课时分层作业(二十九) 利用函数性质判定方程解的存在性
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数f(x)＝2x2－4x－3的零点有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．不能确定
C [由f(x)＝0，即2x2－4x－3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×(－3)＝40>0.所以方程2x2－4x－3＝0有两个根，即f(x)有两个零点．]
2．函数f(x)＝4x－2x－2的零点是( )
A．(1，0)
B．1
C．
D．－1
B [由f(x)＝4x－2x－2＝(2x－2)(2x＋1)＝0得2x＝2，解得x＝1.]
3．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，4)
D．(4，＋∞)
C [由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．f(1)＝6－0＝6＞0，f(2)＝3－1＝2＞0，f(4)＝－log24＝－2＝－＜0.由零点存在定理可知函数f(x)在区间(2，4)上必存在零点．]
4．函数f(x)＝ln
x－的零点的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
C [如图，画出y＝ln
x与y＝的图象，由图知y＝ln
x与y＝(x>0，且x≠1)的图象有两个交点．故函数f(x)＝ln
x－的零点有2个．]
5．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上( )
A．至少有一实数根
B．至多有一实数根
C．没有实数根
D．必有唯一的实数根
D [由题意知函数f(x)为连续函数．∵f(a)·f(b)＜0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点．又∵函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点．故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根．故选D.]
二、填空题
6．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．
－3 [设函数f(x)的两个零点为x1，x2，根据函数解析式，由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－＝－2.又因为x1＝1，所以x2＝－3.]
7．函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是________．
3 [由题意可知，函数f(x)＝x2－2x的零点个数，等价于函数y＝2x，y＝x2的图象交点个数．如图，画出函数y＝2x，y＝x2的大致图象．
由图象可知有3个交点，即f(x)＝x2－2x有3个零点．]
8．若函数f(x)＝mx－1在(0，1)内有零点，则实数m的取值范围是________．
(1，＋∞) [f(0)＝－1，要使函数f(x)＝mx－1在(0，1)内有零点，需f(1)＝m－1>0，即m>1.]
三、解答题
9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2＋2x＋4.
[解] (1)令f(x)＝0即＝0，故x＝－3.
所以函数f(x)＝的零点是－3.
(2)令f(x)＝0，即x2＋2x＋4＝0，因为Δ＝4－4×4＝－12<0，所以此方程无解，故函数f(x)＝x2＋2x＋4无零点．
10．设函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，且g(1)＝－.
(1)求证：函数g(x)有两个零点；
(2)讨论函数g(x)在区间(0，2)内的零点个数．
[解] (1)证明：∵g(1)＝a＋b＋c＝－，∴3a＋2b＋2c＝0，
∴c＝－a－b.∴g(x)＝ax2＋bx－a－b，∴Δ＝b2－4a＝(2a＋b)2＋2a2.
∵a>0，∴Δ>0恒成立，故函数f(x)有两个零点．
(2)根据g(0)＝c，g(2)＝4a＋2b＋c，又由(1)知3a＋2b＋2c＝0，∴g(2)＝a－c.
(ⅰ)当c>0时，有g(0)>0，又∵a>0，∴g(1)＝－<0，
故函数g(x)在区间(0，1)内有一个零点，故在区间(0，2)内至少有一个零点．
(ⅱ)当c≤0时，g(1)<0，g(0)＝c≤0，g(2)＝a－c>0，
∴函数f(x)在区间(1，2)内有一零点，
综合(ⅰ)(ⅱ)，可知函数g(x)在区间(0，2)内至少有一个零点．
11．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数?方程|log0.5x|＝＝的根的个数?函数y1＝|log0.5x|与y2＝的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.]
12.方程lg
x＝8－2x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
B [令f(x)＝lg
x＋2x－8，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且在(0，＋∞)上连续．
因为f(1)＝－6<0，f(2)＝lg
2－4<0，f(3)＝lg
3－2<0，f(4)＝lg
4>0，所以f(3)f(4)<0，
函数零点所在的区间是(3，4)，所以k＝3.]
13．已知函数f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比0大，一个零点比0小，则实数a的取值范围为________．
(－∞，2) [由题意可知f(0)＝a－2<0，解得a<2.]
14．若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点为________．
－2和2 [f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点2.
又f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上有且仅有一个零点－2.
因此函数f(x)有两个零点－2与2.]
15．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
[解] (1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∵y＝f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
∴f(x)＝
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；
当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.
据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1，1).
PAGE课时分层作业(三十) 利用二分法求方程的近似解
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A.x1 B．x2 C．x3 D．x4
C [能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0.而x3两边的函数值都小于零，不符合二分法求零点的条件，故选C.]
2．用“二分法”可求近似解，对于精度ε说法正确的是( )
A.ε越大，零点的精度越高
B.ε越大，零点的精度越低
C.重复计算次数就是ε
D.重复计算次数与ε无关
B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精度越低．]
3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)＞0，f(1.25)<0，则方程3x＋3x－8＝0的根落在区间( )
A.(1.25，1.5)
B．(1，1.25)
C.(1.5，2)
D．不能确定
A [易知f(x)在R上是增函数．由题意可知f(1.25)·f(1.5)<0，故函数f(x)＝3x＋3x－8的零点落在区间(1.25，1.5)内．故选A.]
4．用二分法求方程ln
x－＝0的零点时，初始区间大致可选在( )
A.(1，2)
B．(2，3)
C.(3，4)
D．(e，＋∞)
B [设f(x)＝ln
x－，由于f(2)＝ln
2－1<0，f(3)＝ln
3－＞0，f(2)·f(3)<0，故初始区间可选(2，3).]
5．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0，4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为( )
A.(0，1)
B．(0，2)
C.(2，3)
D．(2，4)
B [因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，
f(4)＝24＋12－7>0，
f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)·f(2)<0，所以零点在区间(0，2)内．]
二、填空题
6．设函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不间断曲线，且f(a)·f(b)<0，取x0＝，若f(a)·f(x0)<0，则利用二分法求方程根时，取有根区间为________．
(a，x0) [由于f(a)·f(x0)<0，则(a，x0)为有根区间．]
7．在用二分法求方程f(x)＝0在区间[0，1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687
5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精度为0.1).
0.75 [0.75－0.687
5＝0.062
5<0.1，又精度为0.1，故可取近似解为0.75.]
8．用“二分法”求方程2x＋log2x－4＝0在区间(1，3)内的根，如果取区间的中点x0＝2，那么下一个有根的区间是________．
(1，2) [设f(x)＝2x＋log2x－4，因为f(1)·f(2)＝(2＋0－4)×(4＋1－4)＝－2<0，所以下一个有根的区间为(1，2).]
三、解答题
9．求函数f(x)＝x2－5的一个零点近似解．(精度为0.1)
[解] 由于f(－2)＝－1<0，f(－3)＝4＞0，
故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
(－3，－2)
－2.5
1.25
(－2.5，－2)
－2.25
0.062
5
(－2.25，－2)
－2.125
－0.484
4
(－2.25，－2.125)
－2.187
5
－0.214
8
由于|－2.25－(－2.187
5)|＝0.0625<0.1，所以函数的一个近似解可取－2.25.
10．求函数y＝2x＋3x－7的近似零点．(精度为0.1)
[解] 设f(x)＝2x＋3x－7，根据二分法逐步缩小方程的解所在的区间．
经计算，f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，所以函数f(x)＝2x＋3x－7在(1，2)内存在零点，
即方程2x＋3x－7＝0在(1，2)内有解．
取(1，2)的中点1.5；经计算，f(1.5)≈0.33>0，
又f(1)＝－2<0，所以方程2x＋3x－7＝0在(1，1.5)内有解．
如此下去，得到方程2x＋3x－7＝0实数解所在的区间，如下表：
左端点
左端点函数值
右端点
右端点函数值
区间长度
第1次
1
－2
2
3
1
第2次
1
－2
1.5
0.33
0.5
第3次
1.25
－0.872
1.5
0.33
0.25
第4次
1.375
－0.281
1.5
0.33
0.125
第5次
1.375
－0.281
1.437
5
0.021
0.062
5
由表可以看出，区间(1.375，1.437
5)内的所有值都可以看成是函数精度为0.1时的近似零点．
所以函数y＝2x＋3x－7的一个近似零点可以是1.4
11．若函数f(x)在(1，2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精度为0.01，则对区间(1，2)至少二等分( )
A．5次 B．6次 C．7次 D.8次
C [设对区间(1，2)至少二等分n次，初始区间长为1.
第1次二等分后区间长为；
第2次二等分后区间长为；
第3次二等分后区间长为；
…；
第n次二等分后区间长为.
根据题意，得<0.01，∴n＞log2100.
∵6
故对区间(1，2)至少二等分7次．]
12．函数f(x)＝log3x－在区间[1，3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为( )
A．
B．
C．
D．
C [f(1)＝－<0，f(3)＝>0，f(2)＝log32－＝log32－log33＝log3＝log3<0，f＝log3－＝log3－log33＝log3>log3＝log3>0，因此，函数f(x)的零点在区间内，故选C.]
13．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600
0)＝0.200
f(1.587
5)＝0.133
f(1.575
0)＝0.067
f(1.562
5)＝0.003
f(1.556
2)＝－0.029
f(1.550
0)＝－0.060
根据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精度0.01)为________．
1．56 [由题表知f(1.562
5)＞0，f(1.556
2)＜0，|1.562
5－1.556
2|＝0.006
3＜0.01，
所以f(x)＝3x－x－4的一个零点在区间(1.556
2，1.562
5)上，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为1.56.]
14．在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精度为0.05，则取中点的次数不小于________．
5 [∵初始区间的长度为1，精度为0.05，∴≤0.05，即2n≥20.又∵n∈N＋，∴n≥5，
∴取中点的次数不小于5.]
15．求方程ln
x＋x－3＝0在(2，3)内的近似解．(精度为0.1)
[解] 令f(x)＝ln
x＋x－3，求函数f(x)＝0在(2，3)内的零点．
∵f(2)＝ln
2－1<0，f(3)＝ln
3>0，取(2，3)作为初始区间，用二分法列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
(2，3)
2.5
0.416
(2，2.5)
2.25
0.061
(2，2.25)
2.125
－0.121
(2.125，2.25)
2.187
5
－0.030
∵2.25－2.187
5＝0.062
5<0.1，
∴在区间(2.187
5，2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值，即方程的近似解可取为2.2.
PAGE课时分层作业(三十一) 实际问题的函数刻画
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )
A B
C D
D [依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4＜x≤8时，f(x)＝8；当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求．]
2．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，包装费用、销售价格如下表所示：
型号
小包装
大包装
重量
100克
300克
包装费
0.5元
0.7元
销售价格
3.0元
8.4元
则下列说法中正确的是( )
①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．
A.①③ B．①④ C．②③ D．②④
D [买小包装时每克费用为元，买大包装时每克费用为＝元，而＞，所以买大包装实惠，卖3小包的利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元)，卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元)，而2.3＞2.1，所以卖1大包盈利多，故选D.]
3．如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
A B C D
D [由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为的扇形．
因为矩形ABCD的周长为8，AB＝x，则AD＝＝4－x，
所以y＝x(4－x)－＝－(x－2)2＋4－(1≤x≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x＝2时，y＝4－∈(3，4)，故选D.]
4．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A.10.5万元
B．11万元
C.43万元
D．43.025万元
C [设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1＋0.1×＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．]
5．如图所示，液体从一个圆锥形漏斗漏入一个圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满液体，经过3秒漏完，圆柱形桶中液面上升速度是一个常量，则漏斗中液面下降的高度H与下降时间t之间的函数关系的图象只可能是( )
B [由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，
当时间取t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．故选B.]
二、填空题
6．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0
℃的保鲜时间是192小时，在22
℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33
℃的保鲜时间是________小时．
24 [依题意有192＝eb，48＝e22k＋b＝e22k·eb，所以e22k＝＝＝，所以e11k＝或－(舍去)，于是该食品在33
℃的保鲜时间是e33k＋b＝(e11k)3·eb＝×192＝24(小时).]
7．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L万元与广告费x万元之间的函数解析式为L＝－(x＞0).则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．
4 [由题意得L＝－≤－2＝21.5，当且仅当＝，即x＝4时等号成立．
此时L取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．]
8．一个容器装有细沙a
cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t
min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8
min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
16 [当t＝8时，y＝ae－8b＝a，所以e－8b＝.
容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24.
所以再经过16
min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．]
三、解答题
9．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2
km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(min)的关系．求函数y＝f(x)的解析式．
[解] 当x∈[0，30]时，设y＝k1x＋b1，
由已知得解得即y＝x.
当x∈(30，40)时，y＝2；
当x∈[40，60]时，设y＝k2x＋b2，
由已知得解得即y＝x－2.
综上，f(x)＝
10．某地西红柿从2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100
kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt；
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数以及最低种植成本．
[解] (1)根据表中数据可知函数不单调，所以Q＝at2＋bt＋c，且开口向上．
(2)对称轴t＝－＝＝120，
代入数据解得
所以Q＝0.01t2－2.4t＋224，
所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，
最低种植成本是14
400a＋120b＋c＝14
400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80(元/100
kg).
11．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
D [对于A选项：由题图可知，当乙车速度大于40
km/h时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5
km，则A错；对于B选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则B错；对于C选项：甲车以80千米/小时的速度行驶时，燃油效率为10
km/L，则行驶1小时，消耗了汽油80×1÷10＝8(升)，则C错；对于D选项：速度在80
km/h以下时，丙车比乙车燃油率更高，所以更省油，故D对．]
12．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．
3.75 [根据图表，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，
联立方程组得
解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－＋－2＝－＋，所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．]
13．某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．
1
024 [依题意解得
∴y＝2log4x－2，令2log4x－2＝8，得x＝45＝1
024.]
14．某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)之间的函数关系式为P＝且该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)之间的函数关系式为Q＝－t＋40(025 [设日销售金额为W(t)元，则W(t)＝P·Q＝
（－t＋100）（－t＋40），25≤t≤30，t∈N.))
令f(t)＝(t＋20)(－t＋40)＝－t2＋20t＋800(0令g(t)＝(－t＋100)(－t＋40)＝t2－140t＋4
000(25≤t≤30，t∈N)，
易知g(t)max＝g(25)＝1
125.
综上，当t＝25，即第25天时，日销售金额W(t)最大．]
15．牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0).
(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值；
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
[解] (1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1－，由此可得y＝kx(0(2)对原二次函数配方，得y＝－(x2－mx)＝－＋.
即当x＝时，y取得最大值.
(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，
则实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0因为当x＝时，ymax＝，所以0<＋又因为k>0，所以0PAGE课时分层作业(三十二) 用函数模型解决实际问题
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )
A．
B．
C．－1
D．－1
D [设每月的产量增长率为x，1月份产量为a，则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝，即x＝－1.]
2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4
000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝0.2x(0≤x≤4
000)
B．y＝0.5x(0≤x≤4
000)
C．y＝－0.1x＋1
200(0≤x≤4
000)
D．y＝0.1x＋1
200(0≤x≤4
000)
C [由题意得y＝0.3(4
000－x)＋0.2x＝－0.1x＋1
200.]
3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
A．y＝0.957
6
B．y＝0.957
6100x
C．y＝
D．y＝1－0.042
4
A [设镭一年放射掉其质量的t%，则有95.76%＝1·(1－t%)100，1－t%＝0.957
6，∴y＝(1－t%)x＝0.957
6．]
4．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为( )
A．x＝15，y＝12
B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10
D．x＝10，y＝14
A [由三角形相似得＝，得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180(8≤y<24).
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.]
5．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30
min，组装第A件产品用时15
min，那么c和A的值分别是( )
A．75，25
B．75，16
C．60，25
D．60，16
D [由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16.]
二、填空题
6．用一根长为12
m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________m2.
9 [设矩形的一边长为x
m，则与这条边垂直的边长为
m，
所以矩形面积S＝x·＝－x2＋6x(0m时，S最大＝9
m2.]
7．工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份，2月份生产该产品分别为1万件，1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件．
1．75 [由题意有解得∴y＝－2×0.5x＋2，
∴3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件).]
8．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．
7 [由题意知，第一年产量为a1＝×1×2×3＝3，
以后各年产量分别为an＝f(n)－f(n－1)＝n(n＋1)(2n＋1)－n(n－1)(2n－1)＝3n2(n∈N
)，
令3n2≤150，得1≤n≤5?1≤n≤7，故生产期限最长为7年．]
三、解答题
9．某公司试销某种“上海世博会”纪念品，每件按30元销售，可获利50%，设每件纪念品的成本为a元．
(1)试求a的值；
(2)公司在试销过程中进行了市场调查，发现销售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系y＝－10x＋800.设每天销售利润为W(元)，求每天销售利润W(元)与每件销售价x(元)之间的函数解析式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
[解] (1)∵按30元销售，可获利50%，∴a(1＋50%)＝30，解得a＝20.
(2)∵销售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系y＝－10x＋800，则每天销售利润W(元)与每件销售价x(元)满足W＝(－10x＋800)(x－20)＝－10x2＋1
000x－16
000
＝－10(x－50)2＋9
000，故当x＝50时，W取最大值9
000，
即每件销售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是9
000元．
10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15
000元．
(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
[解] (1)当0200－10x；
即
(2)设旅行社所获利润为S元，则当0000；
当3000－10x)－15
000＝－10x2＋1
200x－15
000；
即S＝
因为当0000为增函数，所以x＝30时，Smax＝12
000；
当30200x－15
000＝－10(x－60)2＋21
000，
即x＝60时，Smax＝21
000>12
000.
所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润．
11．某商场出售一种商品，每天可卖1
000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件售价应降低的价格为( )
A．2元 B．2.5元 C．1元 D．1.5元
D [设每件降价0.1x元，则每件获利(4－0.1x)元，每天卖出商品件数为(1
000＋100x)，利润y＝(4－0.1x)·(1
000＋100x)＝－10x2＋300x＋4
000＝－10(x2－30x＋225－225)＋4
000＝－10(x－15)2＋6
250.∴当x＝15时，ymax＝6
250.故每件售价降低1.5元时，可获得最好的经济效益．]
12．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg
1.12≈0.05，lg
1.3≈0.11，lg
2≈0.30)( )
A．2017年
B．2018年
C．2019年
D．2020年
D [设从2016年起，过了n(n∈N＋)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n≥200，则n≥≈＝3.8，由题意取n＝4，则n＋2016＝2020.故选D.]
13．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2
000·ln
.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
e6－1 [当v＝12
000时，2
000·ln
＝12
000，∴ln
＝6，∴＝e6－1.]
14．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3
km(不超过3
km按起步价付费)；超过3
km但不超过8
km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8
km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
9 [设出租车行驶x
km时，付费y元，
则y＝
由y＝22.6，解得x＝9.]
15．经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t，
价格近似满足f(t)＝
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0＜t≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
[解] (1)由已知，由价格乘以销售量可得：
y＝
＝
＝
(2)由(1)知①当0＜t≤10时，y＝－t2＋10t＋1
200＝－(t－5)2＋1
225，
函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈(0，5]上递增，在t∈(5，10]上递减，
∴ymax＝1
225(当t＝5时取得)，ymin＝1
200(当t＝10时取得)；
②当10000＝(t－45)2－25，
图象开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈(10，20]递减，∴ymax＝1
200(当t＝10时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得).
由①②知ymax＝1
225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得).
PAGE章末综合测评(五) 函数应用
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为( )
A．1，2，3
B．1，－1，3
C．1，－1，－3
D．无零点
B [令y＝0，即(x－1)(x2－2x－3)＝0，解得x1＝1，x2＝－1，x3＝3.故选B.]
2．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是( )
A．[0，1]
B．[1，2]
C．[－2，－1]
D．[－1，0]
D [因为f(－1)＝3－1－1<0，f(0)＝30－0＝1>0，所以f(－1)·f(0)<0.]
3．函数y＝log2x－的图象大致是( )
A B C D
A [当x＝4时y＝log2x－＝0，所以舍去D；
当x＝16时y＝log2x－＝0，所以舍去BC；故选A.]
4．当x∈(2，4)时，下列关系正确的是( )
A．x2<2x
B．log2xC．log2x<
D．2xB [当x∈(2，4)时，x2∈(4，16)，2x∈(4，16)，log2x∈(1，2)，∈，显然C，D不正确，对于选项A，若x＝3时，x2＝9>23，故A也不正确．]
5．我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为(单位：元)( )
A．2[x＋1]
B．2([x]＋1)
C．2{x}
D．{2x}
C [如x＝1时，应付费2元，此时2[x＋1]＝4，2([x]＋1)＝4，排除A、B；当x＝0.5时，付费为2元，此时{2x}＝1，排除D，故选C.]
6．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
A B C D
B [由题意可知：曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，选项B中，Q的值随t的变化越来越快．故选B.]
7．用二分法判断方程2x3＋3x－3＝0在区间(0，1)内的根(精度为0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421
875，0.6253＝0.244
14)( )
A．0.25
B．0.375
C．0.635
D．0.825
C [令f(x)＝2x3＋3x－3，f(0)<0，f(1)>0，f(0.5)<0，f(0.75)>0，f(0.625)<0，
∴方程2x3＋3x－3＝0的根在区间(0.625，0.75)内，
∵|0.75－0.625|＝0.125<0.25，
∴区间(0.625，0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意．]
8．我国股市中对股票的股价实行涨停、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅均为10%.某股票在连续四个交易日中前两日每天涨停，后两日每天跌停，则该股票现在的股价相对于四天前的涨跌情况是( )
A．跌1.99%
B．涨1.99%
C．跌0.99%
D．涨0.99%
A [设四天前股价为a，则现在的股价为a×1.12×0.92＝0.980
1a，跌1.99%.]
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．下列函数：
①y＝lg
x；②y＝2x；③y＝x2；④y＝|x|－1，其中有零点的函数是( )
A．① B．③ C．② D．④
ABD [分别作出这四个函数的图象(图略)，其中①y＝lg
x，③y＝x2与x轴有一个交点，图象④y＝|x|－1的图象与x轴有两个交点，即有2个零点，故选ABD.]
10．甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象选择错误的是( )
① ② ③ ④
A．甲是图①，乙是图②
B．甲是图①，乙是图④
C．甲是图③，乙是图②
D．甲是图③，乙是图④
ACD [由已知甲先快后慢，且前半程用时要比后半程少，也比乙后半程用时少，故符合①，而由乙的运动知其符合④.]
11．若函数f(x)＝alog2x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围不可能是( )
A．a<－3
B．－C．－3D．－ABD [∵函数y＝log2x，y＝4x在其定义域上是增加的，
∴函数f(x)＝alog2x＋a·4x＋3在区间上单调且连续，
∴由零点存在定理可得f·f(1)<0，即(－a＋2a＋3)(4a＋3)<0，解得－312．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系不可能是( )
A．a<αB．a<α<βC．αD．αABD [因为α，β是函数f(x)的两个零点，所以f(α)＝f(β)＝0.
又f(a)＝f(b)＝－2<0，结合二次函数的图象(如图所示)可知a，b必在α，β之间．]
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．
13．用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0，1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．
[设f(x)＝x3－6x2＋4，显然f(0)>0，f(1)<0，又f＝－6×＋4>0，
所以下一步可断定方程的根所在的区间为.]
14．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝0.1x2－11x＋3
000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x等于________台．
180 [设产量为x台，利润为S万元，
则S＝25x－y＝25x－(0.1x2－11x＋3
000)＝－0.1x2＋36x－3
000＝－0.1(x－180)2＋240，
则当x＝180时，生产者的利润取得最大值．]
15．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
(0，2) [由函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点可得|2x－2|＝b有两个不等的根，从而可得函数y＝|2x－2|与函数y＝b的图象有两个交点，结合函数的图象可得016.已知函数f(x)＝a|log2x|＋1(a≠0)，定义函数F(x)＝给出下列四个命题：
①F(x)＝|f(x)|；②函数F(x)是偶函数；③当a<0时，若0②③④ [易知F(x)＝f(|x|)，故F(x)＝|f(x)|不正确；②∵F(x)＝f(|x|)，∴F(－x)＝F(x)，∴函数F(x)是偶函数；③当a<0时，若0四、解答题(本大题共6小题，共70分.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)讨论方程4x3＋x－15＝0在[1，2]内实数解的存在性，并说明理由．
[解] 令f(x)＝4x3＋x－15，∵y＝4x3和y＝x在[1，2]上都为增函数，
∴f(x)＝4x3＋x－15在[1，2]上为增函数，∵f(1)＝4＋1－15＝－10<0，
f(2)＝4×8＋2－15＝19＞0，∴f(x)＝4x3＋x－15在[1，2]上存在一个零点，
∴方程4x3＋x－15＝0在[1，2]内有一个实数解．
18．(本小题满分12分)若二次函数f(x)＝－x2＋2ax＋4a＋1有一个零点小于－1，一个零点大于3，求实数a的取值范围．
[解] 因为二次函数f(x)＝－x2＋2ax＋4a＋1的图象开口向下，
且在区间(－∞，－1)，(3，＋∞)内各有一个零点，所以
即
即解得a>.
即实数a的取值范围是.
19．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元).
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
[解] (1)由题意，得y＝
(2)∵当x∈(0，15]时，0.1x≤1.5，又y＝5.5>1.5，∴x>15，
∴1.5＋2log5(x－14)＝5.5，解得x＝39.
即老张的销售利润是39万元．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的范围．
[解] (1)因为f(0)＝f(4)，所以3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，
令f(x)＝0即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.
所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的一个零点大于1，另一个小于1，如图．
需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.即b的范围为(4，＋∞).
21．(本小题满分12分)对于实数a和b，定义运算“
”：a
b＝
设f(x)＝(2x－1)
(x－1)，且关于x的方程为f(x)＝m(m∈R)，恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，求x1x2x3的取值范围．
[解] 当x≤0，即2x－1≤x－1时，
则f(x)＝(2x－1)
(x－1)＝(2x－1)2－(2x－1)(x－1)＝2x2－x，
当x＞0，即2x－1＞x－1时，则f(x)＝(2x－1)
(x－1)＝(x－1)2－(2x－1)(x－1)＝－x2＋x，画出大致图象如图，可知当m∈时，f(x)＝m恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，其中x2，x3是方程－x2＋x－m＝0的根，x1是方程2x2－x－m＝0的一个根，则x2x3＝m，x1＝，所以x1x2x3＝，显然，该式随m的增大而减小，
因此，当m＝0时，(x1x2x3)max＝0；当m＝时，(x1x2x3)min＝.
由以上可知x1x2x3的取值范围为.
22．(本小题满分12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥
上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
[解] (1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
由已知得
解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并结合(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，f(x)在区间[0，20]上取得最大值60×20＝1
200；
当20所以当x＝100时，f(x)在区间(20，200]上取得最大值.
综上可得，当x＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值≈3
333.
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3
333辆/小时．
PAGE专题强化训练(五) 函数应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
f(x)
－4
－2
1
4
7
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为( )
A．(1，2)
B．(2，3)
C．(3，4)
D．(4，5)
B [由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2，3)内有零点．]
2．若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)内，那么下列命题正确的是( )
A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点
B．函数f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点
C．函数f(x)在区间[2，16)上无零点
D．函数f(x)在区间(1，16)内无零点
C [由题意可确定f(x)唯一的零点在区间(0，2)内，故在区间[2，16)内无零点．]
3．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，
则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( )
A．60安
B．240安
C．75安
D．135安
D [由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝＝5，所以I＝5r3.故当r＝3时，I＝5×33＝135(安).故选D.]
4．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )
C [小明匀速运动时，所得图象为一条线段，且距离学校越来越近，排除A；因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除D；后来为了赶时间加快速度行驶，排除B.只有C满足题意．]
5．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C [函数y＝f(x)＋3x的零点个数就是y＝f(x)与y＝－3x两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2.]
二、填空题
6．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为________．
0 [当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；
当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．
综上，函数f(x)的零点只有0.]
7．设x0为函数f＝2x＋x－2的零点，且x0∈，其中m，n为相邻的整数，则m＋n＝________．
1 [函数f＝2x＋x－2的零点为x0，且x0∈(m，n)，f(0)＝1＋0－2＝－1<0；f(1)＝2＋1－2＝1>0，
∴f·f<0，故函数f＝2x＋x－2的零点在区间(0，1)内，
故m＝0，n＝1，m＋n＝1.]
8．方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________．
[5，10) [令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数．当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5又当f(1)＝0时，k＝5.则方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，k的取值范围是[5，10).]
三、解答题
9．已知函数f
(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点．
(1)求m的取值范围；
(2)求函数的零点．
[解] (1)因为f
(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0时，即m2－4＝0，
所以m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去).
所以2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ>0时，即m>2或m<－2时，t2＋mt＋1＝0，t1·t2＝1>0有两正或两负根，
即f
(x)有两个零点或没有零点．所以这种情况不符合题意．
综上可知：当m＝－2时，f
(x)有唯一零点．
(2)由(1)可知，该函数的零点为x＝0.
10．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40
min的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：min)之间的关系满足如图所示的图象．当x∈(0，12]时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A(10，80)，过点B(12，78)；当x∈[12，40]时，图象是线段BC，其中C(40，50).根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．
(1)试求y＝f(x)的函数关系式；
(2)教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．
[解] (1)当x∈(0，12]时，设f(x)＝a(x－10)2＋80(a≠0).
因为该部分图象过点B(12，78)，将B点的坐标代入上式，
得a＝－，所以f(x)＝－(x－10)2＋80.
当x∈[12，40]时，设f(x)＝kx＋b(k≠0).因为线段BC过点B(12，78)，C(40，50)，将它们的坐标分别代入上式，得方程组解得
所以f(x)＝－x＋90.
故所求函数的关系式为
f(x)＝
(2)由题意，得
或
解得4故老师应在x∈(4，28)分钟内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．
11．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )
A B C D
B [v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.]
12．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15
℃，B点表示四月的平均最低气温约为5
℃.下面叙述不正确的是( )
A．各月的平均最低气温都在0
℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20
℃的月份有5个
D [由图形可得各月的平均最低气温都在0
℃以上，A正确；七月的平均温差约为10
℃，而一月的平均温差约为5
℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10
℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20
℃的月份只有2个，D错误．故选D.]
13．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
－ [函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－.]
14．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是________．
(1，＋∞) [因为函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，所以方程x2＋2x＋a＝0无实根，即Δ＝4－4a<0，由此可得a>1.]
15．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本).
销售收入R(x)(万元)满足R(x)＝
假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：
(1)写出利润函数y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)；
(2)要使工厂有盈利，求产量x的取值范围；
(3)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
[解] (1)由题意得G(x)＝2.8＋x.
∴f(x)＝R(x)－G(x)＝
(2)①当0≤x≤5时，由－0.4x2＋3.2x－2.8>0得x2－8x＋7<0，解得1∴1②当x>5时，由8.2－x>0，得x<8.2，所以5综上，当10，即当产量x大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利．
(3)当0≤x≤5时，函数f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，当x＝4时，f(x)有最大值为3.6；
当x>5时，∵函数f(x)单调递减，∴f(x)综上，当工厂生产4百台产品时，可使盈利最多，为3.6万元．
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