、△BOC的面积和，即可求解；
（3）设点E（x，x2+2x﹣3），则点F（x，﹣x﹣1），求出EF、FH长度的表达式，即可求解．
【解析】（1）∵该抛物线的对称轴为直线x1，而点A（﹣3，0），
∴点B的坐标为（1，0），
∵c＝﹣3，故点C的坐标为（0，﹣3），
∵函数的对称轴为x＝﹣1，故点D的坐标为（﹣1，﹣4）；
（2）过点D作DM⊥AB，垂足为M，
则OM＝1，DM＝4，AM＝2，OB＝1，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）设直线AC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，
故直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：9a﹣6a﹣3＝0，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3，
设点E（x，x2+2x﹣3），则点F（x，﹣x﹣3），
则EF＝（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，FH＝x+3，
∵EF＝2FH，
∴﹣x2﹣3x＝2（x+3），解得：x＝﹣2或﹣3（舍去﹣3），
故m＝﹣2，
故点E的坐标为：（﹣2，﹣3）．
10．（2020?长宁区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+mx+n经过点A（2，﹣2），对称轴是直线x＝1，顶点为点B，抛物线与y轴交于点
C．
（1）求抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）将上述抛物线向下平移1个单位，平移后的抛物线与x轴正半轴交于点D，求△BCD的面积；
（3）如果点P在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结BP交线段OA于点Q，，求点P的坐标．
【分析】（1）先根据对称轴求出m，再将点A坐标代入抛物线解析式中求出n，得出抛物线解析式，最后配成顶点式，即可得出结论；
（2）先求出点D坐标，进而求出直线CD解析式，得出点E坐标，再用面积公式求解即可得出结论；
（3）设出点P坐标，构造出△PMQ∽△PNB，得出，表示出QM（a2﹣2a+1），PM（a﹣1），进而表示出Q（a，a2a），代入直线OA中，即可得出结论．
【解析】（1）∵抛物线y＝x2+mx+n的对称轴是直线x＝1，
∴1，
∴m＝﹣2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x+n，
∵抛物线过点（2，﹣2），
∴4﹣2×2+n＝﹣2，
∴n＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∴顶点B的坐标为（1，﹣3）；
（2）如图1，由平移知，平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∵点D在x正半轴上，
∴D（3，0），
针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
∴直线CD的解析式为yx﹣2，
记直线CD与直线x＝1的交点为E，则E（1，），
∴S△BCDBE?|xD﹣xC||（﹣3）|×3；
（3）如图2，设P（a，a2﹣2a﹣2），
过点P作PN垂直于直线x＝1于点N过点Q作QM⊥PN于M，
∴QM∥NB，
∴△PMQ∽△PNB，
∴，
∵，
∴，
∵PN＝a﹣1，BN＝a2﹣2a﹣2+3＝a2﹣2a+1，
∴，
∴QM（a2﹣2a+1），PM（a﹣1），
∴MN＝PN﹣PM（a﹣1），点Q与点B的纵坐标之差的绝对值为（a2﹣2a+1），
∴Q（a，a2a），
∵A（2，﹣2），
∴直线OA的解析式为y＝﹣x，
∵点Q在线段OA上，
∴aa2a0，
∴a＝﹣3（舍）或a＝4，
∴P（4，6）．
11．（2020?宝山区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，当以点A、D、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为两点式，可以直接得到点A的坐标；根据直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y＝kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k＝a，得到直线l的函数表达式为y＝ax+a；
（2）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF＝ax2﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（3）令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．
【解析】（1）当y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3），得A（﹣1，0），B（3，0），
∵直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），
∴0＝﹣k+b，
即k＝b，
∴直线l：y＝kx+k，
∵抛物线与直线l交于点A，D，
∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，
即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，
∵CD＝4AC，
∴点D的横坐标为4，
∴﹣31×4，
∴k＝a，
∴直线l的函数表达式为y＝ax+a；
（2）如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，
设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），
则F（x，ax+a），EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，
∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）（ax2﹣3ax﹣4a）x（ax2﹣3ax﹣4a）a（x）2a，
∴△ACE的面积的最大值═a，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴a，
解得a；
（3）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，
令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴D（4，5a），
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
设P（1，m），
①如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，
则易得Q（﹣4，21a），
∴m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ是矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，
即a2，
∵a＜0，
∴a
∴P（1，）；
②如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，
则易得Q（2，﹣3a），
∴m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，则P（1，8a），
∵四边形APDQ是矩形，
∴∠APD＝90°，
∴AP2+PD2＝AD2，
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2，
即a2，
∵a＜0，
∴a，
∴P（1，﹣4），
综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，）或（1，﹣4）．
12．（2020?黄浦区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yx2+bx+c经过点A（﹣4，0）和B（2，6），其顶点为D．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）求△ABD的面积；
（3）设C为该抛物线上一点，且位于第二象限，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，如果△OCH与△ABD相似，求点C的坐标．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）BD2＝AB2+AD2，则△ABD为直角三角形，△ABD的面积AB×AD，即可求解；
（3）△OCH与△ABD相似，tan∠COH＝tan∠ABD或tan∠ADB，即tan∠COH或3，即可求解．
【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：yx2+2x；
（2）对于yx2+2x，顶点D（﹣2，﹣2），
则AD2，
同理AB＝6，BD＝4，
故BD2＝AB2+AD2，
∴△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积AB×AD6212；
（3）在△ABD中，tan∠ABD，
∵△OCH与△ABD相似，
∴tan∠COH＝tan∠ABD或tan∠ADB，
即tan∠COH或3，
设点C（m，m2+2m），则tan∠COH或3，
解得：m＝﹣10或（不合题意的值已舍去），
故点H的坐标为（﹣10，30）或（，）．
13．（2020?虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），该抛物线对称轴上的点P在x轴上方，线段PB绕着点P逆时针旋转90°至PC（点B对应点C），点C恰好落在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴；
（2）求点P的坐标；
（3）点Q在抛物线上，联结AC，如果∠QAC＝∠ABC，求点Q的坐标．
【分析】（1）将点A、B坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）证明△PMC≌△BNP（AAS），则PM＝BN，MC＝PN，即可求解；
（3）设MH＝3x，用x表示AM、GM，利用AG＝AM+GM，求出x的值；在△AOH中，OH，求得点H的坐标，即可求解．
【解析】（1）将点A、B坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3①；
函数的对称轴为：x＝1；
（2）设点C（m，n），则n＝﹣m2+2m+3，点P（1，s），
如图1，设抛物线对称轴交x轴于点N，过点C作CM⊥PN交抛物线对称轴于点M，
∵∠PBN+∠BPN＝90°，∠BPN+∠MPC＝90°，
∴∠MPC＝∠PBN，
∵∠PMC＝∠BNP＝90°，PB＝PC，
∴△PMC≌△BNP（AAS），
∴PM＝BN，MC＝PN，
∴，解得：，
故点C（2，3），点P（1，1）；
故点P的坐标为（1，1）；
（3）设直线AC交y轴于点G，直线AQ交y轴于点H，
由（2）知，点C（2，3），而点A（﹣1，0），
过点C作CK⊥x轴于点K，则CK＝AK＝3，
故直线AC的倾斜角为45°，故∠AGO＝∠GAO＝45°，
∴tan∠ABC3
∵∠QAC＝∠ABC，
∴tan∠QAC＝3；
在△AGH中，过点H作HM⊥AG于点M，设MH＝3x，
∵∠AGO＝45°，则GO＝AO＝1，
∴MG＝MH＝3x，
∵tan∠QAC＝3，则AM＝x，
AG＝AM+GM＝x+3x，
解得：x，
在△AHM中，AHx，
在△AOH中，OH，故点H（0，），
由点A、H的坐标得，直线AH的表达式为：yx②，
联立①②并解得：x＝﹣1（舍去）或，
故点Q的坐标为：（，）．
14．（2020?浦东新区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直线MN平行于x轴，与抛物线交于M、N两点（点M在点N的左侧），且MNAB，点C关于直线MN的对称点为E，求线段OE的长；
（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，联结CP、EP，EP交线段BC于点F，当S△CPF：S△CEF＝1：2时，求点P的坐标．
【分析】（1）根据对称轴为直线x＝1求出b＝2，即可求解；
（2）由抛物线的对称性知，QM＝QNMN，则点N（，），即MN在直线y上，即可求解；
（3）S△CPF：S△CEF＝1：2，即，而△PP′F∽△ECF，则，即，即可求解．
【解析】（1）由题意得：，解得：b＝2，
∵抛物线与y轴交于点C（0，3），故c＝3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝﹣1或3，
故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），则AB＝4，MNAB＝3，
如图1，作抛物线的对称轴交MN于点Q，
由抛物线的对称性知，QM＝QNMN，
则点N的横坐标为1，故点N（，），即MN在直线y上，
则点C关于MN的对称点E的坐标为：（0，），
即OE；
（3）过点P作PP′∥OC交BC于点P′，
设直线BC的表达式为：y＝mx+n，则，解得：，
故直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P（a，﹣a2+2a+3），则点P′（a，﹣a+3），
则PP′＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a，
∵S△CPF：S△CEF＝1：2，即，
∵PP′∥CE，
∴△PP′F∽△ECF，
∴，即，
解得：a或，
故点P的坐标为：（，）或（，）．
15．（2020?松江区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA＝OB，抛物线的顶点为M，联结AB、AM．
（1）求这条抛物线的表达式和点M的坐标；
（2）求sin∠BAM的值；
（3）如果Q是线段OB上一点，满足∠MAQ＝45°，求点Q的坐标．
【分析】（1）抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，令x＝0得y＝3，求出B（0，3），而AO＝BO求出A（3，0），进而求解；
（2）证明∠MBC＝90°，则；
（3）证明∠BAM＝∠OAQ，即可求解．
【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，
令x＝0得y＝3，
∴B（0，3），
∵AO＝BO，
∴A（3，0），
把A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得﹣9+3b+3＝0，
解得b＝2，
∴这条抛物线的表达式y＝﹣x2+2x+3，
顶点M（1，4）；
（2）∵A（3，0），B（0，3）M（1，4），
∴BM2＝2，AB2＝18，AM2＝20，
∴∠MBC＝90°，
∴；
（3）∵OA＝OB，
∴∠OAB＝45°
∵∠MAQ＝45°，
∴∠BAM＝∠OAQ，
由（2）得，
∴，
∴，
∴，
∴OQ＝1，
∴Q（0，1）．
16．（2020?青浦区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象与x轴正半轴交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为D，且tan∠CAO＝3．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是对称轴右侧抛物线上的点，联结CP，交对称轴于点F，当S△CDF：S△FDP＝2：3时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将△PCD沿直线MN翻折，当点P恰好与点O重合时，折痕MN交x轴于点M，交y轴于点N，求的值．
【分析】（1）在Rt△AOC中，tan∠CAO3，求出点A的坐标，即可求解；
（2）利用，即可求解；
（3）证明∠ONM＝∠POH，则．
【解析】（1）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，3），
∴OC＝3，
连接AC，在Rt△AOC中，tan∠CAO3，
∴OA＝1，
将点A（1，0）代入y＝ax2﹣4ax+3，得a﹣4a+3＝0，
解得：a＝1．
所以，这个二次函数的解析式为
y＝x2﹣4x+3；
（2）过点C作CG⊥DF，过点P作PQ⊥DF，垂足分别为点G、Q．
∵抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为直线x＝2，
∴CG＝2，
∵，
∴PQ＝3，
∴点P的横坐标为5，
∴把x＝5代入y＝x2﹣4x+3，得
y＝8，
∴点P的坐标为（5，8）；
（3）过点P作PH⊥OM，垂足分别为点H，
∵点P的坐标为（5，8），
∴OH＝5，PH＝8，
∵将△PCD沿直线MN翻折，点P恰好与点O重合，
∴MN⊥OP，
∴∠ONM+∠NOP＝90°，
又∵∠POH+∠NOP＝90°，
∴∠ONM＝∠POH，
∴．
17．（2020?闵行区二模）在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线y＝x2上的动点A为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．
如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B．
（1）当m＝1时，求这条“子抛物线”的解析式；
（2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值；
（3）如果∠OAC＝135°，求m的值．
【分析】（1）根据题意得出A（m，m2），将m＝1代入得出其坐标，继而可得答案；
（2）根据A（m，m2）知“子抛物线”的解析式为．求出x＝0时y的值可知点C坐标，表示出OC、BC的长度，从而求得余切值；
（3）过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F，证△AED≌△DFO得AE＝DF，DE＝OF，设AE＝n，知DF＝n，BE＝m+n＝OF＝ED．结合OB＝EF得m2＝m+2n．再由∠BCA＝∠ADE知，联立方程组，解之可得答案．
【解析】（1）由题得，A（m，m2），
当m＝1时，A（1，1），
∴这条“子抛物线”的解析式：；
（2）由A（m，m2），且AB⊥y轴，可得AB＝m，OB＝m2．
∴“子抛物线”的解析式为．
令x＝0，则，
∴点C的坐标（0，），，
∴．
在Rt△ABC中，．
（3）如图，过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F，
∵∠OAC＝135°，
∴∠OAD＝45°，
又∵OD⊥CA，
∴∠OAD＝∠AOD＝45°，
∴AD＝OD，
∴△AED≌△DFO（AAS），
∴AE＝DF，DE＝OF，
设AE＝n，那么DF＝n，BE＝m+n＝OF＝ED．
又∵OB＝EF，
∴m2＝m+2n．
又∵∠BCA＝∠ADE，
∴，
解方程组，得m1＝2，（舍去），
∴m的值为2．
18．（2020?崇明区二模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线上一点，且在第四象限内，连结AC、BC、CD、BD．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；
（2）当S△BCD＝4S△AOC时，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果点E是x轴上的一点，点F是抛物线上一点，当点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，根据﹣4a＝﹣4，可得a＝1，由此即可解决问题．
（2）如图1中，设D（m，m2﹣3m﹣4），连接OD．根据S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC＝4S△AOC，构建方程求出m即可解决问题．
（3）分两种情形：如图2中，当AE为平行四边形的边时，根据DF＝AE＝1，求解即可．如图3中，当AE，DF是平行四边形的对角线时，根据点F的纵坐标为6，求出点F的坐标，再根据中点坐标公式求解即可．
【解析】（1）∵y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣1，0），B（4，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，
∴﹣4a＝﹣4，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4，对称轴．
（2）如图1中，设D（m，m2﹣3m﹣4），连接OD．
∵S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC＝4S△AOC，
∴4×（﹣m2+3m+4）4×m4×4＝41×4
整理得：m2﹣4m+4＝0，
解得m＝2，
∴D（2，﹣6）．
（3）如图2中，当AE为平行四边形的边时，
∵DF∥AE，D（2，﹣6）
∴F（1，﹣6），
∴DF＝1，
∴AE＝1，
∴E（0，0），或E′（﹣2，0）．
如图3中，当AE，DF是平行四边形的对角线时，
∵点D与点F到x轴的距离相等，
∴点F的纵坐标为6，
当y＝6时，6＝x2﹣3x﹣4，
解得x＝﹣2或5，
∴F（﹣2，6）或（5，6），
设E（n，0），则有或，
解得n＝1或8，
∴E（1，0）或（8，0），
，综上所述，满足条件的点E的坐标为（0，0）或（1，0）或（8，0）或（﹣2，0）．
19．（2020?金山区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和B（0，3），其顶点为C．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）我们把坐标为（n，m）的点叫做坐标为（m，n）的点的反射点，已知点M在这条抛物线上，它的反射点在抛物线的对称轴上，求点M的坐标；
（3）点P是抛物线在第一象限部分上的一点，如果∠POA＝∠ACB，求点P的坐标．
【分析】（1）把A，B两点坐标代入抛物线的解析式，构建方程组解决问题即可．
（2）设M（m，﹣m2+2m+3），则M的反射点为（﹣m2+2m+3，m），根据M点的反射点在抛物线的对称轴上，构建方程求出m即可．
（3）如图，设P（a，﹣a2+2a+3）．利用勾股定理的逆定理证明∠ABC＝90°，推出tan∠POA＝tan∠ACB＝3，由此构建方程即可解决问题．
【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和B（0，3），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴顶点C（1，4）．
（2）设M（m，﹣m2+2m+3），
∴M的反射点为（﹣m2+2m+3，m），
∵M点的反射点在抛物线的对称轴上，
∴﹣m2+2m+3＝1，
∴m2﹣2m﹣2＝0，
解得m＝1±，
∴M（1，1）或（1，1）．
（3）如图，设P（a，﹣a2+2a+3）．
∵A（3，0），B（0，3），C（1，4），
∴BC，AB＝3，AC＝2，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴tan∠ACB3，
∵∠POA＝∠ACB，
∴tan∠POA＝3，
∴3，
整理得：a2+a﹣3＝0
解得a或（舍弃），
∴P（，）．
20．（2020?闵行区一模）如图，已知一个抛物线经过A（0，1），B（1，3），C（﹣1，1）三点．
（1）求这个抛物线的表达式及其顶点D的坐标；
（2）联结AB、BC、CA，求tan∠ABC的值；
（3）如果点E在该抛物线的对称轴上，且以点A、B、C、E为顶点的四边形是梯形，直接写出点E的坐标．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将A（0，1）、B（1，3）、C（﹣1，1）代入，求a、b、c的值，可得结果；
（2）如图，过点B作BF⊥x轴于F，延长CA交BF于点D，过点A作AM⊥BC于M，通过勾股定理和等腰直角三角形的性质可求AM和BM的长，即可求解；
（3）分三种情况讨论，由梯形的性质可求解．
【解析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
由题意可得：
解得：
∴抛物线的解析式为：y＝x2+x+1，
∵y＝x2+x+1＝（x）2，
∴顶点D的坐标（，）；
（2）如图，过点B作BF⊥x轴于F，延长CA交BF于点D，过点A作AM⊥BC于M，
∴BF＝3，
∵A（0，1），C（﹣1，1），
∴AC∥x轴，
∴CD⊥BF，
∴CD＝BD＝2，AD＝1，CA＝1，
∴BC＝2，∠BCD＝∠CBD＝45°，
∵AM⊥BC，
∴∠MAC＝∠MCA＝45°，
∴CM＝AM，
∴CM＝AM，
∴BM＝BC﹣CM，
∴tan∠ABC；
（3）∵A（0，1），B（1，3），C（﹣1，1），
∴直线AC解析式为：y＝1，
直线AB解析式为：y＝2x+1，
直线BC解析式为：y＝x+2，
若BE∥AC，则点E的纵坐标为3，且点E在对称轴上，
∴点E（，3）；
若CE∥AB，则CE的解析式为；y＝2x+3，
∵点E在对称轴上，
∴x，
∴y＝2，
即点E（，2）；
若AE∥BC，则AE解析式为：y＝x+1，
∵点E在对称轴上，
∴x，
∴y，
即点E（，），
综上所述：点E的坐标为（，3）或（，2）或（，）．
21．（2020?虹口区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C
（0，3），点P在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为2．
（1）求抛物线的表达式以及点P的坐标；
（2）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称α为此三角形的“特征角”．
①当D在射线AP上，如果∠DAB为△ABD的特征角，求点D的坐标；
②点E为第一象限内抛物线上一点，点F在x轴上，CE⊥EF，如果∠CEF为△ECF的特征角，求点E的坐标．
【分析】（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C
（0，3），则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝2，即可求解；
（2）当α＝60°，∠DBA30°时，△ABD为直角三角形，即可求解；当∠ADB＝β时，则∠ABD＝90°，即可求解；
（3）∠CEF为△ECF的特征角，则△CEF为等腰直角三角形，则△CNE≌△EMF（AAS），即可求解．
【解析】（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C
（0，3），则c＝3，
将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝2，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
点P（1，2）；
（2）由点A、P的坐标知，∠PAB＝60°，
直线AP的表达式为：y（x+1）…①，
当α＝60°，∠DBA30°时，
△ABD为直角三角形，由面积公式得：
yD×AB＝AD?BD，即yD×4＝2，
解得：yD，
点D在AP上，故点D（0，）；
当∠ADB＝β时，则∠ABD＝90°，
故点D（3，4）；
综上，点D的坐标为：（0，）或（3，4）；
（3）∠CEF为△ECF的特征角，则△CEF为等腰直角三角形，
过点E分别作x轴、y轴的垂线交于点M、N，
则△CNE≌△EMF（AAS），
则EN＝EM，即x＝y，
x＝y＝﹣x2+2x+3，解得：x，
故点E（，）．
22．（2020?青浦区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．
【分析】（1）由抛物线的对称性质得到点B的坐标，把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出方程组，通过解方程组求得系数的值；根据抛物线解析式求得顶点坐标；
（2）过点P作PN⊥x轴于N，过点C作CM⊥PN，交NP的延长线于点M，构造矩形COMN和直角三角形，利用锐角三角函数的定义求得，故设PM＝a，MC＝3a，PN＝3﹣a．易得P（3a，3﹣a），由二次函数图象上点的坐标特征列出关于a的方程，通过解方程求得a的值，易得点P的坐标；
（3）设抛物线平移的距离为m，得y＝（x﹣2）2﹣1﹣m．从而求得D（2，﹣1﹣m）．过点D作直线EF∥x轴，交y轴于点E，交PQ延长线于点F．易推知∠EOD＝∠QDF，则tan∠EOD＝tan∠QDF，根据锐角三角函数定义列出关于m的方程，通过解方程求得m的值．
【解析】（1）∵对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0），
∴点B的坐标是（3，0）．
将A（1，0），B（3，0）分别代入y＝x2+bx+c，得
．
解得．
则该抛物线解析式是：y＝x2﹣4x+3．
由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1知，该抛物线顶点坐标是（2，﹣1）；
（2）如图1，过点P作PN⊥x轴于N，过点C作CM⊥PN，交NP的延长线于点M，
∵∠CON＝90°，
∴四边形CONM是矩形．
∴∠CMN＝90°，CO＝MN、
∴y＝x2﹣4x+3，
∴C（0，3）．
∵B（3，0），
∴OB＝OC＝3．
∵∠COB＝90°，
∴∠OCB＝∠BCM＝45°．
又∵∠ACB＝∠PCB，
∴∠OCB﹣∠ACB＝∠BCM﹣∠PCB，即∠OCA＝∠PCM．
∴tan∠OCA＝tan∠PCM．
∴．
故设PM＝a，MC＝3a，PN＝3﹣a．
∴P（3a，3﹣a），
将其代入抛物线解析式y＝x2﹣4x+3，得（3a）2﹣4（3﹣a）+3＝3﹣a．
解得a1，a2＝0（舍去）．
∴P（，）．
（3）设抛物线平移的距离为m，得y＝（x﹣2）2﹣1﹣m．
∴D（2，﹣1﹣m）．
如图2，过点D作直线EF∥x轴，交y轴于点E，交PQ延长线于点F，
∵∠OED＝∠QFD＝∠ODQ＝90°，
∴∠EOD+∠ODE＝90°，∠ODE+∠QDP＝90°．
∴∠EOD＝∠QDF．
∴tan∠EOD＝tan∠QDF，
∴．
∴．
解得m．
故抛物线平移的距离为．
23．（2020?奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），顶点为C．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点C的坐标；
（2）点A关于抛物线对称轴的对应点为点D，联结OD、BD，求∠ODB的正切值；
（3）将抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，使顶点C落在点E处，点B落在点F处，如果BE＝BF，求t的值．
【分析】（1）用待定系数法可求解析式，配方后即可求顶点C坐标；
（2）作辅助线，构建直角三角形，根据两点的距离求线段的长，根据三角函数定义可得结论；
（3）利用平移的性质表示E和F的坐标，根据两点的距离公式和BE＝BF列方程可得结论．
【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），
∴
解得：
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴顶点C坐标为（3，﹣4）；
（2）∵点A关于抛物线对称轴x＝3的对应点为点D，
∴点D的坐标（4，﹣3），
∴OD＝5，
如图1，过O作OG⊥BD于G，
∵点B（5，0），
∴OB＝OD，
∴DG＝BGBD，
∴OG，
∴tan∠ODB3；
（3）如图2，∵抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，
∴E（3，﹣4+t），F（5，t），
∵BE＝BF，B（5，0），
∴（3﹣5）2+（﹣4+t）2＝（5﹣5）2+t2，
t．
24．（2020?宝山区一模）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y＝a（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，a）和点B（﹣1，﹣a）．
（1）求直线AB与y轴的交点坐标；
（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y随着x的增大而增大，求a应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当Q在以AB为直径的圆上时，求a的值．
【分析】（1）由待定系数法可求直线AB解析式，即可求解；
（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得a＜0，又由二次函数y＝a（x2+x﹣1）的对称轴为x，可得x时，才能使得y随着x的增大而增大；
（3）先求点Q坐标，由OQ＝OA，可得方程，即可求a的值．
【解析】（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
由题意可得
∴b＝0，k＝a，
∴直线AB的解析式为：y＝ax，
∴当x＝0时，y＝0，
∴直线AB与y轴的交点坐标（0，0）；
（2）∵反比例函数过点A（1，a），
∴反比例函数解析式为：y，
∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，
∴a＜0．
∵二次函数y＝a（x2+x﹣1）＝a（x）2a，
∴对称轴为：直线x．
要使二次函数y＝a（x2+x﹣1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，即x时，才能使得y随着x的增大而增大．
综上所述，a＜0且x；
（3）∵二次函数y＝a（x2+x﹣1）＝a（x）2a，
∴顶点Q（，a），
∵Q在以AB为直径的圆上，
∴OA＝OQ，
∴（）2+（）2＝12+a2，
∴a＝±
25．（2020?杨浦区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+4（m≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），且AB＝6．
（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；
（2）在y轴上取点E（0，2），点F为第一象限内抛物线上一点，联结BF，EF，如果S四边形OEFB＝10，求点F的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，点F在抛物线对称轴右侧，点P在x轴上且在点B左侧，如果直线PF与y轴的夹角等于∠EBF，求点P的坐标．
【分析】（1）根据抛物线解析式求得对称轴方程为x＝1，结合AB＝6求得点A、B的坐标；然后利用待定系数法确定函数解析式；
（2）如图1，联结OF，设F（t，t2+t+4），根据图形得到S四边形OEFB＝S△OEF+S△OFB，由三角形的面积公式列出方程，利用方程求得点F的横坐标，结合二次函数图象上点的坐标特征求得点F的纵坐标；
（3）如图2，设PF与y轴的交点为G．由tan∠EBO＝tan∠HFB得到：∠EBO＝∠HFB．易推知∠PFB＝∠PBF．故PF＝PB．设P（a，0）．由两点间的距离公式求得相关线段的长度并列出方程，通过解方程求得点P的横坐标．
【解析】（1）由y＝mx2﹣2mx+4＝m（x﹣1）2+4﹣m得到：抛物线对称轴为直线x＝1．
∵AB＝6，
∴A（﹣2，0），B（4，0）．
将点A的坐标代入函数解析式得到：4m+4m+4＝0，解得m．
故该抛物线解析式是：yx2+x+4；
（2）如图1，联结OF，
设F（t，t2+t+4），则
S四边形OEFB＝S△OEF+S△OFB2t4（t2+t+4）＝10．
∴t1＝1，t2＝2．
∴点F的坐标是（1，）或（2，4）；
（2）由题意得，F（2，4），
如图2，设PF与y轴的交点为G．，
∵tan∠EBO，tan∠HFB，
∴tan∠EBO＝tan∠HFB．
∴∠EBO＝∠HFB．
又∵∠PFH＝∠EGF＝∠FBE，
∴∠PFB＝∠PBF．
∴PF＝PB．
设P（a，0）．
则PF＝PB，
∴（a﹣4）2＝（a﹣2）2+42，解得a＝﹣1．
∴P（﹣1，0）
26．（2020?松江区一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），点B（0，3）．点M（m，0）在线段OA上（与点A，O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，联结BQ．
（1）求抛物线表达式；
（2）联结OP，当∠BOP＝∠PBQ时，求PQ的长度；
（3）当△PBQ为等腰三角形时，求m的值．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式即可；
（2）根据点A、B的坐标得到直线AB解析式：y＝﹣x+3．设P（m，﹣m+3），Q（m，﹣m2+2m+3）．根据相似三角形△POB∽△QBP的性质列出比例式，通过比例式求得m的值，然后由两点间的距离公式求得PQ的长度；
（3）利用两点间的距离公式求得BP2、PQ2、BQ2的值．
需要分三种情况解答：①BP＝BQ；②BP＝PQ；③PQ＝BQ，代入相关数值，列出方程，通过解方程求得m的值．
【解析】（1）将A（3，0），B（0，3）分别代入抛物线解析式，得
．
解得．
故该抛物线解析式是：y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线AB的解析式是：y＝kx+t（k≠0），
把A（3，0），B（0，3）分别代入，得
．
解得k＝﹣1，t＝3．
则该直线方程为：y＝﹣x+3．
故设P（m，﹣m+3），Q（m，﹣m2+2m+3）．
则BPm，PQ＝﹣m2+3m．
∵OB＝OA＝3，
∴∠BAO＝45°．
∵QM⊥OA，
∴∠PMA＝90°．
∴∠AMP＝45°．
∴∠BPQ＝∠APM＝∠BAO＝45°．
又∵∠BOP＝∠QBP，
∴△POB∽△QBP．
于是，即．
解得m1，m2＝0（舍去）．
∴PQ＝﹣m2+3m；
（3）由两点间的距离公式知，BP2＝2m2，PQ2＝（﹣m2+3m）2，BQ2＝m2+（﹣m2+2m）2．
①若BP＝BQ，2m2＝m2+（﹣m2+2m）2，
解得m1＝1，m2＝3（舍去）．
即m＝1符合题意．
②若BP＝PQ，2m2＝（﹣m2+3m）2，
解得m1＝3，m2＝3（舍去）．
即m＝3符合题意．
③若PQ＝BQ，（﹣m2+3m）2＝m2+（﹣m2+2m）2，
解得m＝2．
综上所述，m的值为1或3或2．
27．（2020?黄浦区一模）在平面直角坐标系xOy中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．
（1）已知原抛物线表达式是y＝x2﹣2x+5，求它的“影子抛物线”的表达式；
（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是y＝﹣x2+5，求原抛物线的表达式；
（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．
【分析】（1）设影子抛物线表达式是y＝x2+n，先求出原抛物线的顶点坐标，代入y＝x2+n，可求解；
（2）设原抛物线表达式是y＝﹣（x+m）2+k，用待定系数法可求m，k，即可求解；
（3）分别求出两个抛物线的顶点坐标，即可求解．
【解析】（1）∵原抛物线表达式是y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4
∴原抛物线顶点是（1，4），
设影子抛物线表达式是y＝x2+n，
将（1，4）代入y＝x2+n，解得n＝3，
所以“影子抛物线”的表达式是y＝x2+3；
（2）设原抛物线表达式是y＝﹣（x+m）2+k，
则原抛物线顶点是（﹣m，k），
将（﹣m，k）代入y＝﹣x2+5，得﹣（﹣m）2+5＝k①，
将（1，0）代入y＝﹣（x+m）2+k，0＝﹣（1+m）2+k②，
由①、②解得
，．
所以，原抛物线表达式是y＝﹣（x+1）2+4或y＝﹣（x﹣2）2+1；
（3）结论成立．
设影子抛物线表达式是y＝ax2+n．原抛物线于y轴交点坐标为（0，c）
则两条原抛物线可表示为y1＝ax2+b1x+c与抛物线y2＝ax2+b2x+c（其中a、b1、b2、c是常数，且a≠0，b1≠b2）
由题意，可知两个抛物线的顶点分别是、
将P1、P2分别代入y＝ax2+n，
得
消去n得b12＝b22，
∵b1≠b2，
∴b1＝﹣b2
∴，，
∴P1、P2关于y轴对称．
28．（2020?黄浦区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yx+2，其顶点为A．
（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；
（2）直线BC平行于x轴，交这条抛物线于B、C两点（点B在点C左侧），且cot∠ABC＝2，求点B坐标．
【分析】（1）由二次函数的性质可求解；
（2）如图，设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD，设线段AD的长为m，则BD＝AD?cot∠ABC＝2m，可求点B坐标，代入解析式可求m的值，即可求点B坐标．
【解析】（1）抛物线（x+2）2+3的开口方向向下，顶点A的坐标是（﹣2，3），
抛物线的变化情况是：在对称轴直线x＝﹣2左侧部分是上升的，右侧部分是下降的；
（2）如图，设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD．
设线段AD的长为m，则BD＝AD?cot∠ABC＝2m，
∴点B的坐标可表示为（﹣2m﹣2，3﹣m），
代入，得．
解得m1＝0（舍），m2＝1，
∴点B的坐标为（﹣4，2）．
29．（2020?闵行区一模）已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结BC，求∠BCO的余切值；
（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P的坐标．
【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将A，B的坐标及对称轴方程代入即可；
（2）分别求出点B，C的坐标，直接在Rt△OBC中，根据余切定义即可求出；
（3）设点E的坐标是（x，0），求出点E的坐标，再求出CE的解析式，即可求出其与抛物线的交点坐标．
【解析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将点C（0，2）、A（﹣3，0）、对称轴直线x＝﹣2代入，
得：，
解得：，，
∴这条抛物线的表达式为；
（2）令y＝0，那么，
解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，
∵点A的坐标是（﹣3，0），∴点B的坐标是（﹣1，0），
∵C（0，2），
∴OB＝1，OC＝2，
在Rt△OBC中，∠BOC＝90°，
∴；
（3）设点E的坐标是（x，0），得OE＝|x|．
∵∠CEO＝∠BCO，
∴cot∠CEO＝cot∠BCO，
在Rt△EOC中，∴，
∴|x|＝4，∴点E坐标是（4，0）或（﹣4，0），
∵点C坐标是（0，2），
∴，
∴，或
解得和（舍去），或和（舍去）；
∴点P坐标是（，）或（，）．
30．（2020?徐汇区一模）如图，将抛物线yx2+4平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C，新抛物线与x轴正半轴交于点B，联结BC，tanB＝4，设新抛物线与x轴的另一交点是A，新抛物线的顶点是D．
（1）求点D的坐标；
（2）设点E在新抛物线上，联结AC、DC，如果CE平分∠DCA，求点E的坐标．
（3）在（2）的条件下，将抛物线yx2+4沿x轴左右平移，点C的对应点为F，当△DEF和△ABC相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式．
【分析】（1）设点D坐标（a，b），可得新抛物线解析式为：y（x﹣a）2+b，先求出点C，点B坐标，代入解析式可求解；
（2）通过证明△AOC∽△CHD，可得∠ACO＝∠DCH，可证EC∥AO，可得点E纵坐标为4，即可求点E坐标；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求点F坐标，即可求平移后得到抛物线的表达式．
【解析】（1）∵抛物线yx2+4的顶点为C，
∴点C（0，4）
∴OC＝4，
∵tanB＝4，
∴OB＝1，
∴点B（1，0）
设点D坐标（a，b）
∴新抛物线解析式为：y（x﹣a）2+b，且过点C（0，4），点B（1，0）
∴
解得：
∴点D坐标（﹣1，）
（2）如图1，过点D作DH⊥OC，
∵点D坐标（﹣1，）
∴新抛物线解析式为：y（x+1）2，
当y＝0时，0（x+1）2，
∴x1＝﹣3，x2＝1，
∴点A（﹣3，0），
∴AO＝3，
∴，
∵点D坐标（﹣1，）
∴DH＝1，HO，
∴CH＝OH﹣OC，
∴，
∴，且∠AOC＝∠DHC＝90°，
∴△AOC∽△CHD，
∴∠ACO＝∠DCH，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∴∠ACO+∠ACE＝∠DCH+∠DCE，且∠ACO+∠ACE+∠DCH+∠DCE＝180°
∴∠ECO＝∠ECH＝90°＝∠AOB，
∴EC∥AO，
∴点E纵坐标为4，
∴4（x+1）2，
∴x1＝﹣2，x2＝0，
∴点E（﹣2，4），
（3）如图2，
∵点E（﹣2，4），点C（0，4），点A（﹣3，0），点B（1，0），点D坐标（﹣1，）
∴DE＝DC，AC5，AB＝3+1＝4，
∴∠DEC＝∠DCE，
∵EC∥AB，
∴∠ECA＝∠CAB，
∴∠DEC＝∠CAB，
∵△DEF和△ABC相似
∴或，
∴或
∴EF或
∴点F（，4）或（，4）
设平移后解析式为：y（x+1﹣c）2+4，
∴4（1﹣c）2+4或4（1﹣c）2+4，
∴c1，c2
∴平移后解析式为：y（x）2+4或y（x）2+4，
31．（2020?静安区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）的图象经过点A（0，﹣3）、B（1，0）、C（3，0），联结AB、AC．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果S△ABD：S△BCD＝3：2，求tan∠DBC的值；
（3）如果点E在该二次函数图象的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．
【分析】（1）将A、B、C的坐标直接代入y＝ax2+bx+c即可；
（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，求出AD与DC的比，证△CHD∽△COA，可求出CH，DH，BH的长，可根据正切定义求出结果；
（3）求出抛物线对称轴为直线x＝2，设直线x＝2与x轴交于点G，过点A作AF垂直于直线x＝2，垂足为F，证∠OAC＝∠OCA＝45°，∠FAC＝∠OCA＝45°，推出∠BAO＝∠EAF，证△OAB∽△FEA，即可求出AF的长，EF的长，EG的长，即可写出点E的坐标．
【解析】（1）将A（0，﹣3）、B（1，0）、C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，
得，，
解得，，
∴此抛物线的表达式是y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）过点D作DH⊥BC于H，
在△ABC中，设AC边上的高为h，则，
又∵DH∥y轴，
∴△CHD∽△COA，
∴，
∴CH＝DH3，
∴BH＝BC﹣CH＝2，
∴tan∠DBC；
（3）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴对称轴为直线x＝2，设直线x＝2与x轴交于点G，过点A作AF垂直于直线x＝2，垂足为F，
∵OA＝OC＝3，
∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵AF∥x轴，
∴∠FAC＝∠OCA＝45°，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAC，
∵∠BAO＝∠OAC﹣∠BAC，∠EAF＝∠FAC﹣∠EAC，
∴∠BAO＝∠EAF，
∵∠AOB＝∠AFE＝90°，
∴△OAB∽△FEA，
∴，
∵AF＝2，
∴EF，
∴EG＝GF﹣EF＝AO﹣EF＝3，
∴E（2，）．
32．（2020?金山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A．
（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；
（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠PAB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；
（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．
【分析】（1）将点B、C代入抛物线解析式yx2+mx+n即可；
（2）先证△ABC为直角三角形，再证∠QAP+∠CAB＝90°，又因∠AQP＝∠ACB＝90°，即可证△PQA∽△ACB；
（3）做点B关于AC的对称点B'，求出BB'的坐标，直线AB'的解析式，即可求出点F'的坐标，接着求直线FF'的解析式，求出其与AB的交点即可．
【解析】（1）将B（6，1），C（5，0）代入抛物线解析式yx2+mx+n，
得，
解得，m，n＝5，
则抛物线的解析式为：yx2x+5，点A坐标为（0，5）；
（2）AC5，BC，AB2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
当∠PAB＝45°时，点P只能在点B右侧，过点P作PQ⊥y
轴于点Q，
∴∠QAB+∠OAB＝180°﹣∠PAB＝135°，
∴∠QAP+∠CAB＝135°﹣∠OAC＝90°，
∵∠QAP+∠QPA＝90°，
∴∠QPA＝∠CAB，
又∵∠AQP＝∠ACB＝90°，
∴△PQA∽△ACB；
（3）做点B关于AC的对称点B'，则A，F'，B'三点共线，
由于AC⊥BC，根据对称性知点B'（4，﹣1），
将B'（4，﹣1）代入直线y＝kx+5，
∴k，
∴yAB'x+5，
联立，
解得，x1，x2＝0（舍去），
则F'（，），
将B（6，1），B'（4，﹣1）代入直线y＝mx+n，
得，，
解得，k＝1，b＝﹣5，
∴yBB'＝x﹣5，
由题意知，kFF'＝KBB'，
∴设yFF'＝x+b，
将点F'（，）代入，
得，b，
∴yFF'＝x，
联立，
解得，x，y，
∴F（，），
则FF'．
33．（2020?浦东新区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）联结AC、BC，求∠ACB的正切值；
（3）点P在抛物线上，且∠PAB＝∠ACB，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c即可；
（2）如图1，过点A作AH⊥BC于H，分别证△OBC和△AHB是等腰直角三角形，可求出CH，AH的长，可在Rt△AHC中，直接求出∠ACB的正切值；
（3）此问需分类讨论，当∠PAB＝∠ACB时，过点P作PM⊥x轴于点M，设P（a，﹣a2+2a+3），由同角的三角函数值相等可求出a的值，由对称性可求出第二种情况．
【解析】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，
得，
解得，b＝2，c＝3，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝OB＝3，
∴△OBC为等腰直角三角形，∠OBC＝45°，
∴BCOC＝3，
如图1，过点A作AH⊥BC于H，
则∠HAB＝∠HBA＝45°，
∴△AHB是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴AH＝BHAB＝2，
∴CH＝BC﹣BH，
∴在Rt△AHC中，tan∠ACH2，
即∠ACB的正切值为2；
（3）①如图2，当∠PAB＝∠ACB时，过点P作PM⊥x轴于点M，
设P（a，﹣a2+2a+3），则M（a，0），
由（1）知，tan∠ACB＝2，
∴tan∠PAM＝2，
∴2，
∴2，
解得，a1＝﹣1（舍去），a2＝1，
∴P1（1，4）；
②取点P（1，4）关于x轴的对称点Q（1，﹣4），延长AQ交抛物线于P2，则此时∠P2AB＝∠PAM＝∠ACB，
设直线PQ的解析式为y＝kx+b，将A（﹣1，0），Q（1，﹣4）代入，
得，，
解得，k＝﹣2，b＝﹣2，
∴yAQ＝﹣2x﹣2，
联立，，
解得，或，
∴P2（5，﹣12）；
综上所述，点P的坐标为（1，4）或（5，﹣12）．
34．（2020?普陀区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+（a）x+c（a≠0）经过点A（﹣3，﹣2），与y轴交于点B
（0，﹣2），抛物线的顶点为点C，对称轴与x轴交于点D．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点E是x轴正半轴上的一点，如果∠AED＝∠BCD，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P是位于y轴左侧抛物线上的一点，如果△PAE是以AE为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A、B
代入抛物线y＝ax2+（a）x+c，即可求出抛物线解析式，再化为顶点式即可；
（2）如图1，连接AB，交对称轴于点N，则N（，﹣2），利用相等角的正切值相等即可求出EH的长，OE的长，可写出点E的坐标；
（3）分∠EAP＝90°和∠AEP＝90°两种情况讨论，通过相似的性质，用含t的代数式表示出点P的坐标，可分别求出点P的坐标．
【解析】（1）将点A（﹣3，﹣2）、B
（0，﹣2）代入抛物线y＝ax2+（a）x+c，
得，
解得，a，c＝﹣2，
∴yx2+4x﹣2
（x）2﹣5，
∴抛物线解析式为yx2+4x﹣2，顶点C的坐标为（，﹣5）；
（2）如图1，连接AB，交对称轴于点N，则N（，﹣2），
在Rt△BCN中，
tan∠BCN，
∴tan∠AED，
过点A作AH⊥DE于H，
则tan∠AED，
∴EH＝4，
∴OE＝1，
∴E（1，0）；
（3）①如图2，当∠EAP＝90°时，
∵∠HEA+∠HAE＝90°，∠HAE+∠MAP＝90°，
∴∠HEA＝∠MAP，
又∠AHE＝∠PMA＝90°，
∴△AHE∽△PMA，
则，
设PM＝t，则AM＝2t，
将P（t﹣3，﹣2﹣2t）代入yx2+4x﹣2，
得t1＝0（舍去），t2，
∴P1（，﹣5）；
②如图3，当∠AEP＝90°时，
∵∠EAG+∠AEG＝90°，∠AEG+∠PEN＝90°，
∴∠AEG＝∠EPN，
又∵∠N＝∠G＝90°，
∴△AEG∽△EPN，
则，
设PN＝t，则EN＝2t，
将P（1﹣t，2t）代入yx2+4x﹣2，
得，t1，t2（舍），
∴P2（，）．
综上所述：P1（，﹣5），P2（，）．