课时分层作业(十五) 数系的扩充和复数的概念
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列命题：
(1)若a＋bi＝0，则a＝b＝0；
(2)x＋yi＝2＋2i?x＝y＝2；
(3)若y∈R，且(y2－1)－(y－1)i＝0，则y＝1.
其中正确命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
B [(1)，(2)所犯的错误是一样的，即a，x不一定是复数的实部，b，y不一定是复数的虚部；(3)正确，因为y∈R，所以y2－1，－(y－1)是实数，所以由复数相等的条件得解得y＝1.]
2．若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为
( )
A．－2
B．3
C．－3
D．±3
B [由题知解得m＝3，故选B．]
3．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i
B．3＋i
C．－＋i
D．＋i
A [3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A．]
4．4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( )
A．1
B．1或－4
C．－4
D．0或－4
C [由题意知解得a＝－4.]
5．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B [因为a，b∈R，“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数a＋bi是纯虚数”，则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件．]
二、填空题
6．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
－2 [∴m＝－2.]
7．(一题两空)已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.
2 ±2 [由复数相等的充要条件有
?]
8．下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个虚数不能比较大小．
其中正确命题的序号是________．
③ [当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错．]
三、解答题
9．若x，y∈R，且(x－1)＋yi＞2x，求x，y的取值范围．
[解] ∵(x－1)＋yi＞2x，∴y＝0且x－1＞2x，
∴x＜－1，
∴x，y的取值范围分别为x＜－1，y＝0.
10．实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
[解] (1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
11．(多选题)下列命题正确的是( )
A．1＋i2＝0
B．若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i
C．若x2＋y2＝0，则x＝y＝0
D．两个虚数不能比较大小
AD [对于A，因为i2＝－1，所以1＋i2＝0，故A正确．对于B，两个虚数不能比较大小，故B错．对于C，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，故C错．D正确．]
12．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )
A．3＋i
B．3－i
C．－3－i
D．－3＋i
B [由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0.
所以
解得
所以z＝3－i.]
13．(一题两空)定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，则实数x＝________，y＝________.
－1 2 [由定义运算＝ad－bc得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以有
解得x＝－1，y＝2.]
14．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin
θ＋(cos
θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)．
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围．
[解] (1)∵z1为纯虚数，
∴解得m＝－2.
(2)由z1＝z2，得
∴λ＝4－cos2θ－2sin
θ
＝sin2θ－2sin
θ＋3
＝(sin
θ－1)2＋2.
∵－1≤sin
θ≤1，∴当sin
θ＝1时，λmin＝2，
当sin
θ＝－1时，λmax＝6，
∴实数λ的取值范围是[2,6]．
PAGE课时分层作业(十六) 复数的几何意义
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
C [z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限.
]
2．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是( )
A．z1＞z2
B．z1＜z2
C．|z1|＞|z2|
D．|z1|＜|z2|
D [z1，z2不能比较大小，排除选项A，B，又|z1|＝，|z2|＝，故|z1|＜|z2|.]
3．已知平行四边形OABC，O，A，C三点对应的复数分别为0,1＋2i,3－2i，则的模||等于( )
A．
B．2
C．4
D．
D [由于OABC是平行四边形，故＝，因此||＝||＝|3－2i|＝.]
4．当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
D [∵
0，m－1<0，∴点(3m－2，m－1)在第四象限．]
5．如果复数z满足条件z＋|z|＝2＋i，那么z＝( )
A．－＋i
B．－i
C．－－i
D．＋i
D [设z＝a＋bi(a，b∈R)，由复数相等的充要条件，得解得
即z＝＋i.]
二、填空题
6．若复数z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i是纯虚数，其中m∈R，则|z|＝________.
12 [由条件，知
所以m＝3，
因此z＝12i，故|z|＝12.]
7．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
(3，＋∞) [∵复数z在复平面内对应的点位于第四象限，
∴解得x＞3.]
8．设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，则复数z＝________.
±i [因为z为纯虚数，
所以设z＝ai(a∈R，且a≠0)，
则|z－1|＝|ai－1|＝.
又因为|－1＋i|＝，
所以＝，即a2＝1，
所以a＝±1，即z＝±i.]
三、解答题
9．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，求复数z.
[解] 因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a<0，由|z|＝2知，＝2，
解得a＝±1，
故a＝－1，
所以z＝－1＋i.
10．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点．
(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上．
分别求实数m的取值范围．
[解] 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.
(1)由题意得m2－m－2＝0.
解得m＝2或m＝－1.
(2)由题意得
∴
∴－1＜m＜1.
(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，∴m＝2.
11．(多选题)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是( )
A．|z|＝
B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为－1＋2i
D．复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上
AC [|z|＝＝，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y＝－2x上，D不正确．故选AC．]
12．已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为( )
A．1
B．2
C．
D．3
D [∵|z|＝2，∴复数z对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而|z－i|表示圆上一点到点(0,1)的距离，
∴|z－i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，易知此距离为3，故选D．]
13．(一题两空)已知复数z＝lg(m2＋2m－14)＋(m2－m－6)i(i为虚数单位)，若复数z是实数，则实数m＝______；若复数z对应的点位于复平面的第二象限，则实数m的取值范围为________．
3 (－5，－1－) [若复数z是实数，
则解得m＝3.
若复数z对应的点位于复平面的第二象限，
则
即即
解得－5＜m＜－1－.]
14．已知复数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，求的最大值．
[解] ∵|x－2＋yi|＝，
∴(x－2)2＋y2＝3，故(x，y)在以C(2,0)为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点(x，y)与原点连线的斜率．
如图，由平面几何知识，易知的最大值为.
15．已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？
[解] (1)|z1|＝＝2，
|z2|＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2))))＝1，∴|z1|＞|z2|.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知1≤|z|≤2.
因为|z|的几何意义就是复数z对应的点到原点的距离，所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．
PAGE课时分层作业(十七) 复数的加、减运算及其几何意义
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，则a＋b＝( )
A．
B．－
C．－
D．5
B [(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝(－3a－2b)＋(b－a)i＝3－5i，所以解得a＝，b＝－，故有a＋b＝－.]
2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2
B．4
C．3
D．－4
B [z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B．]
3．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3
B．2
C．1
D．－1
D [z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.]
4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是( )
A．2＋4i
B．－2＋4i
C．－4＋2i
D．4－2i
D [依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i.故选D．]
5．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
B [设z＝x＋yi，则由|z＋2－2i|＝1得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图
所示，则|z－2－2i|＝表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.]
二、填空题
6．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________.
3 [由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，所以
解得a＝3.]
7．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则对应的复数为________．
4－4i [＝－＝－(＋)，对应的复数为3＋2i－(－2＋i＋1＋5i)＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i＝4－4i.]
8．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________.
－1＋10i [∵z1＋z2＝5－6i，∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，
∴即
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.]
三、解答题
9．计算：
(1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)；
(2)4－(5＋12i)－i；
(3)若z－(－3＋5i)＝－2＋6i，求复数z.
[解] (1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)＝(2－3＋4)＋(－1＋5＋3)i＝3＋7i.
(2)4－(5＋12i)－i＝(4－5)＋(－12－1)i＝－1－13i.
(3)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z－(－3＋5i)＝－2＋6i，所以(x＋yi)－(－3＋5i)＝－2＋6i，
即(x＋3)＋(y－5)i＝－2＋6i，因此
解得于是z＝－5＋11i.
法二：由z－(－3＋5i)＝－2＋6i
可得z＝－2＋6i＋(－3＋5i)，
所以z＝(－2－3)＋(6＋5)i＝－5＋11i.
10．在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．
[解] 如图所示.
对应复数z3－z1，
对应复数z2－z1，
对应复数z4－z1.
由复数加减运算的几何意义，得＝＋，
∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，
∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.
∴AD的长为||＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.
11．(多选题)已知i为虚数单位，下列说法中正确的是( )
A．若复数z满足|z－i|＝，则复数z对应的点在以(1,0)为圆心，为半径的圆上
B．若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝15＋8i
C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D．复数z1对应的向量为，复数z2对应的向量为，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则⊥
CD [满足|z－i|＝的复数z对应的点在以(0,1)为圆心，为半径的圆上，A错误；在B中，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝.由z＋|z|＝2＋8i，得a＋bi＋＝2＋8i，
∴解得∴z＝－15＋8i，B错误；由复数的模的定义知C正确；由|z1＋z2|＝|z1－z2|的几何意义知，以，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确．故选CD．]
12．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( )
A．0
B．1
C．
D．
C [由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离，即为.]
13．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝________.
－4i [设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
则所以所以z＝－4i.]
14．在复平面内，A，B，C三点所对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i，其中i为虚数单位．
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
[解] (1)对应的复数为2＋i－1＝1＋i，
对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，
对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i.
(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，
∴||2＋||2＝||2，∴△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝××2＝2.
15．设z为复数，且|z|＝|z＋1|＝1，求|z－1|的值．
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋1＝(a＋1)＋bi，
又|z|＝|z＋1|＝1，所以
即解得
故|z－1|＝|(a＋bi)－1|＝|(a－1)＋bi|＝＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－1))＋\f(3,4))＝.
PAGE课时分层作业(十八) 复数的乘、除运算
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.＝( )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
D [＝＝－1－i，选D．]
2．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝( )
A．－2－i
B．－2＋i
C．2－i
D．2＋i
C [z－1＝＝1－i，所以z＝2－i，故选C．]
3．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B [＋(1＋i)2＝＋i＋(－2＋2i)＝－＋i，对应点在第二象限．]
4．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．－4
B．－
C．4
D．
D [∵(3－4i)z＝|4＋3i|，
∴z＝＝＝＋i.
故z的虚部为，选D．]
5．设复数z的共轭复数是
，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t等于( )
A．
B．
C．－
D．－
A [∵z2＝t＋i，∴2＝t－i.
z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，
又∵z1·2∈R，∴4t－3＝0，∴t＝.]
二、填空题
6．i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为，则z·＝________.
1 [∵z＝＝＝＝i，
∴＝－i，∴z·＝1.]
7．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.
1 [∵＝b＋i，∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋bi，
∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1.]
8．设复数z1，z2在复平面内的对应点分别为A，B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝________.
[∵z1(1－i)＝3－i，
∴z1＝＝＝2＋i，
∵A与B关于x轴对称，∴z1与z2互为共轭复数，
∴z2＝1＝2－i，∴|z2|＝.]
三、解答题
9．已知复数z＝.
(1)求z的实部与虚部；
(2)若z2＋m＋n＝1－i(m，n∈R，是z的共轭复数)，求m和n的值．
[解] (1)z＝＝＝2＋i，
所以z的实部为2，虚部为1.
(2)把z＝2＋i代入z2＋m＋n＝1－i，
得(2＋i)2＋m(2－i)＋n＝1－i，
即2m＋n＋3＋(4－m)i＝1－i，
所以
解得m＝5，n＝－12.
10．把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及.
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由已知得：(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知，
得a＝2，b＝1，∴z＝2＋i.
∴＝＝＝＝＋i.
11．(多选题)下面是关于复数z＝(i为虚数单位)的命题，其中真命题为( )
A．|z|＝2
B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i
D．z的虚部为－1
BD [∵z＝＝＝－1－i，
∴|z|＝，A错误；z2＝2i，B正确；
z的共轭复数为－1＋i，C错误；
z的虚部为－1，D正确．故选BD．]
12．(多选题)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
ABC [A，|z1－z2|＝0?z1－z2＝0?z1＝z2?1＝2，真命题；B，z1＝2?1＝2＝z2，真命题；C，|z1|＝|z2|?|z1|2＝|z2|2?z1·1＝z2·2，真命题；D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．]
13．(一题两空)若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________，z1z2＝________.
16－i [＝＝
＝
＝，
∵为纯虚数，
∴
∴a＝.
∴z1·z2＝(3－4i)
＝8－i＋6i＋8
＝16－i.]
14．已知3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．
[解] 因为3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的根，
所以2(3＋2i)2＋p(3＋2i)＋q＝0，
即2(9＋12i－4)＋(3p＋2pi)＋q＝0，
整理得(10＋3p＋q)＋(24＋2p)i＝0，
所以解得]
15．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2，
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设u＝，证明u为纯虚数．
[解] (1)因为z是虚数，所以可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0.
所以ω＝z＋＝x＋yi＋
＝x＋yi＋＝x＋＋i.
因为ω是实数且y≠0，
所以y－＝0，所以x2＋y2＝1，
即|z|＝1.
此时ω＝2x.
因为－1＜ω＜2，
所以－1＜2x＜2，
从而有－＜x＜1，
即z的实部的取值范围是.
(2)证明：设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
由(1)知，x2＋y2＝1，
∴u＝＝
＝
＝＝－i.
因为x∈，y≠0，
所以≠0，
所以u为纯虚数.
PAGE课时分层作业(十九) 复数的三角表示
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．复数－i的三角形式是( )
A．cos＋isin
B．cos＋isin
C．cos－isin
D．cos＋isin
A [－i＝cosπ＋isinπ
＝cos＋isin
＝cos＋isin.]
2．复数sin
50°－isin
140°的辐角的主值是( )
A．150°
B．40°
C．－40°
D．320°
D [sin
50°－isin
140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)＝cos
320°＋isin
320°.]
3．复数sin
4＋icos
4的辐角的主值为( )
A．4
B．－4
C．2π－4
D．－4
D [sin
4＋icos
4＝cos＋isin.]
4．若复数cos
θ＋isin
θ和sin
θ＋icos
θ相等，则θ的值为( )
A．
B．或
C．2kπ＋(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
D [因为cos
θ＋isin
θ＝sin
θ＋icos
θ，
所以cos
θ＝sin
θ，即tan
θ＝1，
所以θ＝＋kπ，(k∈Z)．]
5．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cos
θ－isin
θ)的三角形式是( )
A．
B．
C．
D．
A [因为1＋i＝，
cos
θ－isin
θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)，
所以(1＋i)(cos
θ－isin
θ)
＝
＝.]
二、填空题
6．已知z＝cos＋isin，则arg
z2＝________.
π [因为arg
z＝，所以arg
z2＝2arg
z＝2×＝.]
7．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是________．
1－i [(1＋i)
＝
＝
＝＝1－i.]
8．设复数z1＝1＋i，z2＝＋i，则的辐角的主值是________．
[由题知，z1＝2，
z2＝2，
所以的辐角的主值为－＝.]
三、解答题
9．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1z的对应点在虚轴的负半轴上，且arg
z2∈(0，π)，求z2的代数形式．
[解] 因为z1＝2，
设z2＝2(cos
α＋isin
α)，α∈(0，π)，
所以z1z＝8.
由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝kπ＋(k∈Z)，
又α∈(0，π)，所以α＝，所以z2＝2＝－1＋i.
10．已知z＝－2i，z1－z2＝0，arg
z2＝，若z1，z2在复平面内分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1和z2.
[解] 由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z1－z2|＝，
所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝，又arg
z2＝，
所以z2＝＝＋i，
z1＝z2＝(1＋i)z2＝·
＝2＝－＋i.
11．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值是( )
A．1
B．－1
C．－
D．－
B [因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg
z＝，
所以所以a＝－1，故选B．]
12．设π＜θ＜，则复数的辐角的主值为( )
A．2π－3θ
B．3θ－2π
C．3θ
D．3θ－π
B [＝＝cos
3θ＋isin
3θ.
因为π＜θ＜，所以3π＜3θ＜，
所以π＜3θ－2π＜，故选B．]
13．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且arg
z∈，则z的三角形式为________．
z＝2 [由z2＋2z＋4＝0，得z＝(－2±2i)＝－1±i.
因为arg
z∈，所以z＝－1－i应舍去，
所以z＝－1＋i＝2.]
14．设O为复平面的原点，A、B为单位圆上两点，A、B所对应的复数分别为z1、z2，z1、z2的辐角的主值分别为α、β.若△AOB的重心G对应的复数为＋i，求tan(α＋β)．
[解] 由题意可设z1＝cos
α＋isin
α，z2＝cos
β＋isin
β.
因为△AOB的重心G对应的复数为＋i，
所以＝＋i，即
所以所以tan＝，
故tan(α＋β)＝＝.
PAGE章末综合测评(二) 复数
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知z＝11－20i，则1－2i－z等于( )
A．z－1
B．z＋1
C．－10＋18i
D．10－18i
C [1－2i－z＝1－2i－(11－20i)＝－10＋18i.]
2.＝( )
A．1＋2i
B．1－2i
C．2＋i
D．2－i
D [＝＝＝2－i.
故选D．]
3．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1－i
B．1＋i
C．－1－i
D．－1＋i
A [由已知得＝i(1－i)＝i＋1，
则z＝1－i，故选A．]
4．若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )
A．(2,4)
B．(2，－4)
C．(4，－2)
D．(4,2)
C [z＝＝4－2i对应的点的坐标是(4，－2)，故选C．]
5．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
B [∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，∴4a＋(a2－4)i＝－4i.
∴解得a＝0.故选B．]
6．若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b＝( )
A．
B．
C．－
D．2
C [因为＝＝－i，又复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，所以＝，即b＝－.]
7．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在( )
A．实轴上
B．虚轴上
C．直线y＝±x(x≠0)上
D．以上都不对
C [设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi.∵z2为纯虚数，∴∴y＝±x(x≠0)．]
8．已知0A．(1,5)
B．(1,3)
C．(1，)
D．(1，)
C [由已知，得|z|＝.
由0∴1∴|z|＝∈(1，)．故选C．]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)
9．给出下列复平面内的点，这些点中对应的复数为虚数的为( )
A．(3,1)
B．(－2,0)
C．(0,4)
D．(－1，－5)
ACD [易知选项A、B、C、D中的点对应的复数分别为3＋i、－2、4i、－1－5i，因此A、C、D中的点对应的复数为虚数．]
10．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，且a＋b＝1，下列命题正确的是( )
A．z不可能为纯虚数
B．若z的共轭复数为，且z＝，则z是实数
C．若z＝|z|，则z是实数
D．|z|可以等于
BC [当a＝0时，b＝1，此时z＝i为纯虚数，A错误；若z的共轭复数为，且z＝，则a＋bi＝a－bi，因此b＝0，B正确；由|z|是实数，且z＝|z|知，z是实数，C正确；由|z|＝得a2＋b2＝，又a＋b＝1，因此8a2－8a＋3＝0，Δ＝64－4×8×3＝－32<0，无解，即|z|不可以等于，D错误．故选BC．]
11．已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是( )
A．P0点的坐标为(1,2)
B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上
D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为
ACD [复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1,2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yi|＝|x＋(y－1)i|，即＝，整理得，y＝x，即Z点在直线y＝x上，C正确；易知点P0到直线y＝x的垂线段的长度即为P0、Z之间距离的最小值，结合平面几何知识知D正确．故选ACD．]
12．对任意z1，z2，z∈C，下列结论成立的是( )
A．当m，n∈N
时，有zmzn＝zm＋n
B．当z1，z2∈C时，若z＋z＝0，则z1＝0且z2＝0
C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且||2＝|z|2＝z·
D．z1＝z2的充要条件是|z1|＝|z2|
AC [由复数乘法的运算律知A正确；
取z1＝1，z2＝i，满足z＋z＝0，
但z1＝0且z2＝0不成立，B错误；
由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C正确；
由z1＝z2能推出|z1|＝|z2|，
但|z1|＝|z2|推不出z1＝z2，
因此z1＝z2的必要不充分条件是|z1|＝|z2|，D错误．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．
21 [复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21.]
14．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝________.
[＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝＝2，
所以a2＝3.
又a为正实数，所以a＝.]
15．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．
8 [a＋bi＝＝＝＝5＋3i，依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.从而a＋b＝8.]
16．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则|z|＝________，＝________(本题第一空2分，第二空3分)．
2 ±i [设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，由z＋＝4，z·＝8得，
??
∴|z|＝2.所以＝＝＝±i.]
四、简答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时，
(1)z是实数？
(2)z是纯虚数？
[解] (1)要使复数z为实数，
需满足
解得m＝－2或－1.即当m＝－2或－1时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，
需满足
解得m＝3.即当m＝3时，z是纯虚数．
18．(本小题满分12分)已知复数z1＝1－i，z1·z2＋1＝2＋2i，求复数z2.
[解] 因为z1＝1－i，所以1＝1＋i，
所以z1·z2＝2＋2i－1＝2＋2i－(1＋i)＝1＋i.
设z2＝a＋bi(a，b∈R)，由z1·z2＝1＋i，
得(1－i)(a＋bi)＝1＋i，
所以(a＋b)＋(b－a)i＝1＋i，
所以解得a＝0，b＝1，所以z2＝i.
19．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1.①
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，
所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②
由①②联立，
解得或
所以＝－i，或＝－＋i.
20．(本小题满分12分)复数z＝，若z2＋＜0，求纯虚数a.
[解] 由z2＋＜0可知z2＋是实数且为负数．
z＝＝＝＝1－i.
因为a为纯虚数，
所以设a＝mi(m∈R，且m≠0)，
则z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋＝－＋i＜0，故
所以m＝4，即a＝4i.
21．(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC．求顶点C所对应的复数z.
[解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，C(x，y)，
因为OA∥BC，|OC|＝|BA|，
所以kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，
即
解得或
因为|OA|≠|BC|，所以x2＝－3，y2＝4(舍去)，
故z＝－5.
22．(本小题满分12分)已知复数z满足(1＋2i)＝4＋3i.
(1)求复数z；
(2)若复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
[解] (1)∵(1＋2i)＝4＋3i，
∴＝＝＝＝2－i，
∴z＝2＋i.
(2)由(1)知z＝2＋i，
则(z＋ai)2＝(2＋i＋ai)2＝[2＋(a＋1)i]2＝4－(a＋1)2＋4(a＋1)i，
∵复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，
∴
解得－1＜a＜1，
即实数a的取值范围为(－1,1)．
PAGE专题强化训练(二) 复数
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．如图所示，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
A．A
B．B
C．C
D．D
B [设z＝a＋bi(a，b∈R)，且a<0，b>0，
则z的共轭复数为a－bi，其中a<0，－b<0，
故应为B点．]
2．已知a，b∈C，下列命题正确的是( )
A．3i<5i
B．a＝0?|a|＝0
C．若|a|＝|b|，则a＝±b
D．a2≥0
B [A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a，b∈R时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝，但i≠－＋i或－i；D选项中，当a∈R时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i2＝－1<0.]
3．复数的共轭复数为( )
A．－＋i
B．＋i
C．－i
D．－－i
D [＝＝＝－＋i，共轭复数为－－i，故选D．]
4．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则
(a＋bi)2＝( )
A．3－4i
B．3＋4i
C．4－3i
D．4＋3i
A [由a＋i＝2－bi可得a＝2，b＝－1，则(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.]
5．如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m等于( )
A．1
B．－1
C．
D．－
B [∵(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i是实数，m∈R，∴由a＋bi(a，b∈R)是实数的充要条件是b＝0，得m3＋1＝0，即m＝－1.]
二、填空题
6．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
3 [∵|a＋bi|＝＝，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.]
7．复数z满足方程
i＝1－i，则z＝________.
－1＋i [∵i＝1－i，∴＝＝＝－i(1－i)＝－1－i，∴z＝－1＋i.]
8．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i所对应的点在第三象限，则实数k的取值范围是________．
(－，－2)∪(2，) [由已知得∴4三、解答题
9．已知复数z与(z＋2)2－8i均是纯虚数，求复数z.
[解] 设z＝bi
(b∈R，b≠0)，
则(z＋2)2－8i＝(2＋bi)2－8i＝(4－b2)＋(4b－8)i，
∵(z＋2)2－8i为纯虚数，
∴4－b2＝0且4b－8≠0.∴b＝－2.∴z＝－2i.
10．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i.
(1)求|z|；
(2)若z2＋az＋b＝，求实数a，b的值．
[解] z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i.
(1)|z|＝＝.
(2)z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b
＝2i＋a＋ai＋b＝a＋b＋(a＋2)i，
∵＝1－i，∴a＋b＋(a＋2)i＝1－i，
∴∴a＝－3，b＝4.
11．(多选题)设z是复数，则下列命题中的真命题是( )
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
ABD [设z＝a＋bi(a，b∈R)，选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则则故z一定为虚数，正确．选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．选项D，若z为纯虚数，则则z2＝－b2<0，正确．]
12．复数z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A [z＝＝＝[(m－4)－2(m＋1)i]，其实部为(m－4)，虚部为－(m＋1)，由得此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．]
13．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是________．(填序号)
①|z－|＝2y；②z2＝x2＋y2；
③|z－|≥2x；④|z|≤|x|＋|y|.
④ [对于①，＝x－yi(x，y∈R)，|z－|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，故不正确；对于②，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正确；对于③，|z－|＝|2y|≥2x不一定成立，故不正确；对于④，|z|＝≤|x|＋|y|，故正确．]
14．求关于复数z的方程|z|＋2z＝13＋6i的解．
[解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则有＋2x＋2yi＝13＋6i，于是
解得或
因为13－2x＝≥0，
所以x≤，
故x＝舍去，
故z＝4＋3i.]
15．已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a，b的值；
(2)若复数z满足|－a－bi|－2|z|＝0，当z为何值时，|z|有最小值？并求出|z|的最小值．
[解] (1)因为b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实根，所以(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，
故解得a＝b＝3.
(2)设z＝m＋ni(m，n∈R)，由|－3－3i|＝2|z|，得(m－3)2＋(n＋3)2＝4(m2＋n2)，
即(m＋1)2＋(n－1)2＝8，
所以Z点的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，以2为半径的圆．
如图，当Z点在直线OO1上时，|z|有最大值或最小值．
因为|OO1|＝，半径r＝2，
所以当z＝1－i时，|z|有最小值，且|z|min＝.
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