第二章单元质量评估(一)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．在?ABCD中，－＋等于( D )
A.
B.
C.
D.
解析：－＋＝＋＋＝.
2．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)且a⊥b，则x的值为( C )
A．2或3
B．－1或6
C．2
D．6
解析：本题考查向量垂直的条件．依题意得a·b＝2(x－5)＋3x＝0，x＝2，选C.
3．若向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论正确的是( C )
A．a·b＝1
B．|a|＝|b|
C．(a－b)⊥b
D．a∥b
解析：a·b＝2，所以A不正确；|a|＝2，|b|＝，则|a|≠|b|，所以B不正确；a－b＝(1，－1)，(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，所以(a－b)⊥b，所以C正确；由于2×1－0×1＝2≠0，所以a，b不平行，所以D不正确．
4．在四边形ABCD中，已知＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( C )
A．平行四边形
B．矩形
C．梯形
D．菱形
解析：∵＝＋＋＝－8a－2b＝2，∴四边形ABCD为梯形．
5．若向量a，b的夹角为，且|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|是( C )
A．2
B．4
C．6
D．12
解析：本题主要考查平面向量的数量积．由(a＋2b)(a－3b)＝－72，|b|＝4，夹角为，得|a|2－2|a|－24＝0，解得|a|＝6，故选C.
6．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上一点P使·有最小值，则P点的坐标为( C )
A．(－3,0)
B．(2,0)
C．(3,0)
D．(4,0)
解析：设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，·＝(x－3)2＋1，当x＝3时，·有最小值1，∴P(3,0)．
7．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( B )
A．
B．
C．2
D．10
解析：由题意知解得故a＋b＝(3，－1)，从而|a＋b|＝.
8．下列说法中正确的个数为( A )
(1)＋＋＋＋＝；
(2)若a·b<0，则向量a与b的夹角是钝角；
(3)向量e1＝(2，－3)，e2＝(，－)能作为表示平面内所有向量的一组基底；
(4)若a∥b，则a在b上的射影为|a|.
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：＋＋＋＋＝＋＋(＋＋)＝＋＋＝，(1)正确；当|a|＝|b|＝1，且a与b反向时，a·b＝－1<0，但a与b的夹角为180°，(2)不正确；因为e1＝4e2，所以e1∥e2，所以向量e1，e2不能作为一组基底，(3)不正确；若a∥b，则a与b的夹角为0°或180°，所以a在b上的射影为|a|cosθ＝±|a|，(4)不正确．故选A.
9．已知△ABC所在平面上的动点M满足2·＝2－2，则点M的轨迹过△ABC的( D )
A．内心
B．垂心
C．重心
D．外心
解析：2·＝2－2＝(－)·(＋)?2·＝·(＋)?·[2－(＋)]＝0.
设BC的中点为D，则＋＝2，∴·(－)＝0，即·＝0，∴M点的轨迹过△ABC的外心．
10．设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1，则( B )
A．若θ确定，则|a|唯一确定
B．若θ确定，则|b|唯一确定
C．若|a|确定，则θ唯一确定
D．若|b|确定，则θ唯一确定
解析：|b＋ta|2＝b2＋2a·bt＋a2t2，令f(t)＝a2t2＋2a·bt＋b2，又t是任意实数，所以可得f(t)的最小值为＝＝＝1，即|b|2(1－cos2θ)＝1，易知若θ确定，则|b|唯一确定．
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在题中横线上)
11．a表示“向东走了2S千米”，b表示“向南走了2S千米”，c表示“向西走了S千米”，d表示“向北走了S千米”(S>0)，则(b－c)＋(d－a)表示向西南走了S千米．
解析：(b－c)＋(d－a)＝(b＋d)－(a＋c)，(b＋d)表示“向南走S千米”，(a＋c)表示“向东走S千米”，两式相减就表示“向西南走S千米”．
12．已知向量a＝(－2,1)，b＝(0,1)，若存在实数λ使得b⊥(λa＋b)，则λ等于－1.
解析：∵b⊥(λa＋b)，∴b·(λa＋b)＝λa·b＋b2＝λ＋1＝0，解得λ＝－1.
13．在△ABC中，D在BC边上，且＝－2，若＝p＋q，则p＋q＝0.
解析：∵＝－2，∴＝.又＝－，∴＝(－)＝－，∴p＝，q＝－，∴p＋q＝0.
14．已知向量a＝(6,2)，b＝，直线l过点A(3，－1)且与向量a＋2b垂直，则直线l的方程为2x－3y－9＝0.
解析：设B(x，y)为直线l上任意一点(不与A重合)，则＝(x－3，y＋1)，又a＋2b＝(6,2)＋2＝(－2,3)，由题意得·(a＋2b)＝0，所以(x－3，y＋1)·(－2，3)＝－2(x－3)＋3(y＋1)＝0，即2x－3y－9＝0.
15．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点，以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F，若P为劣弧EF上的动点，则·的最小值为5－2.
解析：注意到在本题中向量与向量的差为定向量，于是4·＝(＋)2－(－)2＝(＋)2－4.取CD的中点M，连接PM，AM，则有·＝2－1，如图，问题转化为求2－1的最小值，显然当A，P，M三点共线时，2－1取得最小值(－1)2－1＝5－2.
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题12分)已知＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，∥.
(1)求实数n的值；
(2)若⊥，求实数m的值．
解：(1)∵＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，∴＝＋＋＝(3,3＋m＋n)，
∵∥，∴3(3＋m＋n)－3m＝0，∴n＝－3.
(2)由(1)得＝(1，－3)，＝＋＝(2,3＋m)，＝＋＝(4，m－3)．
∵⊥，∴8＋(3＋m)(m－3)＝0，∴m＝±1.
17．(本小题12分)设点M、N、P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a、b作为基底，将、、表示出来．
解：＝－＝－－＝－－(－)＝－＝b－a.
同理可得＝a－b.＝－＝－(＋)＝a＋b.
18．(本小题12分)如图，在△ABC中，设＝a，＝b，点D在BC边上．
(1)若D为BC边中点，求证：＝(a＋b)；
(2)若＝λa＋μb，求证：λ＋μ＝1.
证明：(1)∵＝a，＝b，∴＝－＝b－a，又D为BC边中点，∴＝＝(b－a)．
∴＝＋＝a＋(b－a)＝(a＋b)．
(2)∵点D在BC边上，∴∥，则存在实数t(0≤t≤1)，使得＝t＝t(b－a)，则＝＋＝a＋t(b－a)＝(1－t)a＋tb，若＝λa＋μb，则λ＝1－t，μ＝t，∴λ＋μ＝(1－t)＋t＝1.
19．(本小题12分)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求a·b；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(3)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1，求d.
解：(1)a·b＝(3,2)·(－1,2)＝－3＋4＝1.
(2)因为(a＋kc)∥(2b－a)，且a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，所以2(3＋4k)＋5×(2＋k)＝0，即k＝－.
(3)因为d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，且(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝1，
所以解得
或所以d＝或d＝.
20．(本小题13分)在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值．
解：
解法一：如图，
∵⊥，∴·＝0.
∵＝－，＝－，＝－，
∴·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·
＝－a2－·＋·＋0＝－a2－·(－)＝－a2＋·＝－a2＋a2cosθ.
故当cosθ＝1，即θ＝0°(与方向相同)时，·的值最大，其最大值为0.
解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．
设|AB|＝c，|AC|＝b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，设点P的坐标为(x，y)，由题意知|PQ|＝2a，|BC|＝a，
则Q(－x，－y)，x2＋y2＝a2，
∴＝(x－c，y)，＝(－x，－y－b)，＝(－c，b)，＝(－2x，－2y)．
∴·＝(x－c)(－x)＋y(－y－b)＝－(x2＋y2)＋cx－by.
∵cosθ＝＝，∴cx－by＝a2cosθ，∴·＝－a2＋a2cosθ.
故当cosθ＝1，即θ＝0°(与方向相同)时，·的值最大，其最大值为0.
21．(本小题14分)已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；
(3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若四边形ABCD为平行四边形，求点A的坐标．
解：(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.
∵A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得＝k，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，则(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.
∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，∴解得k＝－，λ＝－.
(2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．
(3)∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝.设A(x，y)，则＝(3－x,5－y)．
由(2)知＝(－7，－2)，∴解得即点A的坐标为(10,7)．第二章单元质量评估(一)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．在?ABCD中，－＋等于( )
A.
B.
C.
D.
2．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)且a⊥b，则x的值为( )
A．2或3
B．－1或6
C．2
D．6
3．若向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论正确的是( )
A．a·b＝1
B．|a|＝|b|
C．(a－b)⊥b
D．a∥b
4．在四边形ABCD中，已知＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( )
A．平行四边形
B．矩形
C．梯形
D．菱形
5．若向量a，b的夹角为，且|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|是( )
A．2
B．4
C．6
D．12
6．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上一点P使·有最小值，则P点的坐标为( )
A．(－3,0)
B．(2,0)
C．(3,0)
D．(4,0)
7．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A．
B．
C．2
D．10
8．下列说法中正确的个数为( )
(1)＋＋＋＋＝；
(2)若a·b<0，则向量a与b的夹角是钝角；
(3)向量e1＝(2，－3)，e2＝(，－)能作为表示平面内所有向量的一组基底；
(4)若a∥b，则a在b上的射影为|a|.
A．1
B．2
C．3
D．4
9．已知△ABC所在平面上的动点M满足2·＝2－2，则点M的轨迹过△ABC的( )
A．内心
B．垂心
C．重心
D．外心
10．设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1，则( )
A．若θ确定，则|a|唯一确定
B．若θ确定，则|b|唯一确定
C．若|a|确定，则θ唯一确定
D．若|b|确定，则θ唯一确定
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在题中横线上)
11．a表示“向东走了2S千米”，b表示“向南走了2S千米”，c表示“向西走了S千米”，d表示“向北走了S千米”(S>0)，则(b－c)＋(d－a)表示向（
）走了（
）千米．
12．已知向量a＝(－2,1)，b＝(0,1)，若存在实数λ使得b⊥(λa＋b)，则λ等于（
）.
13．在△ABC中，D在BC边上，且＝－2，若＝p＋q，则p＋q＝（
）.
14．已知向量a＝(6,2)，b＝，直线l过点A(3，－1)且与向量a＋2b垂直，则直线l的方程为（
）.
15．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点，以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F，若P为劣弧EF上的动点，则·的最小值为（
）.
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题12分)已知＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，∥.
(1)求实数n的值；
(2)若⊥，求实数m的值．
17．(本小题12分)设点M、N、P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a、b作为基底，将、、表示出来．
18．(本小题12分)如图，在△ABC中，设＝a，＝b，点D在BC边上．
(1)若D为BC边中点，求证：＝(a＋b)；
(2)若＝λa＋μb，求证：λ＋μ＝1.
19．(本小题12分)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求a·b；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(3)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1，求d.
20．(本小题13分)在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值．
21．(本小题14分)已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；
(3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若四边形ABCD为平行四边形，求点A的坐标．
