初中数学章节考点梳理（word版含解析）

锐角三角函数的定义
锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的锐角三角函数。
正弦（sin）等于对边比斜边，
余弦（cos）等于邻边比斜边
正切（tan）等于对边比邻边.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，若BC＝m，则AB的长为（　　）
A．
B．m?cosα
C．m?sinα
D．m?tanα
【分析】根据解直角三角形的三角函数解答即可．
【解析】如图所示：
∵，∴AB，
故选：A．
【小结】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，关键是根据学生的理解能力和计算能力解答．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列各组线段的比不能表示sin∠BCD的（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCD＝∠A，再解直角三角形得出即可．
【解析】∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A，∴sin∠BCD＝sinA，
即只有选项C错误，选项A、B、D都正确，
【小结】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠C＝90°，则sinA，cosA，tanA，cotA．
如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sinA的式子为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，利用锐角三角函数的定义进行求解即可．
【解析】A、∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，∴sinA，故A不合题意；
B、∵∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠COD＝90°，∴∠A＝∠COD，
∴sinA＝sin∠COD，故B不合题意；
C、无法得出sinA，故C符合题意；
D、∵∠BOE＝∠COD，∴∠A＝∠BOE，∴sinA＝sin∠BOE，故D不合题意；
【小结】本题主要考查的是锐角三角函数的定义的有关知识，正确掌握边角关系是解题关键．
如图，△ACB中，∠ACB＝Rt∠，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则BD的长可表示为（　　）
A．a?（cosα﹣cosβ）
B．
C．acosα
D．a?cosα﹣asinα?a?tanβ
【分析】利用锐角三角函数关系分别表示出BC，DC的长进而得出答案．
【解析】∵∠C＝90°，∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，∴cosB＝cosα，
则BC＝a?cosα，sinB＝sinα，
故AC＝a?sinα，则tanβ，
故DC，则BD＝BC﹣DC＝a?cosα．
故选：C．
【小结】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确表示出DC的长是解题关键．
网格中的锐角三角函数值计算
解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度.
如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，利用正切函数的定义求解可得．
【解析】如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，
则tan∠BAC，故选：C．
【小结】本题主要考查三角函数的定义，解题的关键是掌握正切函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切．
如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是　
　．
【分析】过点O作OC⊥AB的延长线于点C，构建直角三角形ACO，利用勾股定理求出斜边OA的长，即可解答．
【解析】如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C，则AC＝4，OC＝2，
在Rt△ACO中，AO，∴sin∠OAB．
故答案为：．
【小结】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线并利用网格构造直角三角形是解题的关键．
如图，将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么∠BAC的正切值为　
　．
【分析】连接BC，先利用勾股定理逆定理证△ABC是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可得．
【解析】如图所示，连接BC，
则AB＝BC，AC2，
∴AB2+BC2＝10+10＝20＝AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，则tan∠BAC＝1，
故答案为：1．
【小结】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和三角函数的定义．
如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为　
　．
【分析】根据勾股定理，可得BC、AC的长，求出△ABC的面积，求出高AN，解直角三角形求出即可．
【解析】
设小正方形的边长为1，
则由勾股定理得：BC5，AC，
∵S△ABC＝S△BDC﹣S正方形EAFD﹣S△AFC﹣S△BEA1×1，
∴，∴AN＝1，∴sin∠ACB，
故答案为：．
【小结】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，能构造直角三角形是解此题的关键，注意：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
锐角三角函数的增减性
解决此类问题的关键在于掌握锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（　　）
A．cos28°＜cos58°＜sin58°
B．sin58°＜cos28°＜cos58°
C．cos58°＜sin58°＜cos28°
D．sin58°＜cos58°＜cos28°
【分析】先把正弦化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律：锐角余弦值随着角度的增大而减小进行排列大小．
【解析】sin58°＝cos32°．
∵58°＞32°＞28°，∴cos58°＜cos32°＜cos28°，∴cos58°＜sin58°＜cos28°．
故选：C．
【小结】本题考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考查了互余两角的三角函数之间的关系．
比较大小：
（1）cos35°　
　cos45°，tan50°　
　tan60°；
（2）若sinα＝0.3276，sinβ＝0.3274，则α　
　β．
【分析】（1）根据余弦值随角度的增大余弦值越小，正切值随角度的增增大而增大，进而得出答案；
（2）利用正弦值随角度的增大而增大，进而得出答案．
【解析】（1）cos35°＞cos45°，tan50°＜tan60°；
故答案为：＞，＜；
（2）∵sinα＝0.3276，sinβ＝0.3274，
则α＞β．
故答案为：＞．
【小结】此题主要考查了锐角三角函数的增减性，熟练记忆锐角三角函数增减性是解题关键．
比较大小：sin81°　
　tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．
【分析】根据sin81°＜1，tan47°＞1即可求解．
【解析】∵sin81°＜sin90°＝1，tan47°＞tan45°＝1，
∴sin81°＜1＜tan47°，
∴sin81°＜tan47°．
故答案为＜．
【小结】本题考查了锐角三角函数值的增减性：当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
也考查了不等式的传递性．
如图所示的网格是正方形网格，∠AOB　
　∠COD．（填“＞“，“＝”或“＜“）
【分析】连接CD，则CD⊥OD，过B作BE⊥OA于E，在Rt△OBE与Rt△OCD中，分别求∠AOB、∠COD的正切，根据锐角的正切值随着角度的增大而增大作判断即可．
【解析】连接CD，则CD⊥OD，过B作BE⊥OA于E，
在Rt△OBE中，tan∠AOB2，
在Rt△OCD中，tan∠COD1，
∵锐角的正切值随着角度的增大而增大，
∴∠AOB＞∠COD，
故答案为：＞．
【小结】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．
同角三角函数的关系
解决此类问题的关键在于掌握同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A＝1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA或sinA＝tanA?cosA．
如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα，则tanα＝（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】先由sinα求得PQ＝4，OP＝5，再根据正切函数的定义求解可得．
【解析】如图，
由sinα可设PQ＝4a，OP＝5a，
∵OQ＝3，∴由OQ2+PQ2＝OP2可得32+（4a）2＝（5a）2，解得：a＝1（负值舍去），
∴PQ＝4，OP＝5，则tanα，
故选：C．
【小结】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，能求出PQ、OP的长是解此题的关键．
若∠a为锐角，且tana是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则sinα等于（　　）
A．1
B．
C．
D．
【分析】运用因式分解法解方程，根据锐角三角函数值都大于0，确定tanα的值，再根据锐角三角函数的定义求解．
【解析】解方程x2﹣2x﹣3＝0，得x＝﹣1或x＝3．
∵tana＞0，∴tana＝3．
设α所在的直角三角形的对边是3，则邻边是1．
根据勾股定理，得斜边是．所以sinα．
故选：D．
【小结】此题综合考查了一元二次方程的解法和锐角三角函数的知识．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子正确的是（　　）
A．sinA+cosA＜1
B．sinA+cosA＝1
C．sinA+cosA＞1
D．sinA+cosA≥1
【分析】根据三角函数的定义得到sinA，cosA，则sinA+cosA，然后根据三角形三边的关系可判断sinA+cosA＞1．
【解析】∵sinA，cosA，
∴sinA+cosA，
∵a+b＞c，
∴sinA+cosA＞1．
故选：C．
【小结】本题考查了同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A＝1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA或sinA＝tanA?cosA．
已知sinαcosα，且0°＜α＜45°，则sinα﹣cosα的值为（　　）
A．
B．
C．
D．±
【分析】把已知条件两边都乘以2，再根据sin2α+cos2α＝1，进行配方，然后根据锐角三角函数值求出cosα与sinα的取值范围，从而得到sinα﹣cosα＜0，最后开方即可得解．
【解析】∵sinαcosα，∴2sinα?cosα，
∴sin2α+cos2α﹣2sinα?cosα＝1，
即（sinα﹣cosα）2，
∵0°＜α＜45°，
∴cosα＜1，0＜sinα，
∴sinα﹣cosα＜0，
∴sinα﹣cosα．
故选：B．
【小结】本题考查了同角的三角函数的关系，利用好sin2α+cos2α＝1，并求出sinα﹣cosα＜0是解题的关键．
互余两角三角函数的关系
解决此类问题的关键在于掌握互余角的三角函数间的关系：sin(90°-α)=cosα,
cos(90°-α)=sinα,
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有　
　．
【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据∠A＝90°，AD⊥BC，可得∠α＝∠B，∠β＝∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．
【解析】∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠α+∠β＝90°，∠B+∠β＝90°，∠B+∠C＝90°，
∴∠α＝∠B，∠β＝∠C，
∴sinα＝sinB，故①正确；
sinβ＝sinC，故②正确；
∵在Rt△ABC中sinB，cosC，
∴sinB＝cosC，故③正确；
∵sinα＝sinB，cos∠β＝cosC，
∴sinα＝cos∠β，故④正确；
故答案为①②③④．
【小结】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．
已知α为锐角，sinα+cos（90°﹣α），则α＝　
　．
【分析】求出sinα的值即可解决问题；
【解析】∵sinα+cos（90°﹣α），
∴2sinα，∴sinα，∴α＝60°，
故答案为60°．
【小结】本题考查互余两角三角函数的关系，特殊角的三角函数值等知识，记住sinA＝cos（90°﹣∠A），cosA＝sin（90°﹣∠A）是解题的关键；
若a＜60°，且sin（60°﹣a），则cos（30°+a）＝　
　．
【分析】由于60°﹣α+30°+α＝90°，且α＜60°，即60°﹣α和30°+α互余，根据互余两角的三角函数的关系即可得到cos（30°+α）＝sin（60°﹣a）．
【解析】∵60°﹣α+30°+α＝90°，且α＜60°，
∴cos（30°+α）＝sin（60°﹣a）．
故答案为．
【小结】本题考查了互余两角的三角函数的关系：若∠A+∠B＝90°，则sinA＝cosB，cosA＝sinB．
化简：　
　．
【分析】先化简二次根式和去绝对值符号，再根据互余两角三角函数的关系计算即可求解．
【解析】
＝1﹣sin57°37′+cos32°23′﹣1
＝1﹣sin57°37′+sin57°37′﹣1
＝0．
故答案为：0．
【小结】考查了互余两角三角函数的关系，若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．
特殊角的三角函数值的计算
解决此类问题的关键在于熟记特殊角三角函数值：
计算：
（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°
（2）tan260°
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
3．
【小结】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
计算：3tan30°cos45°
【分析】代入特殊角的三角函数值即可．
【解析】原式＝3
2+21
＝21．
【小结】考查了特殊角的三角函数值，属于只记内容，熟练掌握特殊角的三角函数值，代入求值即可．
计算：
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．
【解析】原式
＝3﹣2．
【小结】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
计算
（1）3tan60°﹣tan245°﹣2cos30°．
（2）．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值分别代入化简得出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值分别代入化简得出答案．
【解析】（1）原式＝31﹣2
＝31
＝21；
（2）原式2×（）2
＝11
．
【小结】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
特殊角的三角函数值中的新定义问题
嘉琪在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（1）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．
（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．
【分析】（1）将α＝30°代入，根据三角函数值计算可得；
（2）设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．
【解析】（1）当α＝30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
＝sin230°+sin260°
＝（）2+（）2
＝1；
（2）嘉琪的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C＝90°，
设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
＝（）2+（）2
＝1．
【小结】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．
阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：
sinα
cosα
tanα
一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ
例如sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°
根据上述材料内容，解决下列问题：
（1）计算：sin75°＝　
　；
（2）在Rt△ABC中，∠A＝75°，∠C＝90°，AB＝4，请你求出AC和BC的长．
【分析】（1）根据公式可求．
（2）根据锐角的三角函数值，求AC和BC的值．
【解析】（1）sin75°＝sin（30°+45°）
＝sin30°cos45°+cos30°sin45°
，
故答案为：．
（2）Rt△ABC中，∵sin∠A＝sin75°
∴BC＝AB4
∵∠B＝90﹣∠A∴∠B＝15°
∵sin∠B＝sin15°
∴AC＝AB
【小结】本题考查了同角三角函数关系，利用特殊的三角函数值求线段的长度是本题的关键．
规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx?cosy+cosx?siny．据此
（1）判断下列等式成立的是　
　（填序号）．
①cos（﹣60°）；②sin2x＝2sinx?cosx；③sin（x﹣y）＝sinx?cosy﹣cosx?siny．
（2）利用上面的规定求①sin75°
②sin15°．
【分析】（1）根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断；
（2）利用已知进而将原式变形求出答案．
【解析】（1）①cos（﹣60°）＝cos60°，命题错误；
②sin2x＝sinx?cosx+cosx?sinx＝2sinx?cosx，命题正确；
③sin（x﹣y）＝sinx?cos（﹣y）+cosx?sin（﹣y）＝sinx?cosy﹣cosx?siny，命题正确．
故答案为：②③；
（2）①sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°?cos45°+cos30°?sin45°；
②sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°?cos30°﹣cos45°?sin30°
．
【小结】本题考查锐角三角函数以及特殊角的三角函数值，正确理解三角函数的定义是关键．
对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα＝sin（180°﹣α），cosα＝﹣cos（180°﹣α）
（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
【分析】（1）按照题目所给的信息求解即可；
（2）分三种情况进行分析：①当∠A＝30°，∠B＝120°时；②当∠A＝120°，∠B＝30°时；③当∠A＝30°，∠B＝30°时，根据题意分别求出m的值即可．
【解析】（1）由题意得，
sin120°＝sin（180°﹣120°）＝sin60°，
cos120°＝﹣cos（180°﹣120°）＝﹣cos60°，
sin150°＝sin（180°﹣150°）＝sin30°；
（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，
∴三个内角分别为30°，30°，120°，
①当∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为，，
将代入方程得：4×（）2﹣m1＝0，解得：m＝0，
经检验是方程4x2﹣1＝0的根，
∴m＝0符合题意；
②当∠A＝120°，∠B＝30°时，两根为，，不符合题意；
③当∠A＝30°，∠B＝30°时，两根为，，
将代入方程得：4×（）2﹣m1＝0，
解得：m＝0，
经检验不是方程4x2﹣1＝0的根．
综上所述：m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°．
【小结】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是按照题目所给的运算法则求出三角函数的值和运用分类讨论的思想解题，难度一般．
解直角三角形
解决此类问题的关键在于解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）
①三边之间的关系：a2+b2=c2；②两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；③边角之间的关系；正弦（sin）等于对边比斜边，
余弦（cos）等于邻边比斜边
正切（tan）等于对边比邻边.；④解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角．②已知两边．
如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sinB．
（1）求线段CD的长度；
（2）求cos∠C的值．
【分析】根据sinB，求得AB＝15，由勾股定理得BD＝9，从而计算出CD，再利用三角函数，求出cos∠C的值即可．
【解析】（1）∵AD是BC上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵sinB，AD＝12，
∴AB＝15，
∴BD9，
∵BC＝14，
∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；
（2）由（1）知，CD＝5，AD＝12，
∴AC13，
cosC．
【小结】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，熟练掌握好三角形边角之间的关系是解题的关键．
如图，在Rt△ABC中，设a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD，求∠B，a，c的值．
【分析】根据锐角三角函数，可以求得∠CAD的度数，从而可以得到∠CAB的度数，然后即可得到∠B的度数，再根据锐角三角函数即可得到a、c的值．
【解析】∵∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD，
∴cos∠CAD，
∴∠CAD＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠B＝30°，
∴c＝2b＝16，a8，
即∠B＝30°，a＝8，c＝16．
【小结】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD、AE分别是BC边的中线和高，若cosB，BC＝10．
（1）求AB的长；
（2）求AE的长；
（3）求sin∠ADB的值．
【分析】（1）在Rt△ABC中，通过解直角三角形可求出AB的长；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长，再利用面积法可求出AE的长；
（3）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AD的长，在Rt△AED中，利用正弦的定义可求出sin∠ADB的值．
【解析】（1）在Rt△ABC中，∠A＝90°，cosB，BC＝10，
∴AB＝BC?cosB＝106．
（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，AB＝6，
∴AC8．
∵AE是BC边的高，
∴AC?ABBC?AE，即8×610AE，∴AE．
（3）Rt△ABC中，AD是BC边的中线，BC＝10，
∴ADBC＝5．
在Rt△AED中，∠AED＝90°，AD＝5，AE，
∴sin∠ADB．
【小结】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用余弦的定义，找出AB＝BC?cosB；（2）利用面积法，求出AE的长；（3）利用正弦的定义，求出sin∠ADB的值．
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，cosA，BC＝12，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
求：（1）线段CD的长；
（2）cos∠ABE的值．
【分析】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到cosA，则可计算出AB＝15，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CDAB．
（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC＝6，在根据三角形面积公式得到S△BDC＝S△ADC，则S△BDCS△ABC，即CD?BE?AC?BC，于是可计算出BE，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．
【解析】（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴cosA，
∴可以假设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，
而BC＝12，∴k＝3，∴AB＝15
∵D是AB中点，
∴CDAB．
（2）在Rt△ABC中，∵AB＝15，BC＝12，AC＝9，
∵D是AB中点，
∴BD，S△BDC＝S△ADC，
∴S△BDCS△ABC，即CD?BE?AC?BC，
∴BE，
在Rt△BDE中，cos∠ABE，
即cos∠ABE的值为．
【小结】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．
解斜三角形
解决此类问题的关键在于作垂线将斜三角形分割成两个直角三角形，进而通过解直角三角形进行求解.
如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（　　）
A．6
B．2
C．2
D．9
【分析】作CD⊥AB，根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出CD，根据勾股定理计算，得到答案．
【解析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴ADAC＝3，
∴BD＝AB+AD＝7，
由勾股定理得，CD3，
在Rt△BCD中，BC2，
故选：B．
【小结】本题考查的是解直角三角形，掌握含30°的直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB，AC＝6，求AB的长．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据∠A＝30°，tanB，AC＝6可求出AD与BD的长度．
【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵在Rt△CDA中，∠A＝30°，
∴CD＝AC?sin30°＝3，AD＝AC×cos30°＝9，
在Rt△CDB中，
∵tanB
∴
∴BD＝4，
∴AB＝AD+DB＝9+4．
【小结】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
已知．在△ABC中，BCAC，∠BCA＝135°，求tanA的值．
【分析】过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，根据等腰直角三角形的性质得到BD＝CDBC，根据正切的定义计算即可．
【解析】过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，
则∠BCD＝45，∴BD＝CDBC，
设AC＝k，则BD＝CD＝k，AD＝2k，
tanA．
【小结】本题考查的是解直角三角形，掌握等腰直角三角形的性质、正切的定义是解题的关键．
如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC的长为6．求△ABC的面积．
【分析】如图，作CD⊥AB于点D．解直角三角形求出CD，AB即可解决问题．
【解析】如图，作CD⊥AB于点D．
∵∠B＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
∵BC＝6，
∴CD，
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣45°＝30°，
∴，
∴，
∴，
∴△ABC的面积是．
【小结】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
解直角三角形（作垂线）
如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，∠BCD＝120°，∠ADC+∠ABC＝180°．
（1）求△BCD的面积；
（2）求cos∠ADB．
【分析】（1）在Rt△DEC中，，求出DE的长度，即可求解；
（2）在Rt△DEB中，由勾股定理知：DE2+BE2＝BD2，求出BD的长度；同理在Rt△DFB中，求出DF的长度，即可求解．
【解析】（1）过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E，
∵∠BCD＝120°，∴∠DCE＝60°，
在Rt△DEC中，，，
∴，，
∵BC＝3，∴；
（2）过点B作BF⊥AD于F，
∵∠BCD＝120°，∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠A＝60°，
∵在Rt△AFB中，∠AFB＝90°，，∴，
∵；∵在Rt△DEB中，∠E＝90°，
由勾股定理知：DE2+BE2＝BD2，∴，
∵在Rt△DFB中，∠DFB＝90°，
由勾股定理知：DF2+BF2＝BD2，∴，
∴在Rt△DFB中，∠DFB＝90°，．
【小结】此题是一个综合性很强的题目，主要考查勾股定理的运用、三角形面积计算、解直角三角形等知识点，难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
已知：BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C＝60°，AB＝1，BC＝3，CD＝2
（1）求∠ABD的值；
（2）求AD的长．
【分析】（1）过点D作DE⊥BC于点E，根据∠C＝60°求出CE、DE，再求出BE，从而得到DE＝BE，然后求出∠EDB＝∠EBD＝45°，再求出∠ABD＝45°，然后根据特殊角的三角函数值解答；
（2）过点A作AF⊥BD于点F，求出BF＝AF，再求出BD，然后求出DF，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【解析】（1）过点D作DE⊥BC于点E，
∵在Rt△CDE
中，∠C＝60°，CD＝2，
∴CE，DE＝3，
∵BC＝3，
∴BE＝BC﹣CE＝33，
∴DE＝BE＝3，
∴在Rt△BDE
中，∠EDB＝∠EBD＝45°，
∵AB⊥BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠EBD＝45°；
（2）过点A作AF⊥BD于点F．
在Rt△ABF中，∠ABF＝45°，AB＝1，
∴BF＝AF，
∵在Rt△BDE中，DE＝BE＝3，
∴BD＝3，
∴DF＝BD﹣BF＝3，
∴在Rt△AFD
中，AD．
【小结】本题考查了勾股定理，解直角三角形，根据边的长度得到等腰直角三角形是解题的关键，难点在于作辅助线构造成直角三角形．
已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，DE⊥BC于E，连接BD，设AD＝m，DC＝n，BE＝p，DE＝q．
（1）若tanC＝2，BE＝3，CE＝2，求点B到CD的距离；
（2）若m＝n，BD，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）要求点B到CD的距离，于是作垂线构造直角三角形，又知tanC＝2，BE＝3，CE＝2，可以得到BF＝2FC，设未知数根据勾股定理列方程可以求解．
（2）m＝n，即AD＝DC，通过作垂线，构造全等三角形将问题转化为求正方形BEDG的面积即可．
【解析】（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，则∠BFC＝90°
∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
在Rt△DEC中，∵tanC＝2，EC＝2，∴DE＝4，
在Rt△BFC中，∵tanC＝2，∴BF＝2FC，
设BF＝x，则FCx，∵BF2+FC2＝BC2，
∴x2+（）2＝（3+2）2，解得：x，即：BF，
答：点B到CD的距离是．
（2）过点D作DG⊥AB，交BA的延长线相交于点G，
∵四边形ABCD的内角和是360°，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠C+∠BAD＝180°，
又∵∠BAD+∠GAD＝180°，∴∠C＝∠GAD，
∵∠DEC＝∠G＝90°，AD＝CD
∴△DEC≌△DGA，（AAS）∴DE＝DG，
∴四边形BEDG是正方形，
∴S四边形ABCD＝S正方形BEDGBD2＝9．
答：四边形ABCD的面积是9．
【小结】考查解直角三角形，勾股定理、和全等三角形等知识，作垂线构造直角三角形是常用的辅助线作法，通过作辅助线将问题转化求正方形的面积．
如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AD：AB＝2：3，BD，AB⊥BC．
（1）求sin∠ABD的值．
（2）若∠BCD＝120°，求CD的长．
【分析】（1）作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F．设AE＝a．在Rt△BDE中，利用勾股定理构建方程求出a，即可解决问题；
（2）作CF⊥DE于F．首先证明四边形CFEB是矩形，解直角三角形△CFB即可解决问题；
【解析】（1）作DE⊥AB于E，设AE＝a．
在Rt△ADE中，∵∠A＝60°，AE＝a，
∴∠ADE＝30°，∴AD＝2a，DEa，
∵AD：AB＝2：3，∴AB＝3a，EB＝2a，
在Rt△DEB中，（a）2+（2a）2＝（）2，解得a＝1，
∴DE，BE＝2，∴sin∠ABD．
（2）CF⊥DE于F．
∵CB⊥AB，CF⊥DE，
∴∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°，
∴四边形CFEB是矩形，
∴CF＝EB＝2，BC＝EF，
∵∠DCB＝120°，∠FCB＝90°，
∴∠DCF＝30°，
∴DF＝CF?tan30°，
∴CD＝2DF．
【小结】本题考查解直角三角形，矩形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
解直角三角形的应用（实物建模问题）
如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．
请根据以上信息，解决下列问题；
（1）求AC的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．
参考数据：1.41，1.73，2.45．
【分析】（1）过F作FH⊥DE于H，解直角三角形即可得到结论；
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）过F作FH⊥DE于H．∴∠FHC＝∠FHD＝90°．
∵∠FDC＝30°，DF＝30，∴，，
∵∠FCH＝45°，∴CH＝FH＝15，
∴，
∵CE：CD＝1：3，∴，
∵AB＝BC＝DE，
∴；
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，
∵∠ACG＝45°，∴，＝20×1.41+20×2.45＝77.2≈77（cm）
答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为77cm．
【小结】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
目前，各大城市都在积极推进公共自行车建设，努力为人们绿色出行带来方便．图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是自行车的车架示意图．CE＝30cm，DE＝20cm，AD＝25cm，DE⊥AC于点E，座杆CF的长为15cm，点A，E，C，F在同一直线上，且∠CAB＝75°，公共自行车车轮的半径约为30cm，且AB与地面平行．
（1）求车架中AE的长；
（2）求车座点F到地面的距离．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
【分析】（1）由DE⊥AC及DE，AD的长，利用勾股定理即可求出AE的长；
（2）作FG⊥AB于G，延长FG交地平线于点Q，由AE，CE，CF的长可得出FA的长，通过解直角三角形可求出FG的长，再结合FQ＝FG+GQ即可求出结论．
【解析】（1）∵DE⊥AC，DE＝20，AD＝25，
∴AE15（cm）；
（2）在图（2）中，作FG⊥AB于G，延长FG交地平线于点Q．
∵AE＝15，CE＝30，CF＝15，
∴FA＝FC+CE+EA＝15+30+15＝60．
∵sin∠CAB，
∴FG＝FA?sin∠CAB≈60×0.97＝58.2（cm），
∴FQ＝FG+GQ＝58.2+30＝88.2≈88（cm）．
答：车座点F到地面的距离约为88cm．
【小结】本题考查了勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是：（1）利用勾股定理求出AE的长；（2）通过解直角三角形求出FG的长．
如图是一种简易台灯的结构图，灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．
（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；
（2）当E点到水平桌面（AB所在直线）的距离为45cm﹣46cm时，视线最佳，通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，1.73．）
【分析】（1）过点D作DN⊥AB于点N，过E作EM⊥AB于点M，过点D作DF∥AB，交EM于F，得到四边形DNMF是矩形，进而得出∠EDF的值；
（2）利用锐角三角函数关系得出DN以及EF的值，进而得出答案．
【解析】（1）如图所示：过点D作DN⊥AB于点N，过E作EM⊥AB于点M，过点D作DF∥AB，交EM于F，
故四边形DNMF是矩形，
则∠NDF＝90°，
∵∠A＝60°，∠AND＝90°，∴∠ADN＝30°，∴∠EDF＝135°﹣90°﹣30°＝15°，
即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°；
（2）如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∴∠ABC＝30°，∴ACAB＝8cm，
∵灯杆CD长为40cm，∴AD＝48cm，∴DN＝AD?cos30°≈41.76cm，
则FM＝41.76cm，
∵灯管DE长为15cm，∴sin15°0.26，解得：EF＝3.9（cm），
∴E点到水平桌面（AB所在直线）的距离为：3.9+41.76≈45.7（cm），
∵45cm＜45.7cm＜46cm，∴此时光线最佳．
【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，h（cm）表示熨烫台的高度．
（1）如图2．若AO＝CO＝80cm，∠AOC＝120°，求AC的长（结果保留根号）；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度h为128cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°
（如图3）．求该熨烫台支撑杆AB的长度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
【分析】（1）过点O作OE⊥AC，垂足为E，利用等腰三角形的三线合一可得出∠AOE的度数及AC＝2AE，在Rt△AEO中，通过解直角三角形可求出AE的长，再结合AC＝2AE即可求出AC的长；
（2）过点B作BF⊥AC，垂足为F，则BF＝128cm，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠OAC的度数，在Rt△ABF中，通过解直角三角形即可求出AB的长．
【解析】（1）如图2，过点O作OE⊥AC，垂足为E，
∵AO＝CO，∴∠AOE∠AOC120°＝60°，AC＝2AE．
在Rt△AEO中，AE＝AO?sin∠AOE＝8040，∴AC＝2AE＝80．
（2）如图3，过点B作BF⊥AC，垂足为F，则BF＝128cm．
∵AO＝CO，∠AOC＝74°，∴∠OAC＝∠OCA53°．
在Rt△ABF中，AB160cm．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：（1）在Rt△AEO中，通过解直角三角形求出AE的长；（2）在Rt△ABF中，通过解直角三角形求出AB的长．
解直角三角形的应用（坡度坡脚问题）
解决此类问题的关键在于掌握坡度坡脚问题：
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶DC＝4m，坡面AD的坡度i为1：1，坡面BC的坡角β为60°，坝高3m，（1.73）求：
（1）坝底AB的长（精确到0.1）；
（2）水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度（如图），使新坡面DE的坡度i为1：，原水坝底部正前方2.5m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由．
【分析】（1）分别过C、D作CF⊥AB，DH⊥AB，垂足分别为F、H，易得四边形CDHF是矩形，从而CD＝HF＝4m，DH＝CF＝3m，在Rt△ADH中，由坡度i＝1：1，易得AH＝DH＝3m，在Rt△BCF中，坡面BC的坡角β为60°，坝高3m，易得BF，则AB＝AH+HF+FB＝8.7m；
（2）由题意得，Rt△EDH中，由坡面DE坡度i为1：，易得AE＝EH﹣AH的值进而与2.5m比较即可．
【解析】（1）如图，分别过C、D作CF⊥AB，DH⊥AB，垂足分别为F、H，
得四边形CDHF是矩形，∴CD＝HF＝4m，DH＝CF＝3m，
在Rt△ADH中，由坡度i＝1：1，得AH＝DH＝3m，
在Rt△BCF中，∠B＝60°，CF＝3m，得BFm，
则AB＝AH+HF+FB＝7+1.7≈8.7m；则坝底AB的长约为8.7m；
（2）由题意得，Rt△EDH中，DH：EH＝1：，
∴EH＝3m，则AE＝EH﹣AH＝33≈2.2m，
2.2m＜2.5m，所以没有影响．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．
如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB的坡比i＝1：2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）．
【分析】延长CD交AB于E，根据坡度和坡角可得CE＝3，DE＝2.6，过点D作DH⊥AB于H，根据锐角三角函数即可求出DH的长．
【解析】如图，
延长CD交AB于E，
∵i＝1：2.4，
∴，
∴，
∵AC＝7.2，
∴CE＝3，
∵CD＝0.4，
∴DE＝2.6，
过点D作DH⊥AB于H，
∴∠EDH＝∠CAB，
∵，
∴，
，
答：该车库入口的限高数值为2.4米．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．
如图，BC是坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是45°和60°．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果保留根号）．
【分析】（1）延长DC交AN于H．只要证明BC＝CD即可；
（2）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在
Rt△ADH中求出AH即可解决问题．
【解析】（1）延长DC交AN于H．
∵∠DBH＝60°，∠DHB＝90°，
∴∠BDH＝30°，
∵∠CBH＝30°，
∴∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴BC＝CD＝10（米）．
（2）在Rt△BCH中，CHBC＝5，BH＝5，
∴DH＝15，
在Rt△ADH中，AH15，
∴AB＝AH﹣BH＝（15﹣5）（米）．
答：AB的长度约为（15﹣5）米．
【小结】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i为1：1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．求：
（1）坝底宽AB的长（结果保留根号）；
（2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1：1.4，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（结果保留根号）．
【分析】（1）作DF⊥AB，根据坡度的概念求出AF，根据正切的定义求出BE，得到坝底宽AB的长；
（2）作D′G⊥A′B，求出CD′、A′B，求出梯形的面积公式计算，得到答案．
【解析】（1）作DF⊥AB，垂足为F，
∵DC∥EF，DF∥CE，DF⊥AB，∴四边形DFEC为矩形，
∴FE＝DC＝2.5，DF＝CE＝5，
在Rt△AFD中，坡AD的坡度i为1：1.2，∴AF＝1.2DF＝1.2×5＝6，
在Rt△CEB中，tanα，
∴BE5，
∴AB＝AF+FE+EB5；
（2）如图，作D′G⊥A′B于G，
在Rt△A'GD′中，A′G＝1.4D′G＝7，
∴A′A＝A′G+GF﹣AF＝1.5，
∴梯形D′A′AD的面积（0.5+1.5）×5＝5，
∴完成该项工程所需的土方＝5×5000＝25000，
答：完成该项工程所需的土方为25000立方米．
【小结】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
解直角三角形的应用（俯角仰角问题）
解决此类问题的关键在于掌握俯角仰角问题：
概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面水平线PO的距离；
（2）古塔BC的高度．（结果用非特殊角三角函数和根号表示即可）
【分析】（1）先过点A作AH⊥PO，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，得出，设AH＝5k，则PH＝12k，AP＝13k，求出k的值即可．
（2）先延长BC交PO于点D，根据BC⊥AC，AC∥PO，得出BD⊥PO，四边形AHDC是矩形，再根据∠BPD＝45°，得出PD＝BD，然后设BC＝x，得出AC＝DH＝x﹣14，最后根据在Rt△ABC中，tan76°，列出方程，求出x的值即可．
【解析】（1）过点A作AH⊥PO，垂足为点H，
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，
∴，
设AH＝5k，则PH＝12k，由勾股定理，得AP＝13k，
∴13k＝26，解得k＝2，
∴AH＝10，
答：坡顶A到地面PO的距离为10米．
（2）延长BC交PO于点D，
∵BC⊥AC，AC∥PO，
∴BD⊥PO，
∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH，
∵∠BPD＝45°，
∴PD＝BD，
设BC＝x，则x+10＝24+DH，
∴AC＝DH＝x﹣14，
在Rt△ABC中，tan76°，即．
解得x．
答：古塔BC的高度约为米．
【小结】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡角等，关键是做出辅助线，构造直角三角形．
无影塔位于河南汝南城南，俗传冬至正午无塔影，故称无影塔；相传为唐代和尚悟颖所建，故又称“悟颖塔”，该塔应建于北宋中、早期，为豫南地区现存最古老砖塔某数学小组为了度量塔高进行了如下操作：用一架无人机在距离塔基（B）某处垂直起飞30米至点C处，测得塔基B处的俯角为75°，将无人机沿水平方向向右飞行8.6米至点D，在此处测得塔顶A的俯角为30°，请依据题中数据计算无影塔的高度．（结果精确到1cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，1.73）
【分析】过点C作CM⊥BO，垂足为M，过点D作DN⊥BO，垂足为N，设DC与BA的延长线交于点E，设AB为x米．由三角函数定义求出CE≈8.04，在Rt△AED中，由三角函数定义得出，由CD＝DE﹣CE得出方程，解方程即可．
【解析】过点C作CM⊥BO，垂足为M，设DC与BA的延长线交于点E，如图：
设AB为x米．
∵∠E＝∠ABM＝∠BMC＝90°，
∴四边形EBMC为矩形，
∴MC＝BE＝30，
∵∠BCE＝75°，tan∠BCE3.73，
∴CE8.04，
在Rt△AED中，∠ADE＝30°，AE＝30﹣x，tan∠ADE，
∴，
∵CD＝DE﹣CE，
∴，解得：x≈20.38，
答：无影塔的高度约为20.38米．
【小结】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握三角函数的应用．
第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行．如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚．小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D处测得钟楼顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为4m，已知教学楼三楼所在的高度为10m，根据测得的数据，计算钟楼AB的高度．
（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°）
【分析】作DF⊥AB于F，根据矩形的性质得到FB＝DE＝10，DF＝BE，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案．
【解析】作DF⊥AB于F，
设AB＝xm，
∵FB⊥EB，DE⊥EB，DF⊥AB，
∴四边形FBED为矩形，
∴FB＝DE＝10，DF＝BE，
∴AF＝10﹣x，
在Rt△AFD中，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝10﹣x，
在Rt△ABC中，∠ACB＝53°，tan∠ACB，
∴BCx，
由题意得，BE﹣BC＝CE，即10﹣xx＝4，解得，x，
答：钟楼AB的高度约为m．
【小结】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．
（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，1.41）；
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【分析】（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝16+x，解直角三角形即可得到结论；
（2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
【解析】（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，∴BE＝16+x，
∵∠ABE＝22°，∴tan22°0.40，∴x≈10.7（m），∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），
答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m；
（2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3＝0.3（m），
减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
解直角三角形的应用（方位角问题）
解决此类问题的关键在于掌握方位角问题：
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
如图，在一条东西走向的公路MN的同侧有A，B两个村庄，村庄B位于村庄A的北偏东60°的方向上（∠QAB＝60°），公路旁的货站P位于村庄A的北偏东15°的方向上，已知PA平分∠BPN，AP＝2km，求村庄A，B之间的距离．（计算结果精确到0.01km，参考数据：1.414，1.732，2.449）
【分析】延长AQ交MN于点D，则AD⊥MN，过点P作PC⊥AB于点C．根据题意可得，∠PAD＝15°．然后根据锐角三角函数即可求出村庄A，B之间的距离．
【解析】如图，延长AQ交MN于点D，
则AD⊥MN，过点P作PC⊥AB于点C．
根据题意可知：∠PAD＝15°．∴∠APD＝90°﹣∠PAD＝75°．
∵AP平分∠BPN，∴∠APD＝∠APB＝75°．
∵∠QAB＝60°，∴∠PAB＝∠QAB﹣∠PAD＝45°．
∴∠PBA＝180°﹣∠PAB﹣∠APB＝60°．
在Rt△APC中，∠ACP＝90°，∠PAC＝45°，AP＝2，
∴，即．∴．∴AC＝PC，
在Rt△PCB中，∠BCP＝90°，∠PBA＝60°，，
∴，即．∴．
∴1.4142.23（km）．
答：村庄A，B之间的距离约为2.23
km．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行38km到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．
（1）直接写出∠C的度数；
（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等即可得出答案；
（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝42°+20°＝62°，AB＝38，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到答案．
【解析】（1）如图，由题意得：∠ACB＝20°+42°＝62°；
（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝62°，AB＝38，
过B作BE⊥AC于E，如图所示：
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠EAB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝38，∴AE＝BEAB＝19，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝62°，tan∠ACB，
∴CE，
∴AC＝AE+CE＝19
∴A，C两港之间的距离为（19）km．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
如图，一艘渔船正以海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看小岛C在船北偏东60°，60分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°．
（1）求小岛C到航线AB的距离．
（2）已知以小岛C为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进去危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？
【分析】（1）作CD⊥AB于D，由题意得出∠CAB＝∠ACB＝30°，从而得出AB＝CB，在Rt△BCD中，求得CD的长即可．
（2）利用勾股定理得出MD的长进而得出答案．
【解析】（1）作CD⊥AB于点D，如图1所示：
由题意可知：∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝30°，即∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝CB，
在Rt△CBD中，CD＝CB?sin∠CBD16；
即小岛C到航线AB的距离为16海里；
（2）∵CD＝16＜20，∴这艘渔船继续向东追赶鱼群，会有进入危险区的可能，
设M为开始进入危险区的位置，N为离开危险区的位置，如图2所示：
则CM＝CN＝20，∵CD⊥AB，∴DM＝DN，
在Rt△CMD中，DM12，
∴MN＝2DM＝24，
∵，∴渔船进去危险区，那么经过分钟可穿过危险区．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题、等腰三角形的判定与性质等知识；结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30km/h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
【分析】过点B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中证得BD＝CD，设BD＝x，则CD＝x，在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，利用三角函数定义表示出AD的长，在Rt△BDC中，利用三角函数表示出CD的长，由AD+CD＝AC列出方程问题得解．
【解析】作BD⊥AC于D．
依题意得，∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝30°，∴∠ACB＝45°．
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝45°，∴∠CBD＝∠DCB，∴BD＝CD，
设BD＝x，则CD＝x，
在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BD＝2x，tan30°，∴，∴ADx，
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，
∴sin∠DCB，∴BCx，
∵CD+AD＝30+30，∴x，∴x＝30，
∴AB＝2x＝60，BC，
第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：30（h），
∵1.5，∴第二组先到达目的地，
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
【小结】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
巩固练习
1．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】先利用正弦的定义得到sinA＝0.2，然后利用计算器求锐角∠A．
【解析】sinA0.2，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，
按键顺序为
故选：B．
【小结】本题考查了锐角三角函数及计算器的应用，掌握科学计算器的应用是解决本题的关键．
2．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则sinC＝（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】解直角三角形即可得到结论．
【解析】∵BC＝2AB，∴设AB＝a，BC＝2a，
∴ACa，∴sinC，
故选：D．
【小结】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子定成立的是（　　）
A．sinA＝sinB
B．cosA＝cosB
C．tanA＝tanB
D．sinA＝cosB
【分析】根据一个锐角的正弦等于它的余角的余弦解答．
【解析】∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sinA＝cosB．
故选：D．
【小结】本题考查了互余两角三角函数的关系，熟记同角（或余角）的三角函数关系式是解题的关键．
4．某屋顶示意图如图所示，现要在屋顶上开一个天窗，天窗AB在水平位置，屋顶坡面长度PQ＝QD＝4.8米，则屋顶水平跨度PD的长为（　　）米
A．cosα
B．cosα
C．sinα
D．sinα
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出PO＝OD，再利用锐角三角函数关系得出PO的长求出答案．
【解析】由题意可得：AB∥PD，
则∠ABC＝∠QPD＝α，
可得QO⊥PD，
则PO＝DO，
cosα，
故POcosα，
则PD＝2POcosα．
故选：B．
【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PO的长是解题关键．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝5，AC＝8，则tanA＝（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB的长，再利用勾股定理得出BC的长，进而利用直角三角形边角关系得出答案．
【解析】∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵AC＝8，AB＝10，
∴BC6，
∴tanA．
故选：C．
【小结】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理直角三角形边角关系，正确掌握边角关系是解题关键．
6．已知cosα＜sin80°，则锐角α的取值范围是（　　）
A．30°＜α＜80°
B．10°＜α＜80°
C．60°＜α＜80°
D．10°＜α＜60°
【分析】由cos60°，sin80°＝cos10°，锐角α的余弦值随着α的变大而减小，可得出α的范围，从而可得答案．
【解析】∵cos60°，cosα＜sin80°
锐角α的余弦值随着α的变大而减小，
故α＜60°
∵sin80°＝cos10°
∴10°＜α＜60°
故选：D．
【小结】本题考查了锐角三角函数的增减变化，明确锐角三角函数的增减变化以及特殊角的三角函数值，是解题的关键．
7．如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为（　　）
A．
B．
C．2
D．
【分析】直接利用网格结合锐角三角函数关系得出tanA，进而得出答案．
【解析】如图所示：连接BD，
BD，
AD2，
AB，
∵BD2+AD2＝2+8＝10＝AB2，
∴△ADB为直角三角形，
∴∠ADB＝90°，
则tanA．
故选：A．
【小结】此题主要考查了解直角三角形，正确构造直角三角形是解题关键．
8．下列不等式不成立的是（　　）
A．sin20°＜sin40°＜sin70°
B．cos20°＜cos40°＜cos70°
C．tan20°＜tan40°＜tan70°
D．sin30°＜cos45°＜tan60°
【分析】根据锐角正弦函数随角的增大而增大，余弦随角的增大而减小，正切随角的增大而增大，可得答案．
【解析】A、随角的增大而增大，故A不符合题意；
B、余弦随角的增大而减小，故B符合题意；
C、正切随角的增大而增大，故D不符合题意；
D、sin30°＜cos45°＜tan60°，故D不符合题意；
故选：B．
【小结】本题考查了锐角三角函数的增减性，锐角正弦函数随角的增大而增大，余弦随角的增大而减小，正切随角的增大而增大．
9．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点D到OB的距离等于（　　）
A．asinx+bsinx
B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx
D．acosx+bsinx
【分析】如图，过点D作DE⊥OC于点E，则点D到OB的距离等于OE的长．根据矩形性质及解直角三角形可得OC＝BC?cosx＝bcosx，CE＝CD?sinx＝asinx，进而可得点D到OB的距离．
【解析】如图，过点D作DE⊥OC于点E，
则点D到OB的距离等于OE的长．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，
∴∠CDE＝∠BCO＝x，
∴OC＝BC?cosx＝bcosx，
CE＝CD?sinx＝asinx，
∴OE＝OC+CE＝bcosx+asinx．
则点D到OB的距离等于bcosx+asinx．
故选：C．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形．
10．已知B港口位于A观测点北偏东45°方向，且其到A观测点正北方向的距离BM的长为10km，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行4km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（　　）km．
A．8
B．9
C．6
D．7
【分析】根据∠MAB＝45°，BM＝10和勾股定理求出AB的长，再根据tan∠BAD，求出BD的长，即可得出AD以及CD的长，进而得出答案．
【解析】∵∠MAB＝45°，BM＝10，
∴AB20km，
过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于D，
在Rt△ADB中，∠BAD＝∠MAC﹣∠MAB＝75°﹣45°＝30°，
tan∠BAD，∴ADBD，
BD2+AD2＝AB2，即BD2+（BD）2＝202，∴BD＝10，∴AD＝10，
在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，BC＝4，
∴CD＝2，∴AC＝AD﹣CD＝1028km，
答：此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为8km．
故选：A．
【小结】此题主要考查了解直角三角形中方向角问题，根据题意作出辅助线，构造直角三角形，求出BD的长是解题关键．
二．填空题（共6小题）
11．△ABC中，若（sinA）2+|cosB|＝0，则∠C＝　120°　．
【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出sinA，cosB，进而利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解析】∵（sinA）2+|cosB|＝0，
∴sinA0，cosB＝0，
∴sinA，cosB，
∴∠A＝30°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
故答案为：120°．
【小结】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
12．某斜坡坡角α的正弦值sinα，则该斜坡的坡比为　1：　．
【分析】根据正弦的定义、勾股定理用x表示出AC，根据坡度的概念计算，得到答案．
【解答】解；如图，设BC＝x，
在Rt△ABC中，sinA，
则AB＝2x，
由勾股定理得，ACx，
∴斜坡的坡比1：，
故答案为：1：．
【小结】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
13．比较sin80°与tan46°的大小，其中值较大的是　tan46°　．
【分析】由sin80°＜sin90°＝1及tan46°＞tan45°＝1求解可得．
【解析】∵sinα随α的增大而增大，且sin80°＜sin90°，
∴sin80°＜1，
∵tanα随α的增大而增大，且tan46°＞tan45°，
∴tan46°＞1，
则tan46°＞sin80°，
故答案为：tan46°．
【小结】本题主要考查锐角三角函数的增减性，解题的关键是掌握正弦函数和正切函数的增减性．
14．如图，在△ABC中，sinB，tanC，AB＝3，则AC的长为　　．
【分析】过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可．
【解析】过A作AD⊥BC，
在Rt△ABD中，sinB，AB＝3，∴AD＝AB?sinB＝1，
在Rt△ACD中，tanC，
∴，即CD，
根据勾股定理得：AC，
故答案为．
【小结】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
15．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来，在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．则标识牌CD的高度是　
　米．
【分析】过点B作BH⊥AE于点H，BF⊥CE于点F，根据题意可得∠BAH＝30°，BH＝5，AH＝5，四边形BHEF是矩形，再根据三角函数即可求得标识牌CD的高度．
【解析】如图，过点B作BH⊥AE于点H，BF⊥CE于点F，
根据题意可知：
∠BAH＝30°，AB＝AE＝10，
∴BH＝5，AH＝5，
∵CE⊥AE，
∴四边形BHEF是矩形，
∴EF＝BH＝5，
BF＝HE＝AH+AE＝510，
∵∠DAE＝60°，
∴DE＝AE?tan60°＝10，
∴DF＝DE﹣EF＝105，
∵∠CBF＝45°，
∴CF＝BF＝510，
∴CD＝CF﹣DF＝510﹣（105）＝15﹣5（米）．
所以标识牌CD的高度是（15﹣5）米．
故答案为：（15﹣5）．
【小结】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握特殊角三角函数值．
16．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为　2　．
【分析】连接格点MN、DM，可得MN∥EC，由平行线的性质得出∠DNM＝∠CPN，证出∠DMN＝90°，由三角函数定义即可得出答案．
【解析】连接格点MN、DM，如图所示：
则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，
∴EC∥MN，∠DMA＝∠NMB＝45°，DMAD＝2，MNBM，
∴∠CPN＝∠DNM，∴tan∠CPN＝tan∠DNM，
∵∠DMN＝180°﹣∠DMA﹣∠NMB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM2，
故答案为2．
【小结】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
17．计算：
（1）（﹣1）2?cos30°﹣（）2?tan60°；
（2）4sin60°﹣3tan30°+2cos45°?sin45°．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案．
【解析】（1）原式
．
（2）原式
．
【小结】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
18．当0°＜α＜45°时，有sin（α+45°）＝sinα+cosα．
（1）计算sin75°；
（2）如图，△ABC中，AB＝1，∠ACB＝45°，∠CAB＝α，请利用这个图形证明上述结论．
【分析】（1）根据题意，将α＝30°，代入题目中的等式，即可计算出sin75°的值；
（2）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可证明结论成立．
【解析】（1）∵当0°＜α＜45°时，有sin（α+45°）＝sinα+cosα，
∴当α＝30°时，sin（30°+45°）＝sin30°+cos30°，
∴sin75°，解得，sin75°；
（2）作AD⊥CB交CB的延长线于点D，
∵AB＝1，∠ACB＝45°，∠CAB＝α，
∴∠ABD＝∠ACB+∠ACB＝45°+α，sin∠ABDAD，
∴sin（45°+α）＝AD，
又∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，∴sinC，
即AD＝AC?sinC＝ACAC，
∴ACADsin（α+45°），
作BE⊥AC于点E，
∵∠CAB＝α，AB＝1，
∴sinαBE，cosαAE，
∵∠C＝45°，∠BEC＝90°，
∴∠C＝∠CBE＝45°，
∴BE＝CE，∴AC＝AE+CE＝AE+BE，
∴sin（α+45°）＝sinα+cosα．
【小结】本题考查直角三角形、实数的运算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，D是AC上一点，若tan∠DBA．
（1）求AD的长；
（2）求sin∠DBC的值．
【分析】（1）过点D作DH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质得到AH＝DH，根据正切的定义、勾股定理求出AD；
（2）根据勾股定理求出BD，根据正弦的定义计算即可．
【解析】（1）过点D作DH⊥AB于点H，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，
∴∠A＝45°，AC＝BC＝8，
∴AH＝DH，
设AH＝x，则DH＝x
∵tan∠DBA，
∴BH＝3x，
∴AB＝4x，
由勾股定理可知：AB8，
∴x＝2，
由勾股定理可得，AD4；
（2）∵AD＝4，
∴DC＝AC﹣AD＝4，
由勾股定理得，DB4，
∴sin∠DBC．
【小结】本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义、勾股定理是解题的关键．
20．如图，四边形钢板是某机器的零部件，工程人员在设计时虑到飞行的稳定性和其他保密性原则，使得边沿AD的长度是边沿BC长度的三倍，且它们所在的直线互相平行，检测员王刚参与了前期零件的基础设计，知道∠ABC＝45°，边沿CD所在直线与边沿BC所在直线相交后所成的锐角为30°（即P在BC的延长线上，∠DCP＝30°），经测量BC的长度为7米，求零件的边沿CD的长．（结果保留根号）
【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，用DN表示CN，MA，再根据矩形的性质，求出DN的长，进而求出答案．
【解析】如图，过点B作BM⊥AD，交DA的延长线于点M，过点D作DN⊥BC，交BC的延长线于点N，
∵BC∥AD，
∴∠ABC＝∠MAB＝45°，
又∵∠MBA＝90°﹣∠ABC＝45°，
∴MA＝MB＝DN，
又∵AD＝3BC，BC＝7，
∴AD＝21，
在Rt△CDN中，∠DCN＝30°，
∴CD＝2DN，CNDN，
由MD＝BN得，DN+21＝7DN，
解得，DN＝77，
∴CD＝2DN＝1414（米）
【小结】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，利用方程求解是解决问题的基本方法．
21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求cos∠ABE的值；
（2）连接AE，求四边形AEBC的面积．
【分析】（1）根据∠ACB＝90°，sinA，BC＝8，D是AB中点，求出CD、AC、BD的长，然后根据三角形面积求出BE的长，进而求得cos∠ABE的值；（2）根据三角形中线分出的两个三角形面积相等求出三角形BAE的面积，进而可以求出四边形AEBC的面积．
【解答】（1）在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴
∵BC＝8，∴AB＝10，
∵D是AB中点，
∴；
在Rt△ABC中，
∵AB＝10，BC＝8，∴，
∵D是AB中点，
∴BD＝5，S△BCD＝S△ADCS△ABC
即，
∴
在Rt△BDE中，，
答：cos∠ABE的值为；
（2）如图，连接AE，
在Rt△BDE中，
∵，
∴，
∴，
∵D是AB中点，
∴，
∴，
∵，
∴．
答：四边形AEBC的面积为．
【小结】本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的面积、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．
22．如图1．点A、B在直线MN上（A在B的左侧），点P是直线MN上方一点．若∠PAN＝x°，∠PBN＝y°，记＜x，y＞为P的双角坐标．例如，若△PAB是等边三角形，则点P的双角坐标为＜60，120＞．
（1）如图2，若AB＝22cm，P＜26.6，58＞，求△PAB的面积；
（参考数据：tan26.6°≈0.50，tan58°≈1.60．）
（2）在图3中用直尺和圆规作出点P＜x，y＞，其中y＝2x且y＝x+30．（保留作图痕迹）
【分析】（1）过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCA＝90°，根据锐角三角函数即可求解；
（2）如图3，用直尺和圆规作出点P＜x，y＞，其中y＝2x且y＝x+30．可得x＝30°，y＝60°即可．
【解析】（1）过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCA＝90°，
在Rt△PBC中，∠PBC＝58°，
∵tan58°，∴BC，
在Rt△PAC中，∠PAC＝26.6°，
∵tan26.6°，∴AC，
∵AB＝AC﹣BC，
∴22，解得PC≈16（cm），
∴S△PAB22×16＝176cm2；
（2）如图3，点P即为所求．
【小结】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质、尺规作图，解决本题的关键是掌握解直角三角形．代数式的定义及书写
（1）代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或
一个字母也是代数式．
代数式书写规范：①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；②字母和字母相乘，乘
号可以省略不写或用“
·
”
表示.
一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写；③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；④除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；⑥当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在
那个字母前加上“-”号.
（1）在下列各式中（1）3a，（2）4+8＝12，（3）2a﹣5b＞0，（4）0，（5）s＝πr2，（6）a2﹣b2，（7）1+2，（8）x+2y，其中代数式的个数是（　　）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
（2）下列各式：①1x；②2?3；③20%x；④a﹣b÷c；⑤；⑥x﹣5千克：其中符合代数式书写要求的有（　　）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【分析】（1）根据代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．依此作答即可．
（2）根据书写规则，分数不能为带分数，对各项的代数式进行判定，即可求出答案．
【解析】（1）由题，属于代数式有：（1）3a，（4）0，（6）a2﹣b2，（7）1+2，（8）x+2y，共5个，选C
（2）①1x中分数不能为带分数；②2?3数与数相乘不能用“?”；③20%x，书写正确；
④a﹣b÷c，除号应用分数线，所以书写错误；⑤书写正确；⑥x﹣5应该加括号，所以书写错误；
符合代数式书写要求的有③⑤共2个．选：D．
【小结】（1）代数式是由运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．
（2）注意代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“?”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）带分数要写成假分数的形式．
在以下各式中属于代数式的是（　　）
①Sah
②a+b＝b+a
③a
④
⑤0
⑥a+b
⑦
A．①②③④⑤⑥⑦
B．②③④⑤⑥
C．③④⑤⑥⑦
D．①②
【分析】根据代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式进行分析即可．
【解析】③a，④，⑤0，⑥a+b，⑦是代数式，选：C．
【小结】此题主要考查了代数式，关键是掌握代数式的定义．
在式子0.5xy﹣2，3÷a，（a+b），a?5，﹣3abc中，符合代数式书写要求的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】直接利用代数式的定义，代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式，进而判断即可．
【解析】0.5xy﹣2，3÷a，（a+b），a?5，﹣3abc中，符合代数式书写要求的有0.5xy﹣2，（a+b）共2个．选：B．
【小结】此题主要考查了代数式，正确把握定义是解题关键．
进入初中后学习数学，对于代数式书写规范，教材中指出：“在含有字母的式子中如果出现乘号“×”，通常将乘号写作“?”或者省略不写”．其实还有一些书写规范，比如，在代数式中如果出现除号“÷”，通常用分数线“﹣”来取代；数字与字母相乘时，一般数字写在前面，根据以上书写要求，将代数式（ac×4﹣b2）÷4简写为　
　．
【分析】根据代数式的写法表示即可．
【解析】代数式（ac×4﹣b2）÷4简写为：，故答案为：．
【小结】此题主要考查了代数式，关键是掌握代数式的表示要求．
列代数式（和差倍问题）
解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.
学校举行国庆画展，七（1）班交m件作品，七（2）班交的作品比七（1）班的2倍少6件，则七（2）班交的作品是　
　件．
【分析】根据“2倍”即乘以2，“少6件”即再减去6即可得．
【解析】根据题意知七（2）班交的作品数量为（2m﹣6）件，故答案为：2m﹣6．
【小结】本题主要考查列代数式，列代数式应该注意格式.
某校报数学兴趣小组的有m人，报书法兴趣小组的人数比数学兴趣小组的人数的一半多3人，那么报书法兴趣小组的有　
　人．
【分析】数学兴趣小组的人数的一半是：m，则根据“报书法兴趣小组的人比数学兴趣小组的人数的一半多3人”列出代数式．
【解析】依题意知，美术兴趣小组的人数是：m+3．故答案是：（m+3）．
【小结】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
某学校七年级有m人，八年级人数比七年级人数的多10人，九年级人数比八年级人数的2倍少50人，用含m的式子表示七八九三个年级的总人数为（　　）
A．3m
B．m﹣40
C．3m﹣40
D．3m﹣20
【分析】根据题意分别表示出各年级的人数，进而利用整式的加减运算法则得出答案．
【解析】由题意可得，八年级的人数为：m+10，九年级人数为：2（m+10）﹣50，
故七八九三个年级的总人数为：mm+10+2（m+10）﹣50＝3m﹣20．选：D．
【小结】此题主要考查了列代数式，正确表示出各年级人数是解题关键．
我校甲、乙、丙三位同学给希望工程捐款，已知甲同学捐款x元，乙同学的捐款金额比甲同学捐款金额的3倍少8元，丙同学的捐款金额是甲、乙两同学捐款总金额的，用含x的代数式表示甲，乙、丙三位同学的捐款总金额．
【分析】分别表示出乙、丙同学捐款总数进而得出答案．
【解析】由题意可得，乙同学捐款（3x﹣8）元，丙同学的捐款金额是：（x+3x﹣8）＝3x﹣6（元），
故甲，乙、丙三位同学的捐款总金额为：x+3x﹣8+3x﹣6＝7x﹣14（元）．
【小结】此题主要考查了列代数式，正确表示出乙、丙同学捐款总数是解题关键．
列代数式（数字问题）
解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.
一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字比十位上的数字少2，则这个两位数为（　　）
A．11a﹣20
B．11a+20
C．11a﹣2
D．11a+2
【分析】根据一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字比十位上的数字少2，可知个位数字为a﹣2，然后即可用含a的代数式表示出这个两位数．
【解析】由题意可得，这个两位数为：10a+（a﹣2）＝11a﹣2，选：C．
【小结】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
设a是一个三位数，b是一个两位数，如果将这两个数顺次排成一个五位数（a在左，b在右），则这个五位数可以表示为　
　．
【分析】相当于把三位数扩大了100倍，两位数的大小不变，相加即可．
【解析】∵三位数扩大了100倍，两位数的大小不变，∴这个五位数可以表示为100a+b．故答案是100a+b．
【小结】考查列代数式，得到新数中的a，b与原数中的a，b的关系是解决本题的关键．
一个三位数为x，一个两位数为y，把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数M，把这个两位数放在三位数的左边又可以得到一个五位数N，则M﹣N＝　
　（结果用含x，y的式子表示）．
【分析】由于一个两位数为y，一个三位数为x，若把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数M，由此得到M＝100x+y，又把这个两位数放在三位数的左边又可以得到一个五位数N，由此得到N＝1000y+x，然后就可以求出M﹣N的值．
【解析】依题意得，M＝100x+y，N＝1000y+x，∴M﹣N＝（100x+y）﹣（1000y+x）＝99x﹣999y．
【小结】此题主要考查了列代数式，解决此类题目的关键是首先正确理解题意，然后根据题意列出代数式，同时计算时熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．
用式子表示十位上的数是x，个位上的数是y的两位数，再把这个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置．求后来所得的数与原来的数的差是多少？
【分析】由十位上的数字乘10加上个位上的数字表示出两位数，再由个位与十位交换表示出新数，新数减去原来的数即可得到结果．
【解析】依题意有（10y+x）﹣（10x+y）＝10y+x﹣10x﹣y＝9y﹣9x．
【小结】本题主要考查列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系．
列代数式（销售问题）
解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.
一件羽毛球拍先按成本价提高50%标价，再将标价打8折出售，若这件羽毛球拍的成本价是x元，那么售价可表示为　
　．
【分析】直接利用成本与原价以及售价与打折的关系进而得出答案．
【解析】由题意可得：（1+50%）x×0.8＝1.2x（元）．
【小结】此题主要考查了列代数式，正确理解打折与售价的关系是解题关键．
某商店有一种商品每件成本a元，按成本价增加20%定为售价，售出80件后，由于存积压降价，打八五折出售，又售出120件．
（1）求该商品减价后每件的售价为多少元？（2）售完200件这种商品共盈利多少元？
【分析】（1）根据一种商品每件成本a元，按成本价增加20%定为售价，后来由于存积压降价，打八五折出售，可以用含a的代数式表示出该商品减价后每件的售价为多少元；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以计算出售完200件这种商品共盈利多少元．
【解析】（1）由题意可得，每件商品减价后的售价是：a（1+20%）×0.85＝1.02a（元），
（2）20%a×80+（1.02a﹣a）×（200﹣80）＝16a+0.02a×120＝16a+2.4a＝18.4a（元），
【小结】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
小明经销一种服装，进货价为每件a元，经测算先将进货价提高200%进行标价，元旦前夕又按标价的4折销售，这件服装的实际价格（　　）
A．比进货价便宜了0.52a元
B．比进货价高了0.2a元
C．比进货价高了0.8a元
D．与进货价相同
【分析】直接利用标价以及打折之间的关系得出关系式即可．
【解析】由题意可得，这件服装的实际价格是：（1+200%）a×40%＝1.2a元．
则1.2a﹣a＝0.2a（元）比进货价高了0.2a元．选：B．
【小结】此题主要考查了列代数式，正确表示出标价是解题关键．
张师傅下岗后做起了小生意，第一次进货时，他以每件a元的价格购进了20件甲种小商品，以每件b元的价格购进了30件乙种小商品（a＞b）．根据市场行情，他将这两种小商品都以元的价格出售．在这次买卖中，张师傅的盈亏状况为（　　）
A．赚了（25a+25b）元
B．亏了（20a+30b）元
C．赚了（5a﹣5b）元
D．亏了（5a﹣5b）元
【分析】应该比较他的总进价和总售价．分别表示出总进价为：20a+30b，总售价为（20+30）＝25a+25b，通过作差法比较总进价和总售价的大小，判断他是赔是赚．
【解析】根据题意可知：总进价为20a+30b，总售价为（20+30）＝25a+25b
∴25a+25b﹣（20a+30b）＝5a﹣5b，∵a＞b，∴5a﹣5b＞0，那么售价＞进价，∴他赚了．选：C．
【小结】此题考查列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，找到其中的数量关系．本题要注意应该比较他的总进价和总售价．
列代数式（增长率问题）
解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.
某校去年初一招收新生a人，今年比去年增加x%，今年该校初一学生人数用式子表示为（　　）
A．（a+x%）人
B．ax%人
C．人
D．a（1+x%）人
【分析】根据今年招收的新生人数＝去年初一招收的新生人数+x%×去年初一招收新生人数，即可得出答案．
【解析】∵去年初一招收新生a人，∴今年该校初一学生人数为：a（1+x%）人．选：D．
【小结】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．注意今年比去年增加x%和今年是去年的x%的区别．
某校初一年级计划初中三年每年参加植树活动，2019年已经植树a亩，如果以后每年比上一年植树面积增长20%，那么2021应植树的面积为（　　）
A．a?（1+20%）
B．a?（1+2×20%）
C．a?（1+20%）2
D．2a?（1+20%）
【分析】根据题意，可以用含a的代数式表示出2021年应植树的面积，本题得以解决．
【解析】由题意可得，2021应植树的面积为：a（1+20%）2，选：C．
【小结】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
某企业今年1月份产值为x万元，2月份的产值比1月份减少了10%，则1月份和2月份的产值和是（　　）
A．x+（1﹣10%）x万元
B．x+（1+10%）x万元
C．（1﹣10%）x万元
D．（1+10%）x万元
【分析】根据题意表示出2月份的产值，进而得出答案．
【解析】∵今年1月份产值为x万元，2月份的产值比1月份减少了10%，
∴2月份的产量为：（1﹣10%）x，故1月份和2月份的产值和是：[x+（1﹣10%）x]万元．选：A．
【小结】此题主要考查了列代数式，正确表示出2月份的产值是解题关键．
裕丰商店一月份的利润为50万元，二、三月份的利润平均增长率为m，则下列各式中，能正确表示这个商店第一季度的总利润的是（　　）
A．50（1+m）万元
B．50（1+m）2万元
C．[50+50（1+m）]万元
D．[50+50（1+m）+50（1+m）2]万元
【分析】根据裕丰商店一月份的利润及二、三月份的利润平均增长率，即可用含m的代数式表示出二、三月份的利润，再将三个月的利润相加即可得出结论．
【解析】∵裕丰商店一月份的利润为50万元，二、三月份的利润平均增长率为m，
∴二月份的利润为50（1+m）万元，三月份的利润为50（1+m）2，
∴这个商店第一季度的总利润是[50+50（1+m）+50（1+m）2]万元．选：D．
【小结】本题考查了列代数式，根据前三个月利润间的关系，用含m的代数式表示出二、三月份的利润是解题的关键．
列代数式（分段计费问题）
解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.
东西湖区域出租汽车行驶2千米以内（包括2千米）的车费是10元，以后每行驶1千米，再加0.7元．如果某人坐出租汽车行驶了m千米（m是整数，且m≥2），则车费是（　　）
A．（10﹣0.7m）元
B．（11.4+0.7m）元
C．（8.6+0.7m）元
D．（10+0.7m）元
【分析】根据题意，可以用含m的代数式表示出需要付的车费，本题得以解决．
【解析】由题意可得，车费是：10+（m﹣2）×0.7＝（0.7m+8.6）元，选：C．
【小结】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：
居民每月用电量
单价（元/度）
不超过50度的部分
0.5
超过50度但不超过200度的部分
0.6
超过200度的部分
0.8
已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）：
一月份
二月份
三月份
四月份
五月份
六月份
﹣50
+30
﹣26
﹣45
+36
+25
根据上述数据，解答下列问题：
（1）小刚家用电量最多的是　
　月份，实际用电量为　
　度；
（2）小刚家一月份应交纳电费　
　元；
（3）若小刚家七月份用电量为x度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含x的代数式表示）．
【分析】（1）根据表格中的数据可以解答本题；
（2）根据表格中的数据和题意，可以计算出小刚家一月份应交纳电费；
（3）根据表格中的数据，可以用分类讨论的方法用相应的代数式表示出小刚家七月份应交纳的电费．
【解析】（1）由表格可知，五月份用电量最多，实际用电量为：200+36＝236（度），故答案为：五，236；
（2）小刚家一月份用电：200+（﹣50）＝150（度），
小刚家一月份应交纳电费：0.5×50+（150﹣50）×0.6＝25+60＝85（元），故答案为：85；
（3）当0＜x≤50时，电费为0.5x元；
当50＜x≤200时，电费为0.5×50+（x﹣50）×0.6＝25+0.6x﹣30＝（0.6x﹣5）元；
当x＞200时，电费为0.5×50+0.6×150+（x﹣200）×0.8＝25+90+0.8x﹣160＝（0.8x﹣45）元．
【小结】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算，表示立方米）
价目表
每月用水量
单价
不超过6m3的部分
2元/m3
超出6m3不超出10m3的部分
4元/m3
超出10m3的部分
8元/m3
请根据上表的内容解答下列问题：
（1）填空：若该户居民2月份用水5m3，则应交水费　
　元；3月份用水8m3，则应收水费　
　元；
（2）若该户居民4月份用水am3（其中a＞10m3），则应交水费多少元（用含a的代数式表示，并化简）？
（3）若该户居民5、6两个月共用水14m3（6月份用水量超过了5月份），设5月份用水xm3，直接写出该户居民5、6两个月共交水费多少元（用含x的代数式表示）．
【分析】（1）根据题意，可以计算出该居民二月份和三月份的水费；
（2）根据题意，可以用a的代数式表示出4月份的水费；
（3）根据题意，利用分类讨论的方法可以解答本题．
【解析】（1）由表格可得，若该户居民2月份用水5m3，则应交水费：2×5＝10（元），
3月份用水8m3，则应收水费：2×6+4×（8﹣6）＝12+4×2＝12+8＝20（元），故答案为：10，20；
（2）由表格可得，
该户居民4月份用水am3（其中a＞10m3），则应交水费：2×6+4×（10﹣6）+8（a﹣10）＝（8a﹣52）元，
（3）由题意可得，x＜14﹣x，得x＜7，
当6＜x＜7，该户居民5、6两个月共交水费：[2×6+（x﹣6）×4]+[2×6+（14﹣x﹣6）×4]＝32（元），
当4≤x≤6时，该户居民5、6两个月共交水费：2x+[2×6+（14﹣x）×4]＝（﹣2x+68）（元），
当0≤x＜4时，该户居民5、6两个月共交水费：2x+[2×6+（10﹣6）×4+（14﹣x）×8]＝（140﹣6x）（元）．
【小结】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式、利用分类讨论的的方法解答．
滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目
里程费
时长费
远途费
单价
1.8元/公里
0.45元/分钟
0.4元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算：
时长费按行车的实际时间计算远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元．
（1）若小东乘坐滴滴快车，行车里程为20公里，行车时间为30分钟，则需付车费　
　元；
（2）若小明乘坐滴滴快车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则小明应付车费多少元；（用含a、b的代数式表示，并化简）
（3）小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，受路况情况影响，小王反而比小张乘车多用24分钟，请问谁所付车费多？
【分析】（1）根据滴滴快车计算得到得到所求即可；
（2）根据a的值在10公里以内还是超过10公里，分别写出小明应付费即可；
（3）根据题意计算出相差的车费即可．
【解析】（1）1.8×20+0.45×30+0.4×（20﹣10）＝53.5（元），故答案为：53.5；
（2）当a≤10时，小明应付费（1.8a+0.45b）元；
当a＞10时，小明应付费1.8a+0.45b+0.4（a﹣10）＝（2.2a+0.45b﹣4）元；
（3）小王与小张乘坐滴滴快车分别为a分钟、（a﹣24）分钟，
1.8×9.5+0.45a﹣[1.8×14.5+0.45（a﹣24）+0.4×（14.5﹣10）]＝0，因此，小王和小张付费相同．
【小结】此题考查了代数式求值，以及列代数式，弄清题意是解本题的关键．
代数式求值（整体代入法）
已知代数式x﹣2y的值是3，则代数式4y+1﹣2x的值是（　　）
A．﹣5
B．﹣3
C．﹣1
D．0
【分析】直接将原式变形进而把已知代入求出答案．
【解析】∵x﹣2y＝3，∴4y+1﹣2x＝﹣2（x+2y）+1＝﹣6+1＝﹣5．选：A．
【小结】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．
当x＝2时，代数式px3+qx+1的值为﹣2019，求当x＝﹣2时，代数式的px3+qx+1值是（　　）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
【分析】根据整体思想将已知条件用含p和q的代数式表示，再整体代入即可求解．
【解析】当x＝2时，代数式px3+qx+1的值为﹣2019，即8p+2q＝﹣2020．
当x＝﹣2时，代数式的px3+qx+1＝﹣8p﹣2q+1＝﹣（8p+2q）+1＝2020+1＝2021．选：D．
【小结】本题考查了代数式求值，解决本题的关键是利用整体思想．
已知1﹣a2+2a＝0，则的值为（　　）
A．
B．
C．1
D．5
【分析】1﹣a2+2a＝0经过整理得：a2﹣2a＝1，（a2﹣2a），
把a2﹣2a＝1代入代数式（a2﹣2a），计算求值即可．
【解析】∵1﹣a2+2a＝0，∴a2﹣2a＝1，∴（a2﹣2a）1，选：A．
【小结】本题考查了代数式求值，正确掌握代数式变形，代入法，有理数混合运算法则是解题的关键．
（1）【探究】若a2+2a＝1，则代数式2a2+4a+4＝2（　
　）+4＝2×（　
　）+4＝　
　．
【类比】若x2﹣3x＝2，则x2﹣3x﹣5的值为　
　．
（2）【应用】当x＝1时，代数式px3+qx+1的值是5，求当x＝﹣1时，px3+qx+1的值；
（3）【推广】当x＝2020时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，当x＝﹣2020时，ax5+bx3+cx﹣5的值
为　
　（含m的式子表示）
【分析】（1）把代数式2a2+4a+4＝2（a2+2a）+4，然后利用整体代入的方法计算；利用同样方法计算x2﹣3x﹣5的值；
（2）先用已知条件得到p+q＝4，而当x＝﹣1时，px3+qx+1＝﹣p﹣q+1＝﹣（p+q）+1，然后利用整体代入的方法计算；
（3）利用当x＝2020时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m得到20205a+20203b+2020c＝m+5，而当x＝﹣2020时，ax5+bx3+cx﹣5＝﹣20205a﹣20203b﹣2020c﹣5，然后利用整体代入的方法计算．
【解析】（1）∵a2+2a＝1，
∴2a2+4a+4＝2（a2+2a）+4＝2×（1）+4＝6；
【类比】若x2﹣3x＝2，则x2﹣3x﹣5＝2﹣5＝﹣3；
故答案为a2+2a，1，6；﹣3；、
（2）∵当x＝1时，代数式px3+qx+1的值是5，∴p+q+1＝5，∴p+q＝4，
∴当x＝﹣1时，px3+qx+1＝﹣p﹣q+1＝﹣（p+q）+1＝﹣4+1＝﹣3；
（3）∵当x＝2020时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，
∴20205a+20203b+2020c﹣5＝m，即20205a+20203b+2020c＝m+5，
当x＝﹣2020时，ax5+bx3+cx﹣5＝（﹣2020）5a+（﹣2020）3b+（﹣2020）c﹣5
＝﹣20205a﹣20203b﹣2020c﹣5
＝﹣（20205a+20203b+2020c）﹣5
＝﹣（m+5）﹣5
＝﹣m﹣5﹣5
＝﹣m﹣10．
故答案为﹣m﹣10．
【小结】本题考查了代数式求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．也考查了整体代入的方法．
代数式求值（程序框图）
根据以下程序，当输入x＝﹣2时，输出结果为（　　）
A．﹣5
B．﹣16
C．5
D．16
【分析】首先求出当x＝﹣2时，9﹣x2的值是多少，然后把所得的结果和1比较大小，判断是否输出结果即可．
【解析】当x＝﹣2时，9﹣x2＝9﹣（﹣2）2＝9﹣4＝5＞1，
当x＝5时，9﹣x2＝9﹣52＝9﹣25＝﹣16＜1，
∴当输入x＝﹣2时，输出结果为﹣16．选：B．
【小结】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简
根据如图所示的计算程序，若输入x＝﹣1，则输出结果为（　　）
A．4
B．2
C．1
D．﹣1
【分析】把x＝﹣1代入程序中计算即可得到结论．
【解析】当入x＝﹣1时，﹣x2+3＝﹣1+3＝2＞1，当x＝2时，﹣x2+3＝﹣4+3＝﹣1＜1，选：D．
【小结】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为6的是（　　）
A．x＝5，y＝﹣1
B．x＝2，y＝2
C．x＝2，y＝﹣1
D．x＝﹣2，y＝3
【分析】把x与y的值代入检验即可．
【解析】A、当x＝5，y＝﹣1时，输出结果为5+1＝6，符合题意；
B、当x＝2，y＝2时，输出结果为2﹣4＝﹣2，不符合题意；
C、当x＝2，y＝﹣1时，输出结果为2+1＝3，不符合题意；
D、当x＝﹣2，y＝3时，输出结果为﹣2﹣9＝﹣11，不符合题意，选：A．
【小结】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
如图是一个运算程序，能使输出结果为﹣1的是（　　）
A．1，2
B．﹣1，0
C．﹣1，2
D．0，﹣1
【分析】根据筛选法将各个选项分别代入运算程序即可得结果．
【解析】A．当a＝1，b＝2时，输出结果为3，不符合题意；
B．当a＝﹣1，b＝0时，输出结果为1，不符合题意；
C．当a＝﹣1，b＝2时，输出结果为﹣1，符合题意；
根据筛选法C选项正确．选：C．
【小结】本题考查
了代数式求值、有理数的混合运算，解决本题的关键是理解运算程序．
单项式的系数与次数
解题关键：①单项式中的数字因数称为这个单项式的系数；②一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
的系数是　　，次数是　
　．
【分析】直接利用单项式的系数与次数确定方法得出答案．
【解析】的系数是：，次数是：7
【小结】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键．
单项式﹣3πxa+1y2与的次数相同，则a的值为　
　．
【分析】根据单项式的次数相等，得到关于a的一元一次方程，求解即可．
【解析】因为的次数是5，又因为单项式﹣3πxa+1+y2与的次数相同
所以a+1+2＝5解得a＝2
【小结】本题考查了单项式次数的定义及一元一次方程的解法．通过单项式的次数相等列出关于a的方程是解决本题的关键．注意单项式的次数不包含数字和π的次数
若单项式﹣x3yn+5的系数是m，次数是9，则m+n的值为　
　．
【分析】先依据单项式的系数和次数的定义确定出m、n的值，然后求解即可．
【解析】根据题意得：m＝﹣1，3+n+5＝9，解得：m＝﹣1，n＝1，则m+n＝﹣1+1＝0
【小结】本题主要考查的是单项式的定义，掌握单项式的系数和次数的概念是概念是解题的关键．
已知（m﹣3）x3y|m|+1是关于x，y的七次单项式，求m2﹣2m+2＝　
　．
【分析】直接利用单项式的次数确定方法分析得出答案．
【解析】∵（m﹣3）x3y|m|+1是关于x，y的七次单项式，∴3+|m|+1＝7且m﹣3≠0，解得：m＝﹣3，
∴m2﹣2m+2＝9+6+2＝17
【小结】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数确定方法是解题关键．
多项式的项与次数
解题关键是熟悉几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
关于多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2，下列说法正确的是（　　）
A．三次项系数为3
B．常数项是﹣2
C．多项式的项是5x4y，3x2y，4xy，﹣2
D．这个多项式是四次四项式
【分析】根据多项式的项、次数的定义逐个判断即可．
【解析】A、多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2的三次项的系数为﹣3，错误，故本选项不符合题意；
B、多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2的常数项是﹣2，正确，故本选项符合题意；
C、多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2的项为5x4y，﹣3x2y，4xy，﹣2，错误，故本选项不符合题意；
D、多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2是5次四项式，错误，故本选项不符合题意；选：B．
【小结】本题考查了多项式的有关概念，能熟记多项式的次数和项的定义是解此题的关键．
多项式　
　是一个关于x的三次四项式，它的次数最高项的系数是﹣5，二次项的系数是，一次项的系数是﹣2，常数项是4．
【分析】直接利用多项式的次数与项数确定方法分析得出答案．
【解析】由题意可得，此多项式可以为：﹣5x3x2﹣2x+4．
【小结】此题主要考查了多项式，正确把握相关定义是解题关键．
已知关于x的整式（|k|﹣3）x3+（k﹣3）x2﹣k．
（1）若整式是单项式，求k的值；（2）若整式是二次多项式，求k的值；（3）若整式是二项式，求k的值
【分析】（1）由整式为单项式，根据定义得到|k|﹣3＝0且k﹣3＝0，求出k的值；
（2）由整式为二次式，根据定义得到|k|﹣3＝0且k﹣3≠0，求出k的值；
（3）由整式为二项式，得到①|k|﹣3＝0且k﹣3≠0；②k＝0；依此即可求解．
【解析】（1）∵关于x的整式是单项式，∴|k|﹣3＝0且k﹣3＝0，解得k＝3，∴k的值是3；
（2）∵关于x的整式是二次多项式，∴|k|﹣3＝0且k﹣3≠0，解得k＝﹣3，∴k的值是﹣3；
（3）∵关于x的整式是二项式，∴①|k|﹣3＝0且k﹣3≠0，解得k＝﹣3；②k＝0．∴k的值是﹣3或0．
【小结】此题考查了单项式和多项式，解题的关键是熟悉几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
已知关于x、y的多项式是八次四项式，单项式5xny6﹣m的次数与该多项式的次数相同，求m、n的值．
【分析】先根据多项式的次数计算出m的值，再根据单项式的次数计算出n的值即可．
【解析】∵多项式是八次四项式，所以2+m+1＝8，解得m＝5
又因为5xny6﹣m的次数与该多项式的次数相同，所以n+6﹣m＝8，即n＝7．
【小结】本题考查了多项式的次数和项、单项式的次数．掌握多项式的项和次数及单项式的次数是解决本题的关键．注意区分单项式与多项式的次数．多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，不是所有字母指数的和．
与数有关的规律探索
根据图中数字的规律，则x+y的值是（　　）
A．729
B．550
C．593
D．738
【分析】观察发现，图中第二行左边的数比第一行数的平方大1，第二行右边的数＝第二行左边的数×第一行的数+第一行的数，依此规律先求x，再求y即可．
【解析】∵5＝22+1，12＝5×2+2；
17＝42+1，72＝17×4+4；37＝62+1，228＝37×6+6；
∴x＝82+1＝65，y＝65×8+8＝528，x+y＝65+528＝593．选：C．
【小结】考查了规律型：数字的变化类，关键是由图形得到第二行左边的数比第一行数的平方大1，第二行右边的数＝第二行左边的数×第一行的数+第一行的数．
将全体正奇数排成一个三角形数阵如下，按照以上排列的规律，第19行第11个数是（　　）
A．363
B．361
C．359
D．357
【分析】根据数字的变化类寻找每一行数字的变化规律即可求解．
【解析】观察所给数阵，得每一行的变化规律如下：
第一行的第一个数：1×0+1＝1
第二行的第一个数：2×1+1＝3
第三行的第一个数：3×2+1＝7
…
第n行的第一个数：n?（n﹣1）+1
∴第19行的第一个数：19×18+1＝343
∴第19行的第11个数：343+10×2＝363，选：A．
【小结】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是寻找每一行数字的变化规律．
将全体自然数按下面的方式进行排列，按照这样的排列规律，2020应位于（　　）
A．位
B．位
C．位
D．位
【分析】观察图形不难发现，每4个数为一个循环组依次循环，因为2020是第2021个数，所以用2021除以4，再根据商和余数的情况确定2020所在的位置即可．
【解析】由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，
∵2020是第2021个数，∴2021÷4＝505余1，
∴2020应位于第506循环组的第1个数，在A位．选：A．
【小结】本题是对数字变化规律的考查，观察出每4个数为一个循环组依次循环是解题的关键，要注意2020是第2021个数．
按规律排列的一列数：，，，，，…，则第2020个数是　　．
【分析】先分析符号，第奇数个数据为负，第偶数个数据为正，再分析分子规律：依次为1，2，3，4，5，…连续的正整数，接着分析分母的规律：每个分母分别为对应分子的3倍少1的数，按此规律写出第2020个数便可．
【解析】，
，
，
，
，
…
由上可知第n个数为：，
∴第2020个数是：．
【小结】此题考查了数字的变化类，让学生学会观察，及时总结，得出其中的规律是解题的关键，注意分母的变化，找出分母的变化规律是难点．
与式有关的规律探索
从2开始，连续n个偶数相加的合计为S，它们和的情况如下表：
（1）若n＝8时，则S的值为　
　．
（2）根据表中的规律猜想：用n的式子表示S的公式为：S＝2+4+6+8+…+2n＝　
　．
加数的个数n
S
1
2＝1×2
2
2+4＝6＝2×3
3
2+4+6＝12＝3×4
4
2+4+6+8＝20＝4×5
5
2+4+6+8+10＝30＝5×6
（3）根据上题的规律计算2+4+6+8+10+…+2018+2020的值．
【分析】（1）根据题意，可以求得当n＝8时，对应的S的值；
（2）根据表格中的数据，可以写出S的值；
（3）根据（2）中的结论，可以求得所求式子的值．
【解析】（1）当n＝8时，S＝2+4+6+…+16＝（2+16）×4＝18×4＝72，故答案为：72；
（2）由表格中的数据可知，S＝2+4+6+8+…+2n＝n（n+1），故答案为：n（n+1）；
（3）2+4+6+8+10+…+2018+2020＝（2020÷2）×（2020÷2+1）＝1010×1011＝1021110．
【小结】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的数据．
已知a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是1．现已知a1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数．
（1）求a2，a3，a4的值．
（2）根据（1）的计算结果，请猜想并写出a2018?a2019?a2020的值．
（3）计算：a1+a2+a3+…+a2018+a2019．
【分析】（1）根据题意，可以分别计算出a2，a3，a4的值；
（2）根据（1）中式子的值，可以发现数字的变化特点，从而可以求得a2018?a2019?a2020的值；
（3）根据前面发现的数字的特点，可以求得所求式子的值．
【解析】（1）∵a1，∴a22，a31，a4，
即a2，a3，a4的值分别为2，﹣1，；
（2）∵2018÷3＝672…2，∴a2018?a2019?a2020＝2×（﹣1）＝﹣1；
（3）∵2019÷3＝673，2+（﹣1），∴a1+a2+a3+…+a2018+a2019673．
【小结】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值．
小学的时候我们已经学过分数的加减法法则：“同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分，转化为同分母分数，再加减．”如：，反之，这个式子仍然成立，即：
（1）问题发现
观察下列等式：①1，
②，
③，…，
猜想并写出第n个式子的结果：　
　．（直接写出结果，不说明理由）
（2）类比探究
将（1）中的的三个等式左右两边分别相加得：1，类比该问题的做法，请直接写出下列各式的结果：
①　
　；②　
　；
（3）拓展延伸
计算：．
【分析】（1）根据题目中的式子可以写出第n个式子的结果；
（2）①根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值；
②根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值；
（3）根据题目中式子的特点，可以求得所求式子的值．
【解析】（1）由题目中的式子可得，
（2）①＝1＝1
，
②＝1＝1，
（3）（1）（1）
．
【小结】解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，求出所求式子的值．
阅读材料：
求1+2+22+23+24+…+22020的值．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22020，将等式两边同时乘以2得，
2S＝2+22+23+24+25+…+22021．
将下式减去上式，得2S﹣S＝22021﹣1，即S＝22021﹣1．
即1+2+22+23+24+…+22020＝22021﹣1
仿照此法计算：
（1）1+3+32+33+…+320；
（2）1．
【分析】（1）仿照阅读材料中的方法求出所求即可；
（2）仿照阅读材料中的方法求出所求即可．
【解析】（1）设S＝1+3+32+33+…+320，
则2S＝3+32+33+…+321，
∴3S﹣S＝321﹣1，即S，
则1+3+32+33+…+320；
（2）设S＝1，
则S，
∴SS＝1，即S，
则S＝1．
【小结】此题考查了规律型：数字的变化类，以及有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．
与图形排列有关的规律探索
如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中菱形的个数为（　　）
A．42
B．43
C．56
D．57
【分析】设第n个图形中一共有an个菱形（n为正整数），根据各图形中菱形个数的变化可得出变化规律“an＝n2+n+1（n为正整数）”，再代入n＝6即可求出结论．
【解析】设第n个图形中一共有an个菱形（n为正整数），
∵a1＝12+2＝3，a2＝22+3＝7，a3＝32+4＝13，a4＝42+5＝21，…，∴an＝n2+n+1（n为正整数），
∴a6＝62+7＝43．选：B．
【小结】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中菱形个数的变化，找出变化规律“an＝n2+n+1（n为正整数）”是解题的关键．
观察如图所示一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第10个图中共有点的个数是（　　）
A．109个
B．136个
C．166个
D．199个
【分析】根据题目中的图形，可以发现点的个数的变化规律，从而可以得到第10个图中点的个数.
【解析】由图可得，第1个图中点的个数为：1+3×1＝4，
第2个图中点的个数为：1+3×1+3×2＝10，
第3个图中点的个数为：1+3×1+3×2+3×3＝19，…，
第10个图中点的个数为：1+3×1+3×2+3×3+…+3×10＝1+3+6+9+…+30＝166，选：C．
【小结】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
将图1中的正方形剪开得到图2，则图2中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，图3中共有7个正方形；将图3中4个较小的正方形中的一个剪开得到图4，则图4中共有10个正方形，照这个规律剪下去…
（1）根据图中的规律补全下表：
图形标号
1
2
3
4
5
6
…
n
正方形个数
1
4
7
10
…
（2）求第几幅图形中有2020个正方形？
【分析】（1）第1个图形有正方形1个，第2个图形有正方形4个，第3个图形有正方形7个，第4个图形有正方形10个，…，第n个图形有正方形（3n﹣2）个，计算出结果填上即可；
（2）由第n个图形有正方形（3n﹣2）个，得出3n﹣2＝2020，解得n＝674．
【解析】（1）第1个图形有正方形1个，第2个图形有正方形4个，第3个图形有正方形7个，第4个图形有正方形10个，…，第n个图形有正方形（3n﹣2）个，
∴第5个图形有正方形13个，第6个图形有正方形16个，
补全表如下：
（2）由第n个图形有正方形（3n﹣2）个，得出：3n﹣2＝2020，解得：n＝674，
∴第674幅图形中有2020个正方形．
【小结】本题考查了图形的变化规律，仔细观察，得出规律是解题的关键．
某餐厅中1张餐桌可坐6人，有以下两种摆放方式：
（1）对于方式一：4张桌子拼在一起可坐　
　人；对于方式二，n张桌子拼在一起可坐　
　人；
（2）该餐厅有40张这样的长方形桌子，若按方式一每5张拼成一张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？
（3）在（2）中，若改成每8张拼成一张大桌子，按方式二的拼法，则40张桌子共可坐多少人？
（4）一天中午，该餐厅来了98位顾客共同就餐，要求用满座位，但餐厅中只有25张这样的长方形桌子可用，若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆餐桌呢（不考虑场地等因素）？
【解析】（1）对于方式一：4张桌子拼在一起可坐2+4×4＝18（人），
对于方式二，n张桌子拼在一起可坐：（2n+4）人，
（2）方式一，5张拼成一张大桌子，一个大桌可坐2+4×5＝22（人），拼成8张大桌子可坐22×8＝176（人），
（3）方式二，8张拼成一张大桌子，一个大桌可坐2×8+4＝20（人），则拼成5张大桌子可坐20×5＝100（人），
（4）因为一张小桌可坐6人，当n＝25时，共坐6×25＝150＞98，有多空位，
以下是几张小桌拼成一张大桌的座位数列表供分析：
连拼数目座位
2张连拼
3张连拼
4张连拼
5张连拼
6张连拼
8张连拼
方式一
10
14
18
22
26
34
方式二
8
10
12
14
16
18
经分析，用单一方式摆放难以实现要求，所以可考虑两种方式搭配，观察思考可得：
将16张桌子按方式一摆成8张连拼的2个大桌，余下9张桌子按方式二摆成3张连拼的3个大桌，2×34+3×10＝98，正好坐满．（方案不唯一，或用以下方案）
设用x张桌子连拼成一个大桌摆成方式一，则用（25﹣x）张桌子连拼成一个大桌摆成方式二，则可坐人数为：4x+2+2（25﹣x）+4＝2x+56＝98，可得：x＝21，25﹣x＝4
答：按方式一，用21张桌子连拼成一大桌，按方式二，用4张桌子连拼成一大桌，即可坐满98人．
【小结】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
同类项的定义
解题关键是掌握同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
下列各组式子中是同类项的是（　　）
A．2x3与3x2
B．12ax
与8bx
C．x4与a4
D．23与32
【解析】A、2x3与3x2，所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项；B、12ax
与8bx，所含字母不相同，不是同类项；C、x4与a4，所含字母不相同，不是同类项；D、23与32，是同类项，选：D．
【小结】本题考查的是同类项的概念，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
﹣2a2m+3b5与3a5bm﹣2n是同类项，则（m+n）2020的值是（　　）
A．1
B．﹣1
C．2
D．4
【分析】先根据同类项的概念得出2m+3＝5，5＝m﹣2n，解之求出m、n的值，再代入计算可得．
【解析】∵﹣2a2m+3b5与3a5bm﹣2n是同类项，∴2m+3＝5，5＝m﹣2n，解得m＝1，n＝﹣2，
则（1﹣2）2020＝（﹣1）2020＝1，选：A．
【小结】主要考查同类项，解题的关键是掌握同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母指数也相同．
如果单项式﹣3xay5与x3ya+b的和是单项式，那么a与b的值分别是（　　）
A．a＝3，b＝5
B．a＝5，b＝3
C．a＝3，b＝2
D．a＝2，b＝3
【分析】由单项式﹣3xay5与x3ya+b的和仍是单项式知：单项式﹣3xay5与x3ya+b是同类项，根据同类项的概念列出关于a、b的方程，解之求得a、b的值．
【解析】由题意，得a＝3，a+b＝5．所以a＝3，b＝2．选：C．
【小结】主要考查同类项，解题关键是熟练掌握同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母指数也相同．
如果2x3y|n|与xm+1y的和是单项式，则m+n的值是（　　）
A．1
B．﹣1
C．±1
D．3或1
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母指数也相同，可得出m、n值，再代入式子计算即可
【解析】∵2x3y|n|与xm+1y的和是单项式，∴m+1＝3，|n|＝1，解得m＝2，n＝±1，
∴m+n＝2+1＝3或m+n＝2﹣1＝1．即m+n的值是3或1．选：D．
【小结】本题考查了同类项的知识，注意同类项中的两个相同，①所含字母相同，②相同字母的指数相同．
合并同类项（不含某项）
解题关键是首先进行合并同类项，不含某项，则该项的系数为0，从而求得结果.
若代数式x2﹣2kxy+y2﹣6xy+9不含xy项，则k的值为（　　）
A．3
B．
C．0
D．﹣3
【分析】将含xy的项进行合并，然后令其系数为0即可求出k的值．
【解析】x2﹣2kxy+y2﹣6xy+9，令﹣2k﹣6＝0，k＝﹣3．选：D．
【小结】本题考查多项式的概念，涉及一元一次方程的解法．
若关于x的多项式x4﹣ax3+x3﹣5x2﹣bx﹣3x﹣1不存在含x的一次项和三次项，则a+b＝　
　．
【分析】先确定三次项及一次项的系数，再令其为0即可得到a、b的值，再根据代数式求值，可得答案．
【解析】x4﹣ax3+x3﹣5x2﹣bx﹣3x﹣1＝x4+（1﹣a）x3﹣5x2﹣（b+3）x﹣1，
∵多项式x4﹣ax3+x3﹣5x2﹣bx﹣3x﹣1不存在含x的一次项和三次项，∴1﹣a＝0，b+3＝0，
解得a＝1，b＝﹣3，∴a+b＝1﹣3＝﹣2
【小结】本题考查了多项式，在多项式中不含哪次项，则那次项的系数为0．
若关于x，y的多项式my3+nx2y+2y3﹣x2y+y中不含三次项，则2m+3n＝　
　．
【分析】先合并同类项，根据已知得出m+2＝0，n﹣1＝0，求出m、n的值，再代入求出即可．
【解析】my3+nx2y+2y3﹣x2y+y＝（m+2）y3+（n﹣1）x2y+y，
∵关于x，y的多项式my3+nx2y+2y3﹣x2y+y中不含三次项，∴m+2＝0，n﹣1＝0，∴m＝﹣2，n＝1，
∴2m+3n＝2×（﹣2）+3×1＝﹣1
【小结】考查合并同类项法则，多项式，求代数式值，解一元一次方程等，能求出m、n值是解此题的关键
已知代数式2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y﹣1的值与字母x的取值无关，求ab的值．
【分析】根据题意可得2﹣2b＝0，a+3＝0，解出a、b的值，进而可得ab的值．
【解析】2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y﹣1＝（2﹣2b）x2+（a+3）x﹣6y+5，
∵代数式2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y﹣1的值与字母x的取值无关，∴2﹣2b＝0，a+3＝0，
解得：b＝1，a＝﹣3，则ab＝﹣3．
【小结】主要考查合并同类项，关键是掌握合并同类项法则：把同类项系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
添括号与去括号
解题关键是掌握（1）括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去括号；
（2）添括号后，括号前是“+”，括号里的各项都不改变符号；添括号后，括号前是“﹣”，括号里的各项都改变符号．运用这一法则添括号．
下列去括号或添括号的变形中，正确的是（　　）
A．2a﹣（5b﹣c）＝2a﹣5b﹣c
B．3a+5（2b﹣1）＝3a+10b﹣1
C．4a+3b﹣2c＝4a+（3b﹣2c）
D．m﹣n+a﹣2b＝m﹣（n+a﹣2b）
【分析】根据去括号和添括号法则逐个判断即可．
【解析】A、2a﹣（5b﹣c）＝2a﹣5b+c，故不符合题意；B、3a+5（2b﹣1）＝3a+10b﹣5，故不符合题意；
C、4a+3b﹣2c＝4a+（3b﹣2c），故符合题意；D、m﹣n+a﹣2b＝m﹣（n﹣a+2b），故不符合题意；选：C．
【小结】本题考查了去括号和添括号法则，能灵活运用法则内容进行变形是解此题的关键．
在等式1﹣a2+2ab﹣b2＝1﹣（　　）中，括号里应填（　　）
A．a2﹣2ab+b2
B．a2﹣2ab﹣b2
C．﹣a2﹣2ab+b2
D．﹣a2+2ab﹣b2
【分析】根据减法的性质可知，1﹣a2+2ab﹣b2＝1﹣（a2﹣2ab+b2）解答即可．
【解析】1﹣a2+2ab﹣b2＝1﹣（a2﹣2ab+b2），选：A．
【小结】考查填括号问题，完成本题要注意分析式中各项的特点，然后利用填括号的法则进行分析解答．
已知a﹣b＝﹣3，c+d＝2，则（b+c）﹣（a﹣d）的值为（　　）
A．1
B．5
C．﹣5
D．﹣1
【分析】先把括号去掉，重新组合后再添括号．
【解析】因为（b+c）﹣（a﹣d）＝b+c﹣a+d＝（b﹣a）+（c+d）＝﹣（a﹣b）+（c+d）…（1），
所以把a﹣b＝﹣3、c+d＝2代入（1），得：原式＝﹣（﹣3）+2＝5．选：B．
【小结】（1）括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去括号；
（2）添括号后，括号前是“+”，括号里的各项都不改变符号；添括号后，括号前是“﹣”，括号里的各项都改变符号．运用这一法则添括号．
不改变式子的值，把括号前的符号变成相反的符号x﹣y﹣（﹣y3+x2﹣1）＝　
　．
【分析】本题添了1个括号，且所添的括号前为负号，括号内各项改变符号．
【解析】根据题意得x﹣y﹣（﹣y3+x2﹣1）＝x﹣y+（y3﹣x2+1）．
故答案为：x﹣y+（y3﹣x2+1）．
【小结】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，添括号后，括号里的各项都改变符号．
整式的加减
一个多项式加上12y+7x+z2等于5y+3x﹣15z2，则这个多项式是（　　）
A．﹣7y﹣4x﹣16z2
B．7y+4x+16z2
C．17y+10x﹣14z2
D．7y+4x﹣16z2
【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
【解析】（5y+3x﹣15z2）﹣（12y+7x+z2）＝5y+3x﹣15z2﹣12y﹣7x﹣z2＝﹣7y﹣4x﹣16z2，选：A．
【小结】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
设M＝x2﹣8x﹣4，N＝2x2﹣8x﹣3，那么M与N的大小关系是（　　）
A．M＞N
B．M＝N
C．M＜N
D．无法确定
【分析】利用作差法比较即可．
【解析】∵M＝x2﹣8x﹣4，N＝2x2﹣8x﹣3，∴M﹣N＝x2﹣8x﹣4﹣2x2+8x+3＝﹣x2﹣1，
∵x2≥0，∴﹣x2≤0，即﹣x2﹣1≤﹣1＜0，∴M﹣N＜0，则M＜N，选：C．
【小结】此题考查了整式的加减，弄清作差法比较大小的方法是解本题的关键．
【变式17-2】（2019秋?潍坊期末）一个多项式M减去多项式﹣2x2+5x﹣3，小马虎同学却误解为先加上这个多项式，结果得x2+3x+7，则多项式M是（　　）
A．3x2﹣2x+10
B．﹣x2+8x+4
C．3x2﹣x+10
D．x2﹣8x﹣4
【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
【解析】根据题意得：M＝（x2+3x+7）﹣（﹣2x2+5x﹣3）＝x2+3x+7+2x2﹣5x+3＝3x2﹣2x+10，选：A．
【小结】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
在整式的加减练习课中，已知A＝3a2b﹣2ab2+abc，小江同学错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得错误结果是4a2b﹣3ab2+4abc，已知．请你解决以下问题：
（1）求出整式B；
（2）求正确计算结果；
（3）若增加条件：a、b满足|a﹣4|+（b+1）2＝0，你能求出（2）中代数式的值吗？如果能，请求出最后的值；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）将错就错列出关系式，去括号合并即可确定出B；
（2）把A与B代入2A﹣B中，去括号合并即可得到正确结果；
（3）利用非负数的性质求出a与b的值，代入（2）的化简结果计算即可求出值．
【解析】（1）由题意得：B＝4a2b﹣3ab2+4abc﹣2A
＝4a2b﹣3ab2+4abc﹣2（3a2b﹣2ab2+abc）＝4a2b﹣3ab2+4abc﹣6a2b+4ab2﹣2abc＝﹣2a2b+ab2+2abc；
（2）正确结果是：2A﹣B
＝2（3a2b﹣2ab2+abc）﹣（﹣2a2b+ab2+2abc）＝6a2b﹣4ab2+2abc+2a2b﹣ab2﹣2abc＝8a2b﹣5ab2；
（3）能算出结果，
∵a、b满足|a﹣4|+（b+1）2＝0，∴a﹣4＝0，b+1＝0，解得：a＝4，b＝﹣1，
把a＝4，b＝﹣1代入得：
8a2b﹣5ab2＝8×42×（﹣1）﹣5×4×（﹣1）2＝8×16×（﹣1）﹣5×4×1＝﹣128﹣20＝﹣148．
【小结】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
整式加减的应用
把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，则大正方形的周长与小正方形的周长的差是（　　）
A．a+2b
B．a+b
C．3a+b
D．a+3b
【分析】根据大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，求出大正方形的周长与小正方形的周长即可．
【解析】设小正方形的边长为x，则a﹣2x＝b+2x，则4x＝a﹣b，
所以大正方形的周长﹣小正方形的周长＝4（a﹣2x）﹣4x＝4a﹣12x＝4a﹣3a+3b＝a+3b．选：D．
【小结】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是观察图形写出代数式．
如图，大长方形被分割成4个标号分别为（1）（2）（3）（4）的小正方形和5个小长方形，其中标号为（5）的小长方形的周长为a，则大长方形的周长为（　　）
A．3a
B．4a
C．5a
D．6a
【分析】设标号为（5）的小长方形长为y，宽为x，然后可得小正方形（1）（2）（3）（4）的边长，进而可得大长方形的边长，然后求周长即可．
【解析】设标号为（5）的小长方形长为y，宽为x，
∵（1）（2）（3）（4）的小正方形，（1）（2）的边长均为x，（3）（4）的边长均为y，
∴大长方形的边长可表示为2x+y，2y+x，∴周长为2（2x+y+2y+x）＝6（x+y），
∵（5）的小长方形的周长为a，∴2（x+y）＝a，∴6（x+y）＝3a，选：A．
【小结】此题主要考查了整式的加减，关键是找出（5）和大长方形周长的关系．
在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为l，若要知道l的值，只要测量图中哪条线段的长（　　）
A．a
B．b
C．AD
D．AB
【分析】根据平移的知识和周长的定义，列出算式l＝2AD﹣2b+4AB﹣（2AD+2AB﹣2b），再去括号，合并同类项即可求解．
【解析】图1中阴影部分的周长＝2AD+2AB﹣2b，图2中阴影部分的周长＝2AD﹣2b+4AB，
l＝2AD﹣2b+4AB﹣（2AD+2AB﹣2b）＝2AD﹣2b+4AB﹣2AD﹣2AB+2b＝2AB．
故若要知道l的值，只要测量图中线段AB的长．选：D．
【小结】考查了整式的加减，周长的定义，关键是得到图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长．
如图，把四张大小相同的长方形卡片（如图①）按图2、图③两种方式放在一个底面为长方形（长比宽多5cm）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图②中阴影部分的周长为C1，图3中阴影部分的周长为C2，那么C1比C2大　
　cm．
【分析】此题要先设小长方形的长为acm，宽为bcm，再结合图形分别得出图形②的阴影周长和图形③的阴影周长，比较后即可求出答案．
【解析】设小长方形的长为acm，宽为bcm，大长方形的宽为xcm，长为（x+5）cm，
∴②阴影周长为：2（x+5+x）＝4x+10，∴③下面的周长为：2（x﹣2b+x+5﹣2b），
上面的总周长为：2（x+5﹣a+x﹣a），
∴总周长为：2（x﹣2b+x+5﹣2b）+2（x+5﹣a+x﹣a）＝4（x+5）+4x﹣4（a+2b），
又∵a+2b＝x+5，∴4（x+5）+4x﹣4（a+2b）＝4x，∴C2﹣C3＝4x+10﹣4x＝10（cm），故答案为10．
【小结】主要考查整式加减运用，要善于观察，在第②个图形中利用割补法计算，很容易计算得出结果．
整式的化简求值（化繁为简再求值）
先化简，再求值：2ab+6（a2b+ab2）﹣[3a2b﹣2（1﹣ab﹣2ab2）]，其中a为最大的负整数，b为最小的正整数．
【分析】直接去括号进而合并同类项，再得出a，b的值代入求出答案．
【解析】原式＝2ab+3a2b+6ab2﹣3a2b+2﹣2ab﹣4ab2
＝（2ab﹣2ab）+2+（3a2b﹣3a2b）+（6ab2﹣4ab2）
＝2ab2+2，
∵a为最大的负整数，b为最小的正整数，∴a＝﹣1，b＝1，∴原式＝2×（﹣1）×1+2＝0．
【小结】此题主要考查了整式的加减﹣化简求值，正确合并同类项是解题关键．
先化简再求值：3a2b﹣[2ab2﹣2（aba2b）+ab]+3ab2，其中a，b满足（a+4）2+|b|＝0．
【分析】直接去括号进而合并同类项，进而结合偶次方以及绝对值性质得出a，b的值，即可代入得出答案．
【解析】原式＝3a2b﹣2ab2+2（aba2b）﹣ab+3ab2
＝3a2b﹣2ab2+2ab﹣3a2b﹣ab+3ab2
＝（3a2b﹣3a2b）+（﹣2ab2+3ab2）+（2ab﹣ab）
＝ab2+ab，
∵（a+4）2+|b|＝0，∴a+4＝0，b0，解得：a＝﹣4，b，
原式＝﹣4×（）2+（﹣4）＝﹣1﹣2＝﹣3．
【小结】此题主要考查了整式的加减﹣化简求值，正确合并同类项是解题关键．
已知代数式A＝﹣6x2y+4xy2﹣2x﹣5，B＝﹣3x2y+2xy2﹣x+2y﹣3．
（1）先化简A﹣B，再计算当x＝1，y＝﹣2时A﹣B的值；
（2）请问A﹣2B的值与x，y的取值是否有关系？试说明理由．
【分析】（1）根据去括号法则、合并同类项法则把原式化简，代入计算即可；
（2）根据去括号法则、合并同类项法则把原式化简，根据化简结果解答．
【解析】（1）A﹣B＝（﹣6x2y+4xy2﹣2x﹣5）﹣（﹣3x2y+2xy2﹣x+2y﹣3）
＝﹣6x2y+4xy2﹣2x﹣5+3x2y﹣2xy2+x﹣2y+3
＝（﹣6+3）x2y+（4﹣2）xy2+（﹣2+1）x﹣2y﹣5+3
＝﹣3x2y+2xy2﹣x﹣2y﹣2，
当x＝1，y＝﹣2时，A﹣B＝﹣3×12×（﹣2）+2×1×（﹣2）2﹣1﹣2×（﹣2）﹣2＝6+8﹣1+4﹣2＝15；
（2）A﹣2B＝（﹣6x2y+4xy2﹣2x﹣5）﹣2（﹣3x2y+2xy2﹣x+2y﹣3）
＝﹣6x2y+4xy2﹣2x﹣5+6x2y﹣4xy2+2x﹣4y+6
＝（﹣6+6）x2y+（4﹣4）xy2+（﹣2+2）x﹣4y﹣5+6
＝﹣4y+1
由化简结果可知，A﹣2B的值与x的取值没有关系，与y的取值有关系．
【小结】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键．
已知A＝a2﹣2b2+2ab﹣3，B＝2a2﹣b2ab．
（1）求2（A+B）﹣3（2A﹣B）的值（结果用化简后的a、b的式子表示）；
（2）当|a|与b2互为相反数时，求（1）中式子的值．
【分析】（1）根据整式的混合运算法则计算；（2）根据非负数的性质求出a、b，代入计算．
【解析】（1）2（A+B）﹣3（2A﹣B）＝2A+2B﹣6A+3B＝﹣4A+5B
＝﹣4（a2﹣2b2+2ab﹣3）+5（2a2﹣b2ab）
＝﹣4a2+8b2﹣8ab+12+10a2﹣5b2﹣2ab﹣1
＝6a2+3b2﹣10ab+11；
（2）∵|a|与b2互为相反数，∴|a|+b2＝0，则a，b＝0，6a2+3b2﹣10ab+11＝611．
【小结】本题考查的是整式的混合运算、非负数的性质，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
整式的化简求值（整体代入求值）
已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝x2﹣2x﹣y+xy
（1）求A﹣3B的值．
（2）当x+y，xy＝﹣1，求A﹣3B的值．
（3）若A﹣3B的值与y的取值无关，求x的值．
【分析】（1）把A与B代入A﹣3B中，去括号合并即可得到结果；
（2）把已知等式代入计算即可求出所求；
（3）把A﹣3B结果变形后，根据其值与y的取值无关，确定出x的值即可．
【解析】（1）∵A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝x2﹣2x﹣y+xy，
∴A﹣3B＝3x2﹣x+2y﹣4xy﹣3x2+6x+3y﹣3xy＝5x+5y﹣7xy；
（2）∵x+y，xy＝﹣1，∴A﹣3B＝5（x+y）﹣7xy7；
（3）由A﹣3B＝5x+（5﹣7x）y的值与y的取值无关，得到5﹣7x＝0，解得：x．
【小结】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
阅读理解：如果代数式：5a+3b＝﹣4，求代数式2（a+b）+4（2a+b）的值？小颖同学提出了一种解法如下：原式＝2a+2b+8a+4b＝10a+6b，把式子5a+3b＝﹣4两边同时乘以2，得10a+6b＝﹣8
仿照小颖同学的解题方法，完成下面的问题：
（1）如果﹣a2＝a，则a2+a+1＝　
　；
（2）已知a﹣b＝﹣3，求3（a﹣b）﹣5a+5b+5的值；
（3）已知a2+2ab＝﹣2，ab﹣b2＝﹣4，求2a2的值．
【分析】（1）已知等式变形，代入所求式子计算即可求出值；
（2）原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值；
（3）原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解析】（1）∵﹣a2＝a，即a2+a＝0，∴原式＝1；
（2）∵a﹣b＝3，∴原式＝3（a﹣b）﹣5（a﹣b）+5＝﹣2（a﹣b）+5＝﹣2×（﹣3）+5＝11；
（3）∵a2+2ab＝﹣2，ab﹣b2＝﹣4，
∴原式＝2a2+4ababb2＝2（a2+2ab）（ab﹣b2）＝2×（﹣2）（﹣4）＝﹣2．
【小结】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
阅读材料：“如果代数式5a+3b的值为﹣4，那么代数式2（a+b）+4（2a+b）的值是多少？”我们可以这样来解：
原式＝2a+2b+8a+4b＝10a+6b＝2（5a+3b）＝2×（﹣4）＝﹣8
仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
已知3a﹣7b＝﹣3，求代数式2（2a+b﹣1）﹣5（4b﹣a）﹣3b的值．
【分析】原式去括号合并整理后，把已知等式代入计算即可求出值．
【解析】当3a﹣7b＝﹣3时，
原式＝4a+2b﹣2﹣20b+5a﹣3b＝9a﹣21b﹣2＝3（3a﹣7b）﹣2＝﹣9﹣2＝﹣11．
【小结】此题考查了整式的加减﹣化简求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
阅读材料：我们知道，2x+3x﹣x＝（2+3﹣1）x＝4x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则2（a+b）+3（a+b）﹣（a+b）＝（2+3﹣1）（a+b）＝4（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
（1）把（x﹣y）2看成一个整体，求将2（x﹣y）2﹣5（x﹣y）2+（x﹣y）2合并的结果；
（2）已知2m﹣3n＝4，求代数式4m﹣6n+5的值；
拓广探索：
（3）已知a﹣2b＝5，b﹣c＝﹣3，3c+d＝9，求（a+3c）﹣（2b+c）+（b+d）的值．
【分析】（1）整体思想，把（x﹣y）2看成整体，合并2（x﹣y）2﹣5（x﹣y）2+（x﹣y）2即可得到结果；
（2）原式可化为2（2m﹣3n）+5，2m﹣3n＝4整体代入即可；
（3）由（a+3c）﹣（2b+c）+（b+d）得到（a﹣2b）+（b﹣c）+（3c+d），依据a﹣2b＝5，b﹣c＝﹣3，3c+d＝9，整体代入进行计算即可．
【解析】（1）2（x﹣y）2﹣5（x﹣y）2+（x﹣y）2＝（2﹣5+1）（x﹣y）2＝﹣2（x﹣y）2；
（2）4m﹣6n+5＝2（2m﹣3n）+5＝2×4+5＝8+5＝13；
（3）（a+3c）﹣（2b+c）+（b+d）＝a+3c﹣2b﹣c+b+d＝（a﹣2b）+（b﹣c）+（3c+d），
∵a﹣2b＝5，b﹣c＝﹣3，3c+d＝9，
∴原式＝5﹣3+9＝11．
【小结】此题主要考查了整式的化简求值，关键是注意去括号时符号的变化．必然事件、随机事件与不可能事件
必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
下列事件：①通常情况下，水往低处流；②随意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是10；③车行到十字路口，正好遇上红灯；④早上的太阳从西方升起．下列作出的结论，错误的是（　　）
A．①是必然事件
B．②是随机事件
C．③是随机事件
D．④不可能事件
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解析】①通常情况下，水往低处流，是必然事件，A说法正确，不符合题意；
②随意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是10，是不可能事件，B说法错误，符合题意；
③车行到十字路口，正好遇上红灯，是随机事件，C说法正确，不符合题意；
④早上的太阳从西方升起，是不可能事件，D说法正确，不符合题意；
故选：B．
【小结】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
下列事件：
①掷一次骰子，向上一面的点数是3；
②从一个只装有黑色球的袋子摸出一个球，摸到的是白球；
③13个人中至少有两个人的生日是在同一个月份；
④射击运动员射击一次，命中靶心；
⑤水中捞月；
⑥冬去春来．
其中是必然事件的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解析】①掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件；
②从一个只装有黑色球的袋子摸出一个球，摸到的是白球，是不可能事件；
③13个人中至少有两个人的生日是在同一个月份，是必然事件；
④射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件；
⑤水中捞月，是不可能事件⑥冬去春来，是必然事件；
故选：B．
【小结】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
有两个事件，事件A：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件B：367人中至少有2人生日相同．下列说法正确的是（　　）
A．事件A、B都是随机事件
B．事件A、B都是必然事件
C．事件A是随机事件，事件B是必然事件
D．事件A是必然事件，事件B是随机事件
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．首先判断两个事件是必然事件、随机事件，然后找到正确的答案．
【解析】事件A、抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为1、2、3、4、5、6共6种情况，点数为偶数是随机事件；
事件B、一年最多有366天，所以367人中必有2人的生日相同，是必然事件．
故选：C．
【小结】此题考查的是对必然事件的概念的理解；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
在一个不透明的口袋中装着大小、外形等一模一样的5个红球、3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了．请判断以下事情是不确定事件、不可能事件，还是必然事件．
（1）从口袋中任意取出一个球，是一个白球；
（2）从口袋中一次任取5个球，全是蓝球；
（3）从口袋中一次任意取出9个球，恰好红蓝白三种颜色的球都齐了．
【分析】（1）（2）（3）根据事件发生的可能性大小判断．
【解析】（1）从口袋中任意取出一个球，可能是一个白球、一个红球也可能是一个蓝球，
∴从口袋中任意取出一个球，是一个白球是随机事件，即不确定事件；
（2）口袋中只有3个蓝球，
∴从口袋中一次任取5个球，全是蓝球是不可能事件；
（3）从口袋中一次任意取出9个球，恰好红蓝白三种颜色的球都齐了是必然事件．
【小结】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
可能性的大小
事件发生的可能性大小往往是由发生事件的条件来决定的，因此我们可以通过比较各事件发生的条件及其对事件发生的影响来比较事件发生的可能性大小．
下面是一些可以自由转动的转盘，按照转出黄色的可能性由大到小进行排列正确的是（　　）
A．②④①③
B．①②③④
C．③①④②
D．④①③②
【分析】根据概率公式分别求出每个转盘中转出黄色的可能性大小，据此排列即可得．
【解析】图①中转出黄色的可能性为，图②中转出黄色的可能性为0，
图③中转出黄色的可能性为1，图④中转出黄色的可能性为，
∴按照转出黄色的可能性由大到小进行排列正确的是③①④②，
故选：C．
【小结】本题主要考查可能性大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法．
下列事件中，满足随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等的是（　　）
A．一个封闭的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，摸出的每个球可能性相等
B．在80个相同的零件中，检验员从中取出一个零件进行检验，取出每个产品的可能性相同
C．小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性相同
D．一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1﹣6点数朝上的可能性相同
【分析】利用随机事件发生的可能性是否一样对各选项进行判断．
【解析】A、一个密封的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，因为只是颜色相同，没有什么其他性质相同，所以摸出每个球的可能性不一定相同，不符合题意；
B、在80个相同的零件中，只是种类相同，没有什么其他性质相同，所以取出每件产品的可能性不一定相同．不符合题意；
C、小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性不一定相同，因为每种灯的时间可能不同，不符合题意；
D、一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1﹣6点数朝上的可能性相同，这个事件满足是随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等，符合题意；故选：D．
【小结】本题考查可能性，概率问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，估计下列事件发生的可能性的大小，并将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排成一列是　
　．（填序号）
（1）指针落在标有3的区域内；（2）指针落在标有9的区域内；
（3）指针落在标有数字的区域内；（4）指针落在标有奇数的区域内．
【分析】根据可能性等于所求情况数与总情况数之比分别求出每种情况的可能性，再按发生的可能性从小到大的顺序排列即可．
【解析】（1）指针落在标有3的区域内的概率是；
（2）指针落在标有9的区域内的概率是0；
（3）指针落在标有数字的区域内的概率是1；
（4）指针落在标有奇数的区域内的概率是；
将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为：（2）（1）（4）（3）．
故答案为：（2）（1）（4）（3）．
【小结】此题考查了可能性大小，用到的知识点是可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性．
A、B两人去茅山风景区游玩，已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不确定．两人采取了不同的乘车方案：
A无论如何总是上开来的第一辆车；B先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车．
如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题：
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？
（2）你认为A、B两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的可能性大？为什么？
【分析】（1）利用列表展示所有6种不同的可能；
（2）分别求出两个方案使自己乘上等车的概率，然后比较概率大小可判断谁的可能性大．
【解析】（1）列表：
三辆车按出现的先后顺序共有6种不同的可能；
（2）A采用的方案使自己乘上等车的概率；B采用的方案使自己乘上等车的概率，
因为，所以B人采用的方案使自己乘上等车的可能性大．
【小结】本题考查了可能性的大小：某事件的可能性等于所求情况数与总情况数之比．
概率的意义
概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生．
对于“莱州市明天的降雨概率是80%”这种说法，下列解释中正确的是（　　）
A．莱州市明天将有80%的地区降雨
B．莱州市明天将有80%的时间降雨
C．莱州市明天降雨的可能性比较大
D．莱州市明天肯定下雨
【分析】概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生．不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1．
【解析】对于“莱州市明天的降雨概率是80%”，可以解释为：莱州市明天降雨的可能性比较大．故选：C．
【小结】本题主要考查概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
在七年（1）与七年（2）班举行拔河比赛前，根据双方的实力，环环预测：“七年（1）获胜的机会是80%”，那么下面四个说法正确的是（　　）
A．七年（2）班肯定会输掉这场比赛
B．七年（1）班肯定会赢得这场比赛
C．若比赛10次，则七年（1）班会赢得8次
D．七年（2）班也有可能会赢得这场比赛
【分析】根据概率的意义找到正确选项即可．
【解析】80%的机会获胜是说明机会发生机会的大小，80%的机会并不是说明比赛胜的场数一定是80%．
七年（1）获胜的机会是80%，即七年（2）班也有可能会赢得这场比赛，只不过获胜的可能性小，只有D选项符合题意．
故选：D．
【小结】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小．
商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（　　）
A．抽101次也可能没有抽到一等奖
B．抽100次奖必有一次抽到一等奖
C．抽一次也可能抽到一等奖
D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
【分析】根据概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即可．
【解析】根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为为0.01”就是说抽100次可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖，抽一次也可能抽到一等奖，
故选：C．
【小结】此题主要考查了概率的意义，概率是对事件发生可能性大小的量的表现．
下列说法正确的是（　　）
A．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨
C．一种福利彩票中奖率是千分之一，则买这种彩票1000张，一定会中奖
D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上
【分析】直接利用概率的意义分别分析得出答案．
【解析】A、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数不一定是500次，故原说法错误，不合题意；
B、天气预报“明天降水概率10%”，是指明天下雨的可能性是10%，故原说法错误，不合题意；
C、一种福利彩票中奖率是千分之一，但买这种彩票1000张，也不一定会中奖，故原说法错误，不合题意；
D、连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，正确．
故选：D．
【小结】此题主要考查了概率的意义，正确掌握概率的实际意义是解题关键．
概率公式
概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）．
掷一枚质地均匀的硬币5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，则再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（　　）
A．1
B．
C．
D．
【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．
【解析】∵掷质地均匀硬币的试验，每次正面向上和向下的概率相同，
∴再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是．
故选：D．
【小结】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的意义是解题关键．
从，0，π，，，0.3010010001……（两个1之间依次多一个0）这六个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用概率公式计算可得．
【解析】在所列的6个数中，无理数有，π，0.3010010001…这3个，
∴这六个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是，故选：A．
【小结】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形，现在把它们的正面向下，随机的摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．1
【分析】根据中心对称图形的概念，结合概率公式求解可得．
【解析】∵从这4张卡片中任意抽取一张共有4种等可能结果，其中抽到的卡片正面是中心对称图形的是圆、平行四边形、正六边形这3种结果，∴抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是，故选：C．
【小结】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握概率公式和中心对称图形的概念．
如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后概率的意义列式即可得解．
【解析】由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，所以小球从E出口落出的概率是：；故选：C．
【小结】本题考查了概率的求法，读懂题目信息，得出所给的图形的对称性以及可能性相等是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
概率公式（方程思想）
概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）．
一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．现再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个红球的概率为，则n的值为　
　．
【分析】根据概率的意义列方程求解即可．
【解析】由题意得，
，
解得，n＝6，
经检验，n＝6是原方程的解，
所以原方程的解为n＝6，
故答案为：6．
【小结】考查概率的意义，用频率估计概率，利用概率的意义列方程是正确解答的关键．
设计一个摸球游戏，先在一个不透明的小盒子中放入5个白球，如果希望从中任意摸出一个球，是白球的概率为，那么应该向盒子中再放入多少个其他颜色的球（游戏用球除颜色外均相同）（　　）
A．5
B．10
C．15
D．20
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，解答即可．
【解析】设应该向盒子中再放入x个其他颜色的球，由题意得：
，解得：x＝15，
经检验x＝15是原方程的解，
∴应该向盒子中再放入15个其他颜色的球．
故选：C．
【小结】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）．
不透明袋子中有红球10个，黄球20个，还有一些蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子里随机摸出一个恰好是黄球的概率为，则蓝球有（　　）
A．30个
B．60个
C．40个
D．20个
【分析】设蓝球有x个，根据随机摸出一个恰好是黄球的概率为，利用概率公式可得关于x的方程，解之可得．
【解析】设蓝球有x个，
根据题意，得：，
解得x＝30，
经检验：x＝30是分式方程的解，
∴袋子中蓝球有30个，
故选：A．
【小结】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
一个不透明的袋中装有8个黄球，m个红球，n个白球，每个球除颜色外都相同．任意摸出一个球，是黄球的概率与不是黄球的概率相同，下列m与n的关系一定正确的是（　　）
A．m＝n＝8
B．n﹣m＝8
C．m+n＝8
D．m﹣n＝8
【分析】由一个不透明的袋中装有8个黄球，m个红球，n个白球，任意摸出一个球，是黄球的概率与不是黄球的概率相同，可得，即可得求得m与n的关系．
【解析】∵一个不透明的袋中装有8个黄球，m个红球，n个白球，
∴任意摸出一个球，是黄球的概率为：，不是黄球的概率为：，
∵是黄球的概率与不是黄球的概率相同，
∴，
∴m+n＝8．
故选：C．
【小结】此题考查了概率公式的应用．注意掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．
概率公式（列举法）
概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A），解题的关键是将事件发生的所有可能一一列举.
小明要给朋友小林打电话，电话号码是七位正整数，他只记住了电话号码前四位顺序，后三位是3，6，7三位数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨对的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】让1除以总情况数即为所求的概率．
【解析】因为后3位是3，6，7三个数字共6种排列情况，而正确的只有1种，
故小明第一次就拨对的概率是．故选：B．
【小结】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）．
在某中学的迎国庆联欢会上有一个小嘉宾抽奖的环节，主持人把分别写有“我”、“爱”、“祖”、“国”四个字的四张卡片分别装入四个外形相同的小盒子并密封起来，由主持人随机地弄乱这四个盒子的顺序，然后请出抽奖的小嘉宾，让他在四个小盒子的外边也分别写上“我”、“爱”、“祖”、“国“四个字，最后由主持人打开小盒子取出卡片，如果每一个盒子上面写的字和里面小卡片上面写的字都不相同就算失败，其余的情况就算中奖，那么小嘉宾中奖的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意可以写出所有的可能性，从而可以得到小嘉宾中奖的概率．
【解析】设“我”、“爱”、“祖”、“国“四个字对应的字母为a、b、c、d，
则所有的可能性为：
（abcd）、（abdc）、（acbd）、（acdb）、（adbc）、（adcb）、
（badc）、（bacd）、（bcad）、（bcda）、（bdac）、（bdca）、
（cabd）、（cadb）、（cbad）、（cbda）、（cdab）、（cdba）、
（dabc）、（dacb）、（dbac）、（dbca）、（dcab）、（dcba），
则都不相同的可能有：（badc）、（bcda）、（bdac）、（cadb）、（cdab）、（cdba）、（dabc）、（dcab）、（dcba），
故小嘉宾中奖的概率为：，故选：B．
【小结】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
小勇所在的生物兴趣小组要去博物馆参观，老师要求沿街道走最短的路线．小勇想：最短的路线有很多条，如果刚好经过自家门口A，就带弟弟去参观，但没跟老师说．学校与博物馆之间的街道如图，那么兴趣小组刚好经过A的概率等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】列举出所有情况，看兴趣小组刚好经过A的情况数占所有情况数的多少即可．
【解析】把所有的交点编号，画树图如下：
共有35种等情况数，其中兴趣小组刚好经过A的有12条，所以所求的概率为；
故选：C．
【小结】考查用列树状图的方法解决概率问题；得到兴趣小组刚好经过A的情况数是解决本题的关键；列举出所有情况是解决本题的难点；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
有两把不同的锁和4把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，另外两把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，则一次打开锁的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数所有÷可能出现的结果数．
【解析】由题意得，共有2×4＝8种等可能情况，其中能打开锁的情况有2种，
故一次打开锁的概率为，故选：C．
【小结】本题考查了概率，熟练运用概率公式计算是解题的关键．
概率公式（几何概型）
几何概型＝相应的面积与总面积之比
如图所示是“赵爽弦图”飞镖板，是由直角边长分别为2和1的四个直角三角形和一个小正方形（阴影部分）拼成．某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例，根据这个比例即可求出针扎到小正方形（阴影）区域的概率．
【解析】直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则小正方形的边长为1，根据勾股定理得大正方形的边长为，
∴飞镖落在阴影部分的概率，
故选：C．
【小结】本题将概率的求解设置于“赵爽弦图”的游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．易错点是得到两个正方形的边长．
如图是一个是圆形房间的地板图案，其中大圆的直径恰好等于两个小圆的直径的和．若在房间内任意扔一颗小玻璃珠，则小玻璃珠静止后，滚落在阴影部分的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题目中的图形和图形中的数据可以得到阴影部分，根据概率公式即可得到结论．
【解析】设小圆的半径为r，则大圆的半径为2r，
由图可得，大圆的面积＝π×（2r）2＝4πr2，
S阴影＝π×（2r）2﹣2π×r2＝2πr2，
∴滚落在阴影部分的概率，故选：A．
【小结】本题考查了几何概率，圆的面积的计算，正确的理解题意．
如图，正方形ABCD是一块绿化带，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，阴影部分EOCF，AOGH都是花圃，一只自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求得小鸟在花圃上的概率．
【解析】∵正方形ABCD是一块绿化带，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，
∴S四边形AHGO+S四边形OEFCS正方形ABCD，
∴一只自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为，
故选：A．
【小结】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积与正方形的面积的比，难度不大．
正方形ABCD的边长为4，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．
【解析】如图，连接PA、PB、OP；
则S半圆O2π，S△ABP4×2＝4，
由题意得：图中阴影部分的面积＝4（S半圆O﹣S△ABP）＝4（2π﹣4）＝8π﹣16，
则米粒落在阴影部分的概率为：；
故选：A．
【小结】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积．
列表法或树状图法求概率
列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
）从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是　
　；
（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概率．
【分析】（1）在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物、思想品德中选一科，可得选择生物的概率；
（2）用树状图表示所有可能出现的结果数，进而求出相应的概率．
【解析】（1）在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，因此选择生物的概率为；
故答案为：；
（2）用树状图表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中选中“化学”“生物”的有2种，
∴P（化学生物）．
【小结】本题考查树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果数是解决问题的关键．
现有A、B、C三个不透明的盒子，A盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B盒中装有红球、黄球各1个，C盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同．现分别从A、B、C三个盒子中任意摸出一个球．
（1）从A盒中摸出红球的概率为
；
（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．
【分析】（1）从A盒中摸出红球的结果有一个，由概率公式即可得出结果；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种，由概率公式即可得出结果．
【解析】（1）从A盒中摸出红球的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图如图所示：
共有12种等可能的结果，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种，
∴摸出的三个球中至少有一个红球的概率为．
【小结】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
甲、乙、丙，丁四个人做“击鼓传花”游戏，游戏规则是：第一次由甲将花随机传给乙、丙、丁三人中的某一人中的某一人，以后的每一次传花都是由接到花的人随机传给其他三人中的某一人．
（1）甲第一次传花时，恰好传给乙的概率是　
　；
（2）求经过两次传花，花恰好回到甲手中的概率；
（3）经过三次传花，花落在丙手上的概率记作P1，落在丁手上的概率记作P2，则P1　
　P2（填“＞”、“＜”或者“＝”）
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次传球后，球恰在甲手中的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与三次传球后，球恰在丙、丁手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解析】（1）甲第一次传花时，恰好传给乙的概率是，故答案为：；
（2）画树状图：
共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种，∴P（第2次传球后球回到甲手里）．
（3）画树状图如下，
由树状图知经过三次传花共有27种等可能结果，其中花落在丙手上的有7种结果，花落在丁手上的有7种结果，∴P1、P2，则P1＝P2，故答案为：＝．
【小结】本题考查了树状图法计算概率，计算概率的方法有树状图法与列表法，画树状图列出所有等可能结果是解题关键．
生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图①）来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图②，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．
（1）用树状图或列表格的方法，求图③可表示不同信息的总个数；（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）
（2）图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为　
　；
（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共492人，则n的最小值为　
　．
【分析】（1）画出树状图，即可得出答案；（2）画出树状图，即可得出答案；（3）由题意得出规律，即可得出答案．
【解析】（1）画树状图如下：
共有4种等可能结果，∴图③可表示不同信息的总个数为4；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能结果，故答案为：16；
（3）由图①得：当n＝1时，21＝2，由图④得：当n＝2时，22×22＝16，∴n＝3时，23×23×23＝512，
∵16＜492＜512，∴n的最小值为3，故答案为：3．
【小结】本题考查的是列表法和树状图法以及规律型．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
频率与概率的关系
大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率和概率，下列说法正确的是（　　）
A．频率就是概率
B．频率与试验次数无关
C．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各实验小组所得频率的值也会相同
D．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率数值附近
【分析】根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答．
【解析】∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率，∴D选项说法正确．故选：D．
【小结】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率．
如果事件A发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列4种陈述中，不正确的有
①说明做100次这种试验，事件A必发生1次
②说明事件A发生的频率是
③说明做100次这种试验中，前99次事件A没发生，后1次事件A才发生
④说明做100次这种试验，事件A可能发生1次（　　）
A．①、②、③
B．①、②、④
C．②、③、④
D．①、②、③、④
【分析】概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现，据此逐项判断即可．
【解析】∵事件A发生的概率是，并不能说明做100次这种试验，事件A必发生1次，有可能多次，也有可能1次不发生，∴选项①符合题意；
∵事件A发生的概率是，并不能说明事件A发生的频率是，∴选项②符合题意；
∵事件A发生的概率是，并不能说明做100次这种试验中，前99次事件A没发生，后1次事件A才发生，∴选项③符合题意；
∵事件A发生的概率是，说明做100次这种试验，事件A可能发生1次，∴选项④不符合题意，
∴4种陈述中，不正确的有：①、②、③．故选：A．
【小结】此题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
某种幼树在相同条件下移植实验的结果如表：
移植总数n
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活数m
369
662
1335
3203
6335
8073
12628
成活的频率
0.923
0.8829
0.890
0.915
0.905
0.897
0.902
则下列说法正确的是（　　）
A．由于移植总数最大时成活的频率是0.902，所以这种条件下幼树成活的概率为0.902
B．由于表中成活的频率的平均数约为0.89，所以这种条件下幼树成活的概率为0.89
C．由于表中移植总数为1500时，成活数为1335，所以当植树3000时，成活数为2670
D．从表中可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，于是可以估计幼树成活的概率为0.90
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此判断可得．
【解析】从表中可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，于是可以估计幼树成活的概率为0.90，
故选：D．
【小结】本题考查利用频率估计概率、算术平均数，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个小题中的结论是否成立．
新冠疫情发生以来，为保证防控期间的口罩供应，某公司加紧转产，开设多条生产线争分夺秒赶制口罩，从最初转产时的陌生，到正式投产后达成日均生产100万个口罩的产能．不仅效率高，而且口罩送检合格率也不断提升，真正体现了“大国速度”．以下是质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据，统计如下：
抽检数量n/个
20
50
100
200
500
1000
2000
5000
10000
合格数量m/个
19
46
93
185
459
922
1840
4595
9213
口罩合格率
0.950
0.920
0.930
0.925
0.918
0.922
0.920
0.919
0.921
下面四个推断合理的是（　　）
A．当抽检口罩的数量是10000个时，口罩合格的数量是9213个，所以这批口罩中“口罩合格”的概率是0.921
B．由于抽检口罩的数量分别是50和2000个时，口罩合格率均是0.920，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是0.920
C．随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在0.920附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是0.920
D．当抽检口罩的数量达到20000个时，“口罩合格”的概率一定是0.921
【分析】观察表格，利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率即可．
【解析】观察表格发现：随着试验的次数的增多，口罩合格率的频率逐渐稳定在0.920附近，
所以可以估计这批口罩中合格的概率是0.920，
故选：C．
【小结】考查了利用频率估计概率及概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率的稳定值估计概率，难度不大．
概率的应用（放回与不放回）
【例10】（2020?高邮市一模）在一不透明的袋子中装有四张标有数字2，3，4，5的卡片，这些卡片除数字外其余均相同．小明同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加．如图是他所画的树状图的一部分．
（1）由图分析，该游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后　
　（填“放回”或“不放回”），第二次随机再抽出一张卡片：
（2）帮小明同学补全树状图，并求小明同学两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率．
【分析】（1）根据树状图可得答案；
（2）补全树状图，利用概率公式求解可得．
【解析】（1）游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后不放回，第二次随机再抽出一张卡片；
故答案为：不放回．
（2）补全树状图如图所示：
由树状图得：共有12种等可能结果，小明同学两次抽到卡片上的数字之和为偶数的结果有4种，
∴小明同学两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率为．
【小结】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
小明与小颖用一副去掉大王、小王的扑克牌作摸牌游戏：小明从中任意抽取一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意抽取一张，谁摸到的牌面大，谁就获胜（规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A）．然后两人把摸到的牌都放回，重新开始游戏．
（1）若小明已经摸到的牌面为4，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率又是多少？
（2）若小明已经摸到的牌面为2，直接写出小颖获胜的概率；若小明已经摸到的牌面为A，两人获胜的概率又如何呢？
【分析】（1）小明已经摸到的牌面为4，而小4的结果为4×2，大于4的结果数为4×10，然后根据概率公式求解；
（2）小明已经摸到的牌面为2，而小于2的结果为0，大于2的结果数为4×12，然后根据概率公式求解；小明已经摸到的牌面为A，而小于A的结果为4×12，大于2的结果数为0，然后根据概率公式求解．
【解析】（1）由题意知，去掉大王、小王的扑克牌共有52张，其中比4小的牌有2，3，
所以，小明获胜的概率是；
小明与小颖摸到的相同的牌面的概率为，
所以，小颖获胜的概率是1；
（2）若小明已经摸到的牌面为2，比2小的牌没有，
所以小明获胜的概率是0，小颖获胜的概率是1；
若小明已经摸到的牌面为A，没有比A更大的牌，
所以小颖获胜的概率是0，小明获胜的概率是1．
【小结】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．
（1）请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B）；
（2）若第一次抽出后不放回，请直接写出求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．
【分析】（1）根据题意画出树状图，求出所有的情况数和抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的情况数，再根据概率公式计算即可；
（2）根据概率公式直接求解即可．
【解析】（1）画树状图为：
由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，
所以P（两张都是“红脸”）．
（2）第一次抽出后不放回，抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率为．
【小结】此题主要考查了概率的求法．用到的知识点为数状图和概率，概率＝所求情况数与总情况数之比，关键是根据题意画出树状图．
一个不透明的盒子中装有两个红球和一个蓝球．这些球除颜色外都相同．
（1）从中随机摸出一个球．记下颜色后放回．再从中随机摸出一个球．
①请用列表法或树状图法，求第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率；
②请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率　　．
（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回．再从中随机摸出一个球，请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率　
　．
【分析】（1）①根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；
②找出两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况数，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解析】（1）根据题意画图如下：
①共有9种等情况数，其中第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的有2种，则第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率是；
②两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种情况，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是；
故答案为：；
（2）根据题意画图如下：
共有6种等情况数，其中两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种，
则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率；故答案为：．
【小结】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
概率的应用（代数问题）
有9张正面分别标有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外，其余相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为m，则使关于x的分式方程2有正整数解的概率为　
　．
【分析】先解分式方程得到x（m≠2且m≠1），再分别计算m为﹣3，﹣2，﹣1，0，，3，4对应的x的值，然后确定x的正整数的个数后利用概率公式计算．
【解析】去分母得1﹣mx+2（x﹣2）＝﹣1，
解得x，
而x≠2，即2，解得m≠1，
∴m的范围为m≠2且m≠1；
当m＝﹣3时，x，x不为正整数；
当m＝﹣2时，x，x不为正整数；
当m＝﹣1时，x，x不为正整数；
当m＝0时，x＝1，x为正整数；
当m，x＝4，x为正整数；
当m＝3时，x＝﹣2，x不为正整数，
当m＝4时，x＝﹣1，x不为正整数，
所以满足条件的m的值有2个，
所以使关于x的分式方程2有正整数解的概率．
故答案为．
【小结】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了解分式方程．
已知m是不等式组的正整数解，则分式方程有整数解的概率为　
　．
【分析】先解不等式组求出解集，确定正整数m的值，再解分式方程，得到方程有整数解时m的值，然后利用概率公式求解即可．
【解析】解不等式m﹣2≤3m﹣10，得m≥4，
所以不等式组的解集为4≤m＜8，∴正整数m＝4，5，6，7．
分式方程去分母得：2（x+1）＝m（x﹣2），整理，得（m﹣2）x＝2m+2，
当m﹣2≠0即m≠2时，x，即x＝2，
∵分式方程有整数解，且x≠2，x≠﹣1，∴m＝4，5，
∴分式方程有整数解的概率为：．故答案为：．
【小结】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了一元一次不等式组的整数解以及解分式方程．
若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则从满足条件的a值中选取一个值，能使一次函数y＝（a﹣2）x+3为减函数的概率为　
　．
【分析】依据不等式组无解，即可得到a≤4；依据分式方程有正整数解，即可得到a＞﹣12且a≠﹣4，进而得出﹣12＜a≤4且a≠﹣4，根据y3是正整数，可得a＝﹣8，0，4，再根据减函数的性质和概率公式即可得出答案．
【解析】由不等式组无解，可得，，
∵不等式组无解，∴a，解得a≤4；
由分式方程，可得y3，
∵分式方程有正整数解，∴y＞0且y≠2，
即3＞0且3≠2，解得a＞﹣12且a≠﹣4，∴﹣12＜a≤4且a≠﹣4，
∵3是正整数，∴a＝﹣8，0，4，
从a中取一个值，能使一次函数y＝（a﹣2）x+3为减函数的有2种情况，
∴能使一次函数y＝（a﹣2）x+3为减函数的概率为；故答案为：．
【小结】本题考查了一元一次不等式组的解、分式方程的解，解题的关键是根据不等式组以及分式方程求出a的范围．
从，﹣1，0，1这四个数中，任取一个数作为m的值，恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，且使以x为自变量的一次函数y＝（m+1）x+3m﹣3的图象不经过第二象限，则取到满足条件的m值的概率为　
　．
【分析】首先由题意可求得满足条件的m值，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解析】∵关于x，y的二元一次方程组有整数解，
∴，∴m的值为：﹣1，0，1；
∵一次函数y＝（m+1）x+3m﹣3的图象不经过第二象限，∴，
解得：﹣1＜m≤1，∴m的值为：0，1；
综上满足条件的m值为：0，1；∴取到满足条件的m值的概率为：．故答案为：．
【小结】此题考查了概率公式的应用、二元一次方程组的正整数解以及一次函数的性质．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
概率的应用（几何图形）
如图，数轴上的点A，B，C，D表示的数分别为﹣3，﹣1，1，2，从A，B，C，D四点中任意取两点，所取两点之间的距离为2的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出所取两点之间的距离为2的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】画树状图为：
，
共有6种等可能的结果数，其中所取两点之间的距离为2的结果数为2，
所以所取两点之间的距离为2的概率，故选：D．
【小结】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
如图，在3×3的正方形网格的格点上摆放了两枚棋子，第三枚棋子随机摆放在其他格点上（每个格点处最多摆放一枚），这三枚棋子所在格点恰好是等腰三角形顶点的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用概率公式求解可得．
【解析】由图知第三枚棋子可摆放的位置共有14种，其中这三枚棋子所在格点恰好是等腰三角形顶点的有8种，
∴这三枚棋子所在格点恰好是等腰三角形顶点的概率为，
故选：C．
【小结】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点．
（1）从A、D、E、F四点中任意取一点，以这点及点B、C为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概率；
（2）从A、D、E、F四点中任意取两点，以这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率．
【分析】（1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，即可得出答案；
（2）利用树状图得出从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，一共有12种可能，进而得出以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，即可求出概率．
【解析】（1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，
故P（所画三角形是等腰三角形）；
（2）用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：
∵以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，
∴所画的四边形是平行四边形的概率P．
【小结】此题主要考查了利用树状图求概率，根据已知正确列举出所有结果，进而得出概率是解题关键．
如图是9×7的正方形点阵，其水平方向和竖直方向的两格点间的长度都为1个单位，以这些点为顶点的三角形称为格点三角形．请通过画图分析、探究回答下列问题：
（1）请在图中画出以AB为边且面积为2的一个网格三角形；
（2）任取该网格中能与A、B构成三角形的一点M，求以A、B、M为顶点的三角形的面积为2的概率；
（3）任取该网格中能与A、B构成三角形的一点M，求以A、B、M为顶点的三角形为直角三角形的概率．
【分析】（1）可以直接画出一个满足条件的三角形；
（2）首先找出可以组成的所有三角形个数，然后再计算面积为2的三角形的个数，由此可得到所求的概率；
（3）首先找出可以组成的所有三角形的个数，然后再看其中的直角三角形的个数，由此可得到所求的概率．
【解析】（1）如图所示（共12个，这是其中一个）：
（2）由分析可知：只要M不再AB上或者AB的延长线上，ABM都可以构成三角形，共有9×7﹣7＝63﹣7＝56个，
又∵由（1）知，以A、B、M为顶点的三角形的面积为2的三角形共有12个，
∴以A、B、M为顶点的三角形的面积为2的概率为；
（3）由分析可知：以A、B、M为顶点的直角三角形共有12个，
以A、B、M为顶点的三角形为直角三角形的概率为．
【小结】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）．
概率的应用（公平性问题）
某校举行数学竞赛活动，小娜和小葵两位同学得分相同，获并列第一名，于是每人可在准备好的2件奖品中获得其中一件，为了决定谁先选择奖品，并同时检验学生所学的数学知识，某位数学老师设计了一个趣味性游戏，游戏规则为：将如图1所示的四张扑克牌（方块2、黑桃4、黑桃5、梅花5）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，小娜从中随机抽取一张，记下牌面数字；如图2是一枚质地均匀的正方体骰子，六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6，小葵掷一次骰子，记下骰子朝上一面的点数；若小娜记下的牌面数字大于小葵记下骰子的点数，则小娜先挑取奖品，否则，小葵先挑取奖品．
（1）小娜从四张扑克牌中随机抽取一张，牌面数字是5的概率是多少？
（2）请用画树状图或列表的方法说明这个游戏对双方公平吗？
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）利用图表展示所有等可能的结果数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求出各自获取奖品的概率，最后通过比较两概率的大小即可得出游戏的公平性．
【解析】（1）∵共有4张扑克牌，其中牌面数字是5的有2张，
∴小娜从四张扑克牌中随机抽取一张，牌面数字是5的概率是；
（2）根据题意列表如下：
1
2
3
4
5
6
1
2，1
3，1
4，1
5，1
6，1
2
1，2
3，2
4，2
5，2
6，2
3
1，3
2，3
4，3
5，3
6，3
4
1，4
2，4
3，4
5，4
6，4
5
1，5
2，5
3，5
4，5
6，5
6
1，6
2，6
3，6
4，6
5，6
共有30种等可能的情况数，其中小娜记下的牌面数字大于小葵记下骰子的点数有15种
则小娜先挑取奖品的概率是，小葵先挑取奖品的概率也是，所以这个游戏规则公平．
【小结】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
小亮、小颖的手上都有两根长度分别为5、8的木棒，小亮与小颖都想通过转动转盘游戏来获取第三根木棒，如图，一个均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有木棒的长度2，3，5，8，10，12这6个数字．小亮与小颖各转动转盘一次，停止后，指针指向的数字即为转出的第三根木棒的长度．若三根木棒能组成三角形则小亮获胜，三根木棒能组成等腰三角形则小颖获胜．
（1）小亮获胜的概率是　
　；
（2）小颖获胜的概率是　
　；
（3）请你用这个转盘设计一个游戏，使得对小亮与小颖均是公平的；
（4）小颖发现，她连续转动转盘10次，都没转到5和8，能不能就说小颖获胜的可能性为0？为什么？
【分析】（1）设构成三角形的第三根木棒的长度为x，则3＜x＜13，由在2，3，5，8，10，12这6个数字中，能构成三角形的有5、8、10、12这四个，利用概率公式计算可得；
（2）由2，3，5，8，10，12这6个数字中，能构成等腰三角形的有5，8这两个，利用概率公式计算可得；
（3）只要是两人获胜的概率相等即可得；
（4）由随机事件的可能性大小解答即可得．
【解析】（1）设构成三角形的第三根木棒的长度为x，则8﹣5＜x＜5+8，即3＜x＜13，
∵在2，3，5，8，10，12这6个数字中，能构成三角形的有5、8、10、12这四个，
∴小亮获胜的概率是，故答案为：；
（2）∵在2，3，5，8，10，12这6个数字中，能构成等腰三角形的有5，8这两个，
∴小颖获胜的概率是；
（3）小亮转动转盘一次，停止后指针指向的数字即为转出的第三根木棒的长度．若三根木棒能组成三角形则小亮获胜；小颖转动转盘一次，停止后指针指向的数字为偶数，则小颖获胜；
（4）不能，
她连续转动转盘10次，都没转到5和8，只是说明可能性小，但并不一定为0．
【小结】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈．丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．如：若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A．
（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为
；
（2）丫丫和甲甲一起玩跳圈游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者．这个游戏规则公平吗？请说明理由．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果数，则可计算出甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的概率，然后通过比较她们回到圈A的概率的大小可判断游戏是否公平．
【解析】（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率；
（2）这个游戏规则不公平．
理由如下：
画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果数为5，
所以甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的概率，
因为，所以这个游戏规则不公平．
【小结】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了树状图法．
将正面分别写有数字1，2，3的三张卡片（卡片的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上．甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为a，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上；再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为b，组成数对（a，b）．
（1）请写出数对（a，b）所有可能出现的结果；
（2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽取一次卡片，按照得到的数对计算ab2的值，若ab2的值为奇数则甲贏；ab2的值为偶数则乙贏．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【分析】（1）画树状图可得所有等可能的结果；
（2）从树状图得出所有等可能结果，并从中找到ab2的值为奇数和偶数的结果数，根据概率公式求出甲、乙获胜的概率，从而得出答案．
【解析】（1）如图所示：
（2）由树状图知，共有9种等可能结果，其中ab2的值为奇数的有1、9、3、27这4种结果，ab2的值为偶数的有4、2、8、18、12这5种结果，
所以甲赢的概率为，乙赢的概率为，
∵，
∴这个游戏不公平．
【小结】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
概率与统计综合
某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：
（1）本次比赛参赛选手共有　
　人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为　
　；
（2）补全图2频数直方图；
（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；
（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．
【分析】（1）用“89.5～99.5”的人数除以它们所占的百分比可得到调查的总人数；59.5～69.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比，即可得出答案；
（2）求出“69.5～74.5”这一范围的人数为15﹣8＝7（人），“79.5～84.5”这一范围的人数为18﹣8＝10（人）；补全图2频数直方图即可：
（3）求出成绩由高到低前40%的参赛选手人数为50×40%＝20（人），由88＞84.5，即可得出结论；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】（1）本次比赛参赛选手共有：（8+4）÷24%＝50（人），
“59.5～69.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为100%＝10%，
∴79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为100%﹣24%﹣10%﹣30%＝36%；
故答案为：50，36%；
（2）∵“69.5～79.5”这一范围的人数为50×30%＝15（人），
∴“69.5～74.5”这一范围的人数为15﹣8＝7（人），
∵“79.5～89.5”这一范围的人数为50×36%＝18（人），
∴“79.5～84.5”这一范围的人数为18﹣8＝10（人）；
补全图2频数直方图：
（3）能获奖．理由如下：
∵本次比赛参赛选手50人，
∴成绩由高到低前40%的参赛选手人数为50×40%＝20（人），
又∵88＞84.5，
∴能获奖；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，
所以恰好选中1男1女的概率．
【小结】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了n辆该型号汽车耗油1L所行使的路程作为样本，并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
（1）求n的值，并补全频数分布直方图；
（2）若该汽车公司有600辆该型号汽车．试估计耗油1L所行使的路程低于13km的该型号汽车的辆数；
（3）从被抽取的耗油1L所行使路程在12≤x＜12.5，14≤x＜14.5这两个范围内的4辆汽车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率．
【分析】（1）由D组的车辆数及其所占百分比求得n的值；求出B组的车辆数，补全频数分布直方图即可；
（2）由总车辆数乘以360°乘以耗油1L所行使的路程低于13km的汽车的辆数所占的比例即可；
（3）画出树状图，由概率公式求解即可．
【解析】（1）12÷30%＝40，即n＝40，B组的车辆为：40﹣2﹣16﹣12﹣2＝8（辆），
补全频数分布直方图如图：
（2）600150（辆），即估计耗油1L所行使的路程低于13km的该型号汽车的辆数为150辆；
（3）设行使路程在12≤x＜12.5范围内的2辆车记为为A、B，行使路程在14≤x＜14.5范围内的2辆车记为C、D，画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽取的2辆汽车来自同一范围的结果有4个，
∴抽取的2辆汽车来自同一范围的概率为．
【小结】本题考查了列表法或画树状图法、频数分布直方图和扇形统计图的有关知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况，给出了部分数据信息：
①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；
②图1和图2是两幅不完整的统计图．
根据以上信息解答问题：
（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档人数；
（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
【分析】（1）用A档和D档所有数据数减去D档人数即可得到A档人数，用A档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去A档，B档和D档人数，即可得到C档人数，从而可补全条统计图；
（2）先求出B档所占百分比，再乘以1200即可得到结论；
（3）分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可．
【解析】（1）由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个，
因此A档共有：12﹣4＝8人，8÷20%＝40人，补全图形如下：
（2）1200480（人），答：全校B档的人数为480．
（3）用A表示七年级学生，用B表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如，
因为共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的有10种，所以P（2名学生来自不同年级）．
【小结】本题考查条形统计图以及树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．
某校举行了“防溺水”知识竞赛．八年级两个班各选派10名同学参加预赛，依据各参赛选手的成绩（均为整数）绘制了统计表和折线统计图（如图所示）．
班级
八（1）班
八（2）班
最高分
100
99
众数
a
98
中位数
96
b
平均数
c
94.8
（1）统计表中，a＝　
　，b＝　
　，c＝　
　；
（2）若从两个班的预赛选手中选四名学生参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在成绩为98分的学生中任选两个，求另外两个决赛名额落在不同班级的概率．
【分析】（1）根据平均数和众数、中位数的定义分别求解可得；
（2）先设（1）班学生为A1，A2，（2）班学生为B1，B2，B3，画出树形图，再根据概率公式列式计算即可．
【解析】（1）八（1）班的成绩为：88、89、92、92、96、96、96、98、98、100，
八（2）班成绩为89、90、91、93、95、97、98、98、98、99，
所以a＝96、c（88+89+92+92+96+96+96+98+98+100）＝94.5，b96，
（2）设（1）班学生为A1，A2，（2）班学生为B1，B2，B3，
一共有20种等可能结果，其中2人来自不同班级共有12种，所以这两个人来自不同班级的概率是．
【小结】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
巩固练习
1．下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】各选项袋子中分别共有10个小球，若要使摸到红球可能性最大，只需找到红球的个数最多的袋子即可得出答案．
【解析】在四个选项中，D选项袋子中红球的个数最多，
所以从D选项袋子中任意摸出一个球，摸到红球可能性最大，故选：D．
【小结】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法．
2．如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（　　）
A．只闭合1个开关
B．只闭合2个开关
C．只闭合3个开关
D．闭合4个开关
【分析】根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件即可．
【解析】A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；
B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；
C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
故选：B．
【小结】考查了随机事件的判断，解题的关键是根据题意判断小灯泡能否发光，难度不大．
3．气象台预报“本市明天降水概率是90%”．对此信息，下列说法正确的是（　　）
A．本市明天将有90%的地区降水
B．本市明天将有90%的时间降水
C．明天肯定下雨
D．明天降水的可能性比较大
【分析】根据概率表示某事情发生的可能性的大小，依次分析选项可得答案．
【解析】根据概率表示某事情发生的可能性的大小，分析可得：
A、明天降水的可能性为90%，并不是有90%的地区降水，错误；
B、本市明天将有90%的时间降水，错误；
C、明天不一定下雨，错误；
D、明天降水的可能性为90%，说明明天降水的可能性比较大，正确．
故选：D．
【小结】本题考查概率的意义，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．概率表示随机事件发生的可能性的大小．
4．如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据概率公式直接求解即可．
【解析】∵共有6张卡片，其中写有1号的有3张，
∴从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是；
故选：A．
【小结】此题考查了概率的求法，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
5．小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标连接偶数数字2，4，6，…，2n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，则n的取值为（　　）
A．36
B．32
C．28
D．24
【分析】用大于8的数字的个数n﹣4除以总个数＝对应概率列出关于n的方程，解之可得．
【解析】∵“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，
∴，解得：n＝24，故选：D．
【小结】本题主要考查几何概率，解题的关键是根据题意得出大于8的数字的个数及概率公式．
6．一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是（　　）
A．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球
B．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球
C．第一次摸出的球是红球的概率是
D．两次摸出的球都是红球的概率是
【分析】根据概率公式分别对每一项进行分析即可得出答案．
【解析】A、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故本选项错误；
B、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球，故本选项正确；
C、∵不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，∴第一次摸出的球是红球的概率是，故本选项正确；
D、共用9种等情况数，分别是红红、红绿、红绿、绿红、绿绿、绿绿、绿红、绿绿、绿绿，则两次摸出的球都是红球的概率是，故本选项正确；
故选：A．
【小结】此题考查了概率的求法，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（　　）
A．三条角平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
【分析】根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案．
【解析】∵三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，
∴为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点，故选：D．
【小结】本题主要考查游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平，并熟练掌握三角形内心、外心、垂心和重心的性质．
8．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（　　）
A．6m2
B．7m2
C．8m2
D．9m2
【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【解析】假设不规则图案面积为xm2，由已知得：长方形面积为20m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：，解得x＝7．故选：B．
【小结】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
9．小明、小颖、小华参加演讲比赛．原定出场顺序是小明第一个出场．小颖第二个出场，小华第三个出场，为了比赛的公平性，要求这三名选手用抽签的方式重新确定出场顺序，则抽签后每名选手的出场顺序都发生变化的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解析】设小明、小颖、小华分别为甲、乙、丙画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化有2种情况，
∴抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率，故选：A．
【小结】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．如图，在3×3的正方形网格的格点上摆放了两枚棋子，第三枚棋子随机摆放在格点上（每个格点处最多摆放一枚），这三枚棋子所在格点恰好是直角三角形顶点的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用直角三角形的定义结合概率求法得出答案．
【解析】如图所示：第三枚棋子所在格点恰好是直角三角形顶点有6个，
故这三枚棋子所在格点恰好是直角三角形顶点的概率为：．故选：C．
【小结】此题主要考查了概率公式以及直角三角形的定义，正确得出符合题意的点是解题关键．
11．为了更好的开展线上学习，李老师打算选择一款适合网上授课的软件，他让年级同学在使用过A、B、C三款软件后进行评分，统计结果如表：
五星
四星
三星
两星
一星
合计
A
52
30
13
3
2
100
B
49
36
10
4
1
100
C
35
30
25
6
4
100
（说明：学生对于网上授课软件的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星）．
李老师选择　B　（填“A”、“B”或“C“）款网上授课软件，能更好的开展线上学习（即评价不低于四星）的可能性最大．
【分析】先求出选择A、B、C的可能性，再进行比较，即可得出答案．
【解析】选择A的可能性是：0.82，
选择B的可能性是：0.85，
选择C的可能性是：0.65，
∵0.85＞0.82＞0.65，
∴李老师选择B的可能性大，
故答案为：B．
【小结】考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
12．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：
每批粒数
50
100
300
400
600
1000
发芽的频数
45
96
283
380
571
948
这种油菜籽发芽的概率的估计值是　0.95　．（结果精确到0.01）
【分析】利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．
【解析】观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在0.95附近，
则这种油菜籽发芽的概率的估计值是0.95，
故答案为：0.95．
【小结】此题考查了利用频率估计概率，从表格中的数据确定出这种油菜籽发芽的频率是解本题的关键．
13．小明要给朋友小林打电话，电话号码是七位正整数，他只记住了电话号码前四位顺序，后三位是3，6，7三位数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨对的概率是　　．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．本题中让1除以总情况数即为所求的概率．
【解析】因为后3位是3，6，7三个数字共6种排列情况，而正确的只有1种，
故小明第一次就拨对的概率是．
故答案为：．
【小结】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）．
14．现有5张正面分别标有数字﹣3，﹣1，1，2，4的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n．则一次函数y＝mx+n经过第一、二、四象限的概率是　　．
【分析】画树状图展示所有25种等可能的结果数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解．
【解析】根据题意画图如下：
共有25种等可能的情况数，其中一次函数y＝mx+n经过第一、二、四象限的有6种，
则一次函数y＝mx+n经过第一、二、四象限的概率是；
故答案为：．
【小结】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
15．如图，△ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，点P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，若随机向△ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为　　．
【分析】利用三角形中位线定理得出S△PMNS△DEFS△ABC，根据米粒落在图中阴影部分的概率即为阴影部分与三角形的面积比即可得．
【解析】∵点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，∴S△DEFS△ABC，
又∵点P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，∴S△PMNS△DEFS△ABC，
∴米粒落在图中阴影部分的概率为，故答案为：．
【小结】本题主要考查了几何概型的概率求法，利用面积求概率是解题的关键．
16．有6张卡片，上面分别标有0，1，2，3，4，5这6个数字，将它们背面洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，若数a使关于x的分式方程2的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则抽到符合条件的a的概率为　　．
【分析】通过分式方程的解为正数得到a＜4且a≠2，再解不等式组得到a≥﹣2，从而得到a的范围为﹣2≤a＜4且a≠2，然后根据概率公式求抽到符合条件的a的概率．
【解析】去分母得2﹣a＝2（x﹣1），解得x，
根据题意得0且1，解得a＜4且a≠2，
不等式组变形为，而不等式组的解集为y＜﹣2，
所以a≥﹣2，即a的范围为﹣2≤a＜4且a≠2，所以抽到符合条件的a的概率．故答案为．
【小结】本题考查了概率公式：某随机事件的概率＝这个随机事件所占有结果数除以总的等可能的结果数．也考查了解分式方程和一元一次不等式组．
17．在一个口袋中装有4个红球和8个白球，它们除颜色外完全相同．
（1）判断事件“从口袋中随机摸出一个球是黑球”是什么事件，并写出其发生的概率；
（2）求从口袋中随机摸出一个球是红球的概率；
（3）现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？
【分析】（1）根据口袋中没有黑球，不可能摸出黑球，从而得出发生的概率为0；
（2）用红球的个数除以总球的个数即可；
（3）设取走了x个白球，根据概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案．
【解析】（1）∵口袋中装有4个红球和8个白球，
∴从口袋中随机摸出一个球是黑球是不可能事件，发生的概率为0；
（2）∵口袋中装有4个红球和8个白球，共有12个球，∴从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是；
（3）设取走了x个白球，根据题意得：，解得：x＝6，答：取走了6个白球．
【小结】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（1）如图所示是一条线段，AB的长为10厘米，MN的长为2厘米，假设可以随意在这条线段上取一点，求这个点取在线段MN上的概率．
（2）如图是一个木制圆盘，图中两同心圆，其中大圆直径为20cm，小圆的直径为10cm，一只小鸟自由自在地在空中飞行，求小鸟停在小圆内（阴影部分）的概率是　　．
【分析】（1）由AB间距离为10，MN的长为2，用MN的长除以线段AB的长即可得；
（2）用小圆面积除以大圆面积即可得．
【解析】（1）AB间距离为10，MN的长为2，故以随意在这条线段上取一个点，
那么这个点取在线段MN上的概率为．
因为大圆的面积为：；小圆的面积为：．
所以小鸟停在小圆内（阴影部分）的概率是，故答案为：．
【小结】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
19．宜昌景色宜人，其中三峡大坝、清江画廊、三峡人家景点的景色更是美不胜收．某民营单位为兼顾生产和业余生活，决定在下设的A，B，C三部门利用转盘游戏确定参观的景点．两转盘各部分圆心角大小以及选派部门、旅游景点等信息如图．
（1）若规定老同志相对偏多的部门选中的可能性大，试判断这个部门是哪个部门？请说明理由；
（2）设选中C部门游三峡大坝的概率为P1，选中B部门游清江画廊或者三峡人家的概率为P2，请判断P1，P2大小关系，并说明理由．
【分析】（1）计算各个部门的被选中的概率，得出答案；
（2）用列表法或树状图列举出所有可能出现的结果情况，从中找出“C部门游三峡大坝”频数，“B部门游清江画廊或者三峡人家”的频数，进而求出相应的概率，比较得出答案．
【解析】（1）C部门，
理由：∵PA，PB，PC，
∴选择C部门的可能性大；
（2）P1＝P2；
用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中“C部门游三峡大坝”的有2种，“B部门游清江画廊或者三峡人家”的也有2种，
∴P1，P2，
因此，P1＝P2．
【小结】本题考查列表法或树状图求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的关键．
20．小明和小亮用如图所示的甲、乙两个转盘（甲转盘被分成五个面积相等的扇形，乙转盘被分成四个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次（如果指针恰好在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）．
（1）请你求出甲转盘指针指向偶数区域的概率；
（2）若两次数字之和为4、5或6时，则小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请你用树状图或列表法说说你的理由．
【分析】（1）根据题意先得出偶数的个数，再根据概率公式即可得出答案；
（2）列举出所有情况，看指针所指扇形区域内的数字之和为4，5或6的情况占所有情况的多少即可求得小明赢的概率，进而求得小亮的概率，比较即可得出答案．
【解析】（1）∵甲转盘共有五个面积相等的扇形，其中偶数有2个扇形面，
∴甲转盘指针指向偶数区域的概率是；
（2）根据题意列表如下：
转盘甲
转盘乙
1
2
3
4
5
1
（1，1）和为2
（2，1）和为3
（3，1）和为4
（4，1）和为5
（5，1）和为6
2
（1，2）和为3
（2，2）和为4
（3，2）和为5
（4，2）和为6
（5，2）和为7
3
（1，3）和为4
（2，3）和为5
（3，3）和为6
（4，3）和为7
（5，3）和为8
4
（1，4）和为5
（2，4）和为6
（3，4）和为7
（4，4）和为8
（5，4）和为9
∵数字之和一共有20种情况，其中和为4，5，或6的共11种情况，
∵P（小明）P（小亮），∴这个游戏不公平；
【小结】此题考查的是游戏公平性，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A），注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
21．央行今年推出数字货币，支付方式即将变革，调查结果显示，目前支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他．调查组对某超市一天内购买者的支付方式进行调有统计：得到如图两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了　200　名购买者；
（2）请补全条形统计图．在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为　108　度．
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“现金”三种付款方式中选一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率．
【分析】（1）根据B的人身和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数；
（2）根据统计图中的数据可以求得选择A和D的人数，从而可以将条形统计图补充完整；用360°乘以A种支付方式所占的百分比即可得出在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角的度数；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合题意的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解析】（1）本次一共调查的购买者有：56÷28%＝200（名）；故答案为：200；
（2）D方式支付的有：200×20%＝40（人），A方式支付的有：200﹣56﹣44﹣40＝60（人），
补全的条形统计图如图所示：
在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：360°108°；故答案为：108；
（3）根据题意画图如上：
共有9种等可能的情况数，其中两人恰好选择同一种付款方式的有3种，
则两人恰好选择同一种付款方式的概率是．
【小结】本题考查扇形统计图、条形统计图以及用列树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为1m的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似看成点），记录如下：
掷小石子所落的总次数
小石子所落的有效区域
50
150
300
…
小石子落在圆内（含圆上）的次数m
14
48
89
…
小石子落在圆外的阴影部分（含外边缘）的次数n
30
95
180
…
（1）当投掷的次数很大时，m：n的值越来越接近　0.5　；
（2）若以小石子所落的有效区域里的次数为总数（即m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率稳定在　　附近；
（3）如果你掷一次小石子（小石子投进封闭图形ABCD内），那么小石子落在圆内（含圆上）的概率约为　　；
（4）请你利用（2）中所得频率，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米（结果保留π）．
【分析】（1）根据提供的m和n的值，计算m：n后即可确定二者的比值逐渐接近的值；
（2）观察数据，找到稳定值即可；
（3）大量试验时，频率可估计概率；
（4）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积．
【解析】（1）14÷30≈0.47；
48÷95≈0.51；
89÷180≈0.49，
…
当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近0.5；
（2）观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在；
（3）如果你掷一次小石子（小石子投进封闭图形ABCD内），那么小石子落在圆内（含圆上）的概率约为；
（4）设封闭图形的面积为a，根据题意得：，解得：a＝3π，故答案为：0.5，，．
【小结】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．二次根式的概念
掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
下列式子一定是二次根式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式可得答案．
【解析】根据二次根式的定义可得中得被开方数无论x为何值都是非负数，选C．
【小结】此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数．
在式子（x＞0），，（y＝﹣2），（x＞0），，，x+y中，二次根式有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【分析】根据二次根式的定义作答．
【解析】（x＞0），，符合二次根式的定义．
（y＝﹣2），（x＞0）无意义，不是二次根式．
属于三次根式．
x+y不是根式．选B．
【小结】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．
在式子，，，，，中，是二次根式的有（　　）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
【分析】根据二次根式的定义形如（a≥0）的式子叫做二次根式，对被开方数的符号进行判断即可得．
【解析】在所列式子中是二次根式的有，，，这4个，选B．
【小结】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
下列各式中①；②；③；④；⑤一定是二次根式的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，据此逐一判断即可得．
【解析】在①；②；③；④；⑤一定是二次根式的是③④⑤，选C．
【小结】本题考查了二次根式的定义．理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
二次根式有意义的条件（求取值范围）
对于二次根式有意义的条件求取值范围类题型，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数以及分式分母不为零．
若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是（　　）
A．m≥1
B．m≤1且m≠2
C．m≥1且m≠2
D．m≠2
【分析】分别根据二次根式及分式有意义的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解析】∵在实数范围内有意义，∴，解得m≥1且m≠2．选C．
【小结】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
要使有意义，则x的取值范围为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解析】要使有意义，则2x﹣1≥0，3﹣x＞0，解得：x＜3．选C．
【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
若使式子成立，则x的取值范围是（　　）
A．1.5≤x≤2
B．x≤1.5
C．1≤x≤2
D．1≤x≤1.5
【分析】直接利用二次根式的性质进而计算得出答案．
【解析】由题意可得：，解得：1≤x≤1.5．选D．
【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
等式成立的条件是（　　）
A．a≠1
B．a≥3且a≠﹣1
C．a＞1
D．a≥3
【分析】观察等式右边，根据二次根式有意义和分式的分母不为0的条件列出不等式组，求出a的范围
【解析】∵等式成立，∴，∴a≥3．选D．
【小结】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
次根式有意义的条件（被开方数互为相反数）
对于解决此类型题目关键从被开方数中找出一对相反数，利用二次根式的被开方数是非负数进行求解即可.
已知，x、y是有理数，且y4，则2x+3y的立方根为　　．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＝2，进而可得y的值，然后计算出2x+3y的值，进而得立方根．
【解析】由题意得：，解得：x＝2，则y＝﹣4，
2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．所以2．
【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
若a，b为实数，且，则a+b的值为（　　）
A．﹣1
B．1
C．1或7
D．7
【分析】先根据二次根式的基本性质：有意义，则a≥0求出a的值，进一步求出b的值，从而求解．
【解析】∵，∴a2﹣9＝0且a+3≠0，解得a＝3，b＝0+4＝4，则a+b＝3+4＝7．选D．
【小结】考查了二次根式有意义的条件，解决此题的关键：掌握二次根式的基本性质：有意义，则a≥0．
已知，
（1）求a+b的值；
（2）求7x+y2020的值．
【分析】（1）根据二次根式有意义即可求出答案．
（2）根据二次根式有意义的条件列出方程组求出x与y的值即可求出答案．
【解析】（1）由题意可知：，解得：a+b＝2020．
（2）由于0，∴，∴解得：
∴7x+y2020＝14+1＝15．
【小结】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
已知，求（z﹣y）2的值．
【分析】首先根据二次根式的被开方数是非负数推知：原题中方程右边为0．方程左边也为0，据此求得x、y、z的值；然后代入求值．
【解析】由题中方程等号右边知：有意义，则x+y﹣2019≥0，即x+y≥2019，有意义，则2019﹣x﹣y≥0，即x+y≤2019，即，∴x+y＝2019．
∴，．
∴原题中方程右边为0．
∴原题中方程左边也为0，即．
∵．∴3x+y﹣z﹣8＝0，x+y﹣z＝0．
又x+y＝2019，∴，∴．
∴（z﹣y）2＝（2019﹣2015）2＝42＝16．
【小结】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．
二次根式的性质与化简（根据被开方数为非负数）
对于解决此类型的题目关键根据被开方数为非负数确定相关字母的符号，利用二次根式的性质即可化简.
已知a≠0且a＜b，化简二次根式的正确结果是（　　）
A．a
B．﹣a
C．a
D．﹣a
【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定ab的符号，然后根据a＜b来确定a、b各自的符号，再去根式化简．
【解析】由题意：﹣a3b≥0，即ab≤0，
∵a＜b，∴a＜0＜b，
所以原式＝|a|a，选D．
【小结】本题主要考查了二次根式的化简，解决此题的关键是根据已知条件确定出a、b的符号，以确保二次根式的双重非负性．
与根式﹣x的值相等的是（　　）
A．
B．﹣x2
C．
D．
【分析】将原式进行化简后即可确定正确的选项．
【解析】∵有意义，∴x＜0，∴﹣x0，∴﹣xx?，选D．
【小结】考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，解题的关键是了解原式有意义是x的取值范围，难度不大．
化简﹣a的结果是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】首先根据二次根式有意义的条件判断a的取值范围，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【解析】∵0，∴a＞0，∴﹣a＜0，∴﹣a，选B．
【小结】此题主要考查了二次根式的性质与化简，能够正确化简二次根式是解题的关键．
把代数式（a﹣1）中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次根式的概念和性质化简即可．
【解析】（a﹣1）（1﹣a）．选A．
【小结】正确理解二次根式的性质与化简及概念是解决问题的关键．
二次根式的性质与化简（根据字母取值范围或数轴）
若1≤x≤4，则化简的结果为（　　）
A．2x﹣5
B．3
C．3﹣2x
D．﹣3
【分析】根据绝对值及二次根式的非负性化简即可求解．
【解析】∵1≤x≤4，
∴原式＝|1﹣x|﹣|x﹣4|＝x﹣1﹣（4﹣x）＝x﹣1﹣4+x＝2x﹣5，选A．
【小结】本题主要考查绝对值及二次根式的非负性，根据绝对值及二次根式的非负性化简是解题的关键．
实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　）
A．﹣2
B．0
C．﹣2a
D．2b
【分析】根据实数a和b在数轴上的位置，确定出其取值范围，再利用二次根式和绝对值的性质求出答案即可．
【解析】由数轴可知﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+（b﹣1）+（a﹣b）＝﹣2，选A．
【小结】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，学会根据表示数的点在数轴上的位置判断含数式子的符号，掌握绝对值的化简及二次根式的性质是解决本题的关键．
若a、b、c为三角形的三条边，则|b﹣a﹣c|＝（　　）
A．2b﹣2c
B．2a
C．2（a+b﹣c）
D．2a﹣2c
【分析】先利用二次根式的性质得到原式＝|a+b﹣c|+|a+c﹣b|，然后根据三角形三边的关系和绝对值的意义去绝对值后合并同类项．
【解析】∵a、b、c为三角形的三条边，∴a+b＞c，a+c＞b，
∴原式＝|a+b﹣c|+|a+c﹣b|＝a+b﹣c+a+c﹣b＝2a．选B．
【小结】考查二次根式性质与化简：灵活应用二次根式性质进行化简．也考查了三角形三边之间的关系．
已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简|a﹣c||b|．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解析】由数轴可知：c＜a＜0＜b，∴a﹣c＞0，b﹣c＞0，
∴原式＝|a|+|a﹣c|+|b﹣c|﹣|b|＝﹣a+（a﹣c）+（b﹣c）﹣b＝﹣2c．
【小结】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
最简二次根式的概念
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】判断二次根式是否为最简二次根式需根据最简二次根式定义进行，或观察被开方数的每一个因数（或因式）指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
【解析】A.2，可化简；B.|x|，可化简；C.，可化简；
D.不能化简，符合最简二次根式的条件，是最简二次根式；选D．
【小结】本题主要考查了最简二次根式．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
在根式、、、、中，最简二次根式有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【解析】根式、、、、中，最简二次根式有、、，共3个，选C．
【小结】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为　2　．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解析】若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为2，
【小结】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
若和都是最简二次根式，则m+n＝　﹣6　．
【分析】根据最简二次根式定义，知m+3＝1，2m﹣n+1＝1，解方程组求得m和n的值，则m+n的值可得．
【解析】由题意可得：解得：，∴m+n＝﹣6
【小结】考查最简二次根式的义、解二元一次方程组和简单整式加法运算，属于基础知识的考查.
同类二次根式的概念
同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并．
下列二次根式：，，，，，其中不能与合并的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】先根据二次根式的性质化简各二次根式，找到不是同类二次根式即可得．
【解析】∵2，3，，5，，
∴不能与合并的是、这2个，选B．
【小结】本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质和同类二次根式的概念．
若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（　　）
A．x＝0
B．x＝1
C．x＝2
D．x＝3
【分析】根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可．
【解析】∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，∴x+3＝2x，解得：x＝3，选D．
【小结】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出x+3＝2x是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
若最简二次根式，2可以合并，则m﹣n的值为　
　．
【分析】由题意可知，与2同类二次根式，即被开方数相同，由此可列方程求解．
【解析】根据题意3m+n＝4m﹣2，即﹣m+n＝﹣2，所以m﹣n＝2．
【小结】本题考查同类二次根式的概念：化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式；同类二次根式可以合并．
若最简二次根式和是同类二次根式．
（1）求x，y的值；（2）求的值．
【分析】（1）根据同类二次根式的定义：①被开方数相同；②均为二次根式；列方程解组求解；
（2）根据x，y的值和算术平方根的定义即可求解．
【解析】（1）根据题意知，解得：；
（2）当x＝4、y＝3时，5．
【小结】此题主要考查了同类二次根式和算术平方根的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
二次根式的加减运算
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答．
计算：
（1）3
（2）7a4a27a
【分析】（1）根据二次根式的加减计算即可；
（2）根据二次根式的性质和加减计算解答即可．
【解析】（1）原式，
（2）原式．
【小结】此题考查二次根式的加减，关键是根据二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答．
计算：
（1）263
（2）5x
【分析】（1）根据二次根式的运算法则即可求出答案．
（2）根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解析】（1）原式＝4212＝14．
（2）原式2＝0
【小结】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
计算：
（1）2
（2）（15）（x＞0）
【分析】（1）先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并即可；
（2）先将二次根式化简，再利用去括号法则去括号，再将被开方数相同的二次根式合并即可．
【解析】（1）原式＝264＝4；
（2）原式（152x）＝332x＝2x．
【小结】本题主要考查二次根式的加减，解决此类问题的关键是要先将二次根式化简，此外还要注意，只有被开方数相同的二次根式才能合并，当被开方数不相同时是不能合并的．
计算
（1）
（2）2
【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质分别化简计算得出答案．
【解析】（1）原式＝3325＝85；
（2）原式＝23a102a＝125a．
【小结】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
二次根式的乘除运算
掌握二次根式的乘除法法则是解决此类题的关键，①两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；②两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
计算：．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解析】＝（14）＝（1）＝10．
【小结】本题主要考查了二次根式的乘法法则，掌握二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
计算：．
【分析】依据二次根式的乘除法法则进行计算即可．
【解析】
（）÷1
＝±．
【小结】本题主要考查了二次根式的乘除法法则，掌握二次根式的乘除法法则是解决问题的关键．
化简：
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解析】原式??4x?（4x2y）?
【小结】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算，本题属于基础题型．
计算：?（）（a＞0）
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【解析】?（）（a＞0）?a2b＝﹣9a2．
【小结】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：
①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；
②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”；
（1）计算：；（2）化简：．
【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；
（2）先进行二次根式的除法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【解析】（1）原式3＝63＝6﹣2；
（2）原式＝3x?＝3＝5．
【小结】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
（1）计算：．（2）计算：．
【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】（1）原式
；
（2）原式
．
【小结】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
计算：（1）（21）2+（2）（2）；（2）24．
【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式计算；
（2）先利用二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
【解析】（1）原式＝12﹣41+3﹣4＝12﹣4；
（2）原式2＝2﹣32＝2．
【小结】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
计算：（1）（2）（2）﹣（1）2+5；
（2）（2?）．
【分析】（1）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号，最后计算加减可得；
（2）先化简二次根式，再计算括号内二次根式的减法，最后将除法转化为乘法、约分即可得．
【解析】（1）原式＝（3﹣4）﹣（3﹣21）+5＝﹣1﹣3+21+5＝2；
（2）原式＝（5）?
＝﹣13．
【小结】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
二次根式的化简求值
若x，y是实数，且y，求（x）﹣（）的值．
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，求出y的值，再把根式化成最简二次根式，合并后代入求出即可．
【解析】∵x，y是实数，且y，∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，解得：x，∴y，
∴（x）﹣（）＝2x2x5＝x3
3
．
【小结】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值的应用，解此题的关键是求出xy的值，题目比较好，难度适中．
已知x，求下列各式的值：
（1）x2﹣xy+y2；
（2）．
【分析】（1）先将x、y的值分母有理化，再计算出x+y、xy的值，继而代入x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy计算可得；
（2）将x+y、xy的值代入计算可得．
【解析】（1）∵x，y，∴x+y，xy，
则x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝5；
（2）
＝8．
【小结】本题主要考查二次根式和分式的计算，解题的关键是掌握二次根式与分式的混合运算顺序和运算法则．
已知x，x，求x2﹣3xy+y2的值．
【分析】先由x、y的值计算出x﹣y、xy的值，再代入原式＝（x﹣y）2﹣xy计算可得．
【解析】∵x，y，
∴x﹣y，
xy（5﹣3）2，
则原式＝（x﹣y）2﹣xy＝（）2＝3．
【小结】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的运算法则与完全平方公式、平方差公式．
已知x，y，求x2﹣xy+y2的值．
【分析】根据分母有理化化简x与y，然后求出x+y与xy的表达式即可求出答案．
【解析】∵x，y，
∴x，y，
∴x+y，xy，
∴原式＝x2+2xy+y2﹣3xy＝（x+y）2﹣3xy＝2a+b＝2a
【小结】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
分母有理化
二次分母有理化就是通过分子和分母同时乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的．
阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简
（2）化简．
（3）化简：．
【分析】（1）分子分母分别乘即可；
（2）分子分母分别乘即可；
（3）分母有理化后，合并同类二次根式即可；
【解析】（1）
（2）化简
（3）化简：
（1）（1）
【小结】本题考查二次根式的化简、分母有理化等知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，属于中考常考题型．
阅读下面计算过程：
1；
；
2．
求：（1）的值．
（2）（n为正整数）的值．
（3）的值．
【分析】（1）根据给定算式，在分式的分母和分子上分别相乘（），计算后即可得出结论；
（2）根据给定算式，在分式的分母和分子上分别相乘（），计算后即可得出结论；
（3）根据（2）的结论即可得出（1）+（）+（2）+…+（10），由此即可算出结论．
【解析】（1）；
（2）；
（3）（1）+（）+（2）+…+（10）＝10﹣1＝9．
【小结】本题考查了分母有理化，根据给定算式找出利用平方差公式寻找有理化因式是解题的关键．
观察下列格式，，，，
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果；
（2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果；
（3）根据（1）的规律可得，然后分母有理化，求出结果即可．
【解析】（1）1，
2，
3，
4，
（2）5，
（3）n．
【小结】本题主要考查分母有理化的知识点，解答本题的关键是找出上述各式的变化规律，此题难度一般．
【阅读材料】
材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化
通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的
例如：化简
【解析】
材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn，那么m±n
例如：化简
【解析】±1
【理解应用】
（1）填空：化简的结果等于　
　；
（2）计算：
①；
②．
【分析】（1）根据分母有理化法则计算；
（2）①根据完全平方公式、二次根式的性质化简；
②先把原式分母有理化，再合并同类二次根式即可．
【解析】（1）原式4，
（2）①；
②原式141．
【小结】本题考查的是分母有理化、二次根式的化简，掌握分母有理化法则、二次根式的性质是解题关键．
复合二次根式的化简
阅读理解题，下面我们观察：
（1）2＝（）2﹣2×112＝2﹣21＝3﹣2．
反之3﹣22﹣21＝（1）2，所以3﹣2（1）2，
所以1．
完成下列各题：
（1）在实数范围内因式分解3+2；
（2）化简：；
（3）化简：．
【分析】（1）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；
（2）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；
（3）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可．
【解析】（1）3+2；
（2）；
（3）．
【小结】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义是解题关键．
观察下式：（1）2＝（）2﹣2??1+12＝2﹣21＝3﹣2
反之，3﹣22﹣21＝（1）2
根据以上可求：1
求：（1）；（2）你会算吗？
【分析】根据二次根式的性质以及完全平方公式即可求出答案．
【解析】（1）原式．
（2）原式1
【小结】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得，化简：
例如：∵5+23+2+2（）2+（）2+2（）2．∴．
请你仿照上例将下列各式化简：（1）；（2）．
【分析】（1）利用完全平方公式把4+2化为（1）2，然后利用二次根式的性质化简即可．
（2）利用完全平方公式把7﹣2化为（）2然后利用二次根式的性质化简即可．
【解析】（1）∵4+21+3+2122（1）2，∴1；
（2）．
【小结】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记掌握完全平方公式．
先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得m，，那么便有：（a＞b）
例如：化简：
首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：7，，
所以．
问题：①填空：　　，　　；②化简：（请写出计算过程）．
【分析】①②仿照例题、根据完全平方公式、二次根式的性质解答即可．
【解析】①1，
2，
②2．
【小结】本题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式、二次根式的性质是解题的关键．
含二次根式的数式规律题
观察下列各式：
11
11
11
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）　1　
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：　1　；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；
（2）根据规律，写出等式；
（3）根据（2）的规律，即可解答．
【解析】（1）11；故答案为：1；
（2）11；故答案为：1；
（3）．
【小结】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．
观察下列各式：
1，1，1，…
请利用你所发现的规律，
（1）计算
（2）根据规律，请写出第n个等式（n≥1，且n为正整数）．
【分析】（1）根据所给等式可得规律，然后再计算即可；
（2）根据所给等式可得规律，然后再利用含n的式子表示即可．
【解析】（1）原式＝1111
＝1+1111＝9+1＝9；
（2）第n个等式：1．
【小结】此题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是认真观察等式，确定所给规律．
观察下列各式：①2，②3；③4，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式：　
　；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　
　；
（3）请证明（2）中的结论．
【分析】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；
（2）根据规律写出含n的式子即可；
（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．
【解析】（1）5；
（2）（n+1）；
（3）
＝（n+1）．
【小结】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律进行求解即可．
观察下列各式及其验算过程：
2，验证：2；
3，验证：3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
【分析】（1）利用已知，观察2，3，可得的值；
（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；
【解析】（1）∵2，3，
∴44，
验证：，正确；
（2）由（1）中的规律可知3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1，
∴，验证：；正确；
【小结】此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键．
二次根式章节巩固练习
1．下列式子是二次根式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】二次根式的被开方数是非负数，根指数是2，根据以上内容判断即可．
【解析】A、无意义，故本选项不符合题意；
B、的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意；
C、当a＜0时，根式无意义，故本选项不符合题意；
D、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意；
选D．
【小结】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．
2．下列说法中，正确的是（　　）
A．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式
B．只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式
C．同类二次根式一定都是最简二次根式
D．两个最简二次根式不一定是同类二次根式
【分析】根据同类二次根式的概念判断．
【解析】A、被开方数不同的二次根式可以是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、化简后被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、同类二次根式不一定都是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、两个最简二次根式不一定是同类二次根式，故本选项符合题意；
选D．
【小结】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
3．代数式中，x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣4
B．x＞2
C．x≥﹣4且x≠2
D．x＞﹣4且x≠2
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+4≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解即可．
【解析】由题意得：x+4≥0，且x﹣2≠0，
解得：x≥﹣4且x≠2，选C．
【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
4．下列各式中，互为有理化因式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用有理化因式判断即可．
【解析】与互为有理化因式，选C．
【小结】此题考查了分母有理化，熟练掌握有理化因式定义是解本题的关键．
5．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（　　）
A．3
B．5
C．15
D．45
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解析】由于45n＝32×5n，∴3，
由于是整数，∴n的最小值为5，选B．
【小结】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
6．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（　　）
A．7
B．﹣7
C．2a﹣15
D．无法确定
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【解析】由数轴上点的位置，得4＜a＜8．
a﹣3+10﹣a＝7，选A．
【小结】本题考查了二次根式的性质与化简，利用二次根式的性质化简是解题关键．
7．若，则的值是（　　）
A．3
B．±3
C．
D．±
【分析】先（）2＝x+27+2＝9，再开平方，可得结论．
【解析】∵，∴（）2＝x+27+2＝9，
∵0，∴3，选A．
【小结】本题考查了二次根式的化简求值，本题熟练掌握完全平方公式是关键，并注意二次根式的双重非负性．
8．我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（　　）
A．型无理数
B．型无理数
C．型无理数
D．型无理数
【分析】先利用完全平方公式计算，再化简得到原式＝48，然后利用新定义对各选项进行判断．
【解析】2+26＝48，所以是型无理数．选B．
【小结】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．也考查了无理数．
9．如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，则余下的面积为（　　）
A．16cm2
B．40
cm2
C．8cm2
D．（24）cm2
【分析】根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，易得大正方形的面积，利用分割法求得余下部分的面积．
【解析】从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2两个小正方形，大正方形的边长是4+2，留下部分（即阴影部分）的面积是（4+2）2﹣16﹣24＝16+1624﹣16﹣24＝16（cm2）．选A．
【小结】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出阴影部分面积是解题关键．
10．如果一个三角形的三边长分别为1、k、4．则化简|2k﹣5|的结果是（　　）
A．3k﹣11
B．k+1
C．1
D．11﹣3k
【分析】由于三角形的三边长分别为1、k、4，根据三角形的三边关系，1+4＞k，即k＜5，4﹣1＜k，所以k＞3，根据k的取值范围，再对代数式进行化简．
【解析】∵三角形的三边长分别为1、k、4，∴，解得，3＜k＜5，所以，2k﹣5＞0，k﹣6＜0，
∴|2k﹣5|2k﹣52k﹣5﹣[﹣（k﹣6）]＝3k﹣11．选A．
【小结】化简，要根据二次根式的性质，先将化为|a|，然后根据a的符号，去绝对值符号进行化简．
11．在根式，，，，，最简二次根式的个数有　1　个．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解析】最简二次根式有这1个，
【小结】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
12．如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的x的取值范围是　x　．
【分析】根据已知得出3a﹣4＝16﹣a，求出a的值再根据二次根式有意义的条件得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解析】∵最简二次根式与可以合并，∴3a﹣4＝16﹣a，解得：a＝5，
∴，
要使有意义，必须25﹣2x≥0，解得：x，
【小结】本题考查了同类二次根式，二次根式有意义的条件和解一元一次不等式等知识点，能根据题意得出方程和不等式是解此题的关键．
13．若式子2﹣x成立，则x的取值范围为　x≤2　．
【分析】根据二次根式的性质可得x﹣2≤0，再解即可．
【解析】由题意得：x﹣2≤0，解得：x≤2，
【小结】此题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握|a|．
14．若，则yx＝　9或　．
【分析】根据二次根式有意义的条件可求x＝±2，进一步求得y的值，再代值计算即可求解．
【解析】∵，∴x＝±2，∴y＝3，
∴yx＝32＝9或yx＝3﹣2．
【小结】考查了二次根式有意义的条件，关键是根据二次根式有意义的条件求得x＝±2．
15．已知x+y＝﹣5，xy＝4，则　　．
【分析】先化简，再代入求值即可．
【解析】∵x+y＝﹣5，xy＝4，∴x＜0，y＜0，
（），
∵x+y＝﹣5，xy＝4，∴原式．
【小结】本题考查了二次根式的化简求值，化简二次根式是解题的关键．
16．若m满足等式|2019﹣m|＝m，则m﹣20192的值为　2020　．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得m≥2020，再利用绝对值的性质计算|2019﹣m|＝m即可．
【解析】∵m﹣2020≥0，∴m≥2020，
∴|2019﹣m|＝m，
m﹣2019＝m，
2019，
∴m﹣2020＝20192，
m﹣20192＝2020，
【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是根据二次根式中的被开方数是非负数确定m的取值范围．
17．计算题：
（1）2；
（2）先化简，再求值．（6x）﹣（4x），其中x，y＝27．
【分析】（1）先进行二次根式的乘除运算，再进行二次根式的加减运算即可；
（2）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式，最后代入计算即可．
【解析】（1）原式＝2×2
＝2
＝0；
（2）原式＝6x4x
＝636
＝（3）
，
当x，y＝27时，原式．
【小结】本题主要考查了二次根式的化简计算，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
18．计算
（1）（2）0；
（2）（2）（2）．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用乘法公式计算得出答案．
【解析】（1）原式；
（2）原式＝（2）2﹣（）2＝6．
【小结】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
19．已知0，求的值；
【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质得出x，y的值，进而利用二次根式的性质化简得出答案．
【解析】∵0，∴x﹣3y＝0，x2﹣9＝0，且x+3≠0，
解得：x＝3，y＝1，
故
＝2（2）＝2．
【小结】此题主要考查了非负数的性质以及分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．
20．已知a，b，c满足等式|a|+（c﹣4）2（1）求a，b，c的值．
（2）判断以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？并求出此三角形的面积；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据二次根式的被开方数的非负性可得b的值，再根据绝对值和偶次方的非负性可得a和c的值．
（2）先计算两条较短边的长度之和大于第三边，则可判断a，b，c为边能构成三角形；再根据勾股定理逆定理可证明此三角形是直角三角形；然后根据直角三角形的面积计算公式求得面积即可．
【解析】（1）∵|a|+（c﹣4）2
∴b﹣5≥0，5﹣b≥0，∴b＝5
∴|a|+（c﹣4）2＝0
∴a0，c﹣40
∴a，b＝5，c＝4．
（2）∵a，b＝5，c＝4．
∴a+b5＞4．
∴以a，b，c为边能构成三角形；
∵a2+b2＝7+25＝32，c232，
∴a2+b2＝c2
∴此三角形是直角三角形．
此三角形的面积为：5．
【小结】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值和偶次方的非负性、三角形的三边关系和勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
21．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简
解析：∵3+21+2+212+（）2+2×1（1）2
∴1；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【解析】（1）∵5+23+2+2
＝（）2+（）2+2
＝（）2，
∴；
（2）∵7﹣44+3﹣422+（）2﹣2×2
＝（2）2，
∴2．
【小结】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．
22．材料阅读：
在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；．
根据上述知识，请你完成下列问题：
（1）运用分母有理化，化简：；
（2）运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由；
（3）计算：的值．
【分析】（1）先分母有理化，然后合并即可；
（2）先利用分母有理化比较它们的倒数的大小，从而得到它们的大小关系；
（3）先分母有理化，然后合并即可．
【解析】（1）原式2
＝2；
（2）．
理由如下：
∵，，
而，
∵，
∴；
（3）原式11＝10﹣1＝9．
【小结】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.平方根与立方根的定义
解决此类问题关键是掌握一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方
根有2个；任意一个数的立方根只有1个．
下列说法中，正确的是（　　）
A．﹣5是（﹣5）2的算术平方根
B．16的平方根是±4
C．2是﹣4的算术平方根
D．27的立方根是±3
【分析】利用平方根、立方根的性质判断即可．
【解析】A、5是（﹣5）2的算术平方根，不符合题意；
B、16的平方根是±4，符合题意；
C、2是4的算术平方根，不符合题意；
D、27的立方根是3，不符合题意．
故选：B．
【小结】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟掌握各自的性质是解本题的关键．
下列结论中，其中正确的是（　　）
A．的平方根是±9
B．±10
C．立方根等于本身的数只有0.1
D．
【分析】根据平方根，立方根的定义逐项计算可判断求解．
【解析】A．∵，9的平方根为±3，∴的平方根为±3，故原说法错误；
B.，故原说法错误；
C．立方根等于本身的数只有0，﹣1，1，故原说法错误；
D.，故原说法正确．
故选：D．
【小结】本题主要考查平方根，立方根，根据平方根及立方根的定义逐项计算可判断求解．
下列说法：①±3都是27的立方根；②的算术平方根是±；③2；④的平方根是±4；⑤﹣9是81的算术平方根，其中正确的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义找到错误选项即可．
【解析】①3是27的立方根，原来的说法错误；
②的算术平方根是，原来的说法错误；
③2是正确的；
④4，4的平方根是±2，原来的说法错误；
⑤9是81的算术平方根，原来的说法错误．
故其中正确的有1个．
故选：A．
【小结】考查立方根，平方根，算术平方根的知识；用到的知识点为：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方根有2个；任意一个数的立方根只有1个．
下列说法正确的是（　　）
A．若a，则a＜0
B．若a，则a＞0
C．a2b4
D．3的平方根是
【分析】根据平方根和算术平方根的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解析】A、若a，则a≤0，故本选项错误；
B、若a，则a≥0，故本选项错误；
C、a2b4，故本选项正确；
D、3的平方根是±，故本选项错误；
故选：C．
【小结】此题考查了平方根和算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根定义是解本题的关键．
算术平方根的小数点移动规律
解决此类问题关键是掌握一个被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位；
由1.732，得17.32，则　
　，　
　．从以上结果可以发现，被开方数的小数点向左或向右移动　
　位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位．
【分析】根据算术平方根的定义进行解答即可．
【解析】∵17.32，
∴0.1732，173.2，
从以上结果可以发现，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位；
故答案为：0.1732，173.2，两．
【小结】此题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是本题的关键．
如表所示，被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律符合一定的规律，若180，且1.8，则被开方数a的值为　
　．
a
…
0.000001
0.01
1
100
10000
1000000
…
…
0.001
0.1
1
10
100
1000
…
【分析】根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得a的值．
【解析】∵180，且1.8，
∴1.8，
∴180，
∴a＝32400，
故答案为：32400．
【小结】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确算术平方根的定义，求出相应的a的值．
若5.036，15.906，则（　　）
A．50.36
B．503.6
C．159.06
D．1.5906
【分析】根据已知等式，利用算术平方根定义判断即可得到结果．
【解析】∵5.036，∴5.036×100＝503.6，故选：B．
【小结】本题考查了算术平方根．解题的关键是掌握算术平方根的定义以及算术平方根的被开方数小数点移动的规律．
设，则可以表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】首先把小数化为分数，为便于开方根据分数基本性质，分子分母同时扩大10倍，再根据二次根式的性质与化简，即可求得结论．
【解析】；
故选：A．
【小结】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是二次根式化简时把小数化为分数，注意尝试怎样拆分数据可简便运算．
算术平方根的非负性
解决此类问题关键是掌握算术平方根，绝对值，偶次乘方均具有非负性.
若实数x，y满足|x﹣3|0，则（x+y）3的平方根为（　　）
A．4
B．8
C．±4
D．±8
【分析】利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案．
【解析】∵|x﹣3|0，∴x﹣3＝0，y﹣1＝0，∴x＝3，y＝1，
则（x+y）3＝（3+1）3＝64，
64的平方根是：±8．
故选：D．
【小结】此题主要考查了算术平方根以及绝对值的性质，正确把握相关定义是解题的关键．
已知实数x和y满足（y3+8）2＝0，则x+y的值为（　　）
A．0
B．﹣4
C．0或﹣4
D．±4
【分析】根据非负数的性质即可求出答案．
【解析】由题意可知：x2﹣4＝0，y3+8＝0，
∴x＝±2，y＝﹣2，
∴x+y＝0或﹣4，
故选：C．
【小结】本题考查非负数的性质，解题的关键是熟练运用非负数的性质，本题属于基础题型．
已知（2a+b）2与互为相反数，则ba＝　
　．
【分析】根据相反数的概念列出算式，根据非负数的性质求出a、b的值，计算即可．
【解析】由题意得，（2a+b）20，
则2a+b＝0，3b+12＝0，
解得，a＝2，b＝﹣4，
则ba＝（﹣4）2＝16，
故答案为：16．
【小结】本题考查了非负数的性质和相反数，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
已知：实数a、b满足关系式（a﹣2）2+|b|0，求：ba+c+8的值．
【分析】根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性求解a，b，c的值，再代入计算即可求解．
【解析】由题意得，
解得a＝2，b，c＝2009，
∴ba+c+82009+8＝2020．
【小结】本题主要考查算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，代数式求值，求解a，b，c的值是解题的关键．
利用平方根与立方根性质解方程
解决此类问题关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．
计算下列各式的x的值：
（1）8；
（2）（x+1）3＝﹣9．
【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；
（2）方程利用立方根的定义化简即可求出解．
【解析】（1）方程变形得：x2＝16，开方得：x＝±4；
（2）方程变形得：（x+1）3＝﹣27，开立方得：x+1＝﹣3，解得：x＝﹣4．
【小结】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
求下列各式中x的值
（1）25x2＝4；
（2）（x+1）3＝﹣27．
【分析】（1）根据等式的性质，可得平方的形式，根据开方运算，可得答案；
（2）根据开立方运算，可得一元一次方程，根据解方程，可得答案．
【解析】（1）方程两边都除以25，得
x2，开方得，x；
（2）开立方得，x+1＝﹣3，移项得，x＝﹣4．
【小结】本题主要考查立方根和平方根的知识点，解答本题的关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．
求下列各式中的x：
（1）4（x+2）2﹣16＝0；
（2）（2x﹣1）31．
【分析】（1）先求出（x+2）的值，然后解方程即可；
（2）求出（2x﹣1）的值，解方程即可得出x的值．
【解析】（1）由题意得，4（x+2）2＝16，
∴（x+2）2＝4，∴x+2＝±2，
解得x＝0或﹣4；
（2）由题意得，（2x﹣1）3，
∴2x﹣1，∴x．
【小结】此题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，不要漏解．
解方程：
（1）（x﹣4）2＝6；
（2）9＝0．
【分析】（1）根据平方根的定义解答即可；
（2）把方程整理为（x+3）3＝27，再根据立方根的定义解答即可．
【解析】（1）（x﹣4）2＝6，
，
∴x＝4或x＝4；
（2）9＝0，
9，
（x+3）3＝27，
，
x+3＝3，
∴x＝0．
【小结】本题主要考查了平方根与立方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
平方根与立方根性质的运用
解决此类问题关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．
已知4a+1的平方根是±3，b﹣1的算术平方根为2．
（1）求a与b的值；
（2）求2a+b﹣1的立方根．
【分析】（1）首先根据4a+1的平方根是±3，可得：4a+1＝9，据此求出a的值是多少；然后根据b﹣1的算术平方根为2，可得：b﹣1＝4，据此求出b的值是多少即可．
（2）把（1）中求出a与b的值代入2a+b﹣1，求出算术的值是多少，进而求出它的立方根是多少即可．
【解析】（1）∵4a+1的平方根是±3，∴4a+1＝9，解得a＝2；
∵b﹣1的算术平方根为2，∴b﹣1＝4，解得b＝5．
∵a＝2，b＝5，
∴2a+b﹣1
＝2×2+5﹣1
＝8，
∴2a+b﹣1的立方根是：2．
【小结】此题主要考查了立方根、平方根、算术平方根的含义和求法，要熟练掌握．
已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4．
（1）求a，b的值；
（2）求6a+3b的平方根．
【分析】（1）运用立方根和算术平方根的定义求解．
（2）根据平方根，即可解答．
【解析】（1）∵4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4，
∴4a+7＝27，2a+2b+2＝16，∴a＝5，b＝2；
（2）由（1）知a＝5，b＝2，
∴6a+3b＝6×5+3×2＝36，∴6a+3b的平方根为±6．
【小结】本题考查了平方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的定义．
已知2a+1的平方根是±3，3a+2b﹣4的立方根是﹣2，求4a﹣5b+8的立方根．
【分析】先根据平方根，立方根的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再代入进行计算求出4a﹣5b+8的值，然后根据立方根的定义求解．
【解析】∵2a+1的平方根是±3，3a+2b﹣4的立方根是﹣2，
∴2a+1＝9，3a+2b﹣4＝﹣8，
解得a＝4，b＝﹣8，
∴4a﹣5b+8＝4×4﹣5×（﹣8）+8＝64，
∴4a﹣5b+8的立方根是4．
【小结】本题考查了平方根，立方根的定义，列式求出a、b的值是解题的关键．
已知3a+4a+5a+6a+7a+8a＝165，且a+11的算术平方根是m，5a+2的立方根是n．求nm的平方根．
【分析】先由3a+4a+5a+6a+7a+8a＝165，即33a＝165得出a＝5，再结合a+11的算术平方根是m，5a+2的立方根是n得出m、n的值，代入求解可得．
【解析】∵3a+4a+5a+6a+7a+8a＝165，即33a＝165，
∴a＝5，
又a+11的算术平方根是m，即16的算术平方根是m，
∴m＝4，
∵5a+2的立方根是n，即27的立方根是n，
∴n＝3，
则nm＝34＝81的平方根为±9．
【小结】本题主要考查立方根，解题的关键是掌握立方根、平方根及算术平方根的定义．
无理数的概念
解决此类问题关键是掌握无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
在以下实数，3.14159265，，，中，无理数的个数为（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解析】是分数，属于有理数；
3.14159265是有限小数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
无理数有：，共2个．
故选：B．
【小结】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
在，，﹣5.，，，0.317311731117…，这几个数中，无理数的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解析】，是整数，属于有理数；
是循环小数，属于无理数；
是分数，属于有理数；
无理数有：，，0.317311731117…共3个．
故选：C．
【小结】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（　　）
A．①②
B．②④
C．①④
D．①③
【分析】根据运算规则即可求解．
【解析】①x的值不唯一．x＝3或x＝9或81等，故①说法错误；
②输入值x为16时，，，即y，故②说法正确；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；
④当x＝1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．
其中错误的是①③．
故选：D．
【小结】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
（1）当x为16时，y值为　　；
（2）是否存在输入有意义的x值后，却输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由；
（3）当输出的y值是时，判断输入的x值是否唯一，如果不唯一，请写出其中的两个．
【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，即可判断；
（3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．
【解析】（1）当x＝16时，，，故y值为．
故答案为：；
（2）当x＝0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；
（3）x的值不唯一．x＝3或x＝9．
【小结】本题考查了二次根式有意义的条件，正确理解给出的运算方法是关键．
估算无理数的大小
解决此类问题关键是掌握无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
下列整数中，与6最接近的是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】用逼近法即可进行无理数大小的估算．
【解析】∵9＜11＜16，
∴34，
∵3.52＝12.25＞11，
∴33.5
∴2.5＜63．
∴与6最接近的是3．
故选：B．
【小结】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．
若aa+1，其中a为整数，则a的值是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】先把化简，再估算的范围即可．
【解析】，
∵22＜7＜32，
∴，
∵aa+1，其中a为整数，
∴a＝2．
故选：B．
【小结】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算的范围是解答本题的关键．
阅读下面的文字，解答问题，
例如：∵，即23，∴的整数部分为2，小数部分为（2）．
请解答：（1）的整数部分是　
　，小数部分是　
．
（2）已知：5小数部分是m，6小数部分是n，且（x+1）2＝m+n，请求出满足条件的x的值．
【分析】（1）直接利用估算无理数的大小的方法分别得出答案；
（2）直接利用（1）中所求即可得出m，n的值，进而得出x的值．
【解析】（1）∵，∴45，∴的整数部分是：4，小数部分是：4；
故答案为：4，4；
（2）∵5小数部分是m，6小数部分是n，∴m＝5，n＝6104，
∴m+n＝1，∴（x+1）2＝1，解得：x＝0或﹣2．
【小结】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．
阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：
（1）若的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b的值．
（2）已知：10x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．
【分析】（1）先估算出的范围，求出a、b的值，再代入求出即可；
（2）先估算出的范围，再求出x、y的值，再代入要求的式子进行计算即可．
【解析】（1）∵34，∴a＝3，b3，
∴a2+b3236；
（2）∵12，
又∵10x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝11，y1，∴x﹣y＝11﹣（1）＝12．
【小结】本题考查了估算无理数的大小，能估算出，的范围是解此题的关键．
实数与数轴的对应关系
如图，在数轴上，AB＝AC，A，B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C对应的实数是（　　）
A．2
B．22
C．1
D．21
【分析】求出AB的距离，再求出点C所表示的数．
【解析】AB（﹣1）1，
∵AB＝AC，A所表示的实数为，点C在点A的右侧，
∴点C所表示的数为：（1）＝21，故选：D．
【小结】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义是解决问题的前提，
如图，3，在数轴上的对应点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（　　）
A．
B．3
C．3
D．6
【分析】设点A表示的数是x，再根据中点坐标公式即可得出x的值．
【解析】设点A表示的数是x，
∵数轴上表示3、的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，
∴，解得x＝6．故选：D．
【小结】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上的点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．
在数轴上，点A表示实数3，以点A为圆心，2的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的实数是（　　）
A．5
B．1
C．1或5
D．1或5
【分析】在数轴上利用左减右加的规律计算点C表示的实数．
【解析】根据题意得：3+25，3﹣（2）＝1，
则点C表示的实数是5或1，故选：D．
【小结】此题考查了实数与数轴，熟练掌握左减右加的规律是解本题的关键．
如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值．
（2）求|m﹣1|+m+6的值．
【分析】（1）根据正负数的意义计算；
（2）根据绝对值的意义和实数的混合运算法则计算．
【解析】（1）由题意A点和B点的距离为2，A点的坐标为，因此B点坐标m＝2．
（2）把m的值代入得：|m﹣1|+m+6
＝|21|+26，
＝|1|+8，
1+8，
＝7．
【小结】本题考查了数轴、绝对值和实数的混合运算，熟练掌握数轴的意义和实数的运算法则是解题的关键．
实数大小比较
比较下列实数的大小（填上＞、＜或＝）．
①π　　3.14159；②　　4；③　　．
【分析】根据实数大小比较的法则进行比较即可．
【解析】①π＞3.14159；
②∵4
∴4；
③（）2，（）2，
∵，
∴．
故答案为：＞；＜；＞．
【小结】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
5，2，2的大小关系是（　　）
A．225
B．522
C．252
D．522
【分析】先根据，利用不等式的性质可以判断第2个和第3个数的大小，最后由作差法可得第一个数和第3个数的大小．
【解析】∵5＜8，
∴，
∴，
∴22，
∵（5）﹣（2）＝3﹣20，
∴52；
故选：D．
【小结】本题考查了实数大小的比较，先观察每个数的特点，常利用作差法，不等式的性质，作商法，数轴法等比较两个数的大小．
已知0＜x＜1，则、、x2、x的大小关系是（　　）
A．x2＜x
B．x＜x2
C．x2＜x
D．x2＜x
【分析】根据0＜x＜1，可得：0＜x2＜x1，1，据此判断即可．
【解析】∵0＜x＜1，
∴0＜x2＜x1，1，
∴x2＜x．
故选：C．
【小结】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
已知min{，x2，x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当x＝9，min{，x2，x}＝min{，92，9}＝3﹒当min{，x2，x}时，则x的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】本题分别计算，x2，x的x值，找到满足条件的x值即可．
首先从x的值代入来求，由x≥0，则x＝01，2，3，4，5，则可知最小值是0，最大值是6．
【解析】当时，x，x，不合题意；当x2时，x＝±，当x时，x＜x2，不合题意；当x时，，x2＜x，符合题意；当x时，x2，x2＜x，不合题意，
故选：C．
【小结】本题主要考查实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用．
实数的混合运算
在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
计算﹣12﹣（﹣2）3||+|1|
【分析】直接利用立方根以及对值的性质分别化简得出答案．
【解析】原式＝﹣1+831
＝﹣1+1﹣112．
【小结】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
计算：
【分析】直接利用立方根的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解析】原式＝3×（2）（2）
＝4﹣22
＝2．
【小结】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
计算：（﹣1）2020+（﹣2）3（）．
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解析】（﹣1）2020+（﹣2）3（）
＝1+（﹣8）（﹣3）×（）
＝1﹣1﹣1
＝﹣1．
【小结】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
计算：
【分析】直接利用立方根以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解析】原式＝﹣22+4
．
【小结】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
实数中的定义新运算
对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“?”如下：a?b，如：3?2，那么12?4＝　　．
【分析】先依据定义列出算式，然后再进行计算即可．
【解析】12?4．
故答案为：．
【小结】本题主要考查的是算术平方根的性质，根据定义运算列出算式是解题的关键．
对于能使式子有意义的有理数a，b，定义新运算：a△b．如果|x+1||xz+2|＝0，则x△（y△z）＝　　．
【分析】先根据绝对值、二次根式的非负性，求出x、y、z的值，再根据新运算的规定计算x△（y△z）的值．
【解析】∵|x+1|≥0，0，|xz+2|≥0，
又∵|x+1||xz+2|＝0，
∴|x+1|＝0，0，|xz+2|＝0．
∴x+1＝0，y﹣3＝0，xz+2＝0．
∴x＝﹣1，y＝3，z＝2．
∵y△z
．
x△（y△z）＝﹣1△（）
．
故答案为：．
【小结】本题考查了绝对值、二次根式的非负性及实数的混合运算，理解并运用新定义运算的规定是解决本题的关键．
对任意两个实数a，b定义两种运算：a?b，a?b，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2）?3＝3，（﹣2）?3＝﹣2，（（﹣2）?3）?2＝2．那么（?2）?等于（　　）
A．3
B．3
C．
D．6
【分析】直接利用已知运算公式进而分析得出答案．
【解析】（?2）?
?
?3
．
故选：C．
【小结】此题主要考查了实数运算，正确运用公式是解题关键．
对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b，则★（★）＝（　　）
A．1
B．2
C．﹣1
D．﹣2
【分析】先依据法则知★，据此得出原式★，再次利用法则计算可得．
【解析】∵，
∴★，
则原式★
＝2，
故选：B．
【小结】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序和运算法则及对新定义的理解．
实数的性质综合
如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为　　．
【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；
（2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解；
（3）用点A表示的数减去边长即可得解．
【解析】（1）设魔方的棱长为x，
则x3＝8，解得：x＝2；
（2）∵棱长为2，
∴每个小立方体的边长都是1，
∴正方形ABCD的边长为：，
∴S正方形ABCD2；
（3）∵正方形ABCD的边长为，点A与﹣1重合，
∴点D在数轴上表示的数为：﹣1，
故答案为：﹣1．
【小结】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长．
如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．
（1）直接写出图（1）中正方形ABCD的面积及边长；
（2）在图（2）的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并把图（2）中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数．
【分析】（1）根据面积求出正方形的边长，再根据边长的长和面积公式即可求出答案；
（2）根据勾股定理和正方形的面积公式即可画出图形，利用圆规，以O为圆心，正方形的边长为半径画弧可得实数的位置．
【解析】（1）正方形的边长是：，
面积为：5．
（2）见图：在数轴上表示实数，
【小结】本题考查了三角形的面积，实数与数轴，用到的知识点是勾股定理，以及勾股定理的应用，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为64cm3．
（1）这个魔方的棱长为　
　cm；
（2）图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求这个正方形的边长；
（3）把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为　　．
【分析】（1）魔方是个正方体，正方体的体积等于棱长的三次方；
（2）这个正方形ABCD的边长是小立方体一个面的对角线的长度；
（3）点D表示的数是负数，它的绝对值比正方形ABCD的边长少1．
【解析】（1）设魔方的棱长为acm，根据题意得
a3＝64
∴a＝4故答案为4．
（2）设小正方体的棱长为bcm，根据题意得
8b3＝64
∴b＝2
∴所以根据勾股定理得
CD2＝22+22
∴CD＝
答：这个正方形的边长是cm．
（3）由（2）知，AD＝
∴点D对应的数的绝对值是-1，
∵点D对应的数是负数
∴点D对应的数是1﹣
故答案为1﹣．
【小结】本题考查了正方体的体积、实数与数轴之间的关系和勾股定理．正方体的体积＝棱长的立方．实数与数轴上的点是一一对应的关系，要在数轴上表示一个实数，要知道这个实数的正负性和绝对值．
如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的边长为　　．
（2）如图2，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是　　．
（3）如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，求新的正方形的面积和边长．
【分析】（1）设拼成的正方形的边长为a，根据总面积列方程可解答；
（2）结合（1），并根据圆中半径相等，结合数轴上点的特点可解答；
（3）根据图形求出阴影部分的面积，即为新正方形的面积，开方即可求出边长．
【解析】（1）设拼成的正方形的边长为a，
则a2＝5，
a，
即拼成的正方形的边长为，
故答案为：；
（2）由（1）得点A表示的数为1，
故答案为：1；
（3）根据图形得：S阴影＝2×2×22×24+2＝6，即新的正方形的面积为6，新正方形的边长为．
【小结】此题考查了实数、数轴、几何图形及算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．表示相反意义的量
解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解.
如图，是图纸上一个零件的标注，φ30±表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际产品的直径最大可以是30.03mm，最小可以是（　　）
A．30mm
B．30.03mm
C．30.02mm
D．29.98mm
【分析】根据标注可知，零件直径标准30mm，最大多0.03mm，最小少0.02mm，则最小为30﹣0.02＝29.98mm．
【解析】由零件标注φ30±可知，零件的直径范围最大30+0.03mm，最小30﹣0.02mm，
∴30﹣0.02＝29.98（mm）；选D．
【小结】本题考查正数与负数；理解题意，找准零件直径的变化范围是解题的关键．
某公交车上原有10个人，经过三个站点时乘客上下车情况如下（上车为正，下车为负）：（+2，﹣3），（+8，﹣5），（+1，﹣6），则此时车上的人数为（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
【分析】根据有理数的加法，原有人数，上车为正，下车为负，可得答案．
【解析】10+2﹣3+8﹣5+1﹣6＝10+2+8+1﹣3﹣5﹣6＝7，选C．
【小结】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算是解题关键．
纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京时间1月7日8时时，纽约的时间是（　　）
A．1月6日21时
B．1月7日21时
C．1月6日19时
D．1月6日20时
【分析】纽约与北京的时差为﹣13小时，表示纽约的时间比北京时间晚13个小时，比得北京时间1月7日8时晚13个小时的时间为1月6日19时，从而得出答案．
【解析】24﹣[8+（﹣13）]＝19，选C．
【小结】考查有理数的意义，具有相反意义的量一个用正数表示，则与之相反的量就用负数表示，理解有理数的意义是解决问题的关键．
实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用A﹣C表示观测点A相对观测点C的高度）
A﹣C
C﹣D
E﹣D
F﹣E
G﹣F
B﹣G
90米
80米
﹣60米
50米
﹣70米
40米
根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是（　　）米．
A．210
B．170
C．130
D．50
【分析】观察表中数据，个别式子取其相反数，依次相加，可得答案．
【解析】由表中数据可知：
A﹣C＝90①
C﹣D＝80②
D﹣E＝60③
E﹣F＝﹣50④
F﹣G＝70⑤
G﹣B＝﹣40⑥
①+②+③+④+⑤+⑥得：
（A﹣C）+（C﹣D）+（D﹣E）+（E﹣F）+（F﹣G）+（G﹣B）＝A﹣B＝90+80+60﹣50+70﹣40＝210
∴观测点A相对观测点B的高度是210米．选A．
【小结】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用，根据题意正确列式，是解题的关键．
有理数相关概念
解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念，如①整数和分数统称为有理数；②正有理数、0和负有理数亦可称为有理数；③只有符号不同的两个数叫做互为相反数；④在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；⑤数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；⑥一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
下列说法中，不正确的是（　　）
①符号不同两个数互为相反数
②所有有理数都能用数轴上的点表示
③绝对值等于它本身的数是正数
④两数相加和一定大于任何一个加数
⑤有理数可分为正数和负数
A．①②③⑤
B．③④
C．①③④⑤
D．①④⑤
【分析】根据有理数的加法、相反数、绝对值判断即可．
【解析】①只有符号不同的两个数互为相反数，错误；②所有有理数都能用数轴上的点表示，正确；
③绝对值等于它本身的数是非负数，错误；④两数相加和不一定大于任何一个加数，错误
⑤有理数可分为正数、0和负数，错误；选C．
【小结】此题考查有理数的加法，关键是根据有理数的加法、相反数、绝对值解答．
下列说法正确的个数为（　　）
（1）0是绝对值最小的有理数；
（2）﹣1乘以任何数仍得这个数；
（3）0除以任何数都等于0；
（4）数轴上原点两侧的数互为相反数；
（5）一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数；
（6）一对相反数的平方也互为相反数
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【分析】利用乘方的意义，乘法法则，倒数的性质计算，判断即可．
【解析】（1）0是绝对值最小的有理数，这个说法正确；
（2）﹣1乘以任何数仍得这个数，这个说法错误，例如﹣1乘以3得到﹣3；
（3）0除以任何数都等于0，这个说法错误，例如0除以0没有意义；
（4）数轴上原点两侧数互为相反数，说法错误，如﹣1和6是数轴上原点两侧的数，但不是互为相反数
（5）一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数，这个说法错误，例如﹣1的平方是正数，但是﹣1的立方也是﹣1，是负数；
（6）一对相反数的平方也互为相反数，说法错误，例如﹣2和2互为相反数，它们平方就不互为相反数．
则说法正确的个数为1个．选B．
【小结】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
下列说法正确的是（　　）
①任何一个有理数的平方都是正数
②任何一个有理数的绝对值都是非负数
③如果一个有理数的倒数等于它本身，那么这个数是1
④如果一个有理数的相反数等于它本身，那么这个数是0．
A．①④
B．②③
C．③④
D．②④
【分析】根据有理数的定义和特点，绝对值、相反数的定义及性质，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解析】①任何一个有理数的平方都不是负数，错误；
②任何一个有理数的绝对值都是非负数，正确；
③如果一个有理数的倒数等于它本身，那么这个数是1或﹣1，错误
④如果一个有理数的相反数等于它本身，那么这个数是0，正确；选D．
【小结】此题考查有理数问题，牢固掌握正数、负数、自然数、整数、倒数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
下列说法中正确的有（　　）
①若两数的差是正数，则这两个数都是正数；
②任何数的绝对值一定是正数；
③零减去任何一个有理数，其差是该数的相反数；
④在数轴上与原点距离越远的点表示的数越大．
⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，任何数都有倒数．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【分析】利用数轴、相反数、绝对值及有理数的减法的有关性质进行判断即可得到答案．
【解析】①若两数的差是正数，则这两个数不一定都是正数，如1﹣（﹣2），故错误；
②0的绝对值是0，故错误；
③零减去任何一个有理数，其差是该数的相反数，故正确；
④在数轴上与原点距离越远的点表示的数越大，如﹣1和﹣6，故错误．
⑤0没有倒数，故错误．选B．
【小结】本题考查了数轴、相反数、绝对值及有理数的减法有关知识，属于基础题，但比较容易出错．
数轴上点的表示
解决此类问题关键是掌握数轴上点的表示方法，明确数轴的特点能根据题目中的信息，判断各个数在数轴上对应哪一个点．
数轴上一动点A向左移动3个单位长度到达点B，再向右移动6个单位长度到达点C，若C表示的数为3，则点A表示的数为（　　）
A．6
B．0
C．﹣6
D．﹣2
【分析】根据数轴上的点左移减，右移加，可得答案．
【解析】3﹣6+3＝0，选B．
【小结】本题考查了数轴，注意C点左移6个单位再右移3个单位，得A点．
如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“5.8cm”对应数轴上的数为（　　）
A．5.8
B．﹣2.8
C．﹣2.2
D．﹣1.8
【分析】根据数轴上点的表示方法，直接判断即可．
【解析】刻度尺上5.8cm对应数轴上的点距离数轴上原点（刻度尺上表示3的点）的距离为2.8，
且该点在原点的左侧，故刻度尺上“5.8cm”对应数轴上的数为﹣2.8．选B．
【小结】本题主要考查数轴，解决此题的关键是掌握数轴上点的表示方法是关键．
若数轴上A，B两点之间的距离为8个单位长度，点A表示的有理数是﹣10，并且A，B两点经折叠后重合，此时折线与数轴的交点表示的有理数是（　　）
A．﹣6
B．﹣9
C．﹣6或﹣14
D．﹣1或﹣9
【分析】分点B在点A的左侧和点B在点A的右侧两种情况找出点B表示的有理数，结合折线与数轴的交点表示的有理数为点A，B表示的有理数的平均数，即可求出结论．
【解析】当点B在点A的左侧时，点B表示的有理数是﹣10﹣8＝﹣18，
∴折线与数轴的交点表示的有理数是14；
当点B在点A的右侧时，点B表示的有理数是﹣10+8＝﹣2，
∴折线与数轴的交点表示的有理数是6．选C．
【小结】本题考查了数轴以及有理数，分B在点A的左侧和点B在点A的右侧两种情况，找出点B表示的有理数是解题的关键．
如图，半径为1的圆从表示3的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示3的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是（　　）
A．﹣2π
B．3﹣2π
C．﹣3﹣2π
D．﹣3+2π
【分析】线段AB＝2πr＝2π，点A到原点的距离为3，则点B到原点的距离为2π﹣3，点B在原点的左侧，因此点B所表示的数为﹣（2π﹣3）＝3﹣2π，于是得出答案．
【解析】由题意得：AB＝2πr＝2π，点A到原点的距离为3，则点B到原点的距离为2π﹣3，
∵点B在原点的左侧，∴点B所表示的数为﹣（2π﹣3）＝3﹣2π，选B．
【小结】考查实数的意义，数轴等知识，理解符号和绝对值是确定一个数在数轴上位置的两个必要条件．
数轴中的规律应用
一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2019次落下时，落点表示的数是（　　）
A．2019
B．2020
C．﹣2020
D．1010
【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可．
【解析】设向右跳动为正，向左跳动为负，
由题意可得（+2）+（﹣4）+（+6）+（﹣8）+…+（4034﹣4036）+4038
═（2﹣4）+（6﹣8）+（10﹣12）+…+（24034﹣4036）+4038
＝﹣2018+4038
＝2020，
选B．
【小结】此题考查了数轴，数字变化规律．此题比较简单，注意正负数的表示方法是解题的关键．
等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2019次后，则数2019对应的点为（　　）
A．点A
B．点B
C．点C
D．这题我真的不会
【分析】根据随着翻转点变化，可找出点变化周期为3，结合2019为3整数倍可得出数2019对应的点为A．
【解析】∵翻转1次后，数1对应的点为B，翻转2次后，数2对应的点为C，翻转3次后，数3对应的点为A，翻转4次后，数4对应的点为B，…，∴点的变化周期为3．
又∵2019÷3＝673，∴连续翻转2019次后，则数2019对应的点为A．选A．
【小结】本题考查了数轴以及变化类：数的变化，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键．
一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动．设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，xn表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①x3＝3；②x5＝1；③x108＜x104；④x2018＞x2019．其中，正确的结论的序号是（　　）
A．①③
B．②③
C．①②③
D．①②④
【分析】本题应先解出机器人每5秒完成一个循环，解出对应的数值，再根据规律推导出答案．
【解析】①依题意得：机器人每5秒完成一个前进和后退，即前5个对应的数是1，2，3，2，1；6～10是2，3，4，3，2．根据此规律即可推导判断①和②，显然正确；
③中，108＝5×21+3，故x108＝21+1+1+1＝24，104＝5×20+4，故x104＝20+3﹣1＝22，24＞22，③错误；
④中，2018÷5＝403…3，故x2018＝403+3＝406，2019÷5＝÷5＝403…4，故x2019＝403+2＝405，④正确．
所以正确的结论的序号为：①②④．选D．
【小结】本题考查了数轴的应用，关键是能根据题意得出循环规律，有一定的难度．
一只小球落在数轴上的某点P0，第一次从P0向左跳1个单位到P1，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3，第四次从P3向右跳4个单位到P4……若按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点P100所表示的数恰好是2019，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是（　　）
A．1969
B．1968
C．﹣1969
D．﹣1968
【分析】根据移动的规律，列方程求解即可．
【解析】设P0所表示的数是a，则a﹣1+2﹣3+4﹣…﹣99+100＝2019，
即：a+（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣99+100）＝2019．a+50＝2019，解得：a＝1969．
点P0表示的数是1969．选A．
【小结】考查数轴表示数的意义，利用移动规律列出方程是解决问题的关键．
利用数轴判断符号
解决此类问题需由数轴得知字母所表示的数的正负性，再根据有理数加、减、乘、除、乘方、绝对值的意义以及数轴上右边点的数总比左边的数大判断即可.
如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为a，b，c，则下列结论中，正确的有（　　）①a+b+c＞0
②a?b?c＞0
③a+b﹣c＜0
④
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】先由数轴得出a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，再根据有理数的加法法则、有理数的乘除法法则等分别分析，可得答案．
【解析】由数轴可得：a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，∴a+b+c＜0，故①错误；
∵a，b，c中两负一正，∴a?b?c＞0，故②正确；
∵a＜0，b＜0，c＞0，∴a+b﹣c＜0，故③正确；
∵a＜﹣2＜b＜﹣1，∴01，故④正确．
综上，可知，正确的有3个．选C．
【小结】本题考查了数轴在有理数加减乘除法运算中的应用，数形结合，是解题的关键．
如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，则下列结论：①ab＞0；②a﹣b＞0；③a+b＞0；④|a|﹣|b|＞0中正确的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据数轴可知a＜﹣1，0＜b＜1，从而可以判断题目中的结论哪些是正确的，哪些是错误的，从而解答本题．
【解析】∵由数轴可知，a＜﹣1，0＜b＜1，∴ab＜0，a﹣b＜0，a+b＜0，|a|﹣|b|＞0，
故①②③错误，④正确．选A．
【小结】本题考查数轴，解题的关键是根据数轴可以明确a、b的符号和与原点的距离．
在数轴上表示有理数a，b，c，d如图所示，则正确的结论是（　　）
A．a+b＞c+d
B．ab＜cd
C．（a+3）（b+1）＞0
D．（a﹣d）（c﹣b）＞0
【分析】由数值上的各个点所表示的数，可以得出a、b、c、d的符号和取值范围，进而逐个分析判断各个选项的正确与否．
【解析】由数轴上表示有理数a，b，c，d可得，﹣4＜a＜﹣3，﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，1＜d＜2，
∴a+b＜0，c+d＞0，因此A选项不正确，
ab＞cd因此选项B不正确，
（a+3）＜0，（b+1）＜0，∴（a+3）（b+1）＞0，因此C选项正确，
∵（a﹣d）＜0，（c﹣b）＞0，∴（a﹣d）（c﹣b）＜0，因此D选项不正确，选C．
【小结】考查数轴表示数意义，理解数符号和绝对值是正确判断的前提，掌握有理数的加减法法则是关键．
观察图中的数轴，用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数，则ab，b﹣a，c的大小关系是（　　）
A．ab＜b﹣a＜c
B．b﹣a＜c＜ab
C．b﹣a＜ab＜c
D．ab＜c＜b﹣a
【分析】根据各点在数轴上的位置判断出a、b、c的符号及大小，再对各选项进行逐一判断即可．
【解析】由数轴上a、b、c的位置可知﹣1＜a＜b＜0＜1＜c，且a，b，
所以ab，b﹣a＝（）﹣（），所以ab＜b﹣a＜c选A．
【小结】此题主要考查了利用数轴比较实数的大小，解答此题的关键是熟知：数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大．
有理数大小比较
有理数大小比较注意两点：（1）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；（2）在数轴上右边点表示的数总比左边点表示的数大.
下列比较有理数的大小，正确的是（　　）
A．﹣105＞0
B．﹣0.0001
C．
D．
【分析】根据有理数比较大小的法则负数都小于零；两个负数相比较，绝对值大的反而小可得答案．
【解析】A．∵负数都小于零，∴﹣105＜0，故本选项不合题意；
B．∵|﹣0.0001|，∴﹣0.0001，故本选项不合题意；
C．∵，∴，故本选项不合题意；
D．∵，∴，故本选项符合题意．选D．
【小结】本题考查了有理数的大小比较：正数大于零，负数小于零；负数的绝对值越大，这个数反而越小．
已知a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则下列关系正确的是（　　）
A．b＜﹣a＜a＜﹣b
B．﹣a＜b＜a＜﹣b
C．﹣a＜b＜﹣b＜a
D．b＜a＜﹣b＜﹣a
【分析】根据：a＞0，b＜0，|a|＜|b|，可得：﹣a＜0，﹣b＞0，﹣a＜b，据此判断出a、﹣a、b、﹣b的大小关系即可．
【解析】∵a＞0，b＜0，|a|＜|b|，∴﹣a＜0，﹣b＞0，﹣a＜b，∴b＜﹣a＜a＜﹣b．选A．
【小结】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
若0＜m＜1，m、m2、的大小关系是（　　）
A．m＜m2
B．m2＜m
C．m＜m2
D．m2＜m
【分析】利用特殊值法进行判断．
【解析】当m时，m2，2，所以m2＜m．选B．
【小结】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．
有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a、b、﹣a、﹣b、0按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　）
A．﹣a＜a＜0＜﹣b＜b
B．a＜﹣a＜0＜﹣b＜b
C．﹣b＜a＜0＜﹣a＜b
D．a＜0＜﹣a＜b＜﹣b
【分析】根据正数大于负数和0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，即可解答．
【解析】根据数轴可得：a＜0＜b，|a|＜|b|，则﹣b＜a＜0＜﹣a＜b．选C．
【小结】解决本题的关键是熟记正数大于负数和0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．
科学记数法
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
随着环境污染整治的逐步推进，某经济开发区的40家化工企业已关停、整改38家，每年排放的污水减少了167000吨．将167000用科学记数法表示为（　　）
A．167×103
B．16.7×104
C．1.67×105
D．0.167×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】167000＝1.67×105，选C．
【小结】科学记数法表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，要正确确定a值以及n的值
从河南省工商联获悉，自新型冠状病毒引发的肺炎疫情出现以来，截止2月13日下午6点，全省民营企业、商会及企业家个人累计7412家（人），共向武汉等疫情严重地区及我省定点防治新冠肺炎的医院、政府部门、执勤卡点等捐赠物款约10.1亿元．10.1亿用科学记数法表示应为（　　）
A．101×107
B．10.1×108
C．1.01×109
D．1.01×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于10.1亿＝1010000000有10位，所以可以确定n＝10﹣1＝9．
【解析】10.1亿＝1010000000＝1.01×109．选C．
【小结】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
今年9月世界计算机大会在湖南省长沙市开幕，大会的主题是“计算万物，湘约未来”．从心算、珠算的古老智慧到“银河”“天河”“神威”创造的中国速度，“中国计算”为世界瞩目．超级计算机“天河一号”的性能是4700万亿次，换算成人工做四则运算，相当于60亿人算一年，它1秒就可以完成．数4700万亿用科学记数法表示为（　　）
A．4.7×107
B．4.7×1011
C．4.7×1014
D．4.7×1015
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】4700万亿＝4700
0000
0000
0000＝4.7×1015，选D．
【小结】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
光速约为3×108米/秒，太阳光射到地球上时间约为5×102秒，地球与太阳的距离约是（　　）米．
A．15×1010
B．1.5×1011
C．15×1016
D．1.5×1017
【分析】先计算地球与太阳的距离，再根据科学记数法的形式选择即可．
【解析】3×108×5×102＝1.5×1011，选B．
【小结】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的形式a×10n是解题的关键．
近似数
近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字说法．
下列说法正确的是（　　）
A．0.750精确到百分位
B．3.079×104精确到千分位
C．38万精确到个位
D．2.80×105精确到千位
【分析】根据近似数的精确度分别进行判断，即可得出答案．
【解析】A、0.750精确到千分位，故本选项错误；B、3.079×104精确到十位，故选项错误；
C、38万精确到万位，故本选项错误；D、2.80×105精确到千位，故本选项正确；选D．
【小结】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．
台风“杜鹃”给某省造成的经济损失达16.9亿元，近似数16.9亿精确到（　　）
A．十分位
B．千万位
C．亿位
D．十亿位
【分析】根据近似数的精确度可判断近似数16.9亿精确到0.1亿位．
【解析】近似数16.9亿精确到千万位．选B．
【小结】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
近似数3.20×105的精确度说法正确的是（　　）
A．精确到百分位
B．精确到十分位
C．精确到千位
D．精确到万位
【分析】近似数3.20×105中3表示三十万，应是万位，3.20最后一位应是千位，因而这个数精确到千位数．
【解析】近似数3.20×105精确到千位，选C．
【小结】本题主要考查近似数和有效数字，对于用科学记表示的数，有效数字的计算方法，与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．
已知a＝3.50是由四舍五入得到的近似数，则a的可能取值范围是（　　）
A．3.45≤a＜3.55
B．3.495≤a＜3.505
C．3.495≤a≤3.505
D．3.495＜a＜3.505
【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断．
【解析】a的可能取值范围为3.495≤a＜3.505．选B．
【小结】本题考查了近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
绝对值及偶次乘方的非负性
直接利用绝对值及偶次乘方的非负数的性质分别得出字母的值，进而得出答案．
已知（x﹣3）2+|2x﹣3y﹣3|＝0，则y＝　
　．
【分析】根据非负数的性质列出二元一次方程组，求解得到x、y的值，再代入代数式进行计算即可得解．
【解析】根据题意得，，由①得，x＝3，
把x＝3代入②得，6﹣3y﹣3＝0，解得y＝1．故答案为：1．
【小结】本题考查了解二元一次方程组，利用非负数的性质．解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法，能够正确利用非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0求出x、y的值．
已知|x﹣y+3|与（x﹣2）2互为相反数，则　
　．
【分析】根据绝对值非负数，偶次方非负数的性质列出二元一次方程组，然后再利用加减消元法求出y的值，再代入其中一方程求出x的值，进一步计算即可．
【解析】∵|x﹣y+3|与（x﹣2）2互为相反数，∴|x﹣y+3|+（x﹣2）2＝0，
∴，解得：x＝2，y＝5，4．故答案为：﹣4．
【小结】本题考查了绝对值、偶次方的非负性，相反数和解二元一次方程组等知识点，能得出关于x、y的方程组是解此题的关键．
若（a+b）2+|b+47|＝b+47，且8a﹣11b+1＝0，则ab＝　
　．
【分析】根据有理数的乘方和绝对值解答即可，先根据非负数的性质求出a、b的值，进而可求出ab的值．
【解析】∵（a+b）2≥0，|b+47|≥0，
∴（a+b）2+|b+47|＝b+470，∴b≥﹣47，
∴（a+b）2+b+47b+47，∴（a+b）2＝0，∴a＝﹣b，
代入8a﹣11b+1＝0，得﹣8b﹣11b+1＝0，∴﹣19b＝﹣1，∴b，∴a，
∴ab．
【小结】本题考查的是有理数的乘方和绝对值，以及非负数的性质，解题的关键是明确任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
当2020+（﹣2a+1）2有最小值时，4040a﹣1＝　
　．
【分析】根据题意得到（﹣2a+1）2＝0，求得a的值，代入代数式即可得到结论．
【解析】∵2020+（﹣2a+1）2有最小值，∴（﹣2a+1）2＝0，∴a，
∴4040a﹣1＝140401＝2019，故答案为：2019．
【小结】本题考查了非负数的性质，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．
乘方的意义
把（）×（）×（）×（）×（）写成幂的形式（不用计算）为　
　
【分析】求n个相同因数积的运算，叫做乘方，据此把（）×（）×（）×（）×（）写成幂的形式即可．
【解析】把（）×（）×（）×（）×（）写成幂的形式（不用计算）为（）5．
【小结】此题主要考查了有理数的乘方的运算方法，以及有理数的乘法的运算方法，要熟练掌握．
计算（﹣3）2018?（﹣1）2019的结果为　
　．
【分析】原式变形后，逆用积的乘方运算法则计算即可求出值．
【解析】原式＝（﹣3）2018?（﹣1）2018?（﹣1）＝[（﹣3）×（﹣1）]2018×（﹣1）＝﹣32018，
【小结】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
计算（﹣2）100的结果是　
　．
【解析】原式（﹣2）＝（﹣1）99×（﹣2）＝﹣1×（﹣2）＝2．
【小结】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟记有理数的乘方．
22018×42019×（﹣0.125）2017＝　
　．
【分析】将各幂指数统一为2017，逆用积的乘方公式可简便计算．
【解析】22018×42019×（﹣0.125）2017＝2×22017×42×42017×（﹣0.125）2017
＝
32×[2×4×（﹣0.125）]2017＝32×（﹣1）＝﹣32
【小结】本题考查有理数的乘方，熟练运用同底数幂的乘法公式和积的乘方公式是解答关键．
乘方中的规律应用
解决找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅将一根很粗的面条，捏合一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多细的面条，如图所示：这样，第4次捏合后可拉出　
　根细面条；第　
　次捏合后可拉出256根细面条．
【分析】根据题意归纳得到第n次捏合后可拉出2n根细面条，即可得到结果．
【解析】根据题意得：第n次捏合后可拉出2n根细面条，
则第4次捏合后可拉出24＝16根细面条；第8次捏合后可拉出256根细面条．
【小结】此题考查了有理数的乘方，弄清题中的规律是解本题的关键．
某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，4小时后分裂成18个并死去1个．按此规律，10小时后细胞存活的个数是　
　．
【分析】根据题意，n小时后细胞存活的个数是2n+1．求出n＝10时的值即可．
【答案】根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1；
2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1；
3小时后分裂成10个并死去1个，剩9个，9＝23+1；
4小时后分裂成18个并死去1个，剩17个，17＝24+1；
……
n小时后细胞存活的个数是2n+1．
由此可得10小时后细胞存活的个数是210+1＝1025．
【小结】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．本题的解题关键是能够从已知数据中发现规律，从而进一步计算．
观察下列各式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，
37＝2187…你从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：32012的个位数字是　
　．
【分析】观察不难发现，每4个数为一个循环组依次进行循环，用2012除以4，余数是几则与第几个的个位数相同．
【解析】31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，
∵2012÷4＝503，∴32012的个位数字与第4个数的个数数相同，是1．
【小结】本题考查了有理数的乘方，观察得到每4个数为一个循环组依次进行循环是解题的关键．
将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虛线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第6次对折后得到的折痕比第5次对折后得到的折痕多　
　条．
【分析】由题意得出对折n+1次比对折n次折痕多2n条，据此可得．
【解析】∵对折2次比对折1次折痕多3﹣1＝2条，
对折3次比对折2次折痕多7﹣3＝4＝22条，
对折4次比对折3次折痕多15﹣7＝8＝23条，
……
∴对折6次比对折5次折痕多25＝32条，
【小结】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是根据题意得出对折n+1次比对折n次折痕多2n条．
定义新运算
正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的有理数混合运算算式进行计算.
对于有理数a、b，定义一种新运算“※”如下：a※b，则（﹣3）※（）＝　
　．
【分析】根据a※b，可以求得所求式子的值．
【解析】∵a※b，∴（﹣3）※（）
，
【小结】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
在有理数的原有运算法则中，我们定义一个新运算“★”如下：x≤y时，x★y＝x2；x＞y时，x★y＝y．则（﹣2★﹣4）★1的值为　
　．
【分析】根据x≤y时，x★y＝x2；x＞y时，x★y＝y，可以求得所求式子的值，本题得以解决．
【解析】∵x≤y时，x★y＝x2；x＞y时，x★y＝y，
∴（﹣2★﹣4）★1＝﹣4★1＝（﹣4）2＝16，
【小结】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
定义新运算：若a@b＝n（n是常数），则（a+1）@b＝n+1，a@（b+1）＝n﹣2．若1@1＝2，则1@2＝　
　，2@2＝　
　，2020@2020＝　
　．
【分析】根据题目中的新定义，可以分别计算出题目中所求式子的值．
【解析】∵若a@b＝n（n是常数），则（a+1）@b＝n+1，a@（b+1）＝n﹣2，1@1＝2，
∴1@2＝1@（1+1）＝2﹣2＝0，
2@2＝（1+1）@2＝0+1＝1，
2@3＝﹣1，
3@3＝0，
3@4＝﹣2，
4@4＝﹣1，
∴2020@2020＝﹣2017，
【小结】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．当﹣1＜x≤0时，化简[x]+（x）+[x）的结果是　
　．
【分析】分三种情况讨论x的范围：①﹣1＜x＜﹣0.5，②﹣0.5＜x＜0，③x＝0即可得到答案．
【解析】①﹣1＜x＜﹣0.5时，[x]+（x）+[x）＝﹣1+0﹣1＝﹣2；
②﹣0.5＜x＜0时，[x]+（x）+[x）＝﹣1+0+0＝﹣1；
③x＝0时，[x]+（x）+[x）＝0+0+0＝0．
故[x]+（x）+[x）的结果是﹣2，﹣1，0．
【小结】本题考查了学生对[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数）的理解，难度适中，解此题的关键是分类讨论思想的应用．
利用有理数相关性质求值
解决此类问题需熟知两个互为相反数的数和为0，两个互为倒数的数乘积为1，值得注意的是已知一个数的绝对值为非0的数，那么这个数应该有两个，此时应注意分类讨论，结果往往有两个.
已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，求x3+cdx2的值．
【分析】根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，可以求得a+b，cd，x的值，然后即可.
【解析】∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，∴a+b＝0，cd＝1，x＝±2，
当x＝2时，x3+cdx2＝23+1×22＝8+1×4﹣0＝8+4﹣0＝12；
当x＝﹣2时，x3+cdx2＝（﹣2）3+1×（﹣2）2＝﹣8+1×4﹣0＝﹣8+4﹣0＝﹣4，
由上可得，x3+cdx2的值为12或﹣4．
【小结】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
若a与b互为相反数，c与d互为负倒数，|m|＝2，求代数式2cb+2m3的值．
【分析】根据a与b互为相反数，c与d互为负倒数，|m|＝2，可以求得a+b，cd和m的值
【解析】∵a与b互为相反数，c与d互为负倒数，|m|＝2，∴a+b＝0，cd＝﹣1，m＝±2，
∴当m＝2时，2cb+2m32×23＝0+2+2×8＝0+2+16＝18；
当m＝﹣2时，2cb+2m32×（﹣2）3＝0+2+2×（﹣8）＝0+2+（﹣16）＝﹣14．
【小结】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|m|＝2，求代数式2m﹣ab+3（c+d﹣1）的值．
【分析】由题意根据倒数和相反数以及绝对值的性质得出ab＝1，c+d＝0，m＝±2，再把它们值代入即可．
【解析】依题意有ab＝1，c+d＝0，m＝±2，
当ab＝1，c+d＝0，m＝﹣2时，2m﹣ab+3（c+d﹣1）＝﹣4﹣1+3×（0﹣1）＝﹣8；
当ab＝1，c+d＝0，m＝2时，2m﹣ab+3（c+d﹣1）＝4﹣1+3×（0﹣1）＝0．
故代数式2m﹣ab+3（c+d﹣1）的值是﹣8或0．
【小结】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值的方法，倒数和相反数以及绝对值的性质，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
若a、b互为相反数，b、c互为倒数，并且m的立方等于它本身．
（1）求ac值．
（2）若a＞1，且m＜0，S＝|2a﹣3b|﹣2|b﹣m|﹣|b|，求2a﹣S的值．
（3）若m≠0，试讨论：x为有理数时|x+m|﹣|x﹣m|是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先根据a、b互为相反数，b、c互为倒数，得出a+b＝0，bc＝1，再代入所求代数式计算即可；
（2）根据a＞1及m的立方等于它本身确定b、m，再化简S，最后求出2a﹣S的值；
（3）根据m≠0，确定m，把m值代入|x+m|﹣|x﹣m|，再根据绝对值性质去绝对值符号，求出代数式值即可
【解析】（1）∵a、b互为相反数，b、c互为倒数，∴a+b＝0，bc＝1，∴ac＝﹣1
∴ac1＝0﹣1＝﹣1；
（2）∵a＞1，∴b＜﹣1，2a﹣3b＞0，b0，∵m的立方等于它本身，且m＜0。∴m＝﹣1，b﹣m＝b+1＜0．∴S＝2a﹣3b+2b+2+b2a．∴2a﹣S＝2a﹣2a．
（3）存在最大值．若m≠0，此时m＝±1
①若m＝1，则|x+m|﹣|x﹣m|＝|x+1|﹣|x﹣1|
当x≤﹣1时，|x+1|﹣|x﹣1|＝﹣x﹣1+x﹣1＝﹣2；当﹣1＜x≤1时，|x+1|﹣|x﹣1|＝x+1+x﹣1＝2x
当x＞1时，|x+1|﹣|x﹣1|＝x+1﹣x+1＝2；∴当x为有理数时，存在最大值为2；
②若m＝﹣1，同理可得：当x为有理数时，存在最大值为2．
综上所述，当m＝±1，x为有理数时，|x+m|﹣|x﹣m|存在最大值为2．
【小结】考查绝对值性质、相反数及倒数定义、代数式求值，掌握有理数的相关知识是解决本题关键
有理数的计算
解决此类问题需熟练掌握有理数混合运算的先后顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里，值得注意有些题可能会运用运算律进行简便运算.
计算：
（1）﹣5﹣（﹣4）+（﹣3）﹣[﹣（﹣2）]
（2）2×（﹣5）+23﹣3
（3）（）÷（）
（4）﹣12﹣2×（﹣3）2﹣（﹣2）2+[3（）]4
【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加法可以解答本题；
（3）先把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律即可解答本题；
（4）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．
【解析】（1）﹣5﹣（﹣4）+（﹣3）﹣[﹣（﹣2）]＝﹣5+4+（﹣3）+（﹣2）＝﹣6；
（2）2×（﹣5）+23﹣3＝（﹣10）+8﹣3×2＝（﹣10）+8﹣6＝﹣8；
（3）＝（）×（﹣36）＝（﹣9）+20+12+（﹣21）＝2；
（4）＝﹣1﹣2×9﹣4+（）4＝﹣1﹣18﹣4+14＝﹣22．
【小结】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
计算
（1）
（2）﹣3
（3）﹣1﹣48
（4）
【分析】（1）原式利用减法法则变形，结合后相加减即可求出值；
（2）原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可求出值；
（3）原式利用乘法分配律计算即可求出值；
（4）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值．
【解析】（1）原式＝﹣6.5﹣3435＝﹣10+54；
（2）原式103﹣15＝﹣12；
（3）原式＝﹣19﹣8；
（4）原式＝﹣4﹣4﹣8＝﹣16．
【小结】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
计算题：
（1）
（2）
【分析】（1）原式下计算括号中的运算，再计算除法运算即可求出值；
（2）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
【解析】（1）原式＝（﹣814）÷（﹣2）＝（﹣81+9）÷（﹣2）＝（﹣72）÷（﹣2）＝36；
（2）原式＝﹣1﹣（）×3×（﹣2+27）﹣||＝﹣1﹣（）×3×25＝﹣1．
【小结】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
计算：
（1）6﹣（﹣14）+（﹣16）+18
（2）（）×（﹣8）÷（）
（3）﹣35717
（4）0.76.63.20.7
（5）﹣12019
【分析】（1）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题；
（2）根据有理数的乘除法可以解答本题；
（3）根据乘法分配律可以解答本题；
（4）先把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律可以解答本题；
（5）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．
【解析】（1）6﹣（﹣14）+（﹣16）+18＝6+14+（﹣16）+18＝22；
（2）（）×（﹣8）÷（）
＝﹣6；
（3）﹣35717＝﹣（357）＝﹣21＝﹣21；
（4）0.76.63.20.7
＝0.7×（）﹣6.63.2
＝0.7（6.6+3.2）＝1.4﹣9.8＝1.4﹣5.2＝﹣3.8；
（5）﹣12019
＝﹣1﹣{（﹣27）﹣[6﹣||×（）]}
＝﹣1﹣{（﹣27）﹣[6﹣||×（）]}
＝﹣1﹣[（﹣27）﹣（6+8）]＝﹣1+27+（6+4）＝﹣1+27+10＝36．
【小结】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
有理数中的实际应用
对于应用题理解题意是解决此类题型的关键.
某天早上，一辆交通巡逻车从A地出发，在东西向的马路上巡视，中午到达B地，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下．（单位：km）
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
+15
﹣8
+6
+12
﹣4
+5
﹣10
（1）巡逻车在巡逻过程中，第　
　次离A地最远．
（2）B地在A地哪个方向，与A地相距多少千米？
（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需7元，问这一天交通巡逻车所需汽油费多少元？
【分析】（1）根据有理数的加法运算，分别计算出每次距A地的距离，可得离A地最远距离；
（2）根据有理数的加法运算，可得正数或负数，根据向东记为正，向西记为负，可得答案；
（3）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据总价＝单价×数量即可求解．
【解析】（1）第一次距A地：15千米，
第二次距A地：15﹣8＝7千米，
第三次距A地：7+6＝13千米，
第四次距A地：13+12＝25千米，
第五次距A地：25﹣4＝21千米，
第六次距A地：21+5＝26千米，
第七次距A地：26﹣10＝16千米，
26＞25＞21＞16＞15＞13＞7，
答：巡逻车在巡逻过程中，第6次离A地最远；
（2）15﹣8+6+12﹣4+5﹣10＝16（千米），
答：B地在A地东方，与A地相距16千米；
（3）|+15|+|﹣8|+|+6|+|+12|+|﹣4|+|+5|+|﹣10|＝60（千米），
60×0.2＝12（升），
12×7＝84（元）．
答：这一天交通巡逻车所需汽油费84元．
【小结】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算是解题关键．
在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，﹣8，+9，﹣6，+14，﹣5，+13，﹣4．
（1）B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远时，距A地多少千米？
【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；
（2）先求出这一天航行的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量；
（3）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可．
【解析】（1）∵15﹣8+9﹣6+14﹣5+13﹣4＝28，
∴B地在A地的东边28千米；
（2）这一天走的总路程为：15+|﹣8|+9+|﹣6|+14+|﹣5|+13|+|﹣4|＝74千米，
应耗油74×0.6＝44.4（升），
故还需补充的油量为：44.4﹣30＝14.4（升），
答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充14.4升油；
（3）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：
15千米；15﹣8＝7千米；
7+9＝16千米；
16﹣6＝10千米；
10+14＝24千米；
24﹣5＝19千米；
19+13＝32千米；
32﹣4＝28千米．
∴冲锋舟离出发点A最远时，距A地32千米．
【小结】本题考查的是正数与负数的定义，解答此题的关键是熟知用正负数表示两种具有相反意义的量，注意所走总路程一定是绝对值的和．
汽油价格的毎一次调整影响着有车一族的汽车用油的费用．王旭驾驶的汽车毎一次都加92号汽油，他时刻关注92号汽油的价格变化.2018年12月20日92号汽油的价格为6.74元/升，下表是92号汽油价格在6.74元/升基础上连续七次调整的变化情况，其中在上一次价格的基础上涨价记为正数，降价记为负数，如表中的﹣0.12表示第四次调整是在第三次调整后的92号汽油价格基础上毎升降0.12元．
调整次数
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
价格变化
﹣0.30
+0.27
+0.27
﹣0.12
+0.18
﹣0.05
﹣0.10
（1）在这七次调整中，哪次调整后92号汽油的价格最高，每升多少元？哪次调整后92号汽油的价格最低，每升多少元？
（2）王旭一家在五一期间自驾游玩，他驾驶的汽车毎行驶100km耗油8升，如果在这次游玩中他驾驶的汽车一共行驶600km，92号汽油价格按第六次调整的价格计算，那么在这次游玩中王旭驾驶汽车的用油费用是多少元？
【分析】（1）求得这七次调整后92号汽油的价格，比较即可得到结论；
（2）根据单位油价乘以总用油量，可得答案．
【解析】（1）第一次价格：6.74﹣0.30＝6.44（元），
第二次价格：6.44+0.27＝6.71（元），
第三次价格：6.71+0.27＝6.98（元），
第四次价格：6.98﹣0.12＝6.86（元），
第五次价格：6.86+0.18＝7.04（元），
第六次价格：7.04﹣0.05＝6.99（元），
第七次价格：6.99﹣0.10＝6.89（元），
∵6.44＜6.71＜6.86＜6.89＜6.98＜6.99＜7.04，
∴第五次调整后92号汽油的价格最高，每升7.04元，第一次调整后92号汽油的价格最低，每升6.44元；
（2）600÷100×8＝48（升），
6.99×48＝335.52（元），
答：在这次游玩中王旭驾驶汽车的用油费用是335.52元．
【小结】本题考查了正数和负数，利用有理数的加法是解（1）的题关键．
某自行车厂一周内计划平均每天生产200辆自行车，由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减产量/辆
+5
﹣2
﹣4
+13
﹣10
+16
﹣9
（1）根据记录的数据可知，该厂星期五生产自行车　
　辆．
（2）根据上表记录的数据可知，该厂本周实际生产自行车　
　辆．
（3）该厂实行每日计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另外奖励15元，若完不成每天的计划量，则少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
（4）若该厂实行每周计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每辆另外奖励15元，若完不成每周的计划量，则少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到该厂星期五生产自行车的数量；
（2）根据题意和表格中的数据，可以得到该厂本周实际生产自行车的数量；
（3）根据题意和表格中的数据可以解答本题；
（4）根据题意和表格中的数据可以解答本题．
【解析】（1）∵超产记为正、减产记为负，
∴星期五生产自行车200﹣10＝190（辆），
故答案为：190；
（2）该厂本周实际生产自行车200×7+（+5）+（﹣2）+（﹣4）+（+13）+（﹣10）+（+16）+（﹣9）＝1409（辆），
故答案为：1409；
（3）200×7+（+5）+（﹣2）+（﹣4）+（+13）+（﹣10）+（+16）+（﹣9）＝1409（辆），
1409×60+（5+13+16）×15+（﹣2﹣4﹣10﹣9）×20＝84550（元），
答：该厂工人这一周的工资总额是84550
元；
（4）实行每周计件工资制的工资为1409×60+9×15＝84675（元），
答：该厂工人这一周的工资总额是84675元．
【小结】本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义．
有关数轴的探究题
如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，从图中可以看出，终点表示的数是﹣2，已知A，B是数轴上的点．请参照图并思考，完成下列填空：
（1）如果点A表示数3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是　
　，A，B两点间的距离是　
　．
（2）如果点B表示数2，将点B向左移动9个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点A表示的数是　
　，A，B两点间的距离是　
　．
（3）如果点A表示的数是﹣4，将点A向右移动168个单位长度；再向左移动2个单位长度，那么终点B表示的数是　
　，A，B两点间的距离是　
　．
（4）一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么请你猜想终点B表示的数是　
　，A，B两点间的距离是　
　．
【分析】根据题中点的移动特点，在数轴上求出相应点表示的数，再由数轴上两点间的距离求法求解即可．
【解析】（1）由题意可知，B点表示：3+7＝10，A、B间距离为10﹣3＝7；
故答案为10，7；
（2）由题意可知，A点表示：2﹣9+5＝﹣2，A、B间距离为2﹣（﹣2）＝4；
故答案为﹣2，4；
（3）由题意可知，B点表示：﹣4+168﹣2＝162，A、B间距离为162﹣（﹣4）＝166；
故答案为162，166；
（4）由题意可知，B点表示：m+n﹣p，A、B间距离为|m+n﹣p﹣m|＝|n﹣p|；
故答案为m+n﹣p，|n﹣p|．
【小结】本题考查数轴的性质；能够理解题意，根据移动情况求出相应的点表示的数，并能结合绝对值的性质求数轴上两点之间的距离是解题的关键．
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）探究：
①数轴上表示4和1的两点之间的距离是　
　；
②数轴上表示﹣1和﹣7的两点之间的距离是　
　；
③数轴上表示﹣2和5的两点之间的距离是　
　．
（2）归纳：
一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于　
　．
（3）应用：
①如果表示数a和3的两点之间的距离是9，则可记为：|a﹣3|＝9，那么a＝　
　．
②若数轴上表示数a的点位于﹣4与5之间，求|a+4|+|a﹣5|的值．
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式，可得两点间的距离；
（2）根据数轴上两点间的距离公式，可得两点间的距离；
（3）①解方程可得答案；
②根据数轴上表示数a的点位于﹣4与5之间，可化简绝对值，根据有理数的加减法，可得答案．
【解析】（1）①数轴上表示4和1的两点之间的距离是4﹣1＝3；
②数轴上表示﹣1和﹣7的两点之间的距离是﹣1﹣（﹣7）＝6；
③数轴上表示﹣2和5的两点之间的距离是5﹣（﹣2）＝7．
（2）一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（3）①|a﹣3|＝9，解得a＝﹣6或12；
②∵数轴上表示数a的点位于﹣4和5之间，∴|a+4|+|a﹣5|＝a+4﹣a+5＝9．
故答案为：3，6，7；|m﹣n|；﹣6或9．
【小结】考查数轴，绝对值，利用了两点间的距离公式，注意线段上的点与线段两端点的距离的和最小．
根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：
（1）已知点A，B，C表示的数分别为1，，﹣3．观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是　
　，A，B两点之间的距离为　
　．
（2）数轴上，点B关于点A的对称点表示的数是　
　．
（3）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是　
　；若此数轴上M，N两点之间的距离为2019（M在N的左侧），且当A点与C点重合时，M点与N点也恰好重合，则点M表示的数是　
　，点N表示的数是　
　；
（4）若数轴上P，Q两点间的距离为a（P在Q左侧），表示数b的点到P，Q两点的距离相等，将数轴折叠，当P点与Q点重合时，点P表示的数是　
　，点Q表示的数是　
　（用含a，b的式子表示这两个数）．
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离即可求解；
（2）根据求两点的对称点；
（3）根据A与C重合表示对称点，可得与B点重合的点表示的数；同理根据折叠后点A与点C重合，点M与点N也重合，即可求解；
（4）根据数轴上的点左减，右加，即可求表示数b的点到P、Q两点的距离相等的算式．
【解析】（1）观察数轴可知：与点A的距离为3的点表示的数是1+3＝4或1﹣3＝﹣2，
A、B两点之间的距离为1﹣（﹣2.5）＝3.5，
（2）点B关于点A的对称点表示的数是：，
（3）∵将数轴折叠，使得A点与C点重合，
∴对称点表示的数为：﹣1，
∴与点B重合的点表示的数是：﹣1+[﹣1﹣（﹣2.5）]＝0.5；
M表示的数是：﹣11010.5，
N表示的数是：﹣11008.5；
（4）根据题意，得
P表示的数为：b，Q表示的数为：b．
【小结】本题考查了数轴、列代数式，解决本题的关键是数轴上两点之间的距离公式．
阅读下面材料，回答问题
距离能够产生美．
唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．
当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：
“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚”
距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．
已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB．
（1）当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB＝OB＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|．
（2）当A，B两点都不在原点时，
①如图2，点A，B都在原点的右边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
②如图3，点A，B都在原点的左边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|；
③如图4，点A，B在原点的两边，AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|．
综上，数轴上A，B两点的距离AB＝|a﹣b|．
利用上述结论，回答以下三个问题：
（1）若数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离是4，则x＝　
　；
（2）若代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，则x的取值范围是　
　；
（3）若未知数x，y满足（|x﹣1|+|x﹣3|）（|y﹣2|+|y+1|）＝6，则代数式x+2y的最大值是　
　，最小值是　
　．
【分析】（1）根据题意得绝对值方程，求解即可；
（2）若代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，表示在数轴上找一点x，到﹣1和2的距离之和最小，据此可解；
（3）分别得出|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为2和|y﹣2|+|y+1|的最小值为3，从而得出x和y的范围，则问题得解．
【解析】（1）若数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离是4，则|x+2|＝4解得x＝﹣6或x＝2
（2）若代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，
表示在数轴上找一点x，到﹣1和2的距离之和最小，显然这个点x在﹣1和2之间，故答案为：﹣1≤x≤2；
（3）∵（|x﹣1|+|x﹣3|）（|y﹣2|+|y+1|）＝6
又∵|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为2，|y﹣2|+|y+1|的最小值为3，∴1≤x≤3，﹣1≤y≤2
∴代数式x+2y的最大值是7，最小值是﹣1
【小结】考查数轴上点与点之间距离及代数式最值，明确数轴上点之间距离及绝对值运算法则，是关键函数的概念
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
下列各曲线中表示y是x的函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据函数的意义即可求出答案．
【解析】根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以D正确．选D．
【小结】本题考查了函数的定义．解题的关键是掌握函数的定义，在一个变化过程中有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【解析】A、C、D当x取值时，y有唯一的值对应，选B．
【小结】此题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（　　）
A．
x
1
2
3
4
y
2
6
8
10
B．
x
1
2
3
4
y
6
6
8
10
C．
x
1
2
3
4
y
6
6
8
8
D．
x
1
2
3
y
2
6
8
10
【分析】根据函数的定义，设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，进而判断得出即可．
【解析】选项ABC中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，故y是x的函数；
只有选项D中，x取1个值，y有2个值与其对应，故y不是x的函数．选D．
【小结】此题主要考查了函数的定义，正确掌握函数定义是解题关键．
变量x、y有如下的关系，其中y是x的函数的是（　　）
A．y2＝8x
B．|y|＝x
C．y
D．xy4
【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量进行分析即可．
【解析】A、y2＝8x，y不是x的函数，故此选项错误；B、|y|＝x，y不是x的函数，故此选项错误；
C、y，y是x的函数，故此选项正确；D、xy4，y不是x的函数，故此选项错误；选C．
【小结】此题主要考查了函数概念，关键是对函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
函数自变量的取值范围
函数自变量的范围，一般从三个方面考虑
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
下列函数中，自变量取值范围错误的是（　　）
A．y（x）
B．y（x≤1）
C．y＝x2﹣1（x为任意实数）
D．y（x≥1）
【分析】利用2x﹣1≠0可对A进行判断；利用1﹣x≥0可对B进行判断；利用x全体实数可对C进行判断；利用x﹣1＞0可对D进行判断．
【解析】y的自变量的取值范围为x；y的自变量的取值范围为x≤1；
y＝x2﹣1的自变量的取值范围为x为任意实数；y的自变量的取值范围为x＞1．选D．
【小结】本题考查了函数自变量的取值范围：自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．④于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
在函数yx﹣2中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣4
B．x≠0
C．x≥﹣4且x≠0
D．x＞﹣4且x≠0
【分析】根据二次根式有意义的条件、负整数指数幂列出不等式，解不等式即可．
【解析】由题意得，x+4≥0，x≠0，解得，x≥﹣4且x≠0，选C．
【小结】本题考查二次根式有意义条件、负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
函数y的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥2，且x≠3
B．x≥2
C．x≠3
D．x＞2，且x≠3
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，以及分母不等于0，就可以求出x的范围．
【解析】根据题意得：x﹣2≥0，且x﹣3≠0，解得x≥2，且x≠3．选A．
【小结】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
函数y（x+2）0的自变量x的取值范围是（　　）
A．
B．
C．且x≠﹣2
D．
【分析】根据分母不为0、二次根式有意义的条件和零指数幂的意义得到1﹣3x＞0且x+2≠0，然后求出它们的公共部分即可．
【解析】根据题意得1﹣3x＞0且x+2≠0，所以x且x≠﹣2．选C．
【小结】本题考查了函数自变量的取值范围：自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
函数图象的识别
首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象是解题的关键．
一天早上小明步行上学，他离开家后不远便发现有东西忘在了家里，马上以相同的速度回家去拿，到家后因事耽误一会，忙完后才离开，为了不迟到，小明跑步到了学校，则小明离学校的距离y与离家的时间t之间的函数关系的大致图象是（　　）
B．
C．
D．
【分析】根据题意和各个选项中函数图象可以判断哪个选项是正确的，本题得以解决．
【解析】由题意可得，小明步行上学时小明离学校的距离减小，而后离开家后不远便发现有东西忘在了家里，于是以相同的速度回家去拿时小明离学校的距离增大，到家后因事耽误一会，忙完后才离开，此时距离不变，小明跑步到了学校时小明离学校的距离减小直至为0．故B选项符合，选B．
【小结】此题考查函数图象，关键是根据题意得出距离先减小再增大，然后不变后减小为0进行判断
成都市双流新城公园是亚洲最大的城市湿地公园，周末小李在这个公园里某笔直的道路上骑车游玩，先前进了a千米，体息了一段时间，又原路返回b千米（b＜a），再前进c千米，则他离起点的距离s与时间t的关系的示意图是（　　）
A.
B．
C．
D．
【分析】根据前进时路程增加，休息时路程不变，返回时路程减少，再前进时路程增加，可得答案．
【解析】由题意，路程先增加，路程不变，路程减少，路程又增加，故D符合题意；
【小结】考查函数图象，理解题意掌握路程与时间关系是解题关键，注意B图象中时间没变路程无法减少．
小明观看了《中国诗闻大会》第三期，主题为“人生自有诗意”，受此启发根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”，如图用y轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用x轴表示父亲离家的时间，下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是（　　）
A.
B．
C．
D．
【分析】开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间，而父亲早到，两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同．
【解析】开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间，而父亲早到，故A，B，D不符合题意；两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同，则选项D符合题意．
【小结】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
如图，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能反映容积内水的体积y与容器内水深x之间的关系的图象可能为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】水深h越大，水的体积v就越大，故容器内水的体积y与容器内水深x间的函数是增函数，根据球的特征进行判断分析即可．
【解析】根据球形容器形状可知，函数y变化趋势呈现出，当0＜x＜R时，y增量越来越大，当R＜x＜2R时，y增量越来越小，曲线上点的切线斜率先逐渐变大，后逐渐变小，故y关于x函数图象先凹后凸．选A
【小结】本题主要考查了函数图象的变化特征，解题的关键是利用数形结合的数学思想方法．解得此类试题时注意，如果水的体积随深度的增加而逐渐变快，对应图象是曲线从缓逐渐变陡．
通过函数图象获取信息
理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了18千米；
（2）甲在途中停留了0.5小时；
（3）乙比甲晚出发了0.5小时；
（4）相遇后，甲的速度大于乙的速度；
（5）甲、乙两人同时到达目的地．
其中，符合图象描述的说法有（　　）
A．2个
B．4个
C．3个
D．5个
【分析】通过观察图象可得到甲出发0.5小时后停留了0.5小时，然后再用1.5小时到达离出发地18千米的目的地；乙比甲晚0.5小时出发，用1.5小时到达离出发地18千米的目的地，根据此信息分别对5种说法分别进行判断．
【解析】观察图象，甲、乙到达目的地时离出发地的距离，所以（1）正确；
都为18千米，甲在0.5小时至1小时之间，S没有变化，说明甲在途中停留了0.5小时，所以（2）正确；
甲出发0.5小时后乙开始出发，说明（3）正确；
两图象相交后乙的图象在甲的上方，说明甲的速度小于乙的速度，所以（4）不正确；
甲出发2.5小时后到达目的地，而乙在甲出发2小时后到达目的地，所以（5）不正确．选C．
【小结】本题考查了函数图象：学会看函数图象，从函数图象中获取信息，并且解决有关问题．
甲、乙二人约好沿同一路线去某地集合进行宣传活动，如图，是甲、乙二人行走的图象，点O代表的是学校，x表示的是行走时间（单位：分），y表示的是与学校的距离（单位：米），最后都到达了目的地，根据图中提供的信息，下面有四个推断：
①甲、乙二人第一次相遇后，停留了10分钟；
②甲先到达的目的地；
③甲在停留10分钟之后提高了行走速度；
④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快．
所有正确推断的序号是（　　）
A．①②
B．①②③
C．①③④
D．①②④
【分析】根据函数图象中的数据得出路程、时间与速度，进而解答即可．
【解析】①甲、乙二人第一次相遇后，停留了20﹣10＝10分钟，说法正确；
②甲在35分时到达，乙在40分时到达，所以甲先到达的目的地，说法正确；
⑧甲在停留10分钟之后减慢了行走速度，说法错误；
④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快，说法正确；选D．
【小结】本题考查一次函数图象，解答本题关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y（米）与行驶时间x（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法中：①甲每分钟走100米；②两分钟后乙每分钟走50米；③甲比乙提前3分钟到达B地；④当x＝2或6时，甲乙两人相距100米．正确的有　
　（在横线上填写正确的序号）．
【分析】①根据函数图象中的数据，可知甲6分钟走了600米，从而可以计算出甲每分钟走的路程，从而可以判断该小题是否正确；
②根据图象中的数据可知，乙2分钟到6分钟走的路程是500﹣300＝200米，从而可以计算出两分钟后乙每分钟走的路程，从而可以判断该小题是否正确；
③根据乙2分钟后的速度，可以计算出乙从A地到B地用的总的时间，然后与6作差，即可判断该小题是否正确；
④根据图象，可以分别计算出x＝2和x＝6时，甲乙两人的距离，从而可以判断该小题是否正确．
【解析】由图象可得，
甲每分钟走：600÷6＝100（米），故①正确；
两分钟后乙每分钟走：（500﹣300）÷（6﹣2）＝200÷4＝50（米），故②正确；
乙到达B地用的时间为：2+（600﹣300）÷50＝2+300÷50＝2+6＝8（分钟），则甲比乙提前8﹣6＝2分钟达到B地，故③错误；
当x＝2时，甲乙相距300﹣100×2＝300﹣200＝100（米），当x＝6时，甲乙相距600﹣500＝100米，④正确；
故答案为：①②④．
【小结】本题考查函数图象，解答本题关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答．
重庆实验外国语学校运动会期间，小明和小欢两人打算匀速从教室跑到600米外的操场参加入场式，出发时小明发现鞋带松了，停下来系鞋带，小欢继续跑往操场，小明系好鞋带后立即沿同一路线开始追赶小欢小明在途中追上小欢后继续前行，小明到达操场时入场式还没有开始，于是小明站在操场等待，小欢继续前往操场．设小明和小欢两人相距s（米），小欢行走的时间为t（分钟），s关于t的函数图象如图所示，则在整个运动过程中，小明和小欢第一次相距80米后，再过　
　分钟两人再次相距80米．
【分析】由题意小欢的速度为40米/分钟，小明的速度为80米/分钟，设小明在途中追上小欢后需要x分钟两人相距80米，则：80x﹣40x＝80，解得x＝2分钟，推出小欢一共走了40×（2+2）＝160（米），由此即可解决问题．
【解析】由题意小欢的速度为40米/分钟，小明的速度为80米/分钟，
设小明在途中追上小欢后需要x分钟两人相距80米，
则有：80x﹣40x＝80，∴x＝2，
此时小欢一共走了40×（2+2）＝160（米），（600﹣160﹣80）÷40＝9（分）．
即小明和小欢第一次相距80米后，再过9分钟两人再次相距80米．故答案为：9
【小结】本题考查一次函数的应用，路程，速度，时间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
动点问题的函数图象
如图，在长方形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PCD的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形ABCD的面积为（　　）
A．12
B．24
C．20
D．48
【分析】根据题意结合图象得出AB、BC的长度，再求出面积即可．
【解析】由题意可知，当点P从点A运动到点B时，△PCD的面积不变，结合图象可知AB＝6，
当点P从点B运动到点C时，△PCD的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知BC＝4，
∴长方形ABCD的面积为：AB?BC＝6×4＝24．选B．
【小结】本题考查了矩形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．
如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，三角形ABP的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则长方形ABCD的周长是（　　）
A．13
B．17
C．18
D．26
【分析】根据函数的图象、结合图形求出AB、BC的值，即可得出矩形ABCD的周长．
【解析】∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，函数图象上横轴表示点P运动路程，x＝4时，y开始不变，说明BC＝4，x＝9时，接着变化，说明CD＝9﹣4＝5，∴AB＝5，BC＝4，∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝18．选C．
【小结】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出AB、BC的长度是解决问题的关键．
如图①．在正方形ABCD的边BC上有一点E，连接AE．点P从正方形的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，△APE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．当x＝7时，y的值为（　　）
A．7
B．6
C．
D．
【分析】①当点P在点D时，yAB×ADa×a＝8，解得：a＝4，②当点P在点C时，yEP×ABEP×4＝6，解得：EP＝3，即EC＝3，BE＝1，③当x＝7时，y＝S正方形ABCD﹣（S△ABE+S△ECP+S△APD，即可求解．
【解析】设正方形的边长为a，
①当点P在点D时，yAB×ADa×a＝8，解得：a＝4，
②当点P在点C时，yEP×ABEP×4＝6，解得：EP＝3，即EC＝3，BE＝1，
③当x＝7时，如下图所示：
此时，PC＝1，PD＝7﹣4＝3，
当x＝7时，y＝S正方形ABCD﹣（S△ABE+S△ECP+S△APD）＝4×4（4×1+1×3+4×3），选C．
【小结】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（6，0），C（0，4）点D与坐标原点O重合，动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿O﹣A﹣B﹣C的路线向终点C运动，连接OP、CP，设点P运动的时间为t秒，△CPO的面积为S，下列图象能表示t与S之间函数关系的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据动点运动的起点位置、关键转折点，结合排除法，可得答案．
【解析】∵动点P从点O出发，以每秒2个单位速度沿O﹣A﹣B﹣C路线向终点C运动，△CPO面积为S
∴当t＝0时，OP＝0，故S＝0∴选项C、D错误；
当t＝3时，点P和点A重合，
∴当点P在从点A运动到点B的过程中，S的值不变，均为12，故排除A，只有选项B符合题意．选B．
【小结】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合及正确运用排除法，是解题的关键．
一次函数的定义
一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．注意一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数．
下列函数中，是一次函数的是　
　，是正比例函数的是　
　．（填序号）
（1）y；
（2）y；
（3）y＝3﹣5x；
（4）y＝﹣5x2；
（5）y＝6x；
（6）y＝x（x﹣4）﹣x2；
（7）y＝x﹣6．
【分析】根据一次函数与正比例函数的定义解答即可．
【解析】（1）y是一次函数，也是正比例函数；（2）y是反比例函数；（3）y＝3﹣5x是一次函数；（4）y＝﹣5x2是二次函数；（5）y＝6x是一次函数；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2＝﹣4x是正比例函数，也是一次函数；（7）y＝x﹣6是一次函数．
故答案为：（1）（3）（5）（6）（7）；（1）（6）
【小结】本题主要考查了正比例函数与一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数与正比例函数的定义及关系：一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数．
已知函数y＝（m+b）x+m﹣2，当m　
　时，是一次函数；当m　
　时，是正比例函数．
【分析】根据一次函数和正比例函数的定义作答．
【解析】由题意知，当m+b≠0，即m≠﹣b时，函数y＝（m+b）x+m﹣2是一次函数；
当当m+b≠0且m﹣2＝0，即m≠﹣b且m＝2时，函数y＝（m+b）x+m﹣2是正比例函数；
故答案是：≠﹣b；≠﹣b且m＝2．
【小结】本题主要考查一次函数与正比例函数之间的联系，正比例函数是一次函数的特殊情况．
若函数y＝（m﹣2）2是一次函数，那么m＝　
　．
【分析】根据一次函数的定义，列出关于m的方程和不等式进行求解即可．
【解析】由题意得，m2﹣3＝1且m﹣2≠0，解得：m＝±2且m≠2，∴m＝﹣2．
【小结】本题主要考查了一次函数定义，一次函数y＝kx+b的条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+5是y关于x的一次函数，则m＝　﹣2　．
【分析】根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，即可得出m的值．
【解析】根据一次函数的定义可得：m﹣2≠0，|m|﹣1＝1，
由|m|﹣1＝1，解得：m＝﹣2或2，
又m﹣2≠0，m≠2，
则m＝﹣2．
【小结】本题主要考查了一次函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握．
一次函数的图象
一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
已知如图是函数y＝kx+b的图象，则函数y＝kbx+k的大致图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据函数y＝kx+b的图象确定k，b的取值范围，即可确定函数y＝kbx+k的大致图象．
【解析】由函数y＝kx+b的图象可知k＜0、b＞0，∴kb＜0，
∴函数y＝kbx+k的图象经过第二、三、四象限；选C．
【小结】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
一次函数y＝mx+n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】由于m、n的符号不确定，故应先讨论m、n的符号，再根据一次函数的性质进行选择．
【解析】（1）当m＞0，n＞0时，mn＞0，
一次函数y＝mx+n的图象一、二、三象限，正比例函数y＝mnx的图象过一、三象限，无符合项；
（2）当m＞0，n＜0时，mn＜0，
一次函数y＝mx+n的图象一、三、四象限，正比例函数y＝mnx的图象过二、四象限，C选项符合；
（3）当m＜0，n＜0时，mn＞0，
一次函数y＝mx+n的图象二、三、四象限，正比例函数y＝mnx的图象过一、三象限，无符合项；
（4）当m＜0，n＞0时，mn＜0
一次函数y＝mx+n的图象一、二、四象限，正比例函数y＝mnx的图象过二、四象限，无符合项．选C．
【小结】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
若实数a，b，c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝﹣cx﹣a的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】先判断出a是负数，c是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限以及与y轴的交点的位置即可得解．
【解析】∵a+b+c＝0，且a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，（b的正负情况不能确定），∴﹣a＞0，﹣c＜0，
∴函数y＝﹣cx﹣a的图象经过二、一、四象限．选B．
【小结】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，先确定出a、c的正负情况是解题的关键，也是本题的难点．
如图所示，直线l1：y＝ax+b和l2：y＝﹣bx+a在同一坐标系中的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据各选项中的函数图象判断出a、b异号，然后分别确定出两直线经过的象限以及与y轴的交点位置，即可得解．
【解析】∵直线l1：经过第一、三象限，∴a＞0，
又∵该直线与y轴交于负半轴，∴b＜0．
∴直线l2经过第一、二、三象限．选B．
【小结】本题考查了一次函数的图象，一次函数y＝kx+b（k≠0），k＞0时，一次函数图象经过第一三象限，k＜0时，一次函数图象经过第二四象限，b＞0时与y轴正半轴相交，b＜0时与y轴负半轴相交．
一次函数的性质
已知一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1，当m为何值时，
（1）y随x的增大而增大？
（2）图象经过第一、二、四象限？
（3）图象与y轴的交点在x轴的上方？
（4）经过直角坐标系原点？此时图象经过那个象限？
【分析】（1）由y随x的增大而增大，利用一次函数的性质即可得出1﹣2m＞0，解之即可得出结论；
（2）由一次函数图象经过第一、二、四象限，利用一次函数图象与系数的关系即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论；
（3）根据一次函数的定义结合一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（4）根据一次函数的定义结合一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于m的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用一次函数图象与系数的关系，即可得出此时一次函数图象经过象限．
【解析】（1）∵y随x的增大而增大，∴1﹣2m＞0，∴m，
∴当m时，y随x的增大而增大；
（2）∵一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、四象限，∴，解得：m，
∴当m时，一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、四象限；
（3）∵一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴，解得：m＞﹣1且m，
∴当m＞﹣1且m时，一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象与y轴的交点在x轴的上方；
（4）∵一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过直角坐标系原点，∴，解得：m＝﹣1，
∴1﹣2m＝3＞0，∴当m＝﹣1时，一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1图象经过原点，此时图象经过一、三象限
【小结】本题考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数的性质、一次函数的定义以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用一次函数的性质找出1﹣2m＞0；（2）利用一次函数图象与系数的关系找出关于m的一元一次不等式组；（3）根据一次函数的定义结合一次函数图象上点的坐标特征，找出关于m的一元一次不等式；（4）利用一次函数图象上点的坐标特征求出m值．
已知关于x的一次函数y＝mx+4m﹣2．
（1）若这个函数的图象经过原点，求m的值；
（2）若这个函数的图象不过第四象限，求m的取值范围；
（3）不论m取何实数这个函数的图象都过定点，试求这个定点的坐标．
【分析】（1）直接把（0，0）代入求出m的值即可；
（2）根据一次函数的性质列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可；
（3）把一次函数解析式化为关于m的一元一次方程，根据方程有无数解解答．
【解析】（1）∵这个函数的图象经过原点，∴当x＝0时，y＝0，即4m﹣2＝0，解得m；
（2）∵这个函数的图象不经过第四象限，∴，解得，m；
（3）一次函数y＝mx+4m﹣2变形为：m（x+4）＝y+2，
∵不论m取何实数这个函数的图象都过定点，∴x+4＝0，y+2＝0，解得，x＝﹣4，y＝﹣2，
则不论m取何实数这个函数的图象都过定点（﹣4，﹣2）．
【小结】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
已知一次函数
y＝（6+3m）x+（n﹣4）．求：
（1）m为何值时，y随x的增大而减小；
（2）m，n满足什么条件时，函数图象与y轴的交点在x轴下方；
（3）m，n分别取何值时，函数图象经过原点；
（4）m，n满足什么条件时，函数图象不经过第二象限．
【分析】（1）由y随x的增大而减小利用一次函数的性质可得出6+3m＜0，解之即可得出结论；
（2）根据一次函数的定义结合一次函数图象与y轴的交点在x轴下方，即可分别得出关于m、n的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（3）根据一次函数的定义结合一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于m的一元一次不等式以及关于n的一元一次方程，解之即可得出结论；
（4）根据一次函数的图象不经过第二象限利用一次函数图象与系数的关系，即可分别得出关于m、n的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解析】（1）∵y随x的增大而减小，∴6+3m＜0，∴m＜﹣2，
∴当m＜﹣2时，y随x的增大而减小；
（2）∵一次函数
y＝（6+3m）x+（n﹣4）的图象与y轴的交点在x轴下方，
∴6+3m≠0，n﹣4＜0，∴m≠﹣2，n＜4．
∴当m≠﹣2、n＜4时，函数图象与y轴的交点在x轴下方；
（3）∵一次函数
y＝（6+3m）x+（n﹣4）的图象经过原点，
∴6+3m≠0，n﹣4＝0，∴m≠﹣2，n＝4．∴当m≠﹣2、n＝4时，函数图象经过原点；
（4）∵一次函数
y＝（6+3m）x+（n﹣4）的图象不经过第二象限，
∴一次函数
y＝（6+3m）x+（n﹣4）的图象经过第一、三、四象限或第一、三象限．
当一次函数
y＝（6+3m）x+（n﹣4）图象经过第一、三、四象限时，6+3m＞0，n﹣4＜0，∴m＞﹣2，n＜4；
当一次函数
y＝（6+3m）x+（n﹣4）的图象经过第一、三象限时，6+3m＞0，n﹣4＝0，∴m＞﹣2，n＝4．
综上所述：当m＞﹣2、n≤4时，函数图象不经过第二象限．
【小结】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的定义，解题的关键是：（1）利用一次函数的性质找出6+3m＜0；（2）根据题意，找出关于m、n的一元一次不等式；（3）根据题意，找出关于m的一元一次方程及关于n的一元一次不等式；（4）分一次函数图象经过第一、三、四象限或第一、三象限两种情况考虑．
已知一次函数y＝（1﹣3m）x+m﹣4，若其函数值y随着x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，求m的取值范围．
【分析】由数值y随着x的增大而减小可得出1﹣3m＜0，结合一次函数图象不经过第一象限（经过第二、四象限或者经过第二、三、四象限）可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解析】依题意，得：，解得：m≤4．∴m的取值范围为m≤4．
【小结】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＜0?y＝kx+b的图象在二、三、四象限”和“k＜0，b＝0?y＝kx+b的图象在二、四象限”是解题的关键．
一次函数图象上点的坐标特征
已知一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，则下列不等式中恒成立的是（　　）
A．y1+y2＜0
B．y1+y2＞0
C．y1﹣y2＜0
D．y1﹣y2＞0
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征即可求解．
【解析】∵已知一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，
∴当k＜0时，x越大，y越小，
∴选项A：不一定成立，选项B：不一定成立，
选项C：不一定成立，
选项D：一定成立，
选D．
【小结】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，本题的解题关键当k＜0，x越大，y越小．
若正比例函数y＝（2﹣3m）x的图象经过点A（x1，y1）和B（x2，y2），且当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（　　）
A．m＞0
B．m
C．m
D．m＜0
【分析】由条件可判断函数的增减性，可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围．
【解析】∵当x1＜x2时，y1＞y2，∴一次函数y随x的增大而减小，∴2﹣3m＜0，解得m．选B．
【小结】本题主要考查一次函数的增减性，根据y随x的变化情况得出关于m的不等式是解题的关键．
若点A（x1，﹣3），B（x2，﹣2），C（x3，1）在一次函数y＝3x﹣b的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＜x2＜x3
B．x2＜x1＜x3
C．x3＜x2＜x1
D．x1＜x3＜x2
【分析】根据k＝3＞0时，y随x的增大而增大，从而可知x1、x2、x3的大小．
【解析】∵一次函数y＝3x﹣b中，k＝3＞0，∴y随x的增大而增大；
∵点A（x1，﹣3），B（x2，﹣2），C（x3，1），∴x1＜x2＜x3；选A．
【小结】本题考查了一次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是当k＞0时，函数y随x的增大而增大．
已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（2，﹣1）四点在直线y＝kx+4的图象上，且x1＞x2＞x3，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞2y3
B．y3＞y2＞y1
C．y3＜y1＜y2
D．y1＜y3＜y2
【分析】根据待定系数法求得k，然后根据一次函数的性质即可判断．
【解析】∵点D（2，﹣1）在直线y＝kx+4的图象上，∴﹣1＝2k+4，解得k，
∵k＜0，∴函数y随x的增大而减小，又∵x1＞x2＞x3，∴y3＞y2＞y1，选B．
【小结】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
一次函数图象与几何变换
解决此类问题的关键是记住一次函数图象平移的口诀：上加下减，左加右减，并且一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平移后k不变是关键.
在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移n（n＞0）个单位长度后恰好经过点（﹣1，﹣2），则n的值为（　　）
A．10
B．8
C．5
D．3
【分析】根据一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移k不变，可设平移后的函数解析式为：y＝﹣2x+6﹣n，把点（﹣1，﹣2）代入即可求得n．
【解析】∵若一次函数y＝﹣2x+6图象向下平移n（n＞0）个单位长度，∴平移后解析式为：y＝﹣2x+6﹣n，
∵函数解y＝﹣2x+6﹣n的图象经过点（﹣1，﹣2），∴﹣2＝﹣2×（﹣1）+6﹣n，解得：n＝10，选A．
【小结】考查一次函数图象和性质，掌握一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平移后k不变是解决问题的关键
直线y＝kx+1沿着y轴向上平移b个单位后，经过点A（﹣2，0）和y轴上的一点B，若△ABO（O为坐标原点）的面积为4，则b的值为（　　）
A．4
B．2
C．3
D．1
【分析】由直线y＝kx+b+1经过点A（﹣2，0）和y轴正半轴上的一点B，可得B点的坐标，根据三角形面积公式即可得出答案．
【解析】直线y＝kx+1沿着y轴向上平移b个单位后，得到y＝kx+b+1，
∵直线y＝kx+b+1经过点A（﹣2，0）和y轴正半轴上的一点B，∴B（0，b+1），
∵△ABO的面积是：2×（b+1）＝4，解得b＝3．选C．
【小结】本题考查了一次函数图象上与几何变换，属于基础题，关键是表示出三角形的面积，然后求解．
在平面直角坐标系中，将函数y＝2x的图象向上平移m（m＞0）个单位长度，使其与直线y＝﹣x+4的交点位于第二象限，则m的取值范围为（　　）
A．0＜m＜2
B．2＜m＜4
C．m≥4
D．m＞4
【分析】将直线y＝2x的图象向上平移m个单位可得：y＝2x+m，求出直线y＝2x+m，与直线y＝﹣x+4的交点，再由此点在第二象限可得出m的取值范围．
【解析】将直线y＝2x的图象向上平移m个单位可得：y＝2x+m
联立两直线解析式得：，解得：，即交点坐标为（，），
∵交点在第二象限，∴，解得：m＞4．选D．
【小结】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0．
把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），且2m+n＝8，则直线AB的表达式为（　　）
A．y＝﹣2x+4
B．y＝﹣2x+8
C．y＝﹣2x﹣4
D．y＝﹣2x﹣8
【分析】由题意知，直线AB的k是﹣2，又已知直线AB上的一点（m，n），所以用直线的解析式方程y﹣y0＝k（x﹣x0）求得解析式即可．
【解析】∵直线AB是直线y＝﹣2x平移后得到的，
∴直线AB的k是﹣2（直线平移后，其K不变）
∴设直线AB的方程为y﹣y0＝﹣2（x﹣x0）
①
把点（m，n）代入①并整理，得y＝﹣2x+（2m+n）
②
∵2m+n＝8
③
把③代入②，解得y＝﹣2x+8，
即直线AB的解析式为y＝﹣2x+8．选B．
【小结】本题是关于一次函数的图象与它平移后图象的转变的题目，在解题时，紧紧抓住直线平移后，K不变这一性质，再根据题意中的已知条件，来确定用哪种方程来解答．
一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
已知：y+4与x+3成正比例，且x＝﹣4时y＝﹣2；
（1）求y与x之间的函数表达式
（2）点P1（m，y1）、P2（m+1，y2）在（1）中所得函数的图象上，比较y1与y2的大小．
【分析】（1）根据题意，设出函数关系式，把x＝﹣4，y＝﹣2代入求出待定系数，确定函数关系式；
（2）根据函数的增减性，做出判断即可．
【解析】（1）因为y+4与x+3成正比例，因此设y+4＝k（x+3）（k≠0），
把x＝﹣4，y＝﹣2代入得，﹣2+4＝k（﹣4+3），解得，k＝﹣2，∴y+4＝﹣2（x+3），即：y＝﹣2x﹣10，
（2）由（1）知，y＝﹣2x+10，∴k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵m＜m+1，∴y1＞y2．
【小结】考查一次函数的图象和性质，待定系数法求函数的关系式，把点的坐标代入是常用的方法．
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝kx+b（k≠0经过点A（﹣4，0），与y轴交于点B，如果△AOB的面积为4，求直线l的表达式．
【分析】先把A点坐标代入y＝kx+b得到b＝4k，则y＝kx+4k，所以B（0，4k），利用三角形面积公式得到4×|4k|＝4，解得k或，从而得到直线l的表达式．
【解析】把A（﹣4，0）代入y＝kx+b得﹣4k+b＝0，解得b＝4k，∴y＝kx+4k，
当x＝0时，y＝kx+4k+4k，则B（0，4k），
∵△AOB的面积为4，∴4×|4k|＝4，解得k或，
∴直线l的表达式为yx+2或yx﹣2．
【小结】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
某一次函数，当其自变量x的取值范围是﹣3≤x≤﹣1，它对应的函数值y的取值范围是4≤y≤6，求这个一次函数解析式？
【分析】设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再根据一次函数的增减性，可知本题分两种情况：①当k＞0时，y随x的增大而增大，把x＝﹣3，y＝4；x＝﹣1，y＝6代入一次函数的解析式y＝kx+b，运用待定系数法即可求出函数的解析式；②当k＜0时，y随x的增大而减小，把x＝﹣3，y＝6；x＝﹣1，y＝4代入一次函数的解析式y＝kx+b，运用待定系数法即可求出函数的解析式．
【解析】设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．
①当k＞0时，把x＝﹣3，y＝4；x＝﹣1，y＝6代入一次函数的解析式y＝kx+b，得，解得，
则这个函数的解析式是y＝x+7；
②当k＜0时，把x＝﹣3，y＝6；x＝﹣1，y＝4代入一次函数的解析式y＝kx+b，得，解得，
则这个函数的解析式是y＝﹣x+3．
综上，所求一次函数解析式为：y＝x+7或y＝﹣x+3．
【小结】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，进行分类讨论是解题的关键．
一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点．已知OA+OB＝6（O为坐标原点）．且S△ABO＝4，则这个一次函数的解析式为（　　）
A．
B．y＝﹣2x+4
C．
D．或y＝﹣2x+4
【分析】首先根据题意设A（x，0），B（0，y），再根据“OA+OB＝6（O为坐标原点）．且S△ABO＝4，”可得方程组，再解出x、y的值，进而得到A、B两点坐标．再利用待定系数法求出一次函数解析式．
【解析】∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点．∴设A（x，0），B（0，y），
∵OA+OB＝6（O为坐标原点）．且S△ABO＝4，∴，解得：或，
∴A（2，0）、B（0，4）或A（4，0）、B（0，2），
当A（2，0）、B（0，4）时，解得，当A（4，0）、B（0，2）时，，解得，
∴这个一次函数的解析式为yx+2或y＝﹣2x+4，选D．
【小结】主要考查待定系数法求一次函数解析式，关键是根据题意计算出一次函数图象所经过的点的坐标
一次函数与一元一次方程
一次函数与一元一次方程，关键是掌握求一元一次方程ax+b＝0
（a，b为常数，a≠0）的解可以转化为：一次函数y＝ax+b的函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b，确定它与x轴的交点的横坐标的值．
如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（m，3），则关于x的方程kx+b+2x＝0的解为　
．
【分析】首先将点A的坐标代入正比例函数中求得m的值，然后结合图象直接写出方程的解即可．
【解析】∵函数y＝﹣2x经过点A（m，3），∴﹣2m＝3，解得：m，
则关于x的方程kx+b+2x＝0可以变形为kx+b＝﹣2x，由图象得：kx+b＝﹣2x的解为x
【小结】考查一次函数与一元一次方程关系，解题关键是求得m值，然后数形结合方法确定方程的解．
如图，已知一次函数y＝kx﹣b与yx的图象相交于点A（a，1），则关于x的方程（k）x＝b的解x＝　
　．
【分析】把A（a，1）代入y求出a，根据A点的横坐标，即可求出答案．
【解析】把A（a，1）代入y得：1a，解得a＝3，∴A（3，1），
∴根据图象信息可得关于x的方程kx﹣bx的解为3，∴关于x的方程（k）x＝b的解为x＝3．
【小结】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点，题目具有一定的代表性，难度适中．
若一次函数y＝kx+3（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程k（x﹣5）+3＝0的解为（　　）
A．x＝﹣5
B．x＝﹣3
C．x＝3
D．x＝5
【分析】利用一次函数与一元一次方程的关系可得kx+3＝0的解是x＝﹣2，进而可得x﹣5＝﹣2，可得x值
【解析】∵一次函数y＝kx+3（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），
∴kx+3＝0的解是x＝﹣2，∴x﹣5＝﹣2，则x＝3，选C．
【小结】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握求一元一次方程ax+b＝0
（a，b为常数，a≠0）的解可以转化为：一次函数y＝ax+b的函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b，确定它与x轴的交点的横坐标的值．
如图，直线y＝ax+b与x轴交于A点（4，0），与直线y＝mx交于B点（2，n），则关于x的一元一次方程ax﹣b＝mx的解为（　　）
A．x＝2
B．x＝﹣2
C．x＝4
D．x＝﹣4
【分析】首先，根据两直线的交点的横坐标即为联立两直线方程求解的x值，则由直线y＝ax+b与直线y＝mx交于点B（2，n），可得交点横坐标为；其次，通过解一元一次方程ax﹣b＝mx，得，则，即可得解．
【解析】∵，∴ax+b＝mx，解得，
∵直线y＝ax+b与直线y＝mx交于点B（2，n），∴，
由ax﹣b＝mx，得，∴，
∴关于x的一元一次方程ax﹣b＝mx的解为：x＝﹣2，选B．
【小结】本题考查一次函数与一元一次方程，解题的关键是明确题意，掌握一次函数的图象与x轴交点的横坐标就是对应一元一次方程的解．
一次函数与一元一次不等式
一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，3），B（4，﹣3），则关于x的不等式kx+b+3＜0的解集为（　　）
A．x＞4
B．x＜4
C．x＞3
D．x＜3
【分析】由一次函数y＝kx+b的图象经过B（4，﹣3），以及y随x的增大而减小，可得关于x的不等式kx+b+3＜0的解集．
【解析】∵一次函数y＝kx+b的图象经过B（4，﹣3），∴x＝4时，kx+b＝﹣3，
又y随x的增大而减小，∴关于x的不等式kx+b+3＜0的解集是x＞4．选A．
【小结】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则不等式kx﹣x＜a﹣b的解集是（　　）
A．x＜3
B．x＞3
C．x＜a+b
D．x＞a﹣b
【分析】利用函数图象，写出直线y1在直线y2下方所对应的自变量的范围即可．
【解析】结合图象，当x＞3时，y1＜y2，即kx+b＜x+a，所以不等式kx﹣x＜a﹣b的解集为x＞3．选B．
【小结】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题．
如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（4，0），与直线y＝mx交于点B（2，n），则关于x的不等式组0＜ax﹣b＜mx的解集为（　　）
A．﹣4＜x＜﹣2
B．x＜﹣2
C．x＞4
D．2＜x＜4
【分析】先根据一次函数的性质得到a＞0，再把A（4，0）代入y＝ax+b得b＝﹣4a，把B（2，n）代入y＝ax+b得n＝﹣2a，把B（2，n）代入y＝mx得m＝﹣a，则不等式组0＜ax﹣b＜mx化为0＜ax+4a＜﹣ax，然后解不等式组即可．
【解析】直线y＝ax+b经过第一、三、四象限，则a＞0，
把A（4，0）代入y＝ax+b得4a+b＝0，则b＝﹣4a，
把B（2，n）代入y＝ax+b得n＝2a+b＝2a﹣4a＝﹣2a，把B（2，n）代入y＝mx得n＝2m，则m＝﹣a，
不等式组0＜ax﹣b＜mx化为0＜ax+4a＜﹣ax，解得﹣4＜x＜﹣2．选A．
【小结】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
如图所示，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数个
【分析】先确定直线y＝nx+4n与x轴的交点坐标为（﹣4，0），再结合函数图象写出﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为﹣4＜x＜﹣2，然后找出其整数解即可．
【解析】当y＝0时，nx+4n＝0，解得x＝﹣4，则直线y＝nx+4n与x轴的交点坐标为（﹣4，0），
∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，
∴当﹣4＜x＜﹣2时，﹣x+m＞nx+4n＞0，
即﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为﹣4＜x＜﹣2，
∴﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为﹣3．
选A．
【小结】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
一次函数的应用（方案选择问题）
2017年“中国移动”公司提供两种通讯收费方案供客户选择．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）设通话时间为x分钟，方案一的通讯费用为y1元，方案二的通讯费用为y2元，分别求出y1、y2关于x的函数表达式．
（2）请你通过计算说明如何选用通讯收费方案更合算．
（3）小明的爸爸每月的通话时间约为500分钟，应选用哪种通讯收费方案．
【分析】（1）根据收费标准写出函数表达式；
（2）利用（1）中的函数表达式，代入相关的x的值；
（3）利用（2）中的结论进行解答．
【解析】（1）根据题意知，y1．y2＝0.2x（x≥0）；
（2）当0≤x≤50时，y1＝40＞y2，选择方案二合算；
当x＞50时：
①y1＞y2，即0.1x+45＞0.2x，解得x＜450，选择方案二合算；
②y1＝y2，即0.1x+40＝0.2x，解得x＝400，选择两种方案一样合算；
③y1＜y2，即0.1x+40＜0.2x，解得x＞450，选择方案一合算．
综上所述，当通话时间小于400分钟，选择方案二合算；当通话时间为400分钟，选择两种方案一样合算；当通话时间大于400分钟，选择方案一合算；
（3）由于500＞400，所以小明的爸爸选用通讯收费方案一合算．
【小结】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题，解题的关键是掌握两种不同的收费标准．
甲、乙两家采摘园的草莓品质相同，销售价格都是每千克40元，两家均推出了“周末”优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买50元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需要购买门票，采摘的草莓超过10千克后，超过部分五折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（x＞10）千克，在甲采摘园所需总费用为y1元，在乙采摘园所需总费用为y2元．
（1）求y1、y2关于x的函数解析式；
（2）当采摘多少千克草莓时，在甲、乙两采摘园所需费用相同？如果你是游客你会如何选择采摘园？
【分析】（1）根据题意，可以写出y1、y2关于x的函数解析式；
（2）根据题意，可以列出相应的方程和不等式，从而可以解答本题．
【解析】（1）由题意可得，
y1＝50+40x×0.6＝24x+50，
y2＝40×10+（x﹣10）×40×0.5＝20x+200，
即y1关于x的函数解析式是y1＝24x+50，y2关于x的函数解析式是y2＝20x+200；
（2）当24x+50＝20x+200时，得x＝37.5，即当采摘量等于37.5千克时，在甲、乙两采摘园所需费用相同；
当24x+50＞20x+200时，得x＞37.5，即当采摘量超过37.5千克时，选择乙采摘园；
当24x+50＜20x+200时，得x＜37.5，即当采摘量超过10千克且少于37.5千克时，选择甲采摘园；
由上可得，当采摘量等于37.5千克时，在甲、乙两采摘园所需费用相同；当采摘量超过37.5千克时，选择乙采摘园；当采摘量超过10千克且少于37.5千克时，选择甲采摘园．
【小结】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
习近平在决战决胜脱贫攻坚座谈会上强调：坚决克服新冠肺炎疫情影响，坚决夺取脱贫攻坚战全面胜利.2020年是脱贫攻坚战最后一年，收官之年又遭遇疫情影响，各项工作任务更重，要求更高．某地的苹果产业成为该地农民打赢脱贫攻坚战的利器，已知该地有甲、乙两个苹果园，盛产的苹果品质相同，现两个苹果园推出了不同的销售方案，甲苹果园：不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg；乙苹果园：一次购买数量不超过50kg时，价格均为7元/kg，超过50kg，则超出部分的价格按5元/kg计．设某水果店在同一个苹果园一次购买苹果的数量为xkg（x＞0）．
（1）设在甲苹果园花费y1元，在乙苹果园花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数关系式；
（2）若该水果店计划用360元来购进苹果，则它在甲、乙哪个苹果园中购买苹果的数量较多？
【分析】（1）根据题意，可以分别写出y1，y2关于x的函数关系式；
（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以分别求得该水果店计划用360元在两个苹果园购买的苹果数量，然后比较大小即可解答本题．
【解析】（1）由题意可得，y1＝6x，
当0＜x≤50，y2＝7x，
当x＞50时，y2＝50×7+（x﹣50）×5＝5x+100，
即y1关于x的函数关系式是y1＝6x，y2关于x的函数关系式是y2；
（2）当y1＝360时，360＝6x，解得，x＝60；
当y2＝360时，
∵360＞50×7，
∴360＝5x+100，
解得，x＝52；
∵60＞52，
∴该水果店在甲苹果园中购买苹果的数量较多，
答：该水果店在甲苹果园中购买苹果的数量较多．
【小结】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在九洲江堤坡种植白杨树，现甲、乙两家林场有相同的白杨树苗可供选择，其具体销售方案如下：
甲林场
乙林场
购树苗数量
销售单价
购树苗数量
销售单价
不超过1000棵时
4元棵
不超过2000棵时
4元棵
超过1000棵的部分
3.8元棵
超过2000棵的部分
3.6元棵
购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲（元），y乙（元）．
（1）该村需要购买1800棵白杨树苗，如果都在甲林场购买所需费用为　
　元，如果都在乙林场购买所需费用为　
　元；
（2）分别求出y甲，y乙与x之间的函数关系式；
（3）如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出购买1800棵白杨树苗时，在两家林场的花费；
（2）根据题意和表格中的数据，可以分别写出y甲，y乙与x之间的函数关系式；
（3）根据题意，利用分类讨论的方法，可以得到应该选择到哪家林场购买树苗合算．
【解析】（1）由题意可得，当购买1800棵白杨树苗时，
在甲林场需要花费：1000×4+（1800﹣1000）×3.8＝7040（元），在乙林场需要花费：1800×4＝7200（元），
（2）由题意可得，当0≤x≤1000时，y甲＝4x，y乙＝4x，
当1000＜x≤2000时，y甲＝1000×4+（x﹣1000）×3.8＝3.8x+200，y乙＝4x，
当x＞2000时，y甲＝1000×4+（x﹣1000）×3.8＝3.8x+200，y乙＝2000×4+（x﹣2000）×3.6＝3.6x+800，
由上可得，y甲；y乙；
（3）①当0≤x≤1000时，两家林场单价一样，因此到两林场购买所需要费用都一样；
②当1000＜x≤2000时，甲林场有优惠而乙林场无优惠，故当1
000＜x≤2
000时，到甲林场购买合算；
③当x＞2000时，y甲＝3.8x+200，y乙＝3.6x+800，y甲﹣y乙＝3.8x+200﹣（3.6x+800）＝0.2x﹣600，
当y甲＝y乙时，0.2x﹣600＝0，解得x＝3000．∴当x＝3000时，到两林场购买所需要费用都一样；
当y甲＜y乙时，0.2x﹣600＜0，解得x＜3000．∴当2000＜x＜3000时，到甲林场购买合算；
当y甲＞y乙时，0.2x﹣600＞0，解得x＞3000，∴当x＞3000时，到乙林场购买合算；
综上所述，当0≤x≤1000或x＝3000时，到两林场购买所需要费用都一样；当1000＜x＜3000时，到甲林场购买合算；当x＞3000时，到乙林场购买合算．
【小结】考查一次函数的应用，解答本题关键是明确题意，利用一次函数的性质和分类讨论思想解答．
一次函数的应用（最大利润问题）
某商店销售A型和B型两种型号的电脑，获利情况如表格所示．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台（能够全部售出），设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
型号
每台获利（元）
A型
120
B型
140
（1）求y与x的关系式；
（2）若B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，则该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？
（3）因市场原因，每台A型电脑获利在原基础上增加了m元（m＞0）．此时，销售总利润随x的增大而减小，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x的关系式；
（2）根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大；
（3）根据题意，可以写出销售总利润与x、m的关系式，然后根据一次函数的性质，即可得到m取值范围．
【解析】（1）由题意可得，y＝120x+140（100﹣x）＝﹣20x+14000，
即y与x的函数关系式为y＝﹣20x+14000；
（2）∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，∴100﹣x≤3x，解得，x≥25，
∵y＝﹣20x+14000，k＝﹣20，∴y随x的增大而减小，
∴当x＝25时，y取得最大值，此时100﹣x＝75，
答：商店购进A型、B型电脑分别为25台、75台时，才能使销售利润最大；
（3）由题意可得，
y＝（120+m）x+140（100﹣x）＝（120+m﹣140）x+14000＝（m﹣20）x+14000，
∵因市场原因，每台A型电脑获利在原基础上增加了m元（m＞0）．此时，销售总利润随x的增大而减小，
∴m＞0且m﹣20＜0，解得，0＜m＜20，
即m的取值范围是0＜m＜20．
【小结】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为400元，B型电脑每台利润为500元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，并且无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变，求a的值．
【分析】（1）根据“总利润＝A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式；
（2）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；
（3）据题意得y＝（400+a）x+500（100﹣x），即y＝（a﹣100）x+50000，当a＝100时，无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变．
【解析】（1）根据题意，y＝400x+500（100﹣x）＝﹣100x+50000；
（2）∵100﹣x≤2x，∴x，
∵y＝﹣100x+50000中k＝﹣100＜0，∴y随x的增大而减小，
∵x为整数，∴x＝34时，y取得最大值，最大值为46600，
答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；
（3）据题意得，y＝（400+a）x+500（100﹣x），即y＝（a﹣100）x+50000，
当a＝100时，无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变．
【小结】本题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．
2020年4月20日，国家主席习近平在陕西柞水县考察，点赞当地特产﹣﹣柞水木耳，称赞到“小木耳、大产业”，要将其发展成“帮助群众脱贫致富、推动乡村振兴”的特色产业．王师傅在政府的扶持下种植了A、B两个品种的木耳共3亩，两种木耳的成本（包括种植成本和设备成本）和售价如表：
品种
种植成本（万元/亩）
售价（万元/亩）
设备成本（万元/亩）
A
1.5
3.5
0.2
B
2
4.3
0.3
设种植A品种木耳x亩，若3亩地全种植两种木耳共获得利润y万元（利润＝售价﹣种植成本﹣设备成本）
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，则种植A品种木耳种植多少亩时利润最大？并求最大利润．
【分析】（1）根据题意，可以写出y与x的函数关系式；
（2）根据A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，可以求得x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到种植A品种木耳种植多少亩时利润最大，并求出此时的最大利润．
【解析】（1）由题意可得，y＝（3.5﹣1.5﹣0.2）x+（4.3﹣2﹣0.3）×（3﹣x）＝﹣0.2x+6，
即y与x的函数关系式为y＝﹣0.2x+6；
（2）∵A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，∴x≥1.5（3﹣x），解得，x≥1.8，
∵y＝﹣0.2x+6，k＝﹣0.2，∴y随x的增大而减小，
∴当x＝1.8时，y取得最大值，此时y＝5.64，
答：种植A品种木耳种植1.8亩时利润最大，最大利润是5.64万元．
【小结】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
某商场销售10台A型和20台B型加湿器的利润为2500元，销售20台A型和10台B型加湿器的利润为2000元．
（1）求每台A型加湿器和每台B型加湿器的销售利润；
（2）该商场计划一次购进两种型号的加湿器共100台，设购进A型加湿器x台，这100台加湿器的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②若B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，则该商场应怎样进货才能使销售总利润最大？
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可得到每台A型加湿器和每台B型加湿器的销售利润；
（2）①根据题意，可以写出y与x的函数关系式；
②根据B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得该商场应怎样进货才能使销售总利润最大．
【解析】（1）设每台A型加湿器的销售利润为a元，每台B型加湿器的销售利润为b元，
，得，
即每台A型加湿器的销售利润为50元，每台B型加湿器的销售利润为100元；
（2）①由题意可得，
y＝50x+100（100﹣x）＝﹣50x+10000，
即y关于x的函数关系式是y＝﹣50x+10000；
②∵B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，∴100﹣x≤2x，解得，x≥33，
∵y＝﹣50x+10000，﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取最大值，此时100﹣x＝66，
答：商场购进34台A型加湿器和66台B型加湿器的销售总利润最大．
【小结】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
一次函数的应用（调配问题）
A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥运往牛家、红旗两农村，如果从A城运往牛家村、红旗村运费分别是20元/吨与30元/吨，从B城运往牛家村、红旗村运费分别是15元/吨与22元/吨，现已知牛家村需要220吨化肥，红旗村需要280吨化肥．
（1）如果设从A城运往牛家村x吨化肥，求此时所需的总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式（直接写出自变量x的取值范围）．
（2）如果你承包了这项运输任务，算一算怎样调运花钱最少，并求出最少运费．
【分析】（1）设从A城运往牛家村x吨化肥，用含x的代数式分别表示出从A运往运往红旗村的肥料吨数，从B城运往牛家村化肥吨数，及从B城运往红旗村化肥吨数，然后根据：运费＝运输吨数×运输费用，即可得到所需的总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式；
（2）根据（1）中函数关系式和一次函数的性质，可以得到怎样调运花钱最少，然后再求出最少运费即可．
【解析】（1）∵从A城运往牛家村
x
吨化肥，
∴从A城运往红旗村（200﹣x）吨化肥，
从B城运往牛家村化肥（220﹣x）吨，则从B城运往红旗村280﹣（200﹣x）＝（80+x）吨，
∴y＝20x+30（200﹣x）+15（220﹣x）+22（80+x）＝﹣3x+11060（0≤x≤200）；
（2）由于y＝﹣3x+11060是一次函数，k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵x≤200，
∴当x＝200时，运费最少，最少运费是10460元，
∴当从A城运往牛家村200吨，从B城运往牛家村肥料20吨，从B城运往红旗村280吨时总运费最少，最少运费是10460元，
答：从A城运往牛家村200吨，从B城运往牛家村肥料20吨，从B城运往红旗村280吨时总运费最少，最少运费是10460元．
【小结】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答．
预防新型冠状病毒期间，某种消毒液广宁需要6吨，怀柔需要8吨，正好端州储备有10吨，四会储备有4吨，市预防新型冠状病毒领导小组决定将这14吨消毒液调往广宁和怀柔，消毒液的运费价格如下表（单位：元/吨）设从端州调运x吨到广宁．
起点\终点
广宁
怀柔
端州
60
100
四会
35
70
（1）求调运14吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；
（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费的多少？
【分析】（1）设从端州调运x吨到广宁，则从端州调运（10﹣x）吨到怀柔，从四会调运（6﹣x）吨到广宁，从四会调运8﹣（10﹣x）＝（x﹣2）吨到怀柔，根据总运费＝每吨的运费×运输重量，即可得出y关于x的函数关系式；
（2）由从四会调运到广宁及从四会调运到怀柔消毒液的重量非负，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解析】（1）设从端州调运x吨到广宁，则从端州调运（10﹣x）吨到怀柔，从四会调运（6﹣x）吨到广宁，从四会调运8﹣（10﹣x）＝（x﹣2）吨到怀柔，
依题意，得：y＝60x+100（10﹣x）+35（6﹣x）+70（x﹣2）＝﹣5x+1070．
（2）依题意，得：，解得：2≤x≤6．
∵在一次函数y＝﹣5x+1070中，k＝﹣5＜0，
∴y随x增大而减小，
∴当x＝6时，y取得最小值，最小值＝﹣5×6+1070＝1040，
∴从端州调运6吨到广宁，从端州调运4吨到怀柔，从四会调运4吨到怀柔时，总运费最低，最低运费为1040元．
【小结】本题考查了一次函数的性质以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
抗击新冠疫情期间，一方危急，八方支援．当吉林市疫情严重时，急需大量医疗防护物资．现知A城有医疗防护物资200t，B城有医疗防护物资300t．现要把这些医疗物资全部运往C、D两市．从A城往C、D两市的运费分别为20元/t和25元/t；从B城往C、D两市的运费分别为15元/t和24元/t．现C市需要物资240t，D市需要物资260t．若设从A城往C市运xt．请回答下列问题：
（1）用含x的式子表示从A往D市运物资的数量为t，从B往C市运物资的数量为t，从B往D市运物资的数量为t（写化简后的式子）．
（2）求出怎样调运物资可使总运费最少？最少运费是多少？
【分析】（1）从A城往C市运xt．根据题意则可得运往D市（200﹣x）吨；从B运往C、D市的分别为（240﹣x）吨和（60+x）吨；
（2）根据（1）中所求以及每吨运费从而可得出y与x大的函数关系；x可取0至200之间的任何数，利用函数增减性求出即可．
【解析】（1）用含x的式子表示从A往D市运
（
200﹣x
）t，
从B往C市运
（240﹣x）t，从B往
D市运
（60+x）t，
（2）设总运费为W元，则有
W＝20x+25（
200﹣x
）+15（240﹣x）+24（60+x）＝4x+10040，
∵0≤x≤200，W随x的增大而增大，
∴当x＝0时，W有最小值，
即从A往D调200t，从B往D调60t，从B往C调240t时，总运费最少为10040元．
【小结】此题主要考查了一次函数应用，根据已知得出A城和B城运往各地的物资吨数是解题关键．
预防新型冠状病毒期间，某种消毒液甲城需要7吨，乙城需要8吨，正好A地储备有10吨，B地储备有5吨，市预防新型冠状病毒领导小组决定将A、B两地储备的这15吨消毒液全部调往甲城和乙城，消毒液的运费价格如下表（单位：元/吨），设从A地调运x吨消毒液给甲城．
终点
起点
甲城
乙城
A地
100
120
B地
110
95
（1）根据题意，应从B地调运　
　吨消毒液给甲城，从B地调运　
　吨消毒液给乙城；（结果请用含x的代数式表示）
（2）求调运这15吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）求出总运费最低的调运方案，并算出最低运费．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以解答本题；
（2）根据题意，可以得到y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）根据题意，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到总运费最低的调运方案，然后计算出最低运费．
【解析】（1）由题意可得，
从A地调运x吨消毒液给甲城，则调运（10﹣x）吨消毒液给乙城，从B地调运（7﹣x）吨消毒液给甲城，调运8﹣（10﹣x）＝（x﹣2）吨消毒液给乙城，
故答案为：（7﹣x），（x﹣2）；
（2）由题意可得，y＝100x+120（10﹣x）+110（7﹣x）+95（x﹣2）＝﹣35x+1780，
∵，∴2≤x≤7，
即总运费y关于x的函数关系式是y＝﹣35x+1780（2≤x≤7）；
（3）∵y＝﹣35x+1780，∴y随x的增大而减小，
∵2≤x≤7，∴当x＝7时，y取得最小值，此时y＝1535，
即从A地调运7吨消毒液给甲城时，总运费最低，运费最低为1535元．
【小结】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
一次函数的应用（行程问题）
一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的图象如图所示：
（1）客车的速度是　
　千米/小时，出租车的速度是　
　千米小时；
（2）根据图象，分别直接写出y1、y2关于x的关系式；
（3）求两车相遇的时间．
【分析】（1）根据速度＝路程÷时间，列式进行计算即可得解；
（2）根据两函数图象经过的点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（3）根据y1＝y2列等式，求出即可．
【解析】（1）由图可知，甲乙两地间的距离为600km，
所以，客车速度60（km/h），出租车速度（km/h），
（2）设客车的函数关系式为y1＝k1x，则10k1＝600，解得k1＝60，
所以，y1＝60x（0≤x≤10），
设出租车的函数关系式为y2＝k2x+b，则，解得，
所以，y2＝﹣100x+600（0≤x≤6）；
（3）当出租车与客车相遇时，60x+100x＝600，解得x．
所以两车相遇的时间为小时．
【小结】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式的求法；主要根据待定系数法求一次函数解析式，根据图象准确获取信息是解题的关键．
甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶．甲同学到达山顶休息1小时后再沿原路下山．他们离山脚的距离S（千米）随时间t（小时）变化的图象如图所示．根据图象中的有关信息回答下列问题：
（1）分别求出甲、乙两名同学上山过程中S与t的函数解析式；
（2）若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山顶的距离为0.75千米；
①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式；
②相遇后甲、乙两名同学各自继续下山和上山，求当乙到山顶时，甲离乙的距离是多少千米？
【分析】（1）由图可知，甲、乙两同学登山过程中路程s与时间t都成正比例函数，分别设为S甲＝k1t，S乙＝k2t，用待定系数法可求解．
（2）①把y＝4﹣0.75代入（1）中乙同学上山过程中S与t解析式，求出F横坐标，再待定系数法求解；
②把y＝4代入（1）中乙同学上山过程中S与t的函数解析式，求出乙到山顶所用时间，再代入①的关系式求解即可．
【解析】（1）设甲、乙两同学登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）解析式分别为S甲＝k1t，S乙＝k2t
由题意，得2＝4k1，2＝6k2，∴k1，k2，∴解析式分别为S甲t，S乙t；
（2）①当y＝4﹣0.75时，，解得t，∴点F（，），
甲到山顶所用时间为：48（小时）由题意可知，点D坐标为（9，4），
设甲同学下山过程中S与t的函数解析式为s＝kt+b，则：，解答，
∴甲同学下山过程中S与t的函数解析式为s＝﹣t+13；
②乙到山顶所用时间为：4（小时），当x＝12时，s＝﹣12+13＝1，
当乙到山顶时，甲离乙的距离是：4﹣1＝3（千米）．
【小结】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从坐标系中提取信息的能力，是道综合性较强的代数应用题，有一定的能力要求．
某景区的三个景点A，B，C在同一线路上，甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C；乙先乘景区观光车到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C，甲、乙两人同时到达最点C．甲、乙两人距景点A的路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的图象如图所示：
（1）甲步行的速度为　
　米/分，乙步行时的速度为　
　米/分；
（2）分别写出甲游客从景点A出发步行到景点C和乙游客乘景区观光车时y与x之间的关系式；
（3）问乙出发多长时间与甲在途中相遇？
【分析】（1）由图象得相应的路程和时间，利用路程除以时间得速度；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）根据（2）的结论解答即可．
【解析】（1）甲步行的速度为：5400÷90＝60（米/分）；
乙步行的速度为：（5400﹣3000）÷（90﹣60）＝80（米/分）．
（2）设甲的函数解析式为：y＝kx，将（90，5400）代入得k＝60，∴y＝60x．
根据题意，设乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（20，0），（30，3000）代入得：，解得：，
∴乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式为y＝300x﹣6000（20≤x≤30）；
（3）由得x＝25，即甲出发25分钟与乙第一次相遇，即乙发5分钟与乙第一次相遇；
在y＝60x中，令y＝3000得：x＝50，此时甲与乙第二次相遇．
∴乙发5分钟和30分钟与乙两次在途中相遇．
【小结】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，以及行程问题的基本关系．本题难度中等．
A，B两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C市，甲车从A市到B市，乙车从C市到A市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程y（单位：千米）与驶的时间t（单位：小时）的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车的速度是　
　千米/时，在图中括号内填入正确的数；
（2）求图象中线段MN所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；
（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距C市的路程之和是460千米．
【分析】（1）利用图中信息解决问题即可．
（2）利用待定系数法解决问题即可．
（3）分两种情形分别求解即可解决问题．
【解析】（1）由题意，甲的速度为60千米/小时．乙的速度为80千米/小时，
6（小时），4+6＝10（小时），∴图中括号内的数为10．故答案为：60．
（2）设线段MN所在直线的解析式为
y＝kt+b
（
k≠0
）．
把点M（4，0），N（10，480）代入y＝kt+b，得：，解得：．
∴线段MN所在直线的函数解析式为y＝80t﹣320．
（3）（480﹣460）＝20，
20÷60（小时），或60t﹣480+80（t﹣4）＝460，解得t＝9，
答：甲车出发小时或9小时时，两车距C市的路程之和是460千米．
【小结】本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
一次函数的综合应用
如图，直线l1的解析式为yx+1，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A、B，直线l1与l2交于点C．
（1）求直线的解析式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可直接求得l2的函数解析式；
（2）首先解两条之间的解析式组成的方程组求得C的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（3）求得C关于y轴的对称点，然后求得经过这个点和B点的直线解析式，直线与x轴的交点就是E．
【解析】（1）设l2的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：，解得，则函数的解析式是：y＝﹣x+4；
（2）在yx+1中令y＝0，即yx+1＝0，解得：x＝﹣2，则D的坐标是（﹣2，0）．
解方程组，解得，则C的坐标是（2，2）．则S△ADCAD×yC6×2＝6；
（3）存在，理由：
设C（2，2）关于y轴的对称点C′（2，﹣2），连接BC′交x轴于点E，则点E为所求点，
△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+C′E＝BC+BC′为最小，
设经过（2，﹣2）和B的函数解析式是y＝mx+n，则，解得：，
则直线的解析式是y，令y＝0，则y0，解得：x．则E的坐标是（，0）．
【小结】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，以及对称的性质，正确确定E的位置是本题的关键．
如图，一次函数y1x+n与x轴交于点B，一次函数y2x+m与y轴交于点C，且它们的图象都经过点D（1，）．
（1）则点B的坐标为　
　，点C的坐标为　
　；
（2）在x轴上有一点P（t，0），且t，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值；
（3）在（2）的条件下，在y轴的右侧，以CP为腰作等腰直角△CPM，直接写出满足条件的点M的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，分别令y＝0和x＝0，可得B、C点坐标；
（2）根据面积的和差，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；
（3）分情况讨论，注意是在y轴的右侧，有三个符合条件的点M，作辅助线，构建三角形全等，根据全等三角形的判定与性质，可得M的坐标．
【解析】（1）将D（1，）代入yx+n，解得n＝﹣3，
即yx﹣3，当y＝0时，x﹣3＝0．解得x，即B点坐标为（，0）；
将（1，）代入yx+m，解得m＝﹣1，即yx﹣1，当x＝0时，y＝﹣1．即C坐标为（0，﹣1）；
（2）如图1，S△BDP（t）×||，
当y＝0时，x﹣1＝0，解得x，即E点坐标为（，0），
S△CDP＝S△DPE﹣S△CPE（t）（t）×|﹣1|，
由△BDP和△CDP的面积相等，得：，解得t＝5.2；
（3）以CP为腰作等腰直角△CPM，有以下两种情况：
①如图2，当以点C为直角顶点，CP为腰时，
点M1在y轴的左侧，不符合题意，过M2作M2A⊥y轴于A，
∵∠PCM2＝∠PCO+∠ACM2＝∠PCO+∠OPC＝90°，∴∠ACM2＝∠OPC，
∵∠POC＝∠CAM2，PC＝CM2，∴△POC≌△CAM2（AAS），∴PO＝AC＝5.2，OC＝AM2＝1，
∴M2（1，﹣6.2）；
②如图3，当以点P为直角顶点，CP为腰时，
过M4作M4E⊥x轴于E，同理得△COP≌△PEM4，∴OC＝EP＝1，OP＝M4E＝5.2，∴M4（6.2，﹣5.2），
同理得M3（4.2，5.2）；
综上所述，满足条件的点M的坐标为（1，﹣6.2）或（6.2，﹣5.2）或（4.2，5.2）．
【小结】本题考查了一次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用面积的和差得出关于t的方程是解题关键；利用全等三角形的判定与性质得出对应边相等是解题关键．
如图，已知直线y＝2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C的坐标为（﹣3，1）．
（1）直接写出点A的坐标　
　，点B的坐标　
　．
（2）求证△ABC是等腰直角三角形．
（3）若直线AC交x轴于点M，点P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）作CD⊥x轴于点D，证明△CDB≌△BOA（SAS）即可解决问题．
（3）求出点P的坐标，利用面积法求出BN的长即可解决问题．
【解答】（1）对于直线y＝2x+2，令x＝0，得到y＝2，令y＝0，得到x＝﹣1，∴A（0，2），B（﹣1，0）．
（2）证明：作CD⊥x轴于点D，
由题意可得CD＝1，OD＝3，OB＝1，OA＝2，∴CD＝OB＝1，BD＝OA＝2，
∵∠CDB＝∠AOB＝90?，∴△CDB≌△BOA（SAS），∴BC＝BA，∠CBD＝∠BAO，
∵∠ABO+∠BAO＝90?，∴∠ABO+∠CBD＝90?，即∠ABC＝90?，∴△ABC是等腰直角三角形．
（3）∵P（，k）在直线BC：上，∴P，
∵直线AC：交x轴于M，∴M（﹣6，0），
∵，假设存在点N，使直线PN平分△BCM的面积，则，
∴BN，∴ON＝BN+OB1，∴．
【小结】本题考查属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的判定，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标（6，0），点C在直线AB上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连结CD，以CD为直角边在右侧构造一个等腰Rt△CDE，且∠CDE＝90°．
（1）求直线AB的解析式以及C点坐标；
（2）设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；
（3）如图2，连结OC，OE，请直接写出使得△OCE周长最小时，点E的坐标．
【分析】（1）把A（6，0）代入y＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：，即可求解；
（2）证明△CDF≌△DEG（AAS），则CF＝DG＝4，DF＝EG＝3﹣m，OG＝4+m，则E（4+m，m﹣3）；
（3）过点O作直线l的对称点O′，连接CO′交直线l于点E′，则点E′为所求点，即可求解．
【解析】（1）把A（6，0）代入y＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：，∴，
把x＝3代入，得y＝4，∴C（3，4）；
（2）作CF⊥x轴于点F，EG⊥x轴于点G，
∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，∠CDE＝90°，
∴∠CDF＝90°﹣∠EDG＝∠DEG，且∠CFD＝∠DGE＝90°，
∴△CDF≌△DEG（AAS）∴CF＝DG＝4，DF＝EG＝3﹣m，∴OG＝4+m，∴E（4+m，m﹣3）；
（3）点E（4+m，m﹣3），则点E在直线l：y＝x﹣7上，
设：直线l交y轴于点H（0，﹣7），过点O作直线l的对称点O′，
∵直线l的倾斜角为45°，则HO′∥x轴，则点O′（7，﹣7），
连接CO′交直线l于点E′，则点E′为所求点，OC是常数，
△OCE周长＝OC+CE+OE＝OC+OE′+CE′＝OC+CE′+O′E′＝OC+CO′为最小，
由点C、O′的坐标得，直线CO′的表达式为：y
联立，解得：，故：．
【小结】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、点的对称性等，综合性很强，难度较大．巧用圆的半径相等
解决此类问题的关键是连接半径，抓住圆的半径相等是关键.
如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（　　）
A．8
B．6
C．4
D．2
【分析】如图，连接OC，在Rt△OBC中，求出OB即可解决问题．
【解析】如图，连接OC．
∵四边形OBCD是矩形，
∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝10，
∴OB6，
∴AB＝OA﹣OB＝4，
故选：C．
【小结】本题考查圆，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（　　）
A．42°
B．28°
C．21°
D．20°
【分析】利用OB＝DE，OB＝OD得到DO＝DE，则∠E＝∠DOE，根据三角形外角性质得∠1＝∠DOE+∠E，所以∠1＝2∠E，同理得到∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，然后利用∠E∠AOC进行计算即可．
【解析】连结OD，如图，
∵OB＝DE，OB＝OD，
∴DO＝DE，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠1＝∠DOE+∠E，
∴∠1＝2∠E，
而OC＝OD，
∴∠C＝∠1，
∴∠C＝2∠E，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，
∴∠E∠AOC84°＝28°．
故选：B．
【小结】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．
如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是（　　）
A．a＞b＞c
B．a＝b＝c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
【分析】连接OA、OD、OM，则OA＝OD＝OM，由矩形的性质得出OA＝BC＝a，OD＝EF＝b，OM＝NH＝c，即可得出a＝b＝c．
【解析】连接OA、OD、OM，如图所示：
则OA＝OD＝OM，
∵四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，
∴OA＝BC＝a，OD＝EF＝b，OM＝NH＝c，
∴a＝b＝c；
故选：B．
【小结】本题考查了矩形的性质、同圆的半径相等的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
如图，两个正方形都在⊙O的直径MN的同侧，顶点B、C、G都在MN上，正方形ABCD的顶点A和正方形CEFG的顶点F都在⊙O上，点E在CD上．若AB＝5，FG＝3，则OC的长为　
　．
【分析】由四边形ABCD，EFGC是正方形，得到∠ABC＝∠FGC＝90°，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】连接AO，OF，
∵四边形ABCD，EFGC是正方形，
∴∠ABC＝∠FGC＝90°，
∴AB2+BO2＝OG2+FG2，
∴52+（5﹣OC）2＝（3+OC）2+32
∴OC＝2，
故答案为：2．
【小结】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
点与圆的位置关系（求范围）
解决此类问题关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3，以点A为圆心作圆A，要使B、C两点中的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的半径长r的取值范围是　
　．
【分析】熟记“设点到圆心的距离为d，则当d＝r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内”即可求解，
【解析】∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3，∴AB＝6，
如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r＞3，
点B在圆A外，则r＜6，
因而圆A半径r的取值范围为3＜r＜6．故答案为3＜r＜6；
【小结】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d＝r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．
在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（　　）
A．5
B．4
C．3
D．2
【分析】先根据两点间的距离公式分别计算出OA、OB的长，再由点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外求出r的范围，进而求解即可．
【解析】∵点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4），
∴OA，
OB5，
∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，
∴r＜5，∴r＝4符合要求．故选：B．
【小结】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．
矩形ABCD中，AB＝10，BC＝4，点P在边AB上，且BP：AP＝4：1，如果⊙P是以点P为圆心，PD长为半径的圆，那么下列结论正确的是（　　）
A．点B、C均在⊙P外
B．点B在⊙P外，点C在⊙P内
C．点B在⊙P内，点C在⊙P外
D．点B、C均在⊙P内
【分析】先求出AP的长，然后利用勾股定理求得圆P的半径PD的长，根据点B、C到P点的距离判断点P与圆的位置关系即可．
【解析】如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝4，
∵AB＝10，BP：AP＝4：1，
∴AP＝2，BP＝8，
在Rt△ADP中，∵AP＝2，AD＝4，
∴DP6，
在Rt△PBC中，CP4，
∵8＞6，46，
∴点B，点C均在⊙P外，
故选：A．
【小结】本题考查了矩形的性质，点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断即可．
如图，在每个小正方形的边长均为1的5×5的网格中，选取7个格点（小正方形的顶点），若以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个点在圆内，则r的取值范围是（　　）
A．3＜r
B．r
C．r
D．r≤3
【分析】利用勾股定理求出各格点到点A的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论．
【解析】给各点标上字母，如图所示．
∵AB，AC＝AD，AG＝3，AF，
AE
所以以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，
这三个点只能为B、C、D点，
∴，
故选：D．
【小结】本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点A的距离是解关键．
点与圆的位置关系（求最值）
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是半径为1的⊙A上的一个动点，点E为CD的中点，连结BE，则线段BE长度的最小值为　
　．
【分析】取AC的中点N，连接AD、EN、BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，EN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．
【解析】如图，取AC的中点N，连接AD、EN、BN．
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC5，
∵AN＝NC，∴BNAC，
∵AN＝NC，DE＝EC，∴ENAD，
∴BN﹣EN≤BE≤BN+EN，
∴BE，
∴2≤BE≤3，
∴BE的最小值为2，
【小结】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是　
　．
【分析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．
【解析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN．
∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝10，
∵AN＝NC，∴BNAC＝5，
∵AN＝NC，DM＝MC，
∴MN2，
∴BM≤BN+NM，
∴BM≤5+2＝7，
即BM的最大值是7．
【小结】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是（　　）
A．1
B．
C．2
D．
【分析】如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．利用三角形的中位线定理可得EH＝1，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆．
【解析】如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．
∵CE＝EP，CH＝AH，
∴EHPA＝1，
∴点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，
∵C（0，4），A（3，0），
∴H（1.5，2），
∴OH2.5，
∴OE的最小值＝OH﹣EH＝2.5﹣1＝1.5，
故选：B．
【小结】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）
A．1
B．
C．21
D．2
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解析】如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OMCD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝21，
∴OMCD，即OM的最大值为；
故选：B．
【小结】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．
弧、弦、角、之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，其中圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PA＝PC．求证：．
【分析】连接AC、OA、OB、OC、OD，根据等腰三角形的性质得到∠PAC＝∠PCA，根据圆周角定理得到∠BOC＝∠AOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论．
【解析】证明：连接AC、OA、OB、OC、OD，
∵PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA，
∵∠PAC∠BOC，∠PCA∠AOD，
∴∠BOC＝∠AOD，
∴，
∴，即．
【小结】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E．
（1）求证：CD＝CE．
（2）求证：．
【分析】（1）连接OC，只要证明△COD≌△COE（SAS）即可解决问题；
（2）欲证明，只要证明∠MOD＝∠NOE即可；
【解析】（1）证明：连接OC．
∵，∴∠COD＝∠COE，
∵OA＝OB，AD＝BE，∴OD＝OE，
∵OC＝OC，∴△COD≌△COE（SAS），∴CD＝CE．
（2）分别连结OM，ON，
∵△COD≌△COE，
∴∠CDO＝∠CEO，∠OCD＝∠OCE，
∵OC＝OM＝ON，
∴∠OCM＝∠OMC，∠OCN＝∠ONC，
∴∠OMD＝∠ONE，
∵∠ODC＝∠DMO+∠MOD，∠CEO＝∠CNO+∠EON，
∴∠MOD＝∠NOE，
∴．
【小结】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，已知半⊙O的直径AB为3，弦AC与弦BD交于点E，OD⊥AC，垂足为点F，AC＝BD，则弦AC的长为　　．
【分析】由AC＝BD知，得，根据OD⊥AC知，从而得，即可知∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，利用AF＝AOsin∠AOF可得答案；
【解析】∵OD⊥AC，
∴，∠AFO＝90°，
又∵AC＝BD，
∴，即，
∴，
∴，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，
∵AB＝3，
∴AO＝BO，
∴AF＝AOsin∠AOF，
则AC＝2AF；
【小结】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．
【解析】∵F为的中点，
∴，故①正确，∴∠FCM＝∠FAC，
∵∠FCG＝∠ACM+∠GCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，
∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，∴FC＞FM，故③错误，
∵AB⊥CD，FH⊥AC，∴∠AEM＝∠CGF＝90°，
∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，
∴∠CFH＝∠BAF，∴，∴HC＝BF，故②正确，
∵∠AGF＝90°，
∴∠CAF+∠AFH＝90°，
∴的度数的度数＝180°，
∴的度数的度数＝180°，
∴，故④正确，
故选：C．
【小结】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题．
圆的对称性（最短路线）
如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为　
　．
【分析】作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，与MN的交点即为点P，此时PA+PB的最小值即为A′B的长，连接OA′、OB、OA，先求∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝60°+30°＝90°，再根据勾股定理即可得出答案．
【解析】作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，与MN的交点即为点P，PA+PB的最小值即为A′B的长，连接OA′、OB、OA，
∵A′点为点A关于直线MN的对称点，∠AMN＝30°，
∴∠AON＝∠A′ON＝2∠AMN＝2×30°＝60°，
又∵弧AN的中点，
∴，
∴∠BON＝∠AOB∠AON60°＝30°，
∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝60°+30°＝90°，
又∵MN＝4，∴OA′＝OBMN4＝2，
∴Rt△A′OB中，A′B2，即PA+PB的最小值为2．
【小结】本题主要考查作图﹣复杂作图及轴对称的最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和圆周角定理、圆心角定理是解题的关键．
如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧BC的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为（　　）
A．2
B．
C．1
D．2
【分析】作出D关于AB的对称点D′，则PC+PD的最小值就是CD′的长度，在△COD′中根据边角关系即可求解．
【解析】作出D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′．
又∵点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧BC的中点，即，
∴∠BAD′∠CAB＝15°．
∴∠CAD′＝45°．
∴∠COD′＝90°．则△COD′是等腰直角三角形．
∵OC＝OD′AB＝1，
∴CD′．
故选：B．
【小结】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，垂径定理，正确作出辅助线是解题的关键．
如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是的中点，P是直径AB上的一动点，则PM+PN的最小值为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
【分析】作N点关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于P′，如图，则P′N＝P′N′，利用两点之间线段最短得到此时P′M+P′N的值最小，然后证明△OMN′为等边三角形得到MN′＝OM＝4，从而可判断PM+PN的最小值．
【解析】作N点关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于P′，如图，
则P′N＝P′N′，
∴P′M+P′N＝P′M+P′N′＝MN′，
∴此时P′M+P′N的值最小，
∵∠MAB＝20°，
∴∠MOB＝40°，
∵N是弧MB的中点，
∴∠NOB＝20°，
∵N点关于AB的对称点N′，∴∠N′OB＝20°，
∴∠MON′＝60°，∴△OMN′为等边三角形，
∴MN′＝OM＝4，∴P′M+P′N＝4，
即PM+PN的最小值为4．
故选：A．
【小结】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了最短路径问题的解决方法．
如图，MN是⊙O的直径，A，B，C是⊙O上的三点，∠ACM＝60°，B点是的中点，P点是MN上一动点，若⊙O的半径为1，则PA+PB的最小值为（　　）
A．1
B．
C．
D．1
【分析】点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AON＝60°，然后求出∠BON＝30°，再根据对称性可得∠B′ON＝∠BON＝30°，然后求出∠AOB′＝90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′OA，即为PA+PB的最小值．
【解析】作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，
则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值＝AB′，
∵∠ACM＝60°，∴∠AOM＝2∠ACM＝2×60°＝120°，
∴∠AON＝60°，
∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON∠AON60°＝30°，
由对称性，∠B′ON＝∠BON＝30°，
∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝60°+30°＝90°，
∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′OA1，即PA+PB的最小值．
故选：C．
【小结】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键．
垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（　　）
A．5
B．4
C．
D．2
【分析】如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，可得AD＝AB＝5，根据垂径定理可得DE＝BE，得CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，再根据勾股定理即可求得DE的长，进而可得CD的长．
【解析】如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，
∴AD＝AB＝5，
根据垂径定理，得DE＝BE，
∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，
根据勾股定理，得AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，
∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2，解得DE，
∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2．
故选：C．
【小结】本题考查了垂径定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．
如图，将⊙O沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．如果弦AB＝4，那么⊙O的半径长度为（　　）
A．2
B．4
C．2
D．4
【分析】作OD⊥AB于D，连接OA，先根据勾股定理列方程可解答．
【解析】作OD⊥AB于D，连接OA．
∵OD⊥AB，AB＝4，
∴ADAB＝2，
由折叠得：ODAO，
设OD＝x，则AO＝2x，
在Rt△OAD中，AD2+OD2＝OA2，
（2）2+x2＝（2x）2，
x＝2，
∴OA＝2x＝4，即⊙O的半径长度为4；
故选：B．
【小结】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝6cm，EB＝2cm，∠BED＝30°，求CD的长．
【分析】先过点O作OM⊥CD，连结OC，根据垂径定理得出CD＝2CM，再根据AE＝6cm，EB＝2cm，求出AB，再求出OC、OB、OE，再根据∠CEA＝30°，求出OMOE2＝1cm，根据CM，求出CM，最后根据CD＝2CM即可得出答案．
【解析】过点O作OM⊥CD，连结OC，则CD＝2CM，
∵AE＝6cm，EB＝2cm，
∴AB＝8（cm），
∴OC＝OB＝4（cm），
∴OE＝4﹣2＝2（cm），
∵∠CEA＝∠BED＝30°，
∴OMOE2＝1（cm），
∴CM（cm），
∴CD＝2（cm）．
【小结】此题考查了垂经定理，用到的知识点是垂经定理、勾股定理、30°角的直角三角形，关键是根据题意做出辅助线，构造直角三角形．
如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．
（1）求证AC＝BD；
（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是　　．
【分析】（1）作CH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，利用等量减等量差相等可得到结论；
（2）连接OC，如图，设CH＝x，利用勾股定理得到OH2＝OC2﹣CH2＝42﹣x2，OH2＝OA2﹣AH2＝62﹣（3+x）2，则42﹣x2＝62﹣（3+x）2，然后解方程求出x即可得到CD的长．
【解析】（1）证明：作CH⊥CD于H，如图，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，AH＝BH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD；
（2）连接OC，如图，设CH＝x，
在Rt△OCH中，OH2＝OC2﹣CH2＝42﹣x2，
在Rt△OAH中，OH2＝OA2﹣AH2＝62﹣（3+x）2，
∴42﹣x2＝62﹣（3+x）2，解得x，
∴CD＝2CH．
【小结】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
垂径定理的实际应用
某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10
m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17m，则MN＝　
　m．
【分析】根据题意和垂径定理得到CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，根据勾股定理求得半径，进而利用勾股定理求得MH，即可求得MN．
【解析】设CD于AB交于G，与MN交于H，
∵CD＝18m，AE＝10m，AB＝24m，HD＝17m，∴CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，
设圆拱的半径为r，
在Rt△AOG中，OA2＝OG2+AG2，
∴r2＝（r﹣8）2+122，解得r＝13，
∴OC＝13m，∴OH＝13﹣1＝12m，
在Rt△MOH中，OM2＝OH2+MH2，
∴132＝122+MH2，解得MH2＝25，
∴MH＝5m，∴MN＝10m
【小结】本题考查了垂径定理的应用，作出辅助线构建直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键．
《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（　　）
A．13
B．24
C．26
D．28
【分析】设⊙O的半径为r寸．在Rt△ACO中，AC＝5，OC＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解方程即可．
【解析】设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，如图所示：
∴ACAB10＝5，
设⊙O的半径为r寸，
在Rt△ACO中，OC＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
【小结】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝16cm，则球的半径为（　　）
A．10cm
B．10cm
C．10cm
D．8cm
【分析】首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM是16﹣x，MF＝8，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【解析】EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
设OF＝x，则OM＝16﹣x，MF＝8，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2，
即：（16﹣x）2+82＝x2，
解得：x＝10．
故选：B．
【小结】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形．
在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，油面AB上升（　　）
A．1分米
B．4分米
C．3分米
D．1分米或7分米
【分析】实质是求两条平行弦之间的距离．根据勾股定理求弦心距，作和或差分别求解．
【解析】连接OA．作OG⊥AB于G，
则在直角△OAG中，AG＝3分米，
因为OA＝5cm，根据勾股定理得到：OG＝4分米，即弦AB的弦心距是4分米，
同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米，
当油面没超过圆心O时，油上升了1分米；当油面超过圆心O时，油上升了7分米．
因而油上升了1分米或7分米．
故选：D．
【小结】此题主要考查了垂径定理的应用，此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．本题容易忽视的是分情况讨论．
圆周角定理
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝　
　°．
【分析】如图，连接AD．证明∠1+∠2＝90°即可解决问题．
【解析】如图，连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠1＝∠ADE，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝55°，
∴∠2＝35°，
故答案为35．
【小结】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝　
　．
【分析】连接OB，求出∠D，利用三角形的外角的性质解决问题即可．
【解析】连接OB．
∵，
∴∠AOB＝∠BOC＝50°，
∴∠BDC∠BOC＝25°，
∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，
∴∠OED＝60°，
故答案为60°．
【小结】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（　　）
A．57°
B．52°
C．38°
D．26°
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB＝90°，又由∠ABC＝38°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数．
【解析】连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝38°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝52°，∴∠BDC＝∠BAC＝52°．故选：B．
【小结】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．
四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，则∠ADB的度数为（　　）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到，再利用圆周角定理得到∠BAC＝∠DAC＝35°，∠ABD＝∠ACD＝45°，然后根据三角形内角和计算∠ADB的度数．
【解析】∵BC＝CD，∴，
∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是，∴∠BAC＝∠DAC＝35°，
∵∠ABD＝∠ACD＝45°，∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝180°﹣70°﹣45°＝65°．故选：C．
【小结】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
圆内接四边形
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补,且任意一个角的外角都等于其内对角.
如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝100°，CE⊥AB交⊙O于点E，连接OB、OE，则∠BOE的度数为（　　）
A．18°
B．20°
C．25°
D．40°
【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝100°，
∴∠ABC＝180°﹣∠D＝80°，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠ABC＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣80°＝10°，
∵在同圆或等圆中，圆周角是所对弧的圆心角的一半，
∴∠BOE＝2∠BCE＝20°，
故选：B．
【小结】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，的度数为60°，则∠B+∠D的度数是（　　）
A．180°
B．120°
C．100°
D．150°
【分析】连接AB、DE，先求得∠ABE＝∠ADE＝25°，根据圆内接四边形的性质得出∠ABE+∠EBC+∠ADC＝180°，即可求得∠EBC+∠ADC＝150°．
【解析】连接AB、DE，则∠ABE＝∠ADE，
∵的度数为60°，∴∠ABE＝∠ADE＝30°，
∵点A、B、C、D在⊙O上，∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABE+∠EBC+∠ADC＝180°，
∴∠EBC+∠ADC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣30°＝150°．故选：D．
【小结】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建内接四边形是解题的关键．
如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，∠AOD的大小为（　　）
A．130°
B．100°
C．120°
D．110°
【分析】首先证明∠ADC＝∠CBE，再利用等腰三角形的性质求出∠ACD，利用圆周角定理即可解决问题．
【解析】∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠ADC＝∠CBE＝50°，
∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA（180°﹣50°）＝65°，
∴∠AOB＝2∠ACD＝130°，故选：A．
【小结】本题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
如图，点A、B、C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为（　　）
A．140°
B．70°
C．110°
D．80°
【分析】先根据四边形的内角和为360°求∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，再由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠P的度数，最后由四点共圆的性质得结论．
【解析】如图，在优弧AB上取一点P，连接AP，BP，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠ODC＝∠OEC＝90°，
∵∠DCE＝40°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠P∠AOB＝70°，
∵A、C、B、P四点共圆，
∴∠P+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
故选：C．
【小结】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
圆周角定理有关的计算与证明
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连结AC．
（1）求证：AB＝AP；
（2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．
【分析】（1）利用等角对等边证明即可．
（2）利用勾股定理分别求出BD，PB，再利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【解析】（1）证明：∵C为的中点，∴∠BAC＝∠CAP，
∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ACP＝90°，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，
∴∠ABC＝∠P，
∴AB＝AP．
（2）如图，连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDP＝90°，
∵AB＝AP＝10，DP＝2，
∴AD＝10﹣2＝8，
∴BD6，
∴PB2，
∵AB＝AP，AC⊥BP，
∴BC＝PCPB，
∴PC．
【小结】主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线．
（Ⅰ）如图①，若∠BAD＝70°，BC＝CD．求∠CAD的大小；
（Ⅱ）如图②，若AD经过圆心O，连接OC，AB＝BC，OC∥AB，求∠ACO的大小．
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦之间的关系解答；
（2）连接BD，根据圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠BDA＝∠OAC，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，计算即可．
【解析】（1）∵BC＝CD，∴，
∴∠CAD＝∠CAB∠BAD＝35°；
（2）连接BD，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵OC∥AB，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠OAC，
由圆周角定理得，∠BCA＝∠BDA，
∴∠BAC＝∠BDA＝∠OAC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ACO＝30°．
【小结】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝　
　°；
（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；
【解析】（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＝180°﹣∠BAC＝110°，
故答案为：110；
（2）证明：∵BD⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，
∵∠DAC＝∠CBD，
∴∠BAC＝2∠DAC；
【小结】本题考查了圆内接四边形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．
已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB＝CD．
（1）如图1，连接AD．求证：AM＝DM．
（2）如图2，若AB⊥CD，在弧BD上取一点E，使弧BE＝弧BC，AE交CD于点F，连接AD、DE．
①判断∠E与∠DFE是否相等，并说明理由．
②若DE＝7，AM+MF＝17，求△ADF的面积．
【分析】（1）如图1，利用AB＝CD得到，则，根据圆周角定理得到∠A＝∠D，然后根据等腰三角形的判定得到结论；
（2）①连接AC，如图，由弧BE＝弧BC得到∠CAB＝∠EAB，再根据等腰三角形的判定方法得到AC＝AF，则∠ACF＝∠AFC，然后圆周角定理、对顶角和等量代换得到∠DFE＝∠E；
②由∠DFE＝∠E得DF＝DE＝7，再利用AM＝DM得到AM＝MF+7，加上AM+MF＝17，于是可求出AM，然后根据三角形面积公式求解．
【解析】（1）证明：如图1，
∵AB＝CD，∴，
即，
∴，∴∠A＝∠D，∴AM＝DM；
（2）①∠E与∠DFE相等．
理由如下：连接AC，如图，
∵弧BE＝弧BC，∴∠CAB＝∠EAB，
∵AB⊥CD，∴AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC，
∵∠ACF＝∠E，∠AFC＝∠DFE，∴∠DFE＝∠E；
②∵∠DFE＝∠E，∴DF＝DE＝7，
∵AM＝DM，∴AM＝MF+7，
∵AM+MF＝17，∴MF+7+MF＝17，解得MF＝5，∴AM＝12，∴S△ADF7×12＝42．
【小结】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．
旋转的性质
图形旋转所得的图形和原图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.
如图，在△ABC中，∠C＝64°，将△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且点C′在BC上，则∠B′C′B的度数为（　　）
A．42°
B．48°
C．52°
D．58
【分析】根据旋转的性质，可以得到AC＝AC′，然后根据∠C＝64°，即可得到旋转角的度数，然后三角形内角和，即可得到∠B′C′B的度数．
【解析】∵将△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，∠C＝64°，
∴AC＝AC′，∠CAC′＝∠BAB′，∠B＝∠B′，
∴∠C＝∠AC′C＝64°，
∴∠CAC′＝52°，
∴∠BAB′＝52°，
∴∠B′AD＝52°，
∵∠B＝∠B′，∠BDC′＝∠B′DA，
∴∠BC′D＝∠B′AD＝52°，
即∠B′C′B的度数为52°，
故选：C．
【小结】本题考查旋转的性质、三角形内角和、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（　　）
A．18°
B．20°
C．24°
D．28°
【分析】由旋转的性质可得∠C＝∠C'，AB＝AB'，由等腰三角形的性质可得∠C＝∠CAB'，∠B＝∠AB'B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【解析】∵AB'＝CB'，
∴∠C＝∠CAB'，
∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，
∴3∠C＝180°﹣108°，
∴∠C＝24°，
∴∠C'＝∠C＝24°，
故选：C．
【小结】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．
把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：
（1）如图1，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上．
①易知AB∥CD，理由是　
　；
②求出∠BOC的度数；
（2）如图2，如果把图1所示的△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，当∠AOA′为多少度时，OB′平分∠COD；
（3）如图3，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边OB、OC也在同一条直线上，如果把△OAB以O为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时，两条斜边AB∥CD，请直接写出答案．
【分析】（1）①由同旁内角互补，两直线平行可证AB∥CD；
②由平角的性质可求解；
（2）由旋转的性质可得∠AOB＝∠A'OB'＝45°，由角的数量关系可求解；
（3）分两种情况讨论，由平行线的性质可求解．
【解析】（1）①∵∠BAO＝∠CDO＝90°，
∴∠BAO+∠CDO＝180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；
②∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，
∴∠BOC＝75°；
（2）∵△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，
∴∠AOB＝∠A'OB'＝45°，
∵∠COD＝60°，OB′平分∠COD，
∴∠COB'＝30°，
∴∠COA'＝∠A'OB'﹣∠COB'＝15°，
∴∠A'OB＝∠COB﹣∠COA'＝60°，
∴∠AOA'＝∠AOB+∠A'OB＝105°；
（3）当A'B'与OD相交于点E时，
∵A'B'∥CD，
∴∠D＝∠A'EO＝60°，
∵∠A'EO＝∠B'+∠EOB'，
∴∠EOB'＝60°﹣45°＝15°，
∴∠BOB'＝105°，
当A'B'与AO相交于点F时，
∵A'B'∥CD，
∴∠D＝∠A'FO＝60°，
∴∠A'OF＝180°﹣∠A'FO﹣∠A'＝75°，
∴旋转的角度＝360°﹣75°＝285°，
综上所述：旋转的角度为105°或285°．
【小结】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角性质，灵活运用性质进行推理是本题的关键．
将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按照如图①的方式叠放在一起（∠A＝30°，∠ABC＝60°，∠E＝∠EDC＝45°），且三角板ACB的位置保持不动．
（1）将三角板DCE绕点C按顺时针方向旋转至图②，若∠ACE＝60°，求∠DCB的度数．
（2）将三角板DCE绕点C按顺时针方向旋转，当旋转到ED∥AB时，求∠BCE的度数（请先在备用图上补全相应的图形）．
（3）当0°＜∠BCE＜180°且点E在直线BC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠BCE所有可能的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）首先证明∠BCE＝∠ACD＝25°，∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝120°；
（2）有两种情形，画出图形即可解决问题；
（3）有四种情形，画出图形即可解决问题．
【解析】（1）如图2中，
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ECB＝∠ACD，
∵∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD＝30°，
∴∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝30°+90°＝120°；
（2）如图2中，
当DE∥AB时，延长BC交DE于M，
∴∠B＝∠DMC＝60°，
∵∠DMC＝∠E+∠MCE，
∴∠ECM＝15°，∴∠BCE＝165°，
当D′E′∥AB时，∠E′CB＝∠ECM＝15°，
∴当ED∥AB时，∠BCE的度数为165°或15°；
（3）存在．如图，①CD∥AB时，∠BCE＝30°，
②DE∥BC时，∠BCE＝45°，
③CE∥AB时，∠BCE＝120°，
④DE∥AB时，∠BCE＝165°，
⑤当AC∥DE时，∠BCE＝135°
综上所述，当∠BCE＜180°且点E在直线BC的上方时，这两块三角尺存在一组边互相平行，∠BCE
的值为30°或45°或120°或165°或135°．
【小结】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
旋转中的坐标变化
如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（﹣2，4），AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，则点C的坐标是（　　）
A．（4，3）
B．（4，4）
C．（5，3）
D．（5，4）
【分析】如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F．利用全等三角形的性质求出AF，CF即可解决问题．
【解析】如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F．
∵A（1，0），B（﹣2，4），
∴OA＝1，BE＝4，OE＝2，AE＝3，
∵∠AEB＝∠AFC＝∠BAC＝90°，
∴∠B+∠BAE＝90°，∠BAE+∠CAF＝90°，
∴∠B＝∠CAF，
∵AB＝AC，
∴△BEA≌△AFC（AAS），
∴CF＝AE＝3，AF＝BE＝4，OF＝1+4＝5，
∴C（5，3），
故选：C．
【小结】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（2，4），将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到△AB1C1，若AC1⊥x轴，则点B1的坐标为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】过点B1作B1H⊥x轴于H．解直角三角形求出B1H，OH即可解决问题．
【解析】过点B1作B1H⊥x轴于H．
∵A（﹣1，0），B（2，4），
∴AB5，
∵∠BAC＝∠B1AC1＝60°，AC1⊥OA，
∴∠OAB1＝30°，
∴B1HAB1，AHB1H，
∴OH，
∴B1（，）．故选：A．
【小结】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（　　）
A．（﹣1，1）
B．
C．（﹣1，﹣1）
D．
【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．
【解析】∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴B（1，1），
连接OB，由勾股定理得：OB，
由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（，0），B（﹣1，﹣1），…，
发现是8次一循环，所以2020÷8＝252…4，
∴点B2020的坐标为（﹣1，﹣1）故选：C．
【小结】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法．．
如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2020次旋转结束时，点C的坐标为（　　）
A．（6，4）
B．（4，﹣6）
C．（﹣6，4）
D．（﹣4，6）
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC，根据已知条件求出点C的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点C的坐标，发现规律，进而求出第2020次旋转结束时，点C的坐标．
【解析】如图，过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC，
∵OA＝OB＝2，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠ABC＝90°，∴∠CBE＝45°，
∵BC＝AD＝4，∴CE＝BE＝4，
∴OE＝OB+BE＝6，∴C（﹣4，6），
∵矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
则第1次旋转结束时，点C的坐标为（6，4）；
则第2次旋转结束时，点C的坐标为（4，﹣6）；
则第3次旋转结束时，点C的坐标为（﹣6，﹣4）；
则第4次旋转结束时，点C的坐标为（﹣4，6）；
…
发现规律：旋转4次一个循环，∴2020÷4＝505，
则第2020次旋转结束时，点C的坐标为（﹣4，6）．故选：D．
【小结】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转、规律型﹣点的坐标，解决本题
的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律．
旋转中的最值问题
如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为AC中点，P为AB上的动点，将P绕点D逆时针旋转90°得到P1，连CP1的最小值为（　　）
A．1.6
B．2.4
C．2
D．2
【分析】过点P′作P′E⊥AC于点E，由旋转的性质及同角的余角相等判断△DAP≌△P′ED，根据全等三角形的对应边相等得出P′E＝AD＝2，
当AP＝DE＝2时，DE＝DC，即点E和点C重合，此时CP′＝EP′＝2，故线段CP′的最小值为2．
【解析】如图，过点P′作P′E⊥AC于点E，
则∠A＝∠P′ED＝90°，
由旋转可知：DP＝DP′，∠PDP′＝90°，
∴∠ADP＝∠EP′D，
∴△DAP≌△P′ED（AAS）
∴P′E＝AD＝2，
∴当AP＝DE＝2时，DE＝DC，即点E与点C重合，此时CP′＝EP′＝2
∴线段CP′的最小值为2．
故选：C．
【小结】本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形．
如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．2
【分析】连接
BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，通过证明△AED≌△GFE（AAS），确定F点在BF的射线上运动；作点C关于BF的对称点C'，由三角形全等得到∠CBF＝45°，从而确定C'点在AB的延长线上；当D、F、C'三点共线时，DF+CF＝DC'最小，在Rt△ADC'中，AD＝3，AC'＝6，求出DC'＝3即可．
【解析】连接
BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，
∴EF⊥DE，且EF＝DE，∴△AED≌△GFE（AAS），
∴FG＝AE，∴F点在BF的射线上运动，
作点C关于BF的对称点C'，
∵EG＝DA，FG＝AE，∴AE＝BG，
∴BG＝FG，∴∠FBG＝45°，∴∠CBF＝45°，
∴BF是∠CBC′的角平分线，
即F点在∠CBC′的角平分线上运动，
∴C'点在AB的延长线上，
当D、F、C'三点共线时，DF+CF＝DC'最小，
在Rt△ADC'中，AD＝3，AC'＝6，
∴DC'＝3，∴DF+CF的最小值为3，故选：A．
【小结】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径；能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为　
　．
【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由条件可得OM＝5，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．
【解析】如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，
∵∠EDF＝∠ODM＝90°，
∴∠EDO＝∠FDM，
∵DE＝DF，DO＝DM，
∴△EDO≌△FDM（SAS），
∴FM＝OE＝2，
∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，
∴OC，
∴OD5，
∴OM5，
∵OF+MF≥OM，
∴OF≥52，
∴线段OF长的最小值为52．
故答案为：52．
【小结】本题考查图形的旋转，正方形的性质，勾股定理．解题的关键是掌握图形旋转的性质．
如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC，E为BC上一点，且BE，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为　．
【分析】如图，将线段ET绕点E顺时针旋转45°得到线段ED，连接DE交CG于J．首先证明∠ETG＝90°，推出点G的在射线TG上运动，推出当CG⊥TG时，CG的值最小．
【解析】如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接DE交CG于J．
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，∠B＝∠BCD＝90°，
∵∠BET＝∠FEG＝45°，∴∠BEF＝∠TEG，
∵EB＝ET，EF＝EG，∴△EBF≌△ETG（SAS），
∴∠B＝∠ETG＝90°，∴点G的在射线TG上运动，∴当CG⊥TG时，CG的值最小，
∵BC，BE，CD＝6，∴CE＝CD＝6，
∴∠CED＝∠BET＝45°，∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，
∴四边形ETGJ是矩形，
∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE，
∴CJ⊥DE，∴JE＝JD，
∴CJDE＝3，∴CG＝CJ+GJ3，
∴CG的最小值为3
【小结】本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
作图—旋转变换
在如图所示的平面直角坐标系中（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），解答下列问题：
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出以C1为旋转中心，将△A1B1C1顺时针旋转90°后的△A2B2C1；
（3）连接A1A2，则△C1A1A2是　
　三角形，并直接写出△C1A1A2的面积．
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A1、B1的对应点A2、B2即可；
（3）利用勾股定理的逆定理可判断△C1A1A2是等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式计算它的面积．
【解析】（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
∵C1A12＝12+22＝5，C1A22＝12+22＝5，A1A22＝12+32＝10，
∴C1A12+C1A22＝A1A22，∴△C1A1A2是直角三角形，
而C1A1＝C1A2，∴△C1A1A2是等腰直角三角形，它的面积．故答案为等腰直角．
【小结】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
在平面直角坐标系中，△ABC的点坐标分别是A（2，4）、B（1，2）、C（5，3），如图：
（1）以点（0，0）为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，得到△A1B1C1，在坐标系中画出△A1B1C1，写出A1、B1、C1的坐标；
（2）在（1）中，若△ABC上有一点P（m，n），直接写出对应点P1的坐标．
（3）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
【分析】（1）依据点（0，0）为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，即可得到△A1B1C1；
（2）依据旋转前后坐标的变化规律，即可得到对应点P1的坐标；
（3）依据中心对称的性质，即可得到△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
【解析】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（4，﹣2）、B1（2，﹣1）、C1（3，﹣5）；
（2）若△ABC上有一点P（m，n），则对应点P1的坐标为（n，﹣m）．
（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．
【小结】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A
（2，2），B
（1，0），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°所得的△A2B2C2；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标．
【分析】（1）利用利用y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2；
（3）根据中心对称的定义进行判断．
【解析】（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形，对称中心的坐标为（，）．
【小结】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
如图，在平面直角坐标系中，A（1，1）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）点C绕O点逆时针方向旋转90°后所对应点C2的坐标为　
　；
（3）在x轴上存在一点P，且满足点P到点B1和点C1距离之和最小，请直接写出PB1+PC1的最小值　　．
【分析】（1）根据中心对称图形的性质，△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标即可；
（2）根据旋转的性质即可写出点C绕O点逆时针方向旋转90°后所对应点C2的坐标；．
（3）根据两点之间线段最短，作点C1关于x轴的对称点，连接C′B1与x轴交于一点P，且满足点P到点B1点C1离之和最小，根据勾股定理，即可写出PB1+PC1的最小值．
【解析】（1）如图，△A1B1C1即为所求，点B1的坐标为（﹣4，﹣4）；
（2）点C2的坐标为（﹣1，5）；
（3）点P即为所求，PB1+PC1的最小值为：
【小结】本题考查了作图﹣旋转变换，轴对称、最短路线问题，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
正多边形与圆
定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为　
　．
【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到结论．
【解析】连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝18°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，
∴这个正多边形的边数10，
【小结】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．
如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于　
　度．
【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理得出∠CPD的度数，由三角形内角和定理即可得出结果．
【解析】连接OC、OD，如图所示：
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD72°，
∴∠CPD∠COD＝36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD＝90°，
∴∠PDG＝90°﹣∠CPD＝90°﹣36°＝54°，
【小结】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正五边形的性质和圆周角定理，属于中考常考题型．
图中的正三角形和正六边形有公共的外接圆⊙O．则这个正三角形和正六边形边长的比为（　　）
A．：2
B．：2
C．：1
D．2：1
【分析】根据题意画出图形，通过解直角三角形用R分别表示出它们的边长，进而可得出结论．
【解析】设外接圆的半径为R，
如图所示：连接O2
A，O2
B，
则O2
B⊥AC，
∵O2
A＝R，∠O2
AG＝30°，∠AO2
B＝60°，
∴△AO2
B是等边三角形，AG＝O2A?cos30°R，
∴AB＝R，AC＝2AGR；
∴外接圆的半径相等的正三角形、正六边形的边长之比为R：R：1．
故选：C．
【小结】本题考查的是正多边形和圆、解直角三角形；熟知正三角形、正方形和正六边形的性质是解答此题的关键．
如图1、2、3、…、n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON．
（1）求图1中∠MON的度数；
（2）图2中∠MON的度数是　
　，图3中∠MON的度数是　
　；
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．
【分析】（1）先分别连接OB、OC，可求出∠BOM＝∠NOC，故∠MON＝∠BOC，再由圆周角定理即可求出∠BOC＝120°；
（2）同（1）即可解答；
（3）由（1）、（2）找出规律，即可解答．
【解析】分别连接OB、OC，
（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∵OC＝OB，O是外接圆的圆心，∴CO平分∠ACB
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，
∵BM＝CN，OC＝OB，∴△OMB≌△ONC，
∴∠BOM＝∠NOC，
∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°；
∴∠MON＝∠BOC＝120°；
同（1）可得∠MON的度数是90°，图3中∠MON的度数是72°；
（3）由（1）可知，∠MON120°；在（2）中，∠MON90°；在（3）中∠MON72°…，
故当n时，∠MON．
【小结】本题考查的是正多边形和圆，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
弧长的计算
解决此类问题掌握弧长的计算公式是关键.
如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为　
　．
【分析】连接CF，DF，得到△CFD是等边三角形，得到∠FCD＝60°，根据正五边形的内角和得到∠BCD＝108°，求得∠BCF＝48°，根据弧长公式即可得到结论．
【解析】连接CF，DF，
则△CFD是等边三角形，
∴∠FCD＝60°，
∵在正五边形ABCDE中，∠BCD＝108°，
∴∠BCF＝48°，
∴的长π，
【小结】本题考查了正多边形与圆，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，AC是的弦，过点O作OD∥AC交⊙O于点D，连接BC，若∠ABC＝24°，则劣弧CD的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，得出∠BOD和∠BOC的度数，由角的和差可得∠COD的度数，最后由弧长公式可得结论．
【解析】连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝24°，
∴∠A＝90°﹣24°＝66°，
∴∠BOC＝2×66°＝132°，
∵AC∥OD，
∴∠BOD＝∠A＝66°，
∴∠COD＝132°﹣66°＝66°，
∵AB＝4，
∴劣弧CD的长；
故选：B．
【小结】本题考查了圆周角定理、平行线的性质和弧长公式，熟练掌握圆周角定理及弧长公式是解题关键．
如图，半径为1的⊙O与正六边形ABCDEF相切于点A、D，则弧AD的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】连接OA，OD，首先求得弧所对的圆心角的度数，然后利用弧长公式进行计算即可．
【解析】连接OA，OD，
∵⊙O与正六边形ABCDEF相切于点A、D，∴∠OAF＝∠ODE＝90°，
∵∠E＝∠F＝120°，∴∠AOD＝540°﹣90°﹣90°﹣120°﹣120°＝120°，
∴的长为
π，故选：A．
【小结】本题考查正多边形与圆、切线的性质及弧长的计算，解题的关键是能够根据切线的性质确定∠OAF＝∠ODE＝90°，属于中考常考题型．
如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的运动路径的长是（　　）
A．2π+2
B．3π
C．
D．2
【分析】利用弧长公式计算即可．
【解析】如图，
点O的运动路径的长的长+O1O2的长
，故选：C．
【小结】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
扇形面积的计算
解决此类问题掌握扇形面积的计算公式是关键.
如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆O交于点E．若AB＝8，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π
B．π﹣2
C．π
D．π﹣2
【分析】根据垂径定理得到，AD＝CD，解直角三角形得到ODOA＝2，ADOA＝2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】∵OD⊥AC，∴∠ADO＝90°，，AD＝CD，
∵∠CAB＝30°，OA＝4，∴ODOA＝2，ADOA＝2，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOE﹣S△ADO22，故选：D．
【小结】本题考查了扇形的面积的计算，垂径定理，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（　　）
A．
B．
C．
D．π
【分析】解直角三角形得到ABBC，AC＝2BC＝2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解析】∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴ABBC，AC＝2BC＝2，
∴，故选：B．
【小结】本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．
如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠BCD＝30°，CD＝4．则图中阴影部分的面积S阴影＝（　　）
A．2π
B．π
C．π
D．π
【分析】根据垂径定理求得CE＝ED＝2，然后由圆周角定理知∠DOE＝60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影＝S扇形DOB﹣S△DOE+S△BEC．
【解析】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝ED＝2，
又∵∠DCB＝30°，
∴∠DOE＝2∠BCD＝60°，∠ODE＝30°，
∴OE＝22，OD＝2OE＝4，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△DOE+S△BEC2×2．
故选：B．
【小结】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，圆周角定理，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．
如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据平行线的性质得到∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，于是得到结论；
（2）连接CD，OD，根据平行线的性质得到∠OCB＝∠CBD＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC＝30°，求得∠AOD＝120°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，
又∵OC为半径，∴AE＝ED，
（2）连接CD，OD，
∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD＝30°，
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠OBC＝60°，
∵∠COD＝2∠CBD＝60°，∴∠AOD＝120°，
∵AB＝6，∴BD＝3，AD＝3，
∵OA＝OB，AE＝ED，∴，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD3π．
【小结】本题考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
圆锥侧面积的相关计算
解决此类问题掌握圆锥侧面积的计算公式是关键，并且能够灵活运用.
一个圆锥的底面半径是4cm，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（　　）
A．8cm
B．12cm
C．16cm
D．24cm
【分析】根据圆锥侧面展开图的实际意义和圆锥的弧长公式l求解即可．
【解析】圆锥的底面周长为2π×4＝8πcm，即为展开图扇形的弧长，
由弧长公式得8π，
解得，R＝12，即圆锥的母线长为12cm．
故选：B．
【小结】本题考查圆锥的侧面展开图，明确展开图扇形的各个部分与圆锥的关系是正确计算的前提．
如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（　　）
A．
B．1
C．
D．
【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．
【解析】设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意可知：
AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，
底面圆的周长等于弧长：
∴2πr，解得r．
故选：D．
【小结】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
若一个圆锥的底面半径是2cm，母线长是6cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是　
　度．
【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【解析】圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2＝4π（cm），
设圆心角的度数是n度．则4π，
解得：n＝120
【小结】此题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
如图，在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为　
　；若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥底面半径为　　．
【分析】由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形面积公式求值；根据扇形的弧长等于底面周长求得底面半径即可．
【解析】连接BC，
由∠BAC＝90°得BC为⊙O的直径，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB＝AC＝2，
∴S扇形ABCπ；∴扇形的弧长为：π，
设底面半径为r，则2πr＝π，
解得：r
【小结】本题考查了圆周角定理、扇形的面积计算方法、弧长公式等知识．关键是熟悉圆锥的展开图和底面圆与圆锥的关系．利用所学的勾股定理、弧长公式及扇形面积公式求值．赵爽弦图求值
解决此类问题要熟练运用勾股定理及完全平方公式，结合赵爽弦图利用面积之间的关系即可解决问题.
“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为（　　）
A．9
B．6
C．5
D．4
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的边长．
【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab8＝4，∴大正方形的面积为：4ab+（a﹣b）2＝16+9＝25，∴大正方形的边长为5．选C．
【小结】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，基础题型．
如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（　　）
A．4
B．6
C．8
D．10
【分析】根据小正方形、大正方形的面积可以列出方程组，通过完全平方公式的变形公式来求ab即可．
【解析】由题意：大正方形面积9，小正方形的面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，
即a2+b2＝9，a﹣b＝1，所以ab[（a2+b2）﹣（a﹣b）2]（9﹣1）＝4，即ab＝4．
解法2，4个三角形的面积和为9﹣1＝8；每个三角形的面积为2；则ab＝2；所以ab＝4，选A．
【小结】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了正方形面积的计算，本题中列出方程组并求解是解题的关键．
如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（　　）
A．2
B．4
C．6
D．8
【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b＝2，解得a，b的值代入即可．
【解析】∵AB＝10，EF＝2，∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4ab＝96，
∴2ab＝96，a2+b2＝100，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，
∴a+b＝14，∵a﹣b＝2，解得：a＝8，b＝6，∴AE＝8，DE＝6，∴AH＝8﹣2＝6．选C．
【小结】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值．
如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么a+b的值为　
　．
【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2＝a2+2ab+b2，即可求得a+b的值．
【解析】根据勾股定理可得a2+b2＝13，
四个直角三角形的面积是：ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12，
则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25，则a+b＝5．故答案为：5．
【小结】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．
勾股定理的验证
勾股定理的验证，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此类题的关键.
下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
【解析】A、∵c2ab（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，不符合题意；
B、∵4（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
D、∵4c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，不符合题意；选C．
【小结】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．
“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理．小明受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是（用含有a、b、c的式子表示）　
　，　
　．
【分析】五边形的面积＝边长为c的正方形面积+2个全等的直角边分别为a，b的直角三角形的面积，或五边形的面积＝边长为c的正方形面积+边长为c的正方形面积+2个全等的直角边分别为a，b的直角三角形的面积，依此列式计算即可求解．
【解析】如图所示：①S＝c2ab×2＝c2+ab，②S＝a2+b2ab×2＝a2+b2+ab．
故答案为：c2+ab，a2+b2+ab．
【小结】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．
如图（1）是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；
（2）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）
【分析】（1）此题要由图中给出的三个三角形组成一个梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为a+b；此题主要是利用梯形的面积和三角形的面积公式进行计算，根据图中可知，由此列出等式即可求出勾股定理；
（2）此题的方法很多，这里只举一种例子，即把四个直角三角形组成一个正方形．
【解析】（1）如图所示，是梯形；
由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积（a+b）（a+b）．
从上图我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积，即
ababc2．
两者列成等式化简即可得：a2+b2＝c2；
（2）画边长为（a+b）的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边．
【小结】本题考查了勾股定理的证明，此题的关键是找等量关系，由等量关系求证勾股定理．
（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4ab+（a﹣b）2，所以4ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）试用勾股定理解决以下问题：
如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为　　．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；
（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．
【解析】（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）a2+abb2，
也利用表示为abc2ab，∴a2+abb2abc2ab，即a2+b2＝c2；
（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，∴斜边为5，
∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为3×45×h，∴h
（3）∵图形面积为：（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，∴边长为a﹣2b，由此可画出的图形为：
【小结】此题考查了勾股定理的证明，勾股定理，多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型，此类证明要转化成同一个物体的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
勾股定理的应用之求面积
解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系.
如图，分别以直角△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，若S2＝7，S3＝2，那么S1＝（　　）
A．9
B．5
C．53
D．45
【分析】根据勾股定理与正方形的性质解答．
【解析】在Rt△ABC中，AB2＝BC2+AC2，∵S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，∴S1＝S2+S3．
∵S2＝7，S3＝2，∴S1＝7+2＝9．选A．
【小结】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为13cm，则图中所有的正方形的面积之和为（　　）
A．169cm2
B．196cm2
C．338cm2
D．507cm2
【分析】根据勾股定理有S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形2，S正方形A+S正方形B＝S正方形3，等量代换即可求所有正方形的面积之和．
【解析】如右图所示，根据勾股定理可知，S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形，
S正方形A+S正方形E＝S正方形2，∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E＝S正方形1，
则S正方形1+正方形2+S正方形3+S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E＝3S正方形1＝3×132＝3×169＝507（cm2）．选D．
【小结】本题考查了勾股定理．有一定难度，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　）
A．1
B．2018
C．2019
D．2020
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1＝2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1＝3，推而广之即可求出“生长”2019次后形成图形中所有正方形的面积之和．
【解析】设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得a2+b2＝c2，
即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1．
推而广之，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1＝2020．选D．
【小结】能够根据勾股定理发现每一次得到新正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键
勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算术《周髀算经》中早有记载．以直角三角形纸片的各边分别向外作正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片按如图的方式放置在最大正方形纸片内．若已知图中阴影部分的面积，则可知（　　）
A．直角三角形纸片的面积
B．最大正方形纸片的面积
C．最大正方形与直角三角形的纸片面积和
D．较小两个正方形纸片重叠部分的面积
【分析】根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．
【解析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，
阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），
较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，选D．
【小结】考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
勾股定理的应用之面积法求斜边高
解决此类问题要善于利用等积法求解.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D，则CD的长是（　　）
A．5
B．7
C．
D．
【分析】首先利用勾股定理计算出AB的长，再根据三角形的面积公式计算出CD的长即可．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB5，
∵AC×BCCD×AB，∴3×45×CD，解得CD．选C．
【小结】此题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC＝CD＝5，AD＝6，BD，则△ABC的面积是（　　）
A．18
B．36
C．72
D．125
【分析】先作辅助线，AE⊥CD于点E，CF⊥AD于点F，然后根据勾股定理，可以得到CF的长，再根据等积法可以得到AE的长，然后即可计算出△ABC的面积．
【解析】作AE⊥CD于点E，作CF⊥AD于点F，
∵AC＝CD＝5，AD＝6，CF⊥AD，∴AF＝3，∠AFC＝90°，∴CF4，
∵，∴，解得．AE，
∵BD，CD＝5，∴BC，∴△ABC的面积是：18，选A．
【小结】本题考查勾股定理、等腰三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是　．
【分析】作CP⊥AB于P，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出PC．
【解析】作CP⊥AB于P，由垂线段最短可知，此时PC最小，
由勾股定理得，AB5，
S△ABCAC×BCAB×PC，即3×45×PC，解得，PC，故答案为：．
【小结】本题考查的是勾股定理、垂线段最短，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　）
A．84
B．24
C．24或84
D．42或84
【分析】由于高的位置是不确定的，所以应分情况进行讨论．
【解析】（1）△ABC为锐角三角形，高AD在△ABC内部．
BD9，CD5
∴△ABC的面积为（9+5）×12＝84；
（2）△ABC为钝角三角形，高AD在△ABC外部．
方法同（1）可得到BD＝9，CD＝5
∴△ABC的面积为（9﹣5）×12＝24．选C．
【小结】本题需注意当高的位置是不确定的时候，应分情况进行讨论．
勾股定理的应用之方程思想
解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类问题通用方法.
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．点D为BC边上一点，线段AD将Rt△ABC分为两个周长相等的三角形．若CD＝2，BD＝6，求△ABC的面积．
【分析】由题意得出AC+CD+AD＝AD+BD+AB．得出AC＝AB+4，设AB＝x，则AC＝4+x．在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程得出AB＝6，由三角形面积公式即可得出答案．
【解析】根据题意可知，△ACD与△ADB的周长相等，
∴AC+CD+AD＝AD+BD+AB．∴AC+CD＝BD+AB．
∵CD＝2，BD＝6，∴AC+2＝6+AB，BC＝CD+BD＝8，∴AC＝AB+4，
设AB＝x，则AC＝4+x．
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴x2+82＝（x+4）2．∴x2+64＝16+x2+8x．∴x＝6．
∴．
【小结】本题考查了勾股定理以及三角形面积；熟练掌握勾股定理，求出AC＝AB+4是解题的关键．
如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB边上的高．求线段AD的长．
【分析】设AD＝x，根据CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，构建方程即可解决问题．
【解析】设AD＝x
∵CD⊥AB，∴∠D＝90°，∴CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，∴82﹣（5+x）2＝52﹣x2，∴x，
∴AD．
【小结】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣AE2＝AC2．
（1）求∠A的度数；
（2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长．
【分析】（1）连接CE，根据线段垂直平分线的性质转化线段BE到△AEC中，利用勾股定理的逆定理可求∠A度数；
（2）设AE＝x，则AC可用x表示，在Rt△ABC中利用勾股定理得到关于x的方程求解AE值．
【解析】（1）连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE＝BE．
∵BE2﹣AE2＝AC2，∴AE2+AC2＝CE2．∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°；
（2）在Rt△BDE中，BE5．所以CE＝BE＝5．
设AE＝x，则在Rt△AEC中，AC2＝CE2﹣AE2，所以AC2＝25﹣x2．
∵BD＝4，∴BC＝2BD＝8．
在Rt△ABC中，根据BC2＝AB2+AC2，即64＝（5+x）2+25﹣x2，解得x＝1.4．即AE＝1.4．
【小结】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类问题通用方法．
如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上（但不与A点重合），求t的值．
【分析】（1）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝t，PC＝8﹣t，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝14﹣t，PE＝PC＝t﹣8，BE＝10﹣8＝2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解析】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
则由勾股定理得到：AC8（cm）
设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝t，PC＝8﹣t，
在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（8﹣t）2+62＝t2，解得：t，∴当t时，PA＝PB；
（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图，过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP＝14﹣t，PE＝PC＝t﹣8，BE＝10﹣8＝2，
在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（t﹣8）2+22＝（14﹣t）2，解得：t，
∴当t时，P在△ABC的角平分线上．
【小结】考查了勾股定理，角平分线的性质，此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
勾股定理的逆定理之判断直角三角形
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．a：b：c＝5：12：13
B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
D．a＝6，b＝12，c＝10
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．
【解析】A、∵52+122＝132，∴△ABC是直角三角形，故能判定△ABC是直角三角形；
B、∵∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，故能判定△ABC是直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∴∠C180°＝90°，故能判定△ABC是直角三角形；
D、∵62+102≠122，∴△ABC不是直角三角形，故不能判定△ABC是直角三角形；选D．
【小结】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
在△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件的是（　　）
A．∠A＝∠B﹣∠C
B．∠A：∠B：∠C＝1：4：3
C．a：b：c＝7：24：25
D．a：b：c＝4：5：6
【分析】由直角三角形的定义，只要验证最大角是否是90°；由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解析】A、由∠A＝∠B﹣∠C得到：∠B＝∠A+∠C，所以∠B＝90°，故能判定△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∠A：∠B：∠C＝1：4：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠B＝90°，故能判定△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、因为72+242＝252，所以能判定△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、因为42+52≠62，所以不能判定△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；选D．
【小结】本题主要考查三角形内角和及勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC
是直角三角形
B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC
是直角三角形
C．如果
a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC
是直角三角形
D．如果
a2＝b2﹣c2，那么△ABC
是直角三角形且∠A＝90°
【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．
【解析】A、如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC
是直角三角形，选项正确；
B、如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC
是直角三角形，选项正确；
C、如果
a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC
是直角三角形，选项正确；
D、如果
a2＝b2﹣c2，那么△ABC
是直角三角形且∠B＝90°，选项错误；选D．
【小结】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是直角三角形，则这样的格点C的个数是（　　）
A．4
B．6
C．8
D．10
【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．
【解析】如图所示：
格点C的个数是8，选C．
【小结】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答．
勾股定理的逆定理之求面积）
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
如图，四边形ABCD的四边，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，对角线AC⊥BC．求四边形ABCD的面积．
【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，然后利用S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD求解即可．
【解析】∵AB＝13，BC＝12，AC⊥BC，∴AC2＝AB2﹣BC2＝132﹣122＝25，
∵CD2+AD2＝42+32＝25，∴CD2+AD2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠D＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACDAC?BCAD?CD5×123×4＝36．
【小结】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积；熟练掌握直角三角形面积的求法，利用勾股定理的逆定理判断△ACD为直角三角形是解题关键．
如图，在△ABC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB＝20．求：△ABD的面积．
【分析】由勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，∠C＝90°，再由勾股定理求出BC，得出BD，即可得出结果．
【解析】在△ADC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，AC2+DC2＝122+92＝152＝AD2，即AC2+DC2＝AD2，
∴△ADC是直角三角形，∠C＝90°，在Rt△ABC中，BC16，
∴BD＝BC﹣DC＝16﹣9＝7，∴△ABD的面积7×12＝42．
【小结】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形是解决问题的关键．
如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝3cm，AB＝4cm，CD＝12cm，BC＝13cm，求四边形ABCD的面积．
【分析】连接BD，利用勾股定理求出BD的长，在△BDC中，判断它的形状，并求出它的面积，最后求出四边形ABCD的面积．
【解析】连接BD，∵AD＝4cm，AB＝3cm，AB⊥AD，∴BD5（cm）
∴S△ABDAB?AD＝6（cm2）．
在△BDC中，∵52+122＝132，即BD2+BC2＝CD2，∴△BDC为直角三角形，即∠DBC＝90°，
∴S△DBCBD?BC＝30（cm2）．∴S四边形ABCD＝S△BDC﹣S△ABD＝30﹣6＝24（cm2）．
【小结】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式．掌握勾股定理及其逆定理，连接AC，说明△ABC是直角三角形是解决本题的关键．
如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°，求：
（1）∠A+∠C的度数；（2）四边形ABCD的面积．
【分析】（1）连接AC，根据勾股定理计算出AC长，再利用勾股定理逆定理判定△ACD是直角三角形，然后再根据四边形内角和为360°可得∠A+∠C的度数；
（2）利用△ACD和△ABC的面积求和即可．
【解析】（1）连接AC，∵∠B＝90°，∴AC25，
∵242+72＝252，∴∠D＝90°，∴∠DAC+∠DCB＝360°﹣90°×2＝180°；
（2）四边形ABCD的面积＝S△ACD+S△ACB24×720×15＝234．
【小结】考查勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
勾股数相关问题
勾股数的求法：
如果a为1个大于1的奇数，b，c是两个连续的自然数，且有a?=b+c，则a,b,c为一组勾股数；
如果a,b,c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数.
下列各组数据中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5
B．7，24，25
C．8，15，17
D．5，6，9
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2
的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【解析】A、32+42＝52，是勾股数；B、72+242＝252，是勾股数；
C、82+152＝172，是勾股数；D、52+62≠92，不是勾股数．选D．
【小结】本题考查了勾股数的定义，关键是掌握三个数必须是正整数，且满足a2+b2＝c2．
在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：
a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
则当a＝20时，b+c的值为（　　）
A．162
B．200
C．242
D．288
【分析】根据表格中数据确定a、b、c的关系，然后再代入a＝20求出b、c的值，进而可得答案．
【解析】根据表格中数据可得：a2+b2＝c2，并且c＝b+2，则a2+b2＝（b+2）2，
当a＝20时，202+b2＝（b+2）2，解得：b＝99，则c＝99+2＝101，∴b+c＝200，选B．
【小结】此题主要考查了勾股数，关键是注意观察表格中的数据，确定a、b、c的数量关系．
如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　）
A．47
B．62
C．79
D．98
【分析】依据每列数的规律，即可得到a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，进而得出x+y的值．
【解析】由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，∴x＝63，y＝16，∴x+y＝79，选C．
【小结】本题主要考查了勾股数，满足a2+b2＝c2
的三个正整数，称为勾股数．
三个正整数a，b，c，如果满足a2+b2＝c2，那么我们称这三个数a，b，c叫做一组勾股数．如32+42＝52，则3，4，5就是一组勾股数．请写出与3，4，5不同的一组勾股数　
　．
【分析】根据题中所给勾股数的定义写出一组即可，注意答案不唯一．
【解析】与3，4，5不同的一组勾股数可以为6，8，10．
故答案为6，8，10（答案不唯一）．
【小结】本题考查了勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．注意：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
勾股定理的实际应用之梯子问题
如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为（　　）
A．2.5米
B．2.6米
C．2.7米
D．2.8米
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．
【解析】在Rt△ABC中，AB2.5（米），∴A′B＝2.5米，
在Rt△A′BD中，BD2（米），∴BC+BD＝2+0.7＝2.7（米），选C．
【小结】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．
如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（　　）
A．10米
B．6米
C．7米
D．8米
【分析】首先设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，利用勾股定理可列出方程，再解可得BO长，然后再利用勾股定理计算出AB长．
【解析】由题意得：AC＝BD＝2米，∵AO＝8米，∴CO＝6米，
设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，由题意得：62+（x+2）2＝82+x2，解得：x＝6，
AB10（米），选A．
【小结】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．
（1）这个云梯的底端离墙多远？
（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？
【分析】（1）由题意OA＝15米，AB﹣OB＝5米，根据OA2+OB2＝AB2，可求出梯子底端离墙有多远；
（2）由题意此时CO＝7米，CD＝AB＝25米，由勾股定理可得出此时OD，继而能和（1）的OB进行比较．
【解析】（1）根据题意可得OA＝15米，AB﹣OB＝5米，
由勾股定理OA2+OB2＝AB2，可得：152+OB2＝（5+OB）2，解得：OB＝20，
（2）由（1）可得：AB＝20+5＝25米，根据题意可得：CO＝7米，CD＝AB＝25米，
由勾股定理OC2+OD2＝CD2，可得：，∴BD＝24﹣20＝4米，
答：梯子的底部在水平方向滑动了4米．
【小结】考查勾股定理得应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
如图，小巷左石两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为1.5米，求小巷有多宽．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B′2，
∴BD2+1.52＝6.25，∴BD2＝4．∵BD＞0，∴BD＝2米．∴CD＝BC+BD＝0.7+2＝2.7米．
【小结】考查勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想应用．
勾股定理的实际应用之九章算术
《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，BC＝4尺，求AC的长．AC的长为（　　）
A．3尺
B．4.2尺
C．5尺
D．4尺
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2．解得：x＝4.2，∴折断处离地面的高度为4.2尺，选B．
【小结】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题
．
《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）
A．50.5寸
B．52寸
C．101寸
D．104寸
【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r，DE＝10，OECD＝1，AE＝r﹣1，
Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，选C
【小结】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长为　
　尺．
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【解析】设绳索长为x尺，根据题意得：x2﹣（x﹣4）2＝82，解得：x＝10。答：绳索长为10尺．
【小结】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式10-3】（2020?吉州区一模）《九章算术》第九章勾股篇中记载：“今有开门去阃（kun）一尺，不合二寸，问门广几何？”其大意是：今推开双门，门框到门槛的距离（称为“去阃”）DF为一尺，双门之间的缝隙（称为“不合”）EF即为2寸（注：一尺为10寸），则门宽AB为　
　尺．
【分析】解答此题的关键是弄清题意，体会古代语言和现代语言的区别，将问题转化为勾股定理来解答．
【解析】设单门的宽度是x米，根据勾股定理，得x2＝1+（x﹣0.1）2，解得：x＝5.05，则2x＝10.1尺，
【小结】考查勾股定理的应用，此题的难点在于理解题意，能够找到直角三角形，根据勾股定理进行计算．
勾股定理的实际应用之范围影响
如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？
【分析】设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出CB，继而得出CD，再由拖拉机的速度可得出所需时间．
【解析】设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．则有CA＝DA＝100m，
在Rt△ABC中，CB60（m），∴CD＝2CB＝120m，则该校受影响时间为：120÷5＝24（s）．
【小结】考查勾股定理应用，解答本题关键是掌握勾股定理，画出示意图，另外需掌握时间＝路程÷速度．
在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为600米，与公路上另一停靠站B的距离为800米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入．问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
【分析】过C作CD⊥AB于D．根据CA⊥CB，得出∠ACB＝90°，利用根据勾股定理有AB＝1000米．利用S△ABCAB?CDBC?AC得到CD＝480米．再根据480米＞400米可以判断没有危险．
【解析】公路AB不需要暂时封锁．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
∵CA⊥CB，∴∠ACB＝90°，因为BC＝800米，AC＝600米，所以AB1000（米）．
因为S△ABCAB?CDBC?AC，所以CD480（米）．
由于400米＜480米，故没有危险，因此AB段公路不需要暂时封锁．
【小结】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形的性质求出CD的长．
某条道路限速70km/h，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，这辆小汽车超速了吗？
【分析】求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
【解析】在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；据勾股定理可得：BC40（m）
∴小汽车的速度为v20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；
∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．
【小结】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．
为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：
（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
【分析】（1）根据村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，于是得到结论；
（2）根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论．
【解析】（1）村庄能否听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN距离为600米＜1000米，∴村庄能听到宣传；
（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶QD点结束对村庄的影响，
则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ米，∴PQ＝1600米，
∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8分钟，∴村庄总共能听到8分钟的宣传．
【小结】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．
勾股定理的实际应用（最短路径）
解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股定理即可求解.
如图，圆柱的底面半径为24，高为7π，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是　
　．
【分析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出AC和BC的长，根据勾股定理求出斜边AB即可．
【解析】如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，
则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，
AC2π×24＝24π，∠C＝90°，BC＝7π，
由勾股定理得：AB25π．
故答案为：25π．
【小结】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出AB的长就是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程．
如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝5m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为　
　m．（边缘部分的厚度忽略不计）
【分析】要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解析】如图是其侧面展开图：AD＝π20m，AB＝CD＝20m．DE＝CD﹣CE＝20﹣5＝15（m），
在Rt△ADE中，AE25（m）．
故他滑行的最短距离约为25m．故答案为：25．
【小结】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为m的半圆的弧长，矩形的长等于AB＝CD＝20m．本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（　　）
A．12cm
B．14cm
C．20cm
D．24cm
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B长度即为所求．
【解析】如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，
作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，
延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，
∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝16cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D12cm，
∴则该圆柱底面周长为24cm．选D．
【小结】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
如图，长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B与点C之间的距离为5cm．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，那么需要爬行的最短距离是多少？
【分析】分三种情况：把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1；把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2；把向上面展开到正面上，连结AB，如图3，然后利用勾股定理计算各情况下AB，再进行大小比较．
【解析】将长方体沿CF、FG、GH剪开，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图1，由题意可得：BD＝BC+CD＝5+10＝15cm，AD＝CH＝15cm，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AB15cm；
将长方体沿DE、EF、FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图2，由题意得：BH＝BC+CH＝5+15＝20cm，AH＝10cm，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得：AB10cm，
则需要爬行的最短距离是15cm．
连接AB，如图3，由题意可得：BB′＝B′E+BE＝15+10＝25cm，AB′＝BC＝5cm，
在Rt△AB′B中，根据勾股定理得：AB5cm，
∵15105，∴则需要爬行的最短距离是15cm．
【小结】本题考查了平面展开﹣最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．