(共30张PPT)
4.2 平面向量及运算的坐标表示
课标阐释
1.理解平面向量坐标的概念,会求平面向量的坐标.(数学抽象)
2.掌握平面向量的坐标运算法则,会进行坐标运算.(数学运算)
3.掌握用坐标表示两个向量共线的条件,能运用两向量共线的条件解决相关问题.(数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微.”向量是数形结合的典范.一方面,向量的有向线段表示法是用平面几何知识解决向量问题的基础,为灵活运用几何知识及图形性质解决向量问题提供了保证;另一方面,向量的符号语言和坐标语言又很好地加强了向量与实数之间的联系.本节课我们体会向量的坐标语言美.
激趣诱思
知识点拨
一、平面向量的坐标表示
因此,a=xi+yj.我们把(x,y)称为向量a在标准正交基{i,j}下的坐标,向量a可以表示为a=(x,y).
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.把一个平面向量分解成两个互相垂直的向量,叫作平面向量的正交分解.
2.向量与坐标的关系:
3.向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同.当且仅当向量的起点是原点时,向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同.
激趣诱思
知识点拨
微思考1
平面内的一个向量a,其坐标是唯一的吗?
答案由平面向量坐标的概念可知.平面内的一个向量a的坐标是唯一.
微思考2
若
=(-2
019,2
020),则点A的坐标为(-2
019,2
020)正确吗?
答案正确.对于从原点出发的向量,其终点坐标与向量的坐标表示相同.
微思考3
正交分解与平面向量基本定理有何联系?
答案正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基垂直).
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
二、平面向量运算的坐标表示
1.加法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),即两个向量和的坐标,等于这两个向量相应坐标的和.
2.减法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2),即两个向量差的坐标,等于这两个向量相应坐标的差.
3.数乘:若a=(x1,y1),设λ∈R,则λa=(λx1,λy1),即实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积.
4.给定点A(x1,y1),B(x2,y2),则
=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.进行向量的坐标运算时,应先将平面向量用坐标的形式表示出来,再根据向量的坐标运算规则进行计算.
2.进行平面向量坐标运算时,先分清向量坐标与向量起点、终点的关系.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
A.-1
B.-1或4
C.4
D.1或-4
答案A
激趣诱思
知识点拨
微练习2
答案(-1,2)
激趣诱思
知识点拨
三、平面向量平行的坐标表示
两个向量共线的坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0.
名师点析1.相等向量的坐标是相同的,但是两个相等向量的起点、终点的坐标可以不同.
2.若两个向量(与坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标成比例,反之也成立.
激趣诱思
知识点拨
微练习
解析因为2a+b=(16+x,x+1),b=(x,1),所以x(x+1)-(16+x)=0.解得x=-4或x=4(舍去).
答案-4
探究一
探究二
探究三
当堂检测
求平面向量的坐标
例1(1)设i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,求a+b与a-b的坐标.
(2)已知△ABC的三个顶点分别是A(4,6),B(7,6),C(1,8),D为BC的中
解(1)因为a=3i+4j,b=-i+j,
所以a+b=(3i+4j)+(-i+j)=2i+5j,
a-b=(3i+4j)-(-i+j)=4i+3j.
又i=(1,0),j=(0,1),所以a+b与a-b的坐标分别是(2,5),(4,3).
(2)因为B(7,6),C(1,8),
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
1.若i,j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+yj时,向量a的坐标即为(x,y).
2.向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标,只有当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标.
3.求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案(1)B (2)(1,-1) (1,1) (-1,1)
探究一
探究二
探究三
当堂检测
平面向量的坐标运算
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
进行平面向量的坐标运算时,应先将向量用坐标表示出来.一般地,已知有向线段两端点的坐标,应先求出向量的坐标.求一个点的坐标时,可以转化为求该点相对于坐标原点的向量的坐标.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2(1)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c等于( )
A.3a+b
B.3a-b
C.-a+3b
D.a+3b
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
平面向量平行的条件及应用
(2)已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时,它们是同向还是反向?
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
(2)解ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
因为(ka+b)∥(a-3b),
所以(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
利用向量坐标判断向量共线或三点共线的方法
1.利用向量的坐标判断两向量是否平行时,可先求出需要判断的向量的坐标,再依据坐标关系来说明两个向量平行,即:若已知
3.利用向量解决三点共线问题的思路:先利用三点构造出两个向量,求出唯一确定的实数λ使得两个向量共线.因为两个向量过同一点,所以两个向量所在的直线必重合,即三点共线.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
A.A点的坐标是(-2,4)
B.B点的坐标是(-2,4)
C.当点B是原点时,A点的坐标是(-2,4)
D.当点A是原点时,B点的坐标是(-2,4)
解析由任一向量的坐标的定义可知.当A点是原点时,B点的坐标是(-2,4).
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为( )
解析由已知得ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),
a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1).
又因为ma+4b与a-2b共线,所以有(2m-4)×(-1)-4×(3m+8)=0,解得m=-2.故选D.
答案D
4.已知a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),则当(a+λb)∥c时,λ= .?(共21张PPT)
4.1 平面向量基本定理
课标阐释
1.理解基、正交分解、标准正交基的概念,并能判断两个向量是否是平面上的一组基.(数学抽象)
2.掌握平面向量基本定理.(数学抽象)
3.能运用平面向量基本定理和向量的线性运算解决有关问题.(数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
情境1:在物理中,我们学习了力的分解,即一个力可以分解为两个不同方向的力.试想平面内的任意一向量是否可以分解为其他两个向量的和?
情境2:导弹升空的某一时刻,速度可以分解成竖直向上和水平方向的两个分速度.
激趣诱思
知识点拨
平面向量基本定理
如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向量a,存在唯一的一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基,记为{e1,e2}.
若基中的两个向量互相垂直,则称这组基为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正交分解.若基中的两个向量是互相垂直的单位向量,则称这组基为标准正交基.
名师点析1.0向量不能与另外一个向量构成一组基.因为0与任一向量是共线的.
2.平面向量的基不是唯一的.同一平面内的任何两个不共线的向量都可以作为一组基.这组基一旦确定,平面内任何一向量都可以用这一组基唯一表示.
激趣诱思
知识点拨
微思考1
两个单位向量能作为一组基吗?
解析不共线的两个单位向量能作为一组基.
微思考2
如果e1,e2是共线向量,那么向量a能否用e1,e2表示?为什么?
答案不一定,当a与e1共线时可以表示,否则不能表示.
激趣诱思
知识点拨
微练习
设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,以下各组向量中不能作为基的是 .?
①e1,e2;
②e1,2e1;
③e1,2e2;
④e2,2e2.
解析由于e1,e2不共线,则e1,2e2不共线,所以①③中的向量组都可以作为基;因为e1与2e1共线,e2与2e2共线,所以②④中的向量组都不能作为基.故填②④.
答案②④
探究一
探究二
探究三
当堂检测
对平面向量基本定理的理解
例1给出下列命题:
①若向量e1,e2不共线,则空间中的任一向量a均可表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R);
②若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2线性表示;
③若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式.
其中不正确命题的序号是 .?
答案①②③
反思感悟
平面向量基本定理是指平面内任一向量均可用平面内的两个不共线向量线性表示,且表示方法是唯一的.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1设e1,e2是平面向量的一组基,则下面四组向量中,不能作为一组基的是( )
A.2e1+e2和e2-e1
B.3e1-2e2和4e2-6e1
C.e1+2e2和e2+2e1
D.e2和e1+e2
解析B中,3e1-2e2=-
(4e2-6e1),则3e1-2e2与4e2-6e1共线,不能作为一组基.
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
用基表示向量
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
用一组基表示向量的注意事项
平面内任一向量都可用一组基来表示,在表示过程中,主要结合向量的线性运算完成这种向量表示.注意以下几点:
(1)通常选取有公共点的两个不共线向量作为基;
(2)注意平面向量基本定理的应用;
(3)注意a,b不共线,则0=0×a+0×b是唯一的;
(4)充分利用首尾相连的向量所表示的等量关系;
(5)利用同一向量的多种表示方法建立等量关系,也是常用技巧.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究将本例中“M是AB上靠近B的一个三等分点”改为“M是AB上靠近A的一个三等分点”,“点N是OA上靠近A的一个四分点”改为“N为OA的中点”,求BP∶PN的值.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
平面向量基本定理与线性运算的综合运用
例3在△ABC中,
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
在三角形中,中线、重心等与向量的关系非常重要,一些结论的用处非常广泛,须熟记.例如,在△ABC中,若M是重心,AD,BE,CF是三条中线,则下列结论都是成立的:
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
4.若a与b是一组基,p=a+mb,q=ma+2b,且p与q不能组成一组基,则实数m= .?
解析因为p与q不能组成一组基,所以p∥q,
所以存在实数λ,使p=λq,
所以有a+mb=λ(ma+2b),
即a+mb=λma+2λb,(共43张PPT)
3.1 向量的数乘运算
3.2 向量的数乘与向量共线的关系
课标阐释
1.理解向量数乘运算的定义及几何意义.(数学抽象、直观想象)
2.掌握向量数乘的运算律,能够用已知向量表示未知向量.(逻辑推理、数学运算)
3.掌握共线向量的基本定理,会判断或证明两个向量共线.(逻辑推理)
4.了解直线的方向向量的概念,会运用直线的方向向量的知识证明三点共线.(数学抽象、逻辑推理)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
夏季的雷雨天,我们往往先看到闪电,后听到雷声,雷闪发生于同一点而传到我们这儿为什么有个时间差?这说明声速与光速的大小不同,光速是声速的88万倍.
若设光速为v1,声速为v2,将向量类比于数,则有v1=880
000v2.对于880
000v2,我们规定是一个向量,其方向与v2相同,其长度为v2长度的880
000倍.这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘.
那么向量数乘的几何意义及运算律是怎样规定的呢?
激趣诱思
知识点拨
一、向量的数乘运算
1.向量的数乘的概念
实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa,满足以下条件:
(1)当λ>0时,向量λa与向量a的方向相同;
当λ<0时,向量λa与向量a的方向相反;
当λ=0时,0a=0.
(2)|λa|=|λ||a|.
这种运算称为向量的数乘.
激趣诱思
知识点拨
2.向量的数乘的几何意义
如图,由实数与向量数乘λa的定义可以看出,它的几何意义是:当λ>0时,表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍;当λ<0时,表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍.
3.单位向量
由向量数乘的定义容易推出,在非零向量a方向上的单位向量是
.
激趣诱思
知识点拨
微思考
数乘向量与数乘数有什么区别?
提示前者结果是一个向量,后者结果是一个数.
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)实数λ与向量a,则λ+a与λ-a的和是向量.( )
(2)对于非零向量a,向量-3a与向量a方向相反.( )
(3)对于非零向量a,向量-6a的模是向量3a的模的2倍.( )
答案(1)× (2)√ (3)√
激趣诱思
知识点拨
二、数乘运算的运算律
1.数乘运算的运算律
设λ,μ为实数,a,b为向量,那么根据向量的数乘定义,可以得到以下运算律:
(1)(λ+μ)a=λa+μa;
(2)λ(μa)=(λμ)a;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
2.向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘的综合运算,通常称为向量的线性运算(或线性组合).
若一个向量c由向量a,b的线性运算得到,如c=2a+3b,则称向量c可以用向量a,b线性表示.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
2.对于任意向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
A.2a-b
B.2b-a
C.a-b
D.b-a
答案B
激趣诱思
知识点拨
微练习2
答案C
激趣诱思
知识点拨
三、共线(平行)向量基本定理
给定一个非零向量b,则对于任意向量a,a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ,使a=λb.
名师点析1.向量共线的条件:当向量b=0时,b与任一向量a共线.当b≠0,对于向量a,如果存在一个实数λ,使a=λb,那么由实数与向量积的定义知,a与b共线.反之,已知向量a与b共线,b≠0,且向量a的长度是向量b的长度的λ倍,即|a|=λ|b|,则当a与b同方向时,a=λb;当a与b反方向时,有a=-λb.
2.已知三点A,B,C共线,O是平面内任意一点,则有
,其中λ+μ=1.
3.如果非零向量a与b不共线,且λa=μb,那么λ=μ=0.
激趣诱思
知识点拨
微探究
根据共线向量定理,对于非零向量a,b,如何确定实数λ,使得a=λb?
答案(1)确定符号.b与a同向时,λ为正;b与a反向时,λ为负.
(2)确定λ的绝对值.
微思考
共线向量定理中为什么要规定b≠0?
提示(1)若将条件b≠0去掉,即当b=0时,显然a与b共线;
(2)若a≠0,则不存在实数λ,使a=λb;
(3)若a=0,则对任意实数λ,都有a=λb.
激趣诱思
知识点拨
四、直线的向量表示
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
数乘向量的定义及几何意义
例1(1)设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是( )
A.a与-λa的方向相反
B.|-λa|≥|a|
C.a与λ2a的方向相同
D.|-λa|=|λ|a
(2)点C是线段AB靠近点A的一个三等分点,则下列不正确的是( )
答案(1)C (2)B
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
对向量数乘运算的三点说明
(1)λa中的实数λ叫作向量a的系数.
(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.
(3)当λ=0或a=0时,λa=0.注意是0,而不是0.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
向量的线性运算
例2(1)计算下列各式:
①3(a-2b+c)-(2c+b-a);
(2)设x,y是未知向量.
①解方程5(x+a)+3(x-b)=0;
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
1.向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
2.向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
变式训练2已知2a-b=m,a+3b=n,则a,b用m,n可以表示为a= ,b= .?
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
共线向量定理及其应用
角度1 向量共线的判定
例3判断下列各小题中的向量a,b是否共线(其中e1,e2是两非零不共线向量).
(1)a=5e1,b=-10e1;
(3)a=e1+e2,b=3e1-3e2.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
解(1)因为b=-2a,
所以a与b共线.
(2)因为a=
b,所以a与b共线.
(3)设a=λb,则e1+e2=λ(3e1-3e2),
所以(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0.
因为e1与e2是两个非零不共线向量,
所以1-3λ=0,1+3λ=0.
这样的λ不存在,因此a与b不共线.
反思感悟
向量共线的判定一般是用其判定定理,即给定一个非零向量b,若存在唯一一个实数λ,使得a=λb,则任意向量a与非零向量b共线.解题过程中,需要把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,由此判断共线.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
变式训练3已知向量e1、e2是两个共线向量,若a=e1-e2,b=2e1+2e2,求证:a∥b.
证明若e1=e2=0,则a=b=0,
所以a与b共线,即a∥b;
若e1,e2中至少有一个不为零向量,不妨设e1≠0,则e2=λe1(λ∈R),且a=(1-λ)e1,b=2(1+λ)e1,所以a∥e1,b∥e1.
因为e1≠0,所以a∥b.
综上可知,a∥b.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
角度2 用已知向量表示未知向量
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
用已知向量来表示所求未知向量是解向量相关问题的基础,除了要利用向量的加、减、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理、性质,如三角形的中位线定理、相似三角形对应边成比例等,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
角度3 证明三点共线问题
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
1.证明三点共线,通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线.两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题的依据.
2.若A,B,C三点共线,则向量
在同一直线上,因此必定存在实数,使得其中两个向量之间存在线性关系,而向量共线定理是实现线性关系的依据.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
角度4 求参问题
答案A
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
向量线性运算的综合应用
角度1 求解三角形的面积比
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
答案D
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
角度2 解决三角形的四心问题
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
1.三角形的内心:三角形内切圆的圆心、三角形三条角平分线的交点,内心到三角形三边的距离相等.
2.三角形的外心:三角形外接圆的圆心、三角形三条边的中垂线的交点,外心到三角形三个顶点的距离相等.若M是△ABC内一点,
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
1.4(a-b)-3(a+b)-b=( )
A.a-2b
B.a
C.a-6b
D.a-8b
解析原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.
答案D
A.a+b
B.a-b
C.3b-2a
D.2a-3b
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
A.A、B、C三点共线
B.A、B、D三点共线
C.A、C、D三点共线
D.B、C、D三点共线
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测(共30张PPT)
2.2 向量的减法
课标阐释
1.理解相反向量的概念.(数学抽象)
2.理解向量减法的意义,掌握向量减法的运算法则及其几何意义.(数学抽象、直观想象)
3.能运用向量的加法与减法解决相关问题.(数学抽象、数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
俄罗斯著名寓言作家克雷洛夫有一则名为《天鹅、梭子鱼和虾》的寓言:一天,梭子鱼、虾和天鹅,出去把一辆小车从大路上拖下来:三个家伙一齐负起沉重的担子.他们用足劲,身上青筋根根暴露.无论他们怎样的拖呀,拉呀,推呀,小车还是在老地方,一点也没有移动.倒不是小车重得动不了,而是另有缘故:天鹅使劲往上向天空直提,虾一步一步向后倒拖,梭子鱼又向池塘拉去.对于这个结果我们可以用物理学知识解释,实质上,在这个寓言中还蕴含着丰富的数学知识——向量的加法运算和减法运算等知识.本节课我们就来研究向量的减法.
激趣诱思
知识点拨
一、相反向量
名师点析相反向量类似于实数中的相反数,它们的性质有相似之处.
定义
如果两个向量长度相等,方向相反,则称它们为相反向量
性质
①对于相反向量有:a+(-a)=0
②若a、b互为相反向量,则a=-b,a+b=0
③零向量的相反向量仍是零向量
激趣诱思
知识点拨
微探究
相反向量就是方向相反的向量吗?
答案不是.相反向量是方向相反且长度相等的向量.
微练习
非零向量m与n是相反向量,下列不正确的是( )
A.m=n
B.m=-n
C.|m|=|n|
D.方向相反
解析相反向量只满足m=-n,不满足m=n.
答案A
激趣诱思
知识点拨
二、向量的减法
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,就可以把减法化为加法.在用三角形法则作向量减法时,只要记住“连接两向量的终点,箭头指向被减向量”即可.
激趣诱思
知识点拨
微探究
在代数运算中的移项法则,在向量中是否仍然成立?
答案含有向量的等式称为向量等式,在向量等式的两边都加上或减去同一个向量仍得到向量等式,移项法则对向量等式也是适用的.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)两个相等向量之差等于0.( )
(2)两个相反向量之差等于0.( )
(3)两个向量的差仍是一个向量.( )
(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算.( )
答案(1)√ (2)× (3)√ (4)√
激趣诱思
知识点拨
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
已知向量作向量的差
例1如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
反思感悟
求两个向量的差,关键是把两向量平移到首首相接的位置,然后利用向量减法的三角形法则来运算.
平移作两个向量的差的步骤:
此步骤可以简记为“作平移,共起点,两尾连,指被减”.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
变式训练1如图,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
向量的减法运算
例2化简下列各式:
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
反思感悟
1.满足下列两种形式可以化简
(1)首尾相接且为和;(2)起点相同且为差.
做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用及统一向量起点方法的应用.
2.在向量的减法中,无论是作图还是化简都必须考虑起点是否相同,差向量的起点和终点顺序不能颠倒.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
向量减法运算的几何意义
例3如图,
(2)当向量a,b满足什么条件时,四边形ABCD是矩形?
(3)当向量a,b满足什么条件时,四边形ABCD是菱形?
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
反思感悟
要熟练掌握在三角形、平行四边形等常见图形中,各边对应向量以及对角线对应向量之间的关系,能够运用向量的加法与减法进行正确的表示,同时还要熟悉常见平面图形的几何性质,能够从向量的角度,运用向量语言进行表示.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
A.点P在△ABC的内部
B.点P在△ABC的边AB上
C.点P在AB边所在直线上
D.点P在△ABC的外部
答案D
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
向量的和与差的模
例4已知|a|=|b|=1,|a+b|=1,则|a-b|=
( )
解析如图,根据向量加法的平行四边形法则可知,当|a|=|b|=1时,平行四边形ABDC为菱形.
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
反思感悟
解决向量模的问题的两种方法
(1)依据图形特点,适当运用三角形法则和平行四边形法则进行转化,要注意相关知识间的联系.
(2)利用向量形式的三角不等式,即||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求解.用此法求解时,一定要注意等号成立的条件.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
答案10,5
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
用已知向量表示未知向量
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
反思感悟
在解决这类问题时,要注意向量加法、减法和共线向量的应用.当运用三角形法则时,要注意两向量首尾相接,当两个向量起点相同时,可以考虑用减法.
事实上任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和,即
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
变式训练4如图,解答下列各题:
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
答案D
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
3.若a,b为相反向量,且|a|=1,|b|=1,则|a+b|= ,
|a-b|= .?
解析若a,b为相反向量,则a+b=0,所以|a+b|=0,又a=-b,
所以|a|=|-b|=1,因为a与-b共线,所以|a-b|=2.
答案0 2
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
答案a+b-c(共30张PPT)
2.1 向量的加法
课标阐释
1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义.(数学抽象、直观想象)
2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,会进行向量的加法运算.(数学抽象、数学运算)
3.掌握向量加法的交换律和结合律,会用它们进行计算.(数学运算、逻辑推理)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
以前台胞春节期间来大陆探亲,乘飞机先从台北到香港,再从香港到上海.
如今,两岸直航包机启航.若台北到香港的位移用向量a表示,香港到上海的位移用向量b表示,台北到上海的位移用向量c表示.
想一想,向量a、b、c有何关系?
激趣诱思
知识点拨
一、向量的加法及其运算法则
1.向量加法的概念
求两个向量和的运算,称为向量的加法.
2.向量加法的平行四边形法则
激趣诱思
知识点拨
3.向量加法的三角形法则
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.
2.规定:a+0=0+a=a.
3.非零向量a,b与向量a+b的模及方向的关系
(1)当向量a与b不共线时,a+b的方向与a,b都不相同,且|a+b|<|a|+|b|.
(2)当a与b同向时,a+b,a,b的方向相同,且|a+b|=|a|+|b|.
(3)当a与b反向时,若|a|≥|b|,则a+b与a的方向相同,且|a+b|=|a|-|b|.若|a|<|b|,则a+b与b的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|.
激趣诱思
知识点拨
微思考
向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系?
提示区别:①三角形法则中强调“首尾相连”,平行四边形法则中强调的是“共起点”;②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和,而平行四边形仅适用于不共线的向量求和.
联系:当两个向量不共线时,向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.
微探究
任意两个非零向量相加,是否都可以用向量的平行四边形法则进行?
答案不一定,当两向量共线时不能用平行四边形法则,只能用三角形法则.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)任何两个向量的和仍然是一个向量.( )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加.( )
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.( )
答案(1)√ (2)× (3)×
激趣诱思
知识点拨
答案C
激趣诱思
知识点拨
二、向量加法的运算律
1.向量加法满足结合律和交换律,即(a+b)+c=a+(b+c),a+b=b+a.
2.向量加法的多边形法则:由于向量的加法满足结合律与交换律,因此求n个向量α1,α2,…,αn的和可以按以下步骤进行:任取一点O,依次作有向线段
激趣诱思
知识点拨
名师点析向量加法与实数加法的异同
(1)运算结果:向量的和还是向量,实数的和还是实数.
(2)运算律:向量的加法与实数的加法都满足交换律与结合律.
(3)运算的意义:向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和平行四边形法则;实数加法的意义是实数的加法法则.
由此可见,向量的加法与实数的加法不相同,其根本原因是向量不仅有大小而且还有方向,而实数仅有大小,是数量,所以向量的运算不能按实数的运算法则来进行.
激趣诱思
知识点拨
微思考
你能验证向量加法也满足结合律吗?
提示如图,a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c).
激趣诱思
知识点拨
微探究
向量加法的交换律与结合律是否只对两个和三个向量成立?它们的作用是什么?
答案向量加法的交换律与结合律对多个向量仍然成立,它们的作用是对向量加法进行化简.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
已知向量作和向量
例1如图,已知向量a,b,c不共线,作向量a+b+c.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
求和向量的方法
(1)利用三角形法则.在平面内任取一点,以该点为始点,将其中一向量的起点平移至该点,之后再将其他向量平移并首尾相接,从一个向量的始点到另外一个向量的终点的向量就是这两个向量的和.
(2)利用平行四边形法则.在平面内任取一点,从此点出发分别作两个向量等于已知向量,以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形,以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
向量的加法运算
例2如图,已知O为正六边形ABCDEF的中心,化简下列向量:
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
进行向量的加法运算一般有两种方法:(1)利用几何方法通过作图实现化简;(2)利用代数方法,先通过向量加法的交换律,使各向量首尾相接,再用向量加法的结合律求和,有时还需将一个向量拆分成两个或多个向量.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
变式训练2在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是( )
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
向量的加法运算律及应用
例3化简下列各式:
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
1.向量的加法运算律的意义.
向量的加法运算律为向量加法提供了变形的依据,实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
2.应用原则.
利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
变式训练3下列等式错误的是( )
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
向量加法的实际应用
例4在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800
km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
向量加法应用的关键及技巧
(1)三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟练找出图形中的相等向量;三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出两个向量的和.
(2)应用技巧:准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量;将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
延伸探究本例中,这架飞机到达C地医院后,往正南方向飞行多大距离即可由此按正西方向飞回A地?
解如图,由点C作垂线,垂足为D,
因为∠BAC=45°,
所以∠CAD=90°-35°-45°=10°,
即可由此按正西方向飞回A地.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
2.设a表示“向东走5
km”,b表示“向南走5
km”,则a+b表示( )
A.向东走10
km
B.向东南走10
km
C.向南走10
km
D.向东南走5
km
解析如图,借助于向量加法的三角形法则或平行四边形法则,可知选D.
答案D
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
答案B
答案0(共38张PPT)
1.1 位移、速度、力与向量的概念
1.2 向量的基本关系
课标阐释
1.了解位移、速度和力等向量的实际背景,初步认识现实生活中向量和数量的区别.(数学抽象)
2.理解平面向量的概念,掌握向量的模、零向量、单位向量、相等向量、平行(共线)向量、相反向量等概念.(数学抽象)
3.掌握平面向量的表示方法.
4.了解向量的夹角.(数学抽象)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
帆船运动是借风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动.1900年第二届奥运会将其列为正式比赛项目.帆船的最大动力来源是“伯努利效应”,如果一艘帆船所受“伯努利效应”产生力的效果可使船向北偏东30°以20
km/h的速度行驶,而此时水的流向是正东,流速为20
km/h.若不考虑其他因素,可求得帆船的速度的大小和方向.
在现实生活和科学实验中常常会遇到两类量,一类量是只有大小而没有方向,这类量叫作数量;另一类量是既有大小又有方向,即本章要学习的向量.
激趣诱思
知识点拨
一、向量的背景及向量的概念与表示
1.向量的背景及向量的概念
(1)位移、速度和力这些物理量都是既有大小、又有方向的量,在物理中称为矢量.
(2)向量:既有大小,又有方向的量称为向量.
(3)数量:那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、长度、体重、面积、体积等).
激趣诱思
知识点拨
(4)有向线段:在物理学中,位移、速度和力通常用一条带箭头的线段表示,箭头表示这些量的方向,线段表示这些量的大小.在数学中,这些具有方向和长度的线段称为有向线段.(如图)以A为起点,B为终
激趣诱思
知识点拨
微思考
向量与数量有什么联系和区别?
答案联系是向量与数量都是有大小的量;区别是向量有方向且不能比较大小,数量无方向且能比较大小.?
微探究1
有向线段就是向量,向量就是有向线段吗?
答案有向线段是一个几何图形,是向量的直观表示.因此,有向线段与向量是完全不同的两个概念.
激趣诱思
知识点拨
2.向量的表示方法
(1)几何表示:向量可以用有向线段表示,其中有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.
3.有关概念
(1)向量a的大小,记作|a|,又称作向量的模.
(2)长度为0的向量称为零向量,记作0或
.任何方向都可以作为零向量的方向.
(3)模等于1个单位长度的向量称为单位向量.
激趣诱思
知识点拨
微探究2
零向量的方向是什么?两个单位向量的方向相同吗?
答案零向量的方向是任意的.两个单位向量的方向不一定相同.
微练习
下列物理量中不是向量的个数是( )
①质量 ②速度 ③力 ④加速度 ⑤路程 ⑥密度 ⑦功 ⑧电流强度
A.5
B.4
C.3
D.2
解析看一个量是否为向量,就要看它是否具备向量的两个要素——大小和方向,特别是方向的要求,对各量从物理本身的意义作出判断.②③④既有大小也有方向,是向量,①⑤⑥⑦⑧只有大小没有方向,不是向量.
答案A
激趣诱思
知识点拨
二、相等向量与共线向量
1.相等向量:指它们的长度相等且方向相同.向量a与b相等,记作a=b.
2.共线向量:若两个非零向量a,b的方向相同或相反,则称这两个向量为共线向量或平行向量,也称这两个向量共线或平行,记作a∥b.
两个向量共线或平行,是指表示这两个向量的有向线段所在的直线重合或平行.
3.相反向量:两个向量的长度相等、方向相反.相反向量是共线向量.若其中一个向量为a,则它的相反向量记作-a.
4.规定零向量与任一向量共线,即对于任意的向量a,都有0∥a.零向量的相反向量仍是零向量.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.共线向量
(1)向量共线时,向量所在的直线平行或重合.
(2)向量共线中的“共线”的含义不是平面几何中的“共线”的含义,共线向量有四种情况:方向相同且模相等;方向相同但模不相等;方向相反且模相等;方向相反但模不相等.
(3)如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量.
(4)任一向量都与它本身是共线向量.
激趣诱思
知识点拨
2.相等向量
(1)两个向量只有当它们的模相等,且方向相同时,才能称它们相等,例如a=b就意味着|a|=|b|,且a与b的方向相同.
(2)任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无关,只有大小和方向两个要素.
(3)向量是可以平行移动的,用有向线段表示向量时,可任意选择起点,即任意一组平行向量都可以移到同一条直线上.
(4)在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等.相等向量是共线向量,而共线向量不一定是相等向量.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)若a=b,b=c,则a=c.( )
(2)若a∥b,则a与b的方向一定相同或相反.( )
(4)向量的模是一个正实数.( )
答案(1)√ (2)× (3)× (4)×
激趣诱思
知识点拨
三、向量的夹角
1.定义:已知两个非零向量a和b,如图,在平面内选一点O,作
,则θ=∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角.
当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向;当θ=90°时,a与b垂直,记作a⊥b.
2.规定零向量可与任一向量垂直,即对于任意的向量a,都有0⊥a.
激趣诱思
知识点拨
名师点析对向量的夹角的理解
(1)向量夹角的几何表示.
依据向量夹角的定义,两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点,这样它们所成的角才是两个向量的夹角.如图①②③④⑤,已知两向量a,b,作
,则∠AOB为a与b的夹角.
激趣诱思
知识点拨
(2)注意事项.
①向量的夹角是针对非零向量定义的;②向量的夹角和直线的夹角范围是不同的,它们分别是[0,π]和
激趣诱思
知识点拨
微探究
激趣诱思
知识点拨
微练习
试指出图中向量的夹角.
激趣诱思
知识点拨
答案(1)θ (2)0° (3)180° (4)θ
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
向量的有关概念
例1给出以下说法:
①若|a|=0,则a为零向量;
②单位向量都相等;
③若a与b共线,则a与b的方向相同或相反;
④向量的模一定是正数;
⑤起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量;
其中正确说法的序号是 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
解析①正确,模等于0的向量是零向量;
②错误,单位向量模都相等,但方向不一定相同,因此,单位向量不一定相等;
③错误,由于零向量与任一向量共线,且方向是任意的,因此,当a与b共线且其中有一个零向量时,它们的方向不一定相同或相反;
④错误,向量的模是非负实数,可能是零;
⑤正确,对于一个向量只要不改变其模的大小和方向,是可以任意移动的,因此相等向量可以起点不同;
⑥错误,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量必须在同一直线上.
答案①⑤
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
向量及其相关概念的注意事项
1.区分向量与数量.向量既强调大小,又强调方向,而数量只与大小有关.
2.明确向量与有向线段的区别.有向线段有三要素,即起点、方向、长度,只要起点不同,另外两个要素相同也不是同一条有向线段;但决定向量的要素只有大小和方向,与表示向量的有向线段的起点无关.
3.零向量和单位向量都是通过模的大小来规定的.
4.平行向量也叫共线向量,当两个共线向量的方向相同且模相等时,两个向量为相等向量.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
变式训练1下列说法正确的是( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.向量的模可以比较大小
C.模为1的向量都是相等向量
D.由于零向量的方向不确定,因此零向量不能与任意向量平行
解析向量不能比较大小,故A不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故B正确;相等向量不但模相等,方向也相同,故C不正确;规定零向量与任意向量平行,故D不正确.
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
向量的表示
例2一辆汽车从点A出发向正西方向行驶了100
km到达点B,然后又改变方向向北偏西40°行驶了200
km到达点C,最后又改变方向,向正东行驶了100
km到达点D.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
解(1)所作向量如图所示.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
1.作平面向量时既要考虑向量的大小,又要考虑其方向和起点,必要时可以建立坐标系辅助作图.
2.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的模的大小确定向量的终点.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
变式训练2在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1),用直尺画出下列向量:
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
相等向量与共线(平行)向量
例3(1)
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
(2)O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在如图所示的向量中:
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
相等向量与共线向量的探求方法
1.寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
2.寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
向量的夹角
例4在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,指出下列各组向量的夹角.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
1.(2020山东济宁第二中学高一月考)关于零向量,下列说法中错误的是( )
A.零向量没有方向
B.零向量的长度是0
C.零向量与任一向量平行
D.零向量的方向是任意的
解析由定义可得,零向量的长度为0,方向任意,且零向量与任意向量都平行,所以选项A错误,所以选项B,C,D正确.故选A.
答案A
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
2.(多选)下列说法中不正确的是( )
A.单位向量的模都相等
B.长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C.若a与b满足|a|>|b|,且a与b同向,则a>b
D.若a,b都是单位向量,则a=b
解析单位向量的模为1,故A正确;向量共线包括同向和反向,故B不正确;向量不能比较大小,故C不正确;a,b都是单位向量,模相等但方向不一定相同,则不一定有a=b,故D不正确.故选BCD.
答案BCD
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
答案B
4.零向量与单位向量的关系是 (填“共线”“相等”或“无关”).?
解析零向量与任一向量共线.
答案共线
