黑龙江省德强高中2019级数学理科清北第十七周周测（Word含答案解析）

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德强高中2019级数学理科清北第十七周周测
单选题
1．将极坐标化为直角坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知向量分别是直线的方向向量，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知平面、的法向量分别为、且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换是（
）
A．
B．
C．
D．
5．在极坐标系中，点到直线的距离为（
）
A．1
B．
C．
D．5
6．圆的圆心极坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
7．直线与曲线相交，则满足的条件是（
）
A．
B．
C．
D．且
8．在极坐标系中，动点的轨迹是（
）
A．点
B．直线
C．圆
D．半圆
9．在极坐标系中，圆心为，且过极点的圆的方程是（
）．
A．
B．
C．
D．
10．已知正三棱柱的所有棱长均相等，、在上，且，则异面直线与所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知四面体，是的重心，且，若，则为（
）
A．
B．
C．
D．
12．三棱柱的侧棱与底面垂直，，，N是BC的中点，点P在上，且满足，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，的值为　　
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．直线经过，变换后的直线方程为___________.
14．在极坐标系中，已知，，则，两点之间的距离为__________．
15．已知如图，PA、PB、PC互相垂直，且长度相等，E为AB中点，则直线CE与平面PAC所成角的正弦值为______
．
（16a题图）
（15题图）
16(bc)．在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为，点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于________．
16（a）．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie
nao）.已知在鳖臑中，平面，，为的中点，则点到平面的距离为_____．
解答题
17．以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴建立极坐标系，直线的方程为，圆C的极坐标方程为.
（1）求直线和⊙C的普通方程；
（2）若直线与⊙C交于A，B两点，求弦AB的长.
18（bc）．如图，三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，侧面为菱形，且平面平面，，为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
18（a）．如图1，在中，，，别为棱，的中点，将沿折起到的位置，使，如图2，连结，
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
试卷第1页，总3页
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参考答案
1．B
【分析】
利用，
即可求出点的坐标.
【详解】
，
，
所以极坐标化为直角坐标为，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了直角坐标与极坐标相互转化，属于基础题.
2．C
【分析】
由题意，得，由此可求出答案．
【详解】
解：∵，且分别是直线的方向向量，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查向量共线的坐标表示，属于基础题．
3．A
【分析】
利用两平面垂直，其法向量数量积为零列方程求解即可.
【详解】
因为平面、的法向量分别为、且，
所以，即，
则，
故选：A.
4．B
【分析】
根据三角函数图象伸缩变换原则可知需坐标扩大到原来的倍，纵坐标缩短为原来的，从而可得结果.
【详解】
将变为曲线，需将：
的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标缩短为原来的
故选：B
【点睛】
本题考查曲线的伸缩变换，涉及到三角函数伸缩变换原则，属于基础题.
5．A
【分析】
把点的坐标与极坐标方程分别化为直角坐标及其方程，利用点到直线的距离公式即可得出．
【详解】
点P（2，）化为：P，即P．
直线ρ（cosθsinθ）＝6化为直角坐标方程：xy﹣6＝0，
∴点P到直线的距离d1．
故选A．
【点睛】
本题考查了极坐标方程分别化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．C
【分析】
先把圆的极坐标方程化成直角坐标方程求出圆心的直角坐标为，再把直角坐标化成极坐标得解.
【详解】
由题得，
所以，
所以圆心的坐标为，即.
所以该点的极径，
极角在第四象限，且.
所以圆心极坐标是.
故选：C
【点睛】
本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查圆的一般方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
7．A
【分析】
由曲线的极坐标方程可得其直角坐标方程：，可知曲线为圆，若要直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于半径，列式即可得解.
【详解】
由曲线的极坐标方程化成直角坐标方程为：，
故曲线为圆，圆心为，，
可得圆心到直线的距离，
由题意可得：，即，
解得：.
故选：A.
【点睛】
本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线和圆的位置关系，考查了计算能力，
属于中档题.
8．D
【解析】
【分析】
动点的极径是常数，极角是，所以应该是圆的一部分。
【详解】
由于动点满足，
因此动点
的轨迹是以极点为圆心，以1为半径的圆的上半部分，即半圆.
【点睛】
本题主要考察极坐标的定义。
9．A
【解析】
分析：由条件求得圆心的直角坐标进而求出圆的直角坐标方程，再利用把它化为极坐标方程即可.
详解：由题意可得圆心的直角坐标为，半径为1，
故圆的直角坐标方程为，即，
再把它化为极坐标方程为，即，故选A.
点睛：本题主要考查求圆的标准方程，把直角坐标方程化为极坐标方程，熟练掌握的运用是解题的关键，属于基础题．
10．C
【分析】
设，取的中点，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法以及同角三角函数的基本关系可求得结果.
【详解】
如下图所示，设，取的中点，的中点，连接、，
在正三棱柱中，且，
则四边形为平行四边形，且，
由于、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，则且，
平面，则平面，
为等边三角形，且为的中点，则，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、，
，，
，
，
因此，异面直线与所成角的正弦值为.
故选：C.
【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
11．A
【分析】
结合立体图形，作中点，连接，结合重心定义及向量的加减运算表示出，再由表示出，结合即可求解
【详解】
连接交于点，则为中点，，
则，∵，∴，
∴，
故
故选：A.
【点睛】
结论点睛：本题考查向量的加法及减法线性运算，重心的定义，可熟记以下结论：
（1）重心为三角形三条中线的交点，重心为每条中线的三等分点；
（2）在中，若为中点，则有.
12．A
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN与平面ABC所成的角，即可求得结论．
【详解】
如图，以AB，AC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则0，，，
平面ABC的一个法向量为0，
设直线PN与平面ABC所成的角为
，
当时，，此时角最大．
故选A．
【点睛】
本题考查了向量法求线面角的求法，考查了函数最值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
13．
【分析】
设是变换后直线上任意一点,得出变换前后坐标关系,代入原方程即可.
【详解】
解:
设是变换后直线上任意一点,
由得:
,
代入原直线方程,得,
即.
故答案为:
【点睛】
本题的关键点是：熟练掌握平面直角坐标系中的伸缩变换的基本原理及其应用：1、先设
是变换后直线上任一点；2、用表示出；3、代入原方程化简即可.
14．
【分析】
先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，进行代换将极坐标化成直角坐标，再在直角坐标系中算出两点间的距离即可．
【详解】
根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，点，的直角坐标为：
，
故答案为．
【点睛】
本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，本题解题的关键是能进行极坐标和直角坐标的互化．
15．
【分析】
建立空间直角坐标系，求出平面PAC的法向量和向量，利用空间向量的数量积求解即可．
【详解】
PA、PB、PC互相垂直，以P为坐标原点，PA、PB、PC分别为x，y，z轴，
设，则平面PAC的法向量可以为，，，
，
直线CE与平面PAC所成角的正弦值为：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间向量数量积的应用，是基础题．
16．
【分析】
以底面中心为原点建立空间直角坐标系，求出点的坐标，求出侧面的方程，最后利用所给公式计算即可．
【详解】
如图，以底面中心为原点建立空间直角坐标系，
则，，1，，，1，，，0，，
设平面的方程为，
将坐标代入计算得
解得，，，
，
即，
．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查点、线、面间的距离计算、空间直角坐标系的应用、空间直角坐标系中点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
17．
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量求出平面法向量，再求点面距.
【详解】
以B为坐标原点，BA,BC所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，如图，
则
,由为的中点可得;
,
.
设为平面的一个法向量，则,即，
令，可得，点到平面的距离为.
【点睛】
本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解点到平面的距离，一般是先求解平面的法向量及所求点P和平面内一点A组成的向量，利用公式可得.
18．（1）直线的普通方程为：；的普通方程为：．
（2）
【分析】
（1）将利用和差公式打开；根据，代入可得直线和的普通方程．
（2）利用圆截直线的弦长公式求即可
【详解】
解：（1）直线的方程为，
可得：
即：．
的极坐标方程为．
可得：，
即：，
故得直线的普通方程为：；的普通方程为：．
（2）由，可知圆心为，半径，
那么：圆心到直线的距离，
故得直线与圆交于，两点间的弦长为．
【点睛】
直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.
19．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）设的中点为，与的交点为，连接，，，根据线面垂直的判定定理，可得平面；再证明，得到平面，推出，，从而可得线面垂直；
（2）先由（1）可得，，，两两相互垂直，以为坐标原点，以的方向为轴正方向，分别以，为轴和轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面和的法向量，由向量夹角公式，即可求出结果.
【详解】
（1）证明：设的中点为，与的交点为，连接，，，如图所示．
由为的中点可得，又平面平面，平面平面，故平面．
又为的中点．所以且．
又且，所以且，
因此四边形为平行四边形，所以且，所以平面，
故，又四边形为菱形，所以，
又，平面，平面，
所以平面；
（2）由（1）可知，，两两相互垂直，以为坐标原点，以的方向为轴正方向，分别以，为轴和轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
设为平面的一个法向量，
则即可取，
由（1）可知，为平面的一个法向量，
所以．
所以二面角的余弦值为．
【点睛】
方法点睛：
求空间角的常用方法：
（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.
20．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，.
【分析】
（Ⅰ）由可得，得，由得，即可说明平面，由此可以证明平面
平面；
（Ⅱ）因为，，，所以，，两两互相垂直．以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，得出平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则,即得解.
（Ⅲ）假设线段上存在一点，使二面角的余弦值为．设，，得出，，.易得平面的一个法向量为，求出平面的一个法向量，则有，即，解得的值，即得解.
【详解】
试题解析：
（Ⅰ）证：因为，分别为，中点，所以//．
因为，所以．所以．
因为，所以．
又因为
=，所以
平面．
又因为平面，所以平面
平面．
（Ⅱ）解：
因为，，，所以，，两两互相垂直．
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意有，，，，，．
则，，，，，．
设平面的一个法向量，
则有，即，
令得，．所以．
设直线与平面所成角为，则．
故直线与平面所成角的正弦值为．
（Ⅲ）解：假设线段上存在一点，使二面角的余弦值为．
设，，则，
即
．
所以，，.
易得平面的一个法向量为．
设平面的一个法向量，
则有，即，
令，则．
若二面角的余弦值为，
则有，即，
解得，，．又因为，所以．
故线段上存在一点，使二面角的余弦值为，且．
【点睛】
关键点睛：本题考查空间线面角和面面角的求解，难度较大，解题的关键是根据，，两两互相垂直建立空间直角坐标系，利用向量的方法建立角的关系.
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