锐角三角函数章末重难点题型【举一反三】
【苏科版】
【考点1
锐角三角函数定义】
【方法点拨】锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的锐角三角函数。
正弦（sin）等于对边比斜边，
余弦（cos）等于邻边比斜边
正切（tan）等于对边比邻边；
【例1】（2019秋?工业园区校级月考）在中，，，则的值为
A．
B．
C．
D．
【分析】设BC为x，根据题意用x表示出AB，根据勾股定理求出BC，运用正弦的定义解答即可．
【答案】解：设BC为x，则AB＝3x，
由勾股定理得，AC＝＝＝2x，
∴sinB＝＝＝，
故选：D．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
【变式1-1】（2019?南海区模拟）在中，，若斜边是直角边的3倍，则的值是
B．3
C．
D．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据正切的概念计算即可．
【答案】解：设BC＝x，则AB＝3x，
由勾股定理得，AC＝＝2x，
则tanB＝＝2，
故选：A．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
【变式1-2】（2019春?江岸区校级月考）如图，在中，，于点，下列各组线段的比不能表示的
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCD＝∠A，再解直角三角形得出即可．
【答案】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
∴sin∠BCD＝sinA＝＝＝，
即只有选项C错误，选项A、B、D都正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠C＝90°，则sinA＝，cosA＝，tanA＝，cotA＝．
【变式1-3】（2018秋?禅城区期末）如图，在中，，是斜边上的高，下列线段的比值等于的值的有 个
（1）
（2）
（3）
（4）．
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案．
【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴cosA＝＝＝，
故（1），（2），（4）正确．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．
【考点2
网格中的锐角三角函数值】
【方法点拨】解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度.
【例2】（2018秋?慈溪市期末）如图，，，是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则的值为
A．
B．
C．
D．
【分析】由勾股定理可求AC，BC的长，由三角形的面积公式可求BD的长，即可求sin∠ACB的值．
【答案】解：设小正方形的边长为1，过点B作BD⊥AC于D，过点B作BF⊥AE于点F，
∵S△ABC＝2×7﹣＝5
由勾股定理可知：AC＝＝5，
∵AC?BD＝5，
∴BD＝，
由勾股定理可知：BC＝＝，
∴sin∠ACB＝＝＝
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练运用面积法求BD的长是本题的关键．
【变式2-1】（2019秋?柯桥区期末）由小正方形组成的网格如图，，，三点都在格点上，则的正切值为
A．
B．
C．
D．
【分析】作CD⊥AB于点D，利用勾股定理计算出CD和BD，然后再求CD：BD可得答案．
【答案】解：如图，作CD⊥AB于点D，则CD＝，
BD＝＝2，
故tan∠ABC＝＝＝，
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理及解直角三角形，解题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用锐角三角函数解答问题．
【变式2-2】（2019秋?泉州期末）如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点、、
都在格点上，则
的正切值是
A．
B．
C．
D．2
【分析】如图，根据勾股定理可求BD，AD，再根据正切的定义可求∠BAC
的正切值．
【答案】解：如图，在Rt△ADB中，
AD＝＝，BD＝＝2，
则∠BAC
的正切值是＝2．
故选：D．
【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，关键是根据勾股定理求得BD，AD．
【变式2-3】（2019?滕州市校级模拟）如图，在正方形网格中，以格点为顶点的的面积等于，则
A．
B．
C．
D．
【分析】根据勾股定理，可得AC、AB、BC的长，根据三角形的面积公式，可得CD的长，根据正弦函数的定义，可得答案．
【答案】解：如图：作CD⊥AB于D，AE⊥BC于E，
由勾股定理，得
AB＝AC＝，BC＝．
由等腰三角形的性质，得
BE＝BC＝．
由勾股定理，得
AE＝＝，
由三角形的面积，得
AB?CD＝BC?AE．
即CD＝＝．
sin∠CAB＝＝＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，利用了勾股定理，利用三角形的面积公式得出CD的长是解题关键．
【考点3
锐角三角函数的增减性】
【方法点拨】当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
【例3】（2019秋?余姚市期末）已知，关于角的三角函数的命题有：①，②，③，④，其中是真命题的个数是
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
【分析】根据锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数，可得答案．
【答案】解：由0＜α＜45°，得
0＜sinα＜，故①正确；
cosα＞sinα，故②错误；
sin2α＝2sinαcosα＜2sinα，故③错误；
0＜tanα＜1，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角函数的增减性，熟记锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数是解题关键．
【变式3-1】（2019秋?嵊州市期末）下列不等式不成立的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据锐角正弦函数随角的增大而增大，余弦随角的增大而减小，正切随角的增大而增大，可得答案．
【答案】解：A、随角的增大而增大，故A不符合题意；
B、余弦随角的增大而减小，故B符合题意；
C、正切随角的增大而增大，故D不符合题意；
D、sin30°＜cos45°＜tan60°，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，锐角正弦函数随角的增大而增大，余弦随角的增大而减小，正切随角的增大而增大．
【变式3-2】（2019秋?雁塔区校级月考）比较，，的大小关系是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断．
【答案】解：∵cos29°＝sin61°＞sin59°
∴cos29°＞sin59°
又∵tan46°＞tan45°＞1，cos29°＜1
∴sin59°＜cos29°＜tan46°
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角函数的增减性熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键．
【变式3-3】（2019?江东区一模）如图，是锐角三角形，，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【分析】作AH⊥BC于H，如图，根据正弦定义得到sinC＝＝，则可设AH＝4x，AC＝5x，利用勾股定理得到CH＝3x，所以sin∠HAC＝＝，由于∠HAC＜∠BAC＜90°，然后根据正弦函数为增函数即可得到sin∠BAC的范围．
【答案】解：作AH⊥BC于H，如图，
在Rt△ACH中，sinC＝＝，
设AH＝4x，AC＝5x，
所以CH＝＝3x，
所以sin∠HAC＝＝，
∵∠HAC＜∠BAC＜90°，
∴＜sin∠BAC＜1．
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性：锐角三角函数值都是正值；当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．
【考点4
互余两角三角函数的关系】
【方法点拨】互余角的三角函数间的关系：sin(90°-α)=cosα,
cos(90°-α)=sinα,
【例4】（2019秋?常州期末）如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有
．
【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据∠A＝90°，AD⊥BC，可得∠α＝∠B，∠β＝∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．
【答案】解：∵∠A＝90°，AD⊥BC，
∴∠α+∠β＝90°，∠B+∠β＝90°，∠B+∠C＝90°，
∴∠α＝∠B，∠β＝∠C，
∴sinα＝sinB，故①正确；
sinβ＝sinC，故②正确；
∵在Rt△ABC中sinB＝，cosC＝，
∴sinB＝cosC，故③正确；
∵sinα＝sinB，cos∠β＝cosC，
∴sinα＝cos∠β，故④正确；
故答案为①②③④．
【点睛】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．
【变式4-1】（2019秋?工业园区校级月考）在中，，，则 ．
【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．
【答案】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sinB＝cosA＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查互为余角的两角的三角函数的关系，一个角的余弦等于它余角的正弦．
【变式4-2】（2019春?南关区校级期末）已知锐角，且，则 度．
【分析】对于任意锐角A，有sinA＝cos（90°﹣A），可得结论．
【答案】解：∵sinα＝cos35°，
∴α＝90°﹣35°＝55°，
故答案为：55．
【点睛】此题考查互余两角的三角函数，关键是根据互余两角的三角函数的关系解答．
【变式4-3】（2019?荔湾区校级模拟）在中，，，分别是、的对边，如果，那么等于
．
【分析】根据正弦的定义得到sinA＝，sinB＝，再由sinA：sinB＝2：3得到：＝2：3，然后利用比例性质化简即可．
【答案】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b分别是∠A、∠B的对边，c为∠C对的边，
∴sinA＝，sinB＝，
∵sinA：sinB＝2：3，
∴：＝2：3，
∴a：b＝2：3．
故答案为2：3．
【点睛】本题考查了互余两角三角函数的关系：在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝（90°﹣∠A）；②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）．也考查了锐角三角函数的定义．
【考点5
特殊角三角函数值的计算】
【方法点拨】解决此类问题关键在于熟记特殊角三角函数值.
【例5】（2018秋?北仑区期末）计算：．
【分析】首先代入特殊角的三角函数值，再计算乘方，后算乘除，最后算加减即可．
【答案】解：原式＝+﹣×，
＝+﹣，
＝．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．
【变式5-1】（2018秋?兴化市期末）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【答案】解：（1）原式＝（）2+﹣（）2+（）2
＝+﹣+
＝+；
（2）原式＝＝．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
【变式5-2】（2019春?市中区校级月考）
【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的加减运算法则计算．
【答案】解：原式＝2×+×﹣+1
＝+1．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【变式5-3】（2019秋?烟台期末）计算：
【分析】依据30°、45°、60°角的各种三角函数值，即可得到计算结果．
【答案】解：原式＝﹣（﹣）
＝﹣
＝
＝
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，其应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
【考点6
解直角三角形】
【方法点拨】解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）
三边之间的关系：a2+b2=c2．
两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°．
边角之间的关系
（4）解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角．②已知两边．
【例6】（2018春?临洮县期中）如图，在中，于点，，点是的中点，，，求的值和的长．
【分析】利用已知表示出BC，CD的长，再利用勾股定理表示出AB的长，进而求出sin∠ECB的值和AD的长．
【答案】解：∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°．
∵点E是AB的中点，CE＝1，
∴BE＝CE＝1，AB＝2CE＝2，
∴∠B＝∠ECB．
∵＝，
∴设BC＝3x，CD＝2x．
在Rt△ACD中，tanD＝2，
∴＝2，
∴AC＝4x．在Rt△ACB中，
由勾股定理得AB＝＝5x，
∴sin∠ECB＝sinB＝＝．
由AB＝2，得x＝，
∴AD＝＝＝2x＝2×＝．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形，正确表示出AB的长以及锐角三角三角函数关系是解题关键．
【变式6-1】（2018秋?抚宁区期末）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，再解Rt△ADC，得出DC＝1；解Rt△ADB，得出AB＝3，根据勾股定理求出BD＝2，然后根据BC＝BD+DC即可求解；
（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE＝CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解．
【答案】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1．
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，
∴AB＝＝3，
∴BD＝＝2，
∴BC＝BD+DC＝2+1；
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BC＝+，
∴DE＝CE﹣CD＝+﹣1＝﹣，
∴tan∠DAE＝＝＝﹣．
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的高、中线的定义，勾股定理，难度中等，分别解Rt△ADC与Rt△ADB，得出DC＝1，AB＝3是解题的关键．
【变式6-2】（2019?临河区一模）如图，在等腰中，，，是上一点，若．
（1）求的长；
（2）求的值．
【分析】（1）过点D作DH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理以及锐角三角形函数的定义即可求出答案．
（2）由（1）可求出CD＝4，根据勾股定理可求出BD的长度，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【答案】解：（1）过点D作DH⊥AB于点H，
∵等腰三角形ABC，∠C＝90°
∴∠A＝45°，
∴AH＝DH，
设AH＝x，
∴DH＝x，
∵tan∠DBA＝，
∴BH＝5x，
∴AB＝6x，
∵AC＝6，
∴由勾股定理可知：AB＝6，
∴x＝，
∴AH＝DH＝，
∴由勾股定理可知：AD＝2；
（2）由于AD＝2
∴DC＝4，
∴由勾股定理可知：DB＝2，
∴，
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及解直角三角形，本题属于中等题型．
【变式6-3】（2018秋?岳麓区校级期中）如图，已知中，，是斜边上的中线，过点作，分别与、相交于点、，．
（1）求的值；
（2）如果，求的值．
【分析】（1）由勾股定理得出AC＝＝CH，由锐角三角函数定义即可得出答案；
（2）根据sinB的值，可得出AC：AB＝1：，由AB＝2，得AC＝2，设CE＝x（x＞0），则AE＝x，由勾股定理得出方程，求出CE＝1，从而得出BE．
【答案】解：（1）∵AE⊥CD，
∴∠AHC＝90°，
∵AH＝2CH，
∴由勾股定理得：AC＝＝CH，
∴sin∠CAH＝＝＝；
（2）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴AB＝2CD＝2，
∴∠B＝∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACH＝90°，
∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，
∵sinB＝＝sin∠CAH＝＝，
∴AC：AB＝1：，
∴AC＝2．
设CE＝x（x＞0），则AE＝x，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：x2+22＝（x）2，
解得：x＝1，
∴CE＝1，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4，
∴BE＝BC﹣CE＝3．
【点睛】本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握锐角三角函数定义和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
【考点7
作垂线解斜三角形】
【方法点拨】解决此类问题关键在于作垂线将斜三角形分割成两个直角三角形，进而通过解直角三角形进行求解.
【例7】（2019春?南关区校级期末）如图，在中，，，，求的长．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据∠A＝30°，tanB＝，AC＝6可求出AD与BD的长度．
【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵在Rt△CDA中，∠A＝30°，
∴CD＝AC?sin30°＝3，AD＝AC×cos30°＝9，
在Rt△CDB中，
∵tanB＝
∴＝
∴BD＝4，
∴AB＝AD+DB＝9+4．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
【变式7-1】（2019春?香坊区校级月考）如图，在中，，，，求的长．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用勾股定理即可求得BC的长，本题得以解决．
【答案】解：作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
则∠CDA＝90°，
∵∠CAB＝120°，
∴∠CAD＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∵AC＝4，
∴AD＝2，CD＝2，
∵∠CDB＝90°，AB＝2，
∴DB＝DA+AB＝4，
∴BC＝＝2．
【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式7-2】（2018秋?潜山县期末）已知．在中，，，求的值．
【分析】过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，根据等腰直角三角形的性质得到BD＝CD＝BC，根据正切的定义计算即可．
【答案】解：过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，
则∠BCD＝45，
∴BD＝CD＝BC，
设AC＝k，则BD＝CD＝k，AD＝2k，
tanA＝＝．
【点睛】本题考查的是解直角三角形，掌握等腰直角三角形的性质、正切的定义是解题的关键．
【变式7-3】（2019?渠县一模）如图，在中，，，，求和．
【分析】作CD⊥AB于D，如图，利用等腰直角三角形的性质得BD＝CD＝BC＝5，再利用勾股定理计算出AD，然后利用正弦定义求sinA，利用AD+BD计算AB的长．
【答案】解：作CD⊥AB于D，如图，
∵∠B＝45°，
∴BD＝CD＝BC＝5，
在Rt△ACD中，AD＝＝＝12，
∴sinA＝＝＝，
AB＝BD+AD＝5+12＝17．
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活利用运用勾股定理和锐角三角函数．根据Rt△BCD是解决此题的关键．
【考点8
解直角三角形的应用之坡度坡角问题】
【方法点拨】坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，则，如图，坡度通常写成i=h：l的形式.
【例8】（2019春?西湖区校级月考）如图，扶梯坡比为，滑梯坡比为．若，，某人从扶梯上去，经过顶部，再沿滑梯滑下，共经过多少路径？（结果精确到，，
【分析】首先在直角△ABE中根据AE＝40m和坡比求得AB和BE，然后得出CF的长，最后在直角△CFD中求得CD的长即可，继而求出经过的路径＝AB+BC+CD的长度即可．
【答案】解：∵扶梯AB的坡比为1：2，
即BE：AE＝1：2，AE＝40m，
∴BE＝20m，
∴AB＝＝＝20（m），
∵CF＝BE＝20米，CF：DF＝1：，
∴FD＝CF＝20（m），
∴CD＝＝＝40（m），
∴经过的路径＝AB+BC+CD＝20+30+40＝70+20≈114.8（m）．
答：共经过路径长114.8m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟知坡度的定义，利用坡度的知识求出三角形的边长．
【变式8-1】（2019?岳麓区校级二模）今年“五一”假期，某教学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下点出发沿斜坡到达点，再从点沿斜坡到达山顶点，路线如图所示，斜坡的长为米，斜坡的长为米，坡度是，已知点海拔121米，点海拔721米
（1）求点的海拔；
（2）求斜坡的坡度；
（3）为了方便上下山，若在到之间架设一条钢缆，求钢缆的长度．
【分析】（1）根据题意和图形，可以求得点B的海波，本题得以解决；
（2）根据题目中的数据可以求得AF和BF的长度，从而可以求得斜坡AB的坡度；
（3）根据题目中的数据可以求得AD和CD的长度，然后根据勾股定理即可求得AC的长度．
【答案】解：（1）作CD⊥AM于点D，作BE⊥CD于点E，作BF⊥AM于点F，连接AC，
∵斜坡BC的长为200米，坡度是1：1，
∴BE＝CE＝200米，
∵A点海拔121米，C点海拔721米，
∴CD＝600米，
∴BF＝400米，
∵121+400＝521（米），
∴点B的海拔是521米；
（2）∵斜坡AB的长为200米，BF＝400米，
∴AF＝＝600米，
∴BF：AF＝400：600＝2：3，
即斜坡AB的坡度是2：3；
（3）∵CD＝600米，AD＝AF+FD＝AF+BE＝600+200＝800（米），
∴AC＝＝1000米，
即钢缆AC的长度是1000米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式8-2】（2019?花都区一模）如图，水坝的横断面是梯形，背水坡的坡角，坡长，为加强水坝强度，将坝底从处向后水平延伸到处，使新的背水坡的坡度为，求的长度（结果精确到1米．参考数据：，
【分析】作BH⊥AD于H，根据正弦的定义求出BH，AH，根据正切的定义求出EH，结合图形计算，得到答案．
【答案】解：作BH⊥AD于H，
在Rt△ABH中，sin∠BAH＝，
则BH＝AB?sin∠BAH＝20×＝10，AH＝AB＝10，
在Rt△EBH中，BE的坡度为1：2，BH＝10，
∴EH＝20，
∴AE＝EH﹣AH＝20﹣10≈25（米），
答：AE的长度约为25米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
【变式8-3】（2019?无锡一模）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡长为13米，它的坡度为，，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为，即（此时点、、在同一直线上）．
（1）求这个车库的高度；
（2）求斜坡改进后的起点与原起点的距离（结果精确到0.1米）．
（参考数据：，，，
【分析】（1）根据坡度的概念，设AB＝5x，则BC＝12x，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（2）根据余切的定义列出算式，求出DC．
【答案】解：（1）由题意，得：∠ABC＝90°，i＝1：2.4，
在Rt△ABC中，i＝＝，
设AB＝5x，则BC＝12x，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴AC＝13x，
∵AC＝13，
∴x＝1，
∴AB＝5，
答：这个车库的高度AB为5米；
（2）由（1）得：BC＝12，
在Rt△ABD中，cot∠ADC＝，
∵∠ADC＝13°，AB＝5，
∴DB＝5cot13°≈21.655（m），
∴DC＝DB﹣BC＝21.655﹣12＝9.655≈9.7（米），
答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为9.7米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
【考点9
解直角三角形的应用之仰角俯角问题】
【方法点拨】仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
【例9】（2019秋?靖江市校级月考）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米，求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：，
【分析】过B作DE的垂线，设垂足为G，BH⊥AE．在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG＝45°，则CG＝BG，由此可求出CG的长然后根据CD＝CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度．
【答案】解：过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE，
Rt△ABF中，i＝tan∠BAH＝＝，
∴∠BAH＝30°，
∴BH＝AB＝5米；
∴AH＝5米，
∴BG＝AH+AE＝（5+21）米，
Rt△BGC中，∠CBG＝45°，
∴CG＝BG＝（5+21）米．
Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，
∴DE＝AE＝28米．
∴CD＝CG+GE﹣DE＝26+5﹣28＝（5﹣2）m．
答：宣传牌CD高为（5﹣2）米．
【点睛】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
【变式9-1】（2018秋?宣城期末）已知如图，斜坡的坡度为，斜坡的水平长度为24米在坡顶处的同一水平面上有一座古塔在斜坡底处测得该塔的塔顶的仰角为，在坡顶处测得该塔
的塔顶的仰角为．
求：（1）坡顶到地面的距离；
（2）古塔的高度（结果保留根号）．
【分析】（1）作AD⊥PQ于D，延长BC交PQ于E，根据坡度的概念求出AD，得到答案；
（2）设BC＝x米，根据正切的定义用x表示出AC，根据等腰直角三角形的性质列式计算即可．
【答案】解：（1）作AD⊥PQ于D，延长BC交PQ于E，
则四边形ADEC为矩形，
∴AD＝CE，
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，斜坡AP的水平长度为24米，
∴AD＝10，即坡顶A到地面PQ的距离为10米；
（2）设BC＝x米，
在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，即＝，
解得，AC＝x，
在Rt△BPE中，∠BPE＝45°，
∴PE＝BE，即24+x＝x+10，
解得，x＝21+7，
答：古塔BC的高度为（21+7）米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
【变式9-2】（2019?邓州市二模）如图（1），在豫西南邓州市大十字街西南方，耸立着一座古老建筑福胜寺梵塔，建于北宋天圣十年（公元1032年），当地民谚云：“邓州有座塔，离天一丈八．”学完了三角函数知识后，某校“数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量“福胜寺梵塔”的高度．如图（2），刘明在点处测得塔顶的仰角为，王华在高台上的点处测得塔顶的仰角为，若高台高为5米，点到点的水平距离为1.3米，且、、三点共线，求该塔的高度．（参考数据：，，，结果保留整数）
【分析】作DM⊥AB于M，交CB于F，CG⊥DM于G，根据矩形的性质得到CG＝DE＝5，DG＝EC＝1.3，设FM＝x米，根据正切的定义用x表示出DM、BM，结合图形列出方程，解方程得到答案．
【答案】解：作DM⊥AB于M，交CB于F，CG⊥DM于G，
则四边形DECG为矩形，
∴CG＝DE＝5，DG＝EC＝1.3，
设FM＝x米，
由题意得，∠BDM＝40°，∠BFM＝∠BCA＝45°，
∴∠CFG＝45°，BM＝FM＝x，
∴GF＝GC＝5，
∴DF＝DG+GF＝5+1.3＝6.3，
在Rt△BDM中，tan∠BDM＝，
∴DM＝≈，
由题意得，DM﹣DF＝FM，即﹣6.3＝x，
解得，x≈33.2，
则BA＝BM+AM＝38.2≈38（米），
答：该塔AB的高度约为38米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
【变式9-3】（2019?碑林区校级三模）我校数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段的长）．直线垂直于地面，垂足为点，在地面处测得点的仰角为，点的仰角为，在处测得点的仰角为，米．且、、三点在一直线上，请根据以上数据求广告牌的宽的长．（结果保留根号）
【分析】在Rt△APN中根据已知条件得到PA＝PN，设PA＝PN＝x米，解Rt△APM得到MP＝AP?tan∠MAP＝x，然后在Rt△BPM中，根据tan∠MBP＝列方程即可得到结论．
【答案】解：∵在Rt△APN中，∠NAP＝45°，
∴PA＝PN，
在Rt△APM中，tan∠MAP＝，
设PA＝PN＝x米，
∵∠MAP＝60°，
∴MP＝AP?tan∠MAP＝x，
在Rt△BPM中，tan∠MBP＝，
∵∠MBP＝30°，AB＝5，
∴＝，
∴x＝，
∴MN＝MP﹣NP＝x﹣x＝，
答：广告牌的宽MN的长为米．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据已知直角三角形得出AP的长是解题关键．
【考点10
解直角三角形的应用之方向角问题】
【方法点拨】方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.
【例10】（2019秋?道里区校级月考）如图，射线表示一艘轮船的航行路线，从到的走向为南偏东，在的南偏东方向上有一点，处到处为100海里．
（1）求点到航线的距离；
（2）在航线上有一点，且，若轮船的速度为50海里时，求轮船从处到处所用时间为多少小时？（结果保留根号）
【分析】（1）过A作AH⊥MN于H．由方向角的定义可知∠QMB＝30°，∠QMA＝60°，那么∠NMA＝∠QMA﹣∠QMB＝30°．解直角△AMH中，得出AH＝AM，问题得解；
（2）先根据直角三角形两锐角互余求出∠HAM＝60°，由∠MAB＝15°，得出∠HAB＝∠HAM﹣∠MAB＝45°，那么△AHB是等腰直角三角形，求出BH＝AH距离，然后根据时间＝路程÷速度即可求解．
【答案】解：（1）如图，过A作AH⊥MN于H．
∵∠QMB＝30°，∠QMA＝60°，
∴∠NMA＝∠QMA﹣∠QMB＝30°．
在直角△AMH中，∵∠AHM＝90°，∠AMH＝30°，AM＝100海里，
∴AH＝AM＝50海里，
答：点A到航线MN的距离为50海里；
（2）在直角△AMH中，∵∠AHM＝90°，∠AMH＝30°，
∴∠HAM＝60°，
∵∠MAB＝15°，
∴∠HAB＝∠HAM﹣∠MAB＝45°，
∵∠AHB＝90°，
∴BH＝AH＝50海里，
∵MH＝AH＝50海里，
∴MB＝（50﹣50）海里，
∴轮船从M处到B处所用时间为：＝（﹣1）小时，
答：轮船从M处到B处所用时间约为（﹣1）小时．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余的性质，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【变式10-1】（2019春?南岗区校级月考）如图，某货船以24海里时的速度将一批重要物资从处运往正东方向的处，在点处测得某岛在北偏东的方向上．该货船航行30分钟后到达处，此时再测得该岛在北偏东的方向上，
（1）求到的距离；
（2）如果在岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．
【分析】（1）证出∠BAC＝∠ACB，得出BC＝AB＝24×＝12即可；
（2）过点C作CD⊥AD于点D，分别在Rt△CBD、Rt△CAD中用式子表示CD、AD，再根据已知求得BD、CD的长，从而再将CD于9比较，若大于9则无危险，否则有危险．
【答案】解：（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠MBC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠MBC＝∠BAC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠MBC﹣∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴BC＝AB＝24×＝12（海里）；
（2）该货船无触礁危险，理由如下：
过点C作CD⊥AD于点D，如图所示：
∵∠EAC＝60°，∠FBC＝30°，
∴∠CAB＝30°，∠CBD＝60°．
∴在Rt△CBD中，CD＝BD．
在Rt△CAD中，AD＝CD＝3BD＝AB+BD＝12+BD，
∴BD＝6．
∴CD＝6．
∵6＞9，
∴货船继续向正东方向行驶无触礁危险．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式10-2】（2019?台安县二模）某海域有，，三艘船正在捕鱼作业，船突然出现故障，向，两船发出紧急求救信号，此时船位于船的北偏西方向，距船36海里的海域，船位于船的北偏东方向，同时又位于船的北偏东方向．
（1）求的度数；
（2）船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点（结果精确到0.01小时．参考数据：，．
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，得到∠ECB的度数，则∠ACB即可求得；
（2）作BH⊥AC于点H，解直角△BCH，求出BH，解直角△ABH，求出AB，进而求得时间．
【答案】解：（1）∵BD∥CE，
∴∠DBC+∠ECB＝180°，
∴∠ECB＝180°﹣81°＝99°，
∴∠ACB＝99°﹣69°＝30°；
（2）如图，作BH⊥AC，垂足为H．
在△ABC中，∠CAB＝180°﹣81°﹣24°﹣30°＝45°．
∵∠ACB＝30°，
∴在Rt△BCH中，BH＝BC＝18，
∵在Rt△ABH中，sin∠CAB＝，
∴AB＝＝＝18．
则B船到A船出事地点的时间是：≈≈0.85（小时）．
答：B船约0.85小时能到达A船出事地点．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
【变式10-3】（2019?越秀区校级一模）如图，一般捕鱼船在处发出求救信号，位于处正西方向的处有一艘救援艇决定前去数援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达．救援艇决定马上调整方向，先向北偏东方以每小时30海里的速度航行，同时捕鱼船向正北低速航行．30分钟后，捕鱼船到达距离处1.5海里的处，此时救援艇在处测得处在南偏东的方向上．
（1）求、两点的距离；
（2）捕鱼船继续低速向北航行，救援艇决定再次调整航向，沿方向前去救援，并且捕鱼船和救援艇同达时到处，若两船航速不变，求的正弦值．（参考数据：，，
【分析】（1）过点C、D分别作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分别为G，F，根据直角三角形的性质得出CG，再根据三角函数的定义即可得出CD的长；
（2）如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，由题意知CE＝30t，DE＝1.5×2×t＝3t，∠EDC＝53°，过点E作EH⊥CD于点H，根据三角函数表示出EH，在Rt△EHC中，根据正弦的定义求值即可．
【答案】解：（1）过点C、D分别作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分别为G，F，
∵在Rt△CGB中，∠CBG＝90°﹣60°＝30°，
∴CG＝BC＝×（30×）＝7.5海里，
∵∠DAG＝90°，
∴四边形ADFG是矩形，
∴GF＝AD＝1.5海里，
∴CF＝CG﹣GF＝7.5﹣1.5＝6海里，
在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，
∵∠DCF＝53°，
∴COS∠DCF＝，
∴CD＝＝＝10（海里）．
答：CD两点的距离是10海里；
（2）如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，
由题意知CE＝30t，DE＝1.5×2×t＝3t，∠EDC＝53°，
过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD＝∠CHE＝90°，
∴sin∠EDH＝，
∴EH＝EDsin53°＝3t×0.8＝2.4t，
∴在Rt△EHC中，sin∠ECD＝＝＝0.08．
答：sin∠ECD的正弦值是0.08．
【点睛】考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．锐角三角函数章末重难点题型【举一反三】
【苏科版】
【考点1
锐角三角函数定义】
【方法点拨】锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的锐角三角函数。
正弦（sin）等于对边比斜边，
余弦（cos）等于邻边比斜边
正切（tan）等于对边比邻边；
【例1】（2019秋?工业园区校级月考）在中，，，则的值为
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2019?南海区模拟）在中，，若斜边是直角边的3倍，则的值是
B．3
C．
D．
【变式1-2】（2019春?江岸区校级月考）如图，在中，，于点，下列各组线段的比不能表示的
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2018秋?禅城区期末）如图，在中，，是斜边上的高，下列线段的比值等于的值的有 个
（1）
（2）
（3）
（4）．
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点2
网格中的锐角三角函数值】
【方法点拨】解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度.
【例2】（2018秋?慈溪市期末）如图，，，是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则的值为
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（2019秋?柯桥区期末）由小正方形组成的网格如图，，，三点都在格点上，则的正切值为
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2019秋?泉州期末）如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点、、
都在格点上，则
的正切值是
A．
B．
C．
D．2
【变式2-3】（2019?滕州市校级模拟）如图，在正方形网格中，以格点为顶点的的面积等于，则
A．
B．
C．
D．
【考点3
锐角三角函数的增减性】
【方法点拨】当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
【例3】（2019秋?余姚市期末）已知，关于角的三角函数的命题有：①，②，③，④，其中是真命题的个数是
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
【变式3-1】（2019秋?嵊州市期末）下列不等式不成立的是
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】（2019秋?雁塔区校级月考）比较，，的大小关系是
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】（2019?江东区一模）如图，是锐角三角形，，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【考点4
互余两角三角函数的关系】
【方法点拨】互余角的三角函数间的关系：sin(90°-α)=cosα,
cos(90°-α)=sinα,
【例4】（2019秋?常州期末）如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有
．
【变式4-1】（2019秋?工业园区校级月考）在中，，，则 ．
【变式4-2】（2019春?南关区校级期末）已知锐角，且，则 度．
【变式4-3】（2019?荔湾区校级模拟）在中，，，分别是、的对边，如果，那么等于
．
【考点5
特殊角三角函数值的计算】
【方法点拨】解决此类问题关键在于熟记特殊角三角函数值.
【例5】（2018秋?北仑区期末）计算：．
【变式5-1】（2018秋?兴化市期末）计算：
（1）；
（2）．
【变式5-2】（2019春?市中区校级月考）
【变式5-3】（2019秋?烟台期末）计算：
【考点6
解直角三角形】
【方法点拨】解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）
三边之间的关系：a2+b2=c2．
两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°．
边角之间的关系
（4）解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角．②已知两边．
【例6】（2018春?临洮县期中）如图，在中，于点，，点是的中点，，，求的值和的长．
【变式6-1】（2018秋?抚宁区期末）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
【变式6-2】（2019?临河区一模）如图，在等腰中，，，是上一点，若．
（1）求的长；
（2）求的值．
【变式6-3】（2018秋?岳麓区校级期中）如图，已知中，，是斜边上的中线，过点作，分别与、相交于点、，．
（1）求的值；
（2）如果，求的值．
【考点7
作垂线解斜三角形】
【方法点拨】解决此类问题关键在于作垂线将斜三角形分割成两个直角三角形，进而通过解直角三角形进行求解.
【例7】（2019春?南关区校级期末）如图，在中，，，，求的长．
【变式7-1】（2019春?香坊区校级月考）如图，在中，，，，求的长．
【变式7-2】（2018秋?潜山县期末）已知．在中，，，求的值．
【变式7-3】（2019?渠县一模）如图，在中，，，，求和．
【考点8
解直角三角形的应用之坡度坡角问题】
【方法点拨】坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，则，如图，坡度通常写成i=h：l的形式.
【例8】（2019春?西湖区校级月考）如图，扶梯坡比为，滑梯坡比为．若，，某人从扶梯上去，经过顶部，再沿滑梯滑下，共经过多少路径？（结果精确到，，
【变式8-1】（2019?岳麓区校级二模）今年“五一”假期，某教学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下点出发沿斜坡到达点，再从点沿斜坡到达山顶点，路线如图所示，斜坡的长为米，斜坡的长为米，坡度是，已知点海拔121米，点海拔721米
（1）求点的海拔；
（2）求斜坡的坡度；
（3）为了方便上下山，若在到之间架设一条钢缆，求钢缆的长度．
【变式8-2】（2019?花都区一模）如图，水坝的横断面是梯形，背水坡的坡角，坡长，为加强水坝强度，将坝底从处向后水平延伸到处，使新的背水坡的坡度为，求的长度（结果精确到1米．参考数据：，
【变式8-3】（2019?无锡一模）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡长为13米，它的坡度为，，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为，即（此时点、、在同一直线上）．
（1）求这个车库的高度；
（2）求斜坡改进后的起点与原起点的距离（结果精确到0.1米）．
（参考数据：，，，
【考点9
解直角三角形的应用之仰角俯角问题】
【方法点拨】仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
【例9】（2019秋?靖江市校级月考）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米，求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：，
【变式9-1】（2018秋?宣城期末）已知如图，斜坡的坡度为，斜坡的水平长度为24米在坡顶处的同一水平面上有一座古塔在斜坡底处测得该塔的塔顶的仰角为，在坡顶处测得该塔
的塔顶的仰角为．
求：（1）坡顶到地面的距离；
（2）古塔的高度（结果保留根号）．
【变式9-2】（2019?邓州市二模）如图（1），在豫西南邓州市大十字街西南方，耸立着一座古老建筑福胜寺梵塔，建于北宋天圣十年（公元1032年），当地民谚云：“邓州有座塔，离天一丈八．”学完了三角函数知识后，某校“数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量“福胜寺梵塔”的高度．如图（2），刘明在点处测得塔顶的仰角为，王华在高台上的点处测得塔顶的仰角为，若高台高为5米，点到点的水平距离为1.3米，且、、三点共线，求该塔的高度．（参考数据：，，，结果保留整数）
【变式9-3】（2019?碑林区校级三模）我校数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段的长）．直线垂直于地面，垂足为点，在地面处测得点的仰角为，点的仰角为，在处测得点的仰角为，米．且、、三点在一直线上，请根据以上数据求广告牌的宽的长．（结果保留根号）
【考点10
解直角三角形的应用之方向角问题】
【方法点拨】方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.
【例10】（2019秋?道里区校级月考）如图，射线表示一艘轮船的航行路线，从到的走向为南偏东，在的南偏东方向上有一点，处到处为100海里．
（1）求点到航线的距离；
（2）在航线上有一点，且，若轮船的速度为50海里时，求轮船从处到处所用时间为多少小时？（结果保留根号）
【变式10-1】（2019春?南岗区校级月考）如图，某货船以24海里时的速度将一批重要物资从处运往正东方向的处，在点处测得某岛在北偏东的方向上．该货船航行30分钟后到达处，此时再测得该岛在北偏东的方向上，
（1）求到的距离；
（2）如果在岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．
【变式10-2】（2019?台安县二模）某海域有，，三艘船正在捕鱼作业，船突然出现故障，向，两船发出紧急求救信号，此时船位于船的北偏西方向，距船36海里的海域，船位于船的北偏东方向，同时又位于船的北偏东方向．
（1）求的度数；
（2）船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点（结果精确到0.01小时．参考数据：，．
【变式10-3】（2019?越秀区校级一模）如图，一般捕鱼船在处发出求救信号，位于处正西方向的处有一艘救援艇决定前去数援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达．救援艇决定马上调整方向，先向北偏东方以每小时30海里的速度航行，同时捕鱼船向正北低速航行．30分钟后，捕鱼船到达距离处1.5海里的处，此时救援艇在处测得处在南偏东的方向上．
（1）求、两点的距离；
（2）捕鱼船继续低速向北航行，救援艇决定再次调整航向，沿方向前去救援，并且捕鱼船和救援艇同达时到处，若两船航速不变，求的正弦值．（参考数据：，，
