(共36张PPT)
6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例
课标阐释
1.能运用平面向量的知识解决一些简单的平面几何问题和物理问题.(数学运算、逻辑推理)
2.掌握用向量法解决平面几何问题的方法,培养向量运算能力、推理论证能力.(数学建模、数学运算)
3.通过具体问题的解决,理解用向量知识研究物理的一般思路与方法,培养探究意识和应用意识,体会向量的工具作用.(数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
情景一 在日常生活中,我们都会有这样的体验:两个人一起提一个又大又重的旅行包时,两个人手臂的夹角越大就会越吃力;在单杠上做引体向上运动时,两手臂的夹角越小就会越省力,这些现象蕴含了什么道理,你能用本节学习的知识解释这种问题吗?
情景二 在风速为
km/h的西风中,飞机以150
km/h的航速向北偏西45°的方向航行,你能求出没有风速时飞机的航速和航行方向吗?
激趣诱思
知识点拨
一、向量在几何中的应用举例
由于向量的运算有着鲜明的几何背景,几何图形的许多变化和性质,如平移、全等、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示.
名师点析向量方法可以运用于证明有关直线平行、垂直、线段的相等、点共线、求夹角等问题,其基本方法有:
(1)证明线段相等,常运用向量加法的三角形法则与平行四边形法则,有时也用到向量减法的定义.如要证两线段AB=CD,可转化为证明
(2)证明线段平行、三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常运用向量平行(共线)的条件:a∥b?a=λb(或x1y2-x2y1=0).
激趣诱思
知识点拨
(4)证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断直线(线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:a⊥b?a·b=0
(或x1x2+y1y2=0).
(6)向量的坐标法,也可解决一些平面几何问题,如长方形、正方形、直角三角形等,通过建立直角坐标系,把向量用坐标表示,通过代数运算解决几何问题.
激趣诱思
知识点拨
微思考
向量可以解决哪些常见的几何问题?
答案(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系.
(2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题.
激趣诱思
知识点拨
微练习
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
答案B
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
答案(1)× (2)×
激趣诱思
知识点拨
二、向量在物理中的应用举例
1.力与向量
力与向量的异同.
(1)相同点:力和向量都既要考虑大小又要考虑方向.
(2)不同点:向量与起点无关,力和作用点有关,大小和方向相同的两个力,如果作用点不同,那么它们是不相等的.
2.向量方法在物理中的应用
(1)力、速度、加速度、位移都是向量.
(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算,运动的叠加亦用到向量的合成.
(3)功即是力F与所产生位移s的数量积.
激趣诱思
知识点拨
名师点析向量在物理中的应用
(1)力向量
力向量是具有大小、方向和作用点的向量,它与前面学习的自由向量不同,但力是具有大小和方向的量,在不计作用点的情况下,可用向量求和的平行四边形法则,求两个力的合力.
(2)速度向量
速度向量是具有大小和方向的向量,因而可用求向量和的平行四边形法则,求两个速度的合速度.
激趣诱思
知识点拨
微思考1
向量与力有什么相同点和不同点?
答案向量是既有大小又有方向的量,它们可以有共同的作用点,也可以没有共同的作用点,但是力却是既有大小,又有方向且作用于同一作用点的.用向量知识解决力的问题,往往是把向量起点平移到同一作用点上.
微思考2
向量的运算与速度、加速度及位移有什么联系?
答案速度、加速度与位移的合成与分解,实质上是向量的加减法运算,而运动的叠加也用到向量的合成.向量源于物理中的力、速度、加速度、位移等“矢量”.向量在解决涉及上述物理量的合成与分解时,实质就是向量的线性运算.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(x,y)和合力F1+F2+F3=0,则F3的坐标为 .?
解析由F1+F2+F3=0,得F3=0-F1-F2=0-(3,4)-(2,-5)=(-5,1).
答案(-5,1)
探究一
探究二
当堂检测
向量在平面几何中的应用
角度1 平行或共线问题
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟
证明A,B,C三点共线的步骤
(1)证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线.
(2)说明两向量有公共点.
(3)下结论,即A,B,C三点共线.
探究一
探究二
当堂检测
变式训练1如图,已知AD,BE,CF是△ABC的三条高,且交于点O,DG⊥BE于G,DH⊥CF于H.求证:HG∥EF.
探究一
探究二
当堂检测
角度2 垂直问题
例2如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用向量证明:PA⊥EF.
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟
向量法证明平面几何中AB⊥CD的方法
探究一
探究二
当堂检测
变式训练2如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.
探究一
探究二
当堂检测
角度3 长度问题
例3如图,在平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟
在解决求长度的问题时,可利用向量的数量积及模的知识,解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决.
探究一
探究二
当堂检测
答案B
探究一
探究二
当堂检测
角度4 夹角问题
例4已知矩形ABCD,AB=
,AD=1,E为DC上靠近D的三等分点,求∠EAC的大小.
反思感悟
利用平面向量解决几何中的夹角问题,本质是将平面图形中的角视为两个向量的夹角,借助夹角公式进行求解.这类问题也有两种方向,一是利用向量的基求解,二是利用坐标运算.在求解过程中,务必注意向量的方向.
探究一
探究二
当堂检测
延伸探究本例中,条件不变,试问:在BC上是否存在点M,使得∠EAM=45°?若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由.
探究一
探究二
当堂检测
向量在物理中的应用
角度1 向量的线性运算在物理中的应用
例5帆船比赛是借助风帆推动船在规定距离内竞速的一项水上运动.如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°,速度为20
km/h,此时水的流向是正东,流速为20
km/h.若不考虑其他因素,求帆船的速度与方向.
探究一
探究二
当堂检测
解建立如图所示的直角坐标系,风的方向为北偏东30°,
速度为|v1|=20(km/h),水流的方向为正东,速度为|v2|=20(km/h),
设帆船行驶的速度为v,则v=v1+v2.
由题意,可得向量v1=(20cos
60°,20sin
60°)=(10,10
),向量v2=(20,0),
则帆船的行驶速度
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟
运用向量解决物理中的速度问题,一般涉及速度的合成与分解,因此应充分利用三角形法则与平行四边形法则将物理问题转化为数学中的向量问题,正确地作出图形再解决问题.
探究一
探究二
当堂检测
变式训练4某人在静水中游泳,速度为4
km/h,水的流速为4
km/h,他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?
探究一
探究二
当堂检测
角度2 向量的数量积在物理中的应用
例6
如图,已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上),大小为50
N,一个质量为8
kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平面上运动了20
m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少?(g=10
m/s2)
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟
向量在力学中的应用一般涉及力的合成与分解,应充分借助向量平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题.该题涉及解三角形,因此正确作图是前提.
探究一
探究二
当堂检测
变式训练5如图,作用于同一点O的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,已知|F1|=1,|F2|=2,F1与F2的夹角为
,求F3的大小.
解因为F1,F2,F3三个力处于平衡状态,
所以F1+F2+F3=0,
即F3=-(F1+F2),
探究一
探究二
当堂检测
答案D
答案D
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
3.一物体受到相互垂直的两个力F1,F2的作用,两力大小都为5
N,则两个力的合力的大小为 .?
探究一
探究二
当堂检测
4.已知力F=(2,3)作用在一物体上,使物体从A(2,0)移动到B(-2,3),则F对物体所做的功为 焦耳.?
答案1(共50张PPT)
第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形
课标阐释
1.会用正弦定理、余弦定理解决与三角形有关的几何计算问题.(数学运算、逻辑推理)
2.会用正弦定理、余弦定理解决与距离、高度、角度有关的实际问题.(数学建模、数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
滑行的距离
滑冰是一项集力量、耐力和速度于一身的运动项目.在第21届温哥华冬奥会上,有两个滑冰者甲和乙位于冰面上A、B两点,A与B相距100
m.如果甲从A出发,以8
m/s速度沿着一条与AB成60°角的直线滑行,同时乙从B出发,以7
m/s
的速度沿着与甲相遇的最短直线滑行.
那么相遇时,甲滑行了多远呢?
激趣诱思
知识点拨
一、解三角形与三角形有关的几何计算
在三角形的三条边和三个角这6个元素中,如果已知3个(至少含一边长),那么由余弦定理和正弦定理,就可以求得其他3个元素.具体情形如下:
情形1 已知两个角的大小与一条边的边长.
先由三角形内角和等于180°求出第三个角的大小,然后依据正弦定理求得另外两条边的边长.
情形2 已知两条边的边长及其夹角的大小.
先由余弦定理求出第三条边的边长,然后再由余弦定理求得第二、第三个角的大小.
激趣诱思
知识点拨
情形3 已知三条边的边长.
由余弦定理求出两个角,再利用三角形内角和等于180°求出第三个角.
情形4 已知两条边的边长和其中一边对角的大小.
首先,由正弦定理求出第二条边所对角的正弦,这时,要判断是两解、一解还是无解.然后,根据三角形内角和等于180°得到第三个角的大小.最后,由余弦定理或正弦定理求得第三条边的边长.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.应用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题?
(1)已知三角形的任意两个角与一边,求其他两边和另一角.
(2)已知三角形的两边与其中一边的对角,求另一边的对角,进而计算出其他的边和角.
2.应用余弦定理可以解决哪些解三角形问题?
(1)已知三角形的两边及其夹角,求其他的边和角.
(2)已知三角形的三边,求三个角.
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
答案(1)C (2)等腰直角三角形
激趣诱思
知识点拨
二、解三角形的实际应用
1.实际测量中的有关名称、术语
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
2.解三角形应用题的步骤
解三角形应用题时,通常都要根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解三角形,得到实际问题的解.求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题.
激趣诱思
知识点拨
(1)解题思路
(2)基本步骤
①分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图(一个或几个三角形);
②建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中,建立一个解三角形的数学模型;
③求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得数学模型的解;
④检验:检验所求的解是否符合实际问题,从而得出实际问题的解.
激趣诱思
知识点拨
微思考
张晓同学从家中出发,先向东走了1
000
m,然后拐弯向北走了200
m,你能用什么方法确定其方位?
答案方向角
激趣诱思
知识点拨
微练习1
从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系是( )
A.α>β B.α=β
C.α+β=90°
D.α+β=180°
解析如图,在A处望B处的仰角α与从B处望A处的俯角β是内错角,根据水平线平行,得α=β.
答案B
激趣诱思
知识点拨
微练习2
已知目标A的方位角为135°,请画出其图示.
解如图所示:
激趣诱思
知识点拨
微练习3
请分别画出北偏东30°,南偏东45°的方向角.
解如图所示:
探究一
探究二
当堂检测
解三角形与三角形有关的几何计算
角度1 三角形中线段长度的计算
例1
在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求BC的长.
探究一
探究二
当堂检测
解在△ABD中,设BD=x,由余弦定理,得BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA
即142=x2+102-2·10x·cos
60°,
整理得x2-10x-96=0,
解得x1=16,x2=-6(舍去),所以BD=16.
由AD⊥CD,∠BDA=60°,知∠CDB=30°,
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟
解决此类问题要处理好两个关键点
(1)找出已知某边长的三角形,从中筛选出可解三角形.
(2)找要求线段所在的三角形,确定所需条件.解题时二者应结合,明确解题思路.
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
角度2 证明问题
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟
解决此类问题时,要灵活运用三角形中特有的恒等变形公式、三角形边和角的相互转换公式,主要是正弦定理、余弦定理,因此这类题型都可用不同的途径求解.
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
解三角形的实际应用
角度1 测量距离问题
§1 求可到达点与不可到达点之间的距离问题
例3如图
,一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走,开始在A处,经观察,在河的对岸有一参照物C,与学生前进方向成30°角,学生前进200
m
后到达点B,测得该参照物与前进方向成75°角.
(1)求点A与参照物C的距离;
(2)求河的宽度.
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟
1.测量从一个可到达的点与一个不可到达的点之间的距离问题,一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题,从而运用正弦定理解决.
2.如图,点B为不可到达点,求A,B的距离的
具体解题步骤:
(1)取基线AC(尽量长),且使AB,AC不共线;
(2)测量AC,∠BAC,∠BCA;
探究一
探究二
当堂检测
变式训练3
如图所示,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120
m,则河的宽度为
m.?
解析由题意,得∠ACB=180°-30°-75°=75°,所以△ABC为等腰三角形.因为河宽即边AB上的高,这与边AC上的高相等,过点B作BD⊥AC于D,
所以河宽=BD=120sin
30°=60(m).
答案60
探究一
探究二
当堂检测
§2 求不可到达的两点之间的距离问题
例4如图,隔河看到两个目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距
km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两个目标A,B之间的距离.
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟
测量两个不可到达的点之间的距离问题,一般是先把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题,再把求未知的边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题,最后运用正弦定理解决问题.
探究一
探究二
当堂检测
(1)A处与D处的距离;
(2)灯塔C与D处的距离.
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
角度2 测量高度问题
例5如图,为了测量河对岸的塔高AB,选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=200
m,在点C和点D测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟
1.在测量底部不可到达的建筑物的高度时,可以借助正弦定理或余弦定理,构造两角(两个仰角或两个俯角)和一边或三角(两个方向角和仰角)和一边,如图所示.
探究一
探究二
当堂检测
2.解决测量高度问题的一般步骤:
探究一
探究二
当堂检测
变式训练5如图,在山顶铁塔上B处测得一点A的俯角为α,在塔底C处测得A处的俯角为β.若铁塔高为m米,则山高CD为 米.?
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
角度3 测量角度问题
§1 实际测量中的角度问题
例6地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向,且距离他40
m,之后该测绘人员沿正北方向行走了40
m,达到点B.试确定此时目标参照物P相对于他的方位角以及他与目标参照物P的距离.
探究一
探究二
当堂检测
因为AB=40
m,所以AB=PB,所以∠APB=∠PAB=30°,所以∠PBA=120°.因此测绘人员到达点B时,目标参照物P相对于该测绘人员的方位角为180°-120°=60°,且目标参照物P与他的距离为40
m.
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟
解决实际测量中的角度问题的基本步骤
(1)找准观测点以及参照物,根据“上北下南,左西右东”确定正北方向;
(2)根据题意作出示意图;
(3)分析图中的已知量和未知量,标出有关角和线段的大小;
(4)利用正弦定理或余弦定理解三角形,求出未知量.
探究一
探究二
当堂检测
变式训练6如图所示,从A到B,方位角是50°,距离是470
m;从B到C,方位角是80°,距离是860
m;从C到D,方位角是150°,距离是640
m,试计算从A到D的方位角和距离.
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
§2 航海与追击中的角度问题
例7某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45°,距离为10
n
mile的C处,并测得渔轮正沿方位角为105°的方向,以9
n
mile/h的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以21
n
mile/h的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟
1.本题欲求方位角,先求边长,而要求边长,需先求时间.由于舰艇与渔轮同时在移动,因此相遇点不确定,即舰艇的航向不确定,解题时画图的关键是设出相遇点B,画出可以求解的三角形.
2.解决这类问题,首先明确题中所给各个角的含义,然后分析题意,根据题意画出正确的示意图,将实际问题转化为数学问题,运用正弦定理或余弦定理求解.
探究一
探究二
当堂检测
1.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,则它的顶角的余弦值为( )
答案B
探究一
探究二
当堂检测
2.若P在Q的北偏东44°50'方向上,则Q在P的( )
A.东偏北45°10'方向上
B.北偏东45°50'方向上
C.南偏西44°50'方向上
D.西偏南45°50'方向上
解析如图所示,点Q在点P的南偏西44°50'方向上.
答案C
探究一
探究二
当堂检测
3.已知A、B两地间的距离为10
km,B,C两地间的距离为20
km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为( )
解析由余弦定理可知AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC.
又因为AB=10,BC=20,∠ABC=120°,
所以AC2=102+202-2×10×20×cos
120°=700.
所以AC=10
.
答案D
探究一
探究二
当堂检测
4.一角槽的断面如右图,四边形ADEB是矩形,若α=50°,β=70°,AC=90
mm,
BC=150
mm,则DE的长度为
mm.?
答案210(共30张PPT)
第2课时 正弦定理
课标阐释
1.掌握正弦定理及其变形.(数学运算、逻辑推理)
2.了解正弦定理的证明方法.(逻辑推理、数学建模)
3.掌握三角形正弦面积公式及其应用.(数学运算、逻辑推理)
4.能应用正弦定理解决相关问题,并能综合运用正弦定理和余弦定理解决问题.(数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
“无限风光在险峰”,在充满象征色彩的诗意里,对险峰的慨叹跃然纸上,成为千古之佳句.对于难以到达的险峰应如何测出其海拔高度呢?能通过在水平飞行的飞机上测量飞机下方的险峰海拔高度吗?在本节中,我们将学习正弦定理,借助已学的三角形的边角关系解决实际问题.
激趣诱思
知识点拨
一、正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
名师点析对正弦定理的理解
1.适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立.
2.结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式.
3.揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的关系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关系.
4.主要功能:正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)正弦定理只适用于锐角三角形.( )
(2)正弦定理不适用于直角三角形.( )
(3)在某一确定的三角形中,各边与它所对角的正弦的比是定值.
( )
答案(1)× (2)× (3)√
激趣诱思
知识点拨
二、正弦定理的拓展
1.正弦定理与三角形外接圆的关系
以Rt△ABC斜边AB为直径作外接圆,设这个外接圆的半径为R,则
2.正弦定理的变形(R为△ABC外接圆的半径)
变式1:a=2Rsin
A,b=2Rsin
B,c=2Rsin
C.
变式3:asin
B=bsin
A,bsin
C=csin
B,asin
C=csin
A.
变式4:a∶b∶c=sin
A∶sin
B∶sin
C.
激趣诱思
知识点拨
微思考
正弦定理主要解决哪几类三角形问题?
答案(1)已知两角和任意一边,求其他两边和一角.
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).
激趣诱思
知识点拨
微练习
在△ABC中,B=30°,C=45°,c=1,求边b的长及△ABC外接圆的半径R.
激趣诱思
知识点拨
三、三角形解的个数
1.已知三角形的两角与一边,根据正弦定理,有且只有一解.
2.已知三角形的两边及其中一边的对角,根据正弦定理,可能有两解、一解或无解.在△ABC中,当已知a,b和角A时,解的情况如下:
类型
A为钝角
A为直角
A为锐角
a>b
一解
一解
一解
a=b
无解
无解
一解
a
无解
无解
a>bsin
A
两解
a=bsin
A
一解
aA
无解
激趣诱思
知识点拨
名师点析在△ABC中,当已知a,b和角A时,解的情况如下:
激趣诱思
知识点拨
微思考
对于一个已知三角形,一定有解吗?如果不是,可能有几个解?
答案不一定有解,解的个数可能为0,1,2,不可能有3个或3个以上的解.
激趣诱思
知识点拨
微练习
不解三角形,判断下列三角形解的个数.
(1)a=5,b=4,A=120°;
(2)a=7,b=14,A=150°;
(3)a=9,b=10,A=60°.
解(1)因为A=120°为钝角,
a=5>b=4,
所以三角形有一解.
(2)因为A=150°为钝角,a=7所以三角形无解.
(3)因为a=60°为锐角,a=9,bsin
A=
所以a>bsin
A,所以三角形有两解.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
已知两角和一边解三角形
例1在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4,解三角形.
解因为B=30°,C=105°,所以A=180°-(B+C)
=180°-(30°+105°)=45°.
反思感悟
已知两角及一边解三角形的方法
1.若所给边是已知两角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.
2.若所给边不是已知两角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
变式训练1在△ABC中,a=20,A=45°,B=75°,则边c的长为 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
已知两边和其中一边的对角解三角形
例2在△ABC中,已知下列条件,解三角形:
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一.
(3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
延伸探究本例中,将条件改为“a=5,b=2,B=120°”,解三角形.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
判断三角形的形状
例3已知在△ABC中,bsin
B=csin
C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
判断三角形的形状,就是根据题目条件,分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下:
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
不解三角形判断三角形解的个数
例4满足条件a=4,b=3
,A=45°的三角形的个数是( )
A.1个
B.2个
C.无数个
D.不存在
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
已知两边及其中一边的对角,用正弦定理解三角形,可能有两解、一解或无解.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:
(1)当A为锐角时,
①aA,无解;
②a=bsin
A,一个解;
③bsin
A④a≥b,一个解.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
(2)当A为直角或钝角时,
①a>b,一个解;
②a≤b,无解.
求解该类问题时,一般先判断角为锐角、钝角还是直角,然后借助边之间的关系进行判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
答案D
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
2.已知△ABC中,b=4
,c=2,C=30°,那么此三角形( )
A.有一解
B.有两解
C.无解
D.解的个数不确定
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
答案1
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
4.在△ABC中,lg(sin
A+sin
C)=2lg
sin
B-lg(sin
C-sin
A),则此三角形的形状是 .?
所以sin2C-sin2A=sin2B,
结合正弦定理得c2=a2+b2,
所以△ABC为直角三角形.
答案直角三角形(共28张PPT)
第1课时 余弦定理
课标阐释
1.掌握余弦定理及其变形.(数学运算、逻辑推理)
2.掌握余弦定理的证明过程.(逻辑推理)
3.能够利用余弦定理解决有关问题.(数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
隧道工程的设计,经常要测算山脚的长度,工程技术人员先在地面上选一适当的位置A,量出A到山脚B,C的距离,再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角,那么如何求出山脚的长度BC呢(如图)?
显然,用以前所学知识很难解决这个问题,为此我们来学习一种新的解决办法——余弦定理.
激趣诱思
知识点拨
一、余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍,即
a2=b2+c2-2bccos
A,b2=a2+c2-2accos
B,
c2=a2+b2-2abcos
C.
名师点析1.对余弦定理的理解
(1)适用范围:余弦定理对任意三角形都成立.
(2)揭示规律:余弦定理指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系,若已知三角形的两边及其夹角,可以直接求其第三边.实际上,若已知其中的任何三个量,都可以求出第四个量.
激趣诱思
知识点拨
2.余弦定理与勾股定理的关系
在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos
C,若角C=90°,则cos
C=0,于是c2=a2+b2-2a·b·0=a2+b2,这说明勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广.
设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角),则
a2+b2a2+b2=c2?△ABC是直角三角形,且角C为直角;
a2+b2>c2?△ABC是锐角三角形,且角C为锐角.
激趣诱思
知识点拨
微思考
你能否建立坐标系,结合解直角三角形的知识用解析法证明余弦定理?
提示如图,以点A为原点,以△ABC的边AB所在直线为x轴,以过点A与AB垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系,
则A(0,0),C(bcos
A,bsin
A),B(c,0).
由两点间的距离公式得
BC2=(bcos
A-c)2+(bsin
A-0)2,
即a2=b2cos2A-2bccos
A+c2+b2sin2A
=b2+c2-2bccos
A.
同理可证b2=a2+c2-2accos
B;c2=a2+b2-2abcos
C.
激趣诱思
知识点拨
微练习
在△ABC中,AB=4,BC=3,B=60°,则AC等于 .?
激趣诱思
知识点拨
二、余弦定理的变形
名师点析对余弦定理变形的理解
(1)利用余弦定理解三角形时,要注意根据条件恰当选取公式.一般地,求边长时,使用余弦定理;求角时,使用余弦定理的变形.
(2)余弦定理及其变形在结构上有所不同,因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择.
(3)应用变形,可以由三角形的三边计算出三角形的三个内角.
(4)余弦定理及变形把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画,使其变成了可以计算的公式.
激趣诱思
知识点拨
微练习
边长为5,7,8的三角形中,最大角与最小角的和是 .?
解析设中间角为θ,由于8>7>5,故θ的对边长为7,由余弦定理,得
答案120°
激趣诱思
知识点拨
三、三角形的面积公式
1.在△ABC中,若ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高,则
激趣诱思
知识点拨
微练习
在△ABC中,AB=
,D为BC的中点,AD=1,∠BAD=30°,则△ABC的面积S△ABC= .?
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
已知两边及一角解三角形
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,则可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,则可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
已知三边解三角形
例2(1)在△ABC中,若a2+b2+ab=c2,则角C= .?
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
已知三角形的三边解三角形的步骤
1.分别用余弦定理的变形求出两个角;
2.用三角形内角和定理求出第三个角.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
利用余弦定理判断三角形的形状
例3(1)在△ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cos
Asin
B=sin
C,试判断三角形的形状.
(2)在△ABC中,若acos
B+acos
C=b+c,试判断该三角形的形状.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
解(1)因为A+B+C=180°,所以sin
C=sin(A+B).
因为2cos
Asin
B=sin
C,所以2cos
Asin
B=sin
Acos
B+cos
Asin
B,
所以sin
Acos
B-cos
Asin
B=0,
所以sin(A-B)=0.
因为0°所以-180°又(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
所以a2+b2-c2=ab,所以cos
C=
.
因为0°(2)由acos
B+acos
C=b+c结合余弦定理,得
(b+c)(a2-b2-c2)=0.因为b+c≠0,所以a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:(1)先化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.(2)先化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.
2.判断三角形的形状时,经常用到以下结论:
(1)△ABC为直角三角形?a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.
(2)△ABC为锐角三角形?a2+b2>c2,且b2+c2>a2,且c2+a2>b2.
(3)△ABC为钝角三角形?a2+b2(4)若sin
2A=sin
2B,则A=B或A+B=
.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
变式训练2在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=bccos
A+cacos
B+abcos
C,则△ABC是 三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)?
答案直角
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
有关三角形的面积问题
例4已知角A,B,C为△ABC的三个内角,且其对边分别为a,b,c,
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
变式训练3已知△ABC中,A=120°,a=7,b+c=8,求b,c及△ABC的面积.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
1.在△ABC中,若aA.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不存在
解析因为c2因为a所以△ABC为锐角三角形.
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
3.已知三角形的两边长分别为4和5,它们的夹角的余弦是方程2x2+3x-2=0的根,则第三边的长是 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
4.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则C的大小为 .?
解析由p∥q,得(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,即a2+b2-c2=ab,(共24张PPT)
5.2 向量数量积的坐标表示
5.3 利用数量积计算长度与角度
课标阐释
1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角.(数学运算)
2.掌握向量垂直条件的坐标形式,并能灵活运用.(数学运算、逻辑推理)
3.会利用数量积计算长度与角度.(数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
“我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞飞过绝望,不去想他们拥有美丽的太阳,我看见每天的夕阳也会有变化,我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”,它又能飞多远呢?本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示.它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”,从而使几何问题数量化,把“定性”研究推向“定量”研究.
激趣诱思
知识点拨
一、向量数量积的坐标表示
数量积的坐标形式:已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
名师点析数量积的坐标形式的推导
在平面直角坐标系中,设i,j分别是x轴和y轴方向上的单位向量,则a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i·i+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j·j.
因为i·i=j·j=1,i·j=j·i=0,
所以a·b=x1x2+y1y2.
激趣诱思
知识点拨
微思考
用向量的数量积的坐标表示求数量积的优势是什么?
答案优势是不需求向量的模和夹角,直接求数量积,简化了运算.
微练习
已知a=(-3,4),b=(5,2),则a·b的值是( )
A.23
B.7
C.-23
D.-7
解析a·b=(-3,4)·(5,2)=-3×5+4×2=-7.
答案D
激趣诱思
知识点拨
二、向量的模与夹角的坐标表示
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1y2-x2y1=0.( )
答案(1)× (2)×
微练习1
若a=(1,m),且|a|=2,则m的值为 .?
激趣诱思
知识点拨
答案120°
微练习3
已知向量a=(x-5,3),b=(2,x),且a⊥b,则由x的值构成的集合是( )
A.{2,3}
B.{-1,6}
C.{2}
D.{6}
解析因为a⊥b,所以a·b=2(x-5)+3x=0,解之,得x=2,则由x的值构成的集合是{2}.
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
数量积的坐标运算
角度1 数量积的基础坐标运算
例1已知向量a=(-1,2),b=(3,2).
(1)求a·(a-b);
(2)求(a+b)·(2a-b);
(3)若c=(2,1),求(a·b)·c,a·(b·c).
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解(1)a·(a-b)=a·a-a·b
=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.
(2)因为a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),
2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),
所以(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2.
(3)(a·b)·c=[(-1,2)·(3,2)](2,1)
=(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1).
a·(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]
=(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).
探究一
探究二
探究三
当堂检测
角度2 数量积的坐标运算在几何图形中的应用
答案5
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算律和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,建立平面直角坐标系,写出相应点的坐标即可求解.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
利用坐标运算解决模的问题
例3已知向量a=(1,2),b=(3,-1).
(1)求|a-2b|;
(2)求与a垂直的单位向量;
(3)求与b平行的单位向量.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
利用坐标运算解决夹角与垂直问题
例4已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.
(1)求b与c;
(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.
解(1)因为a∥b,所以3x=4×9,即x=12.
因为a⊥c,所以3×4+4y=0,所以y=-3.
故b=(9,12),c=(4,-3).
(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),
n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).
设m,n的夹角为θ,
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究本例中,其他条件不变,若向量d=(2,1),且c+td与d的夹角为45°,求实数t的值.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.已知a=(3,4),b=(-2,-1),则(a-b)·(a+2b)等于( )
A.5
B.10
C.15
D.20
解析(a-b)·(a+2b)=(5,5)·(-1,2)=-1×5+2×5=5.
答案A
2.已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3),且a⊥b,则x=( )
A.-3
B.-1
C.1
D.-9
解析a·b=3x-3=0,解得x=1.
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.设向量a与b的夹角为θ,且a=(3,3),2b-a=(-1,1),则cos
θ= .?
解析设b=(x,y),则2b-a=(2x,2y)-(3,3)=(2x-3,2y-3)=(-1,1),
所以2x-3=-1,2y-3=1,解得x=1,y=2.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
4.已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若|a+b|不超过5,则k的取值范围是 .?
答案-6≤k≤2(共30张PPT)
5.1 向量的数量积
课标阐释
1.理解平面向量的数量积的定义及其物理意义.(数学抽象)
2.掌握数量积公式及投影向量的意义.(数学运算、直观想象)
3.掌握平面向量数量积的性质及运算律.(数学运算)
4.会求向量的数量积及夹角,能运用数量积求投影数量.(数学抽象、数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
一只猴子捡到一把钝刀,连小树也砍不断.于是它向砍柴人请教,砍柴人说“把刀放到石上磨一磨”.猴子高兴地跑回去,把刀放在一块石头上拼命地磨,直到发现刀口和刀背差不多厚了,才停下来……结果当然是失败的.难道猴子没有做功吗?不!难道猴子没有用心吗?不!但是做功≠成功.
物理学当中的做功在数学中叫什么,是如何表示的呢?
激趣诱思
知识点拨
一、向量的数量积的定义
激趣诱思
知识点拨
规定零向量与任一向量的数量积为0.
当0°≤<90°时,a·b>0;当=90°时,a·b=0;
当90°<≤180°时,a·b<0;
当=0°时,a·b=|a||b|;当=180°时,a·b=-|a||b|.
名师点析对数量积含义的理解
(1)向量的数量积a·b,不能表示为a×b或ab.
(2)两个向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量;向量的数乘的结果是一个向量,其长度是原向量长度的倍数.
(3)两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦的乘积,由于|a|,|b|均为正数,故其符号由夹角来决定.
激趣诱思
知识点拨
微思考
若a·b>0,a与b的夹角是锐角吗?a·b<0,a与b的夹角是钝角吗?反过来说呢?
答案若a·b>0,则a与b的夹角是锐角或0°;若a·b<0,则a与b的夹角是钝角或180°.反过来,若a与b的夹角是锐角,则a·b>0;若a与b的夹角是钝角,则a·b<0.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)向量的夹角和直线的夹角的范围相同.( )
(2)设向量a与b夹角为θ,则cos
θ>0?a·b>0.( )
答案(1)× (2)√
微练习
已知向量a和b的夹角为30°,|a|=2,|b|=3,则向量a和b的数量积
a·b= .?
答案3
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
2.由向量投影的定义,可以得到向量的数量积a·b的几何意义:
b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos
θ的乘积(如下图);
或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos
θ的乘积.
名师点析1.a在b上的投影与b在a上的投影是不同的.
2.向量b在向量a方向上的投影数量不是向量而是数量,它的符号取决于a与b的夹角θ的范围.
激趣诱思
知识点拨
微思考
按照投影数量的定义,非零向量b在a方向上的投影数量为|b|cos
θ,其具体情况,我们可以如何借助图形分析?
答案
激趣诱思
知识点拨
答案D
激趣诱思
知识点拨
三、平面向量数量积的运算律
对任意的向量a,b,c和实数λ.
(1)交换律:a·b=b·a.
(2)与数乘的结合律:λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).
(3)关于加法的分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.
名师点析1.已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc?a=c.但对于向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c
a=c.
2.对于实数a,b,c有(ab)c=a(bc),但对于向量a,b,c,(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)两个向量的数量积的运算结果是一个向量.( )
(2)若a·b=b·c,则一定有a=c.( )
(3)(a-b)·c=a·c-b·c.( )
答案(1)× (2)× (3)× (4)√
激趣诱思
知识点拨
四、平面向量的数量积的性质
1.若e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cos;
2.若a,b是非零向量,则a·b=0?a⊥b;
5.|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立.
名师点析常用运算公式
(1)(a+b)·(a+b)=|a|2+2a·b+|b|2.
(2)(a-b)·(a-b)=|a|2-2a·b+|b|2.
(3)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.
激趣诱思
知识点拨
微思考
在实数运算中,若ab=0,则a与b中至少有一个为0;而在向量数量积的运算中,能由a·b=0推出a=0或b=0吗?
答案不能.当a·b=0时,a=0或b=0或a≠0,b≠0,但a⊥b.
微练习
若向量a满足a·a=8,则|a|= .?
解析因为|a|2=a×a=8,所以|a|=2
.
答案2
探究一
探究二
探究三
当堂检测
求平面向量的数量积
角度1 数量积的简单计算
例1已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求:
(1)a·b;(2)(2a-b)·(a+3b).
(2)(2a-b)·(a+3b)=2|a|2+5|a||b|cos
120°-3|b|2=8-15-27=-34.
反思感悟
求向量的数量积时,需明确两个关键点,相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律进行化简,再进行数量积运算.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案-1
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
1.解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
求向量的投影数量
例3如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是边BC的中点,求:
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解如图,连接AD,因为AB=AC=4,∠BAC=90°,所以△ABC是等腰直角三角形.
又D是BC边的中点,
所以AD⊥BC,∠ABD=45°,
反思感悟
求投影数量时要搞清楚是哪一个向量在哪一个向量方向上的投影,在正确理解其定义的同时,找准两向量之间的夹角是关键.在确定两向量的夹角时,一定要注意“共始点”.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
向量数量积的运算律的综合应用
例4已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角θ为60°,求(a+2b)·(a-3b).
解(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b
=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cos
θ-6|b|2
=62-6×4×cos
60°-6×42
=-72.
反思感悟
熟练掌握两向量的数量积的定义及运算性质,是解决此类问题的关键.计算形如(ma+nb)·(pa+qb)的数量积可仿照多项式乘法的法则展开计算,再运用数量积定义求解.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究若将本例中条件“a与b的夹角为60°”改为“a与b的夹角为120°”,结论如何?
解(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b
=|a|2-a·b-6|b|2
=|a|2-|a||b|cos
θ-6|b|2
=62-6×4×cos
120°-6×42
=-48.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30°,则a在b方向上的投影数量为( )
解析a在b方向上的投影数量为|a|cos=4×cos
30°=2
.故选C.
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.对于向量a,b,c和实数λ,下列命题是真命题的是( )
A.若a·b=0,则a=0或b=0
B.若λa=0,则λ=0或a=0
C.若a·a=b·b,则a=b或a=-b
D.若a·b=a·c,则b=c
解析A中,若a·b=0,则a=0或b=0或a≠0,b≠0,但a⊥b,故A错;C中,若a·a=b·b,则|a|=|b|,C错;D中,当a=0时,推不出b=c,D错误;选项B正确.故选B.
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案-25