统计和概率的简单应用章末重难点题型【举一反三】
【苏科版】
【考点1
调查方式】
【方法点拨】全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。
抽样调查：一种非全面调查，从全部调查研究对象中，抽选一部分对象进行调查，并据以对全部调查研究对象做出估计和推断的一种调查方法。
统计调查的优点：全面调查的优点是可靠、真实；抽样调查的优点是省时、省力，减少破坏性。
【例1】下列调查方式，你认为最合适的是（ ）
A.
了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式
B.
旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
C.
了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，采用全面调查方式
D.
日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式
【解析】
解：A、了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式，正确；
B、旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式，故错误；
C、了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，抽样调查方式，故错误；
D、日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用抽样调查方式，故错误；
故选：A．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
【变式1-1】下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A.
对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查
B.
对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查
C.
对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查
D.
对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查
【解析】
解：A、对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查，
应采用抽样调查；
B、对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查，
应采用全面调查；
C、对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查，
应采用抽样调查；
D、对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查，
应采用抽样调查．
故选B．
逐项分析四个选项中们案例最适合的调查方法，即可得出结论．
本题考查了全面调查与抽样调查，解题的关键是逐项分析四个选项应用的调查方法．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，联系实际选择调查方法是关键．
【变式1-2】下列调查中，最适宜用普查方式的是（ ）
A.
对一批节能灯使用寿命的调查
B.
对我国初中学生视力状况的调查
C.
对最强大脑节目收视率的调查
D.
对量子科卫星上某种零部件的调查
【解析】
解：A、对一批节能灯使用寿命的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，故A错误；
B、对我国初中学生视力状况的调查，调查范围广适合抽样调查，故B错误；
C、对最强大脑节目收视率的调查，调查范围广适合抽样调查，故C错误；
D、对量子科卫星上某种零部件的调查，要求精确度高的调查，适合普查，故D正确；
故选：D．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
【变式1-3】下列调查中不适合普查而适合抽样调查的是（ ）
①了解市面上一次性筷子的卫生情况??②了解我校九年级学生身高情况
③了解一批导弹的杀伤范围?
?
?
?
?
?
④了解全世界网迷少年的性格情况
A.
B.
C.
D.
【分析】
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答.
【解答】
解：A.了解市面上一次性筷子的卫生情况不适合普查而适合抽样调查，①符合题意；
B.了解我校九年级学生身高情况适合普查，②不合题意；
C.了解一批导弹的杀伤范围不适合普查而适合抽样调查，③符合题意；
D.了解全世界网迷少年的性格情况不适合普查而适合抽样调查，④符合题意．
故选D.
【考点2
总体、个体、样本、样本容量】
【方法点拨】总体：要考察的全体对象称为总体。
个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。
样本：被抽取的所有个体组成一个样本。
样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。
【例2】为了解我区七年级6000名学生期中数学考试情况，从中抽取了500名学生的数学成绩进行统计．下列判断：
①这种调查方式是抽样调查；
②6000名学生是总体；
③每名学生的数学成绩是个体；
④500名学生是总体的一个样本．
其中正确的判断有（ ）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【解析】
解：①这种调查方式是抽样调查故①正确；
②6000名学生的数学成绩是总体，故②错误；
③每名学生的数学成绩是个体，故③正确；
④500名学生的数学成绩是总体的一个样本，故④错误；
故选：B．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
【变式2-1】为了解某市参加中考的28000名学生的体重情况，抽查了其中1400名学生的体重进行统计分析.下面叙述正确的是（
）
A.
28000名学生是总体
B.
每名学生是总体的一个样本
C.
以上调查是普查
D.
1400名学生的体重是总体的一个样本
【分析】
本题主要考查了总体，个体与样本的定义，关键是明确考查的对象．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．解题时，根据定义进行逐一判断即可．
【解答】
解：A.总体是：某市参加中考的28000名学生的体重情况，故A错误；
B.每名学生的体重是总体的一个样本，故B错误；
C.本题是抽样调查，故C错误；
D.样本是：1400名学生的体重情况，故D正确.
?故选D．
【变式2-2】为了解我校八年级800名学生期中数学考试情况，从中抽取了200名学生的数学成绩进行统计．下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②八年级800名学生的数学成绩的全体是总体；③每名学生的数学成绩是个体；④200名学生是总体的一个样本；⑤200名学生是样本容量．其中正确的判断有（）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【分析】
此题考查了抽样调查，总体与个体，样本与样本容量，掌握这些定义是关键，根据这些定义逐个分析，即可得到答案.
【解答】
解：①这种调查方式是抽样调查，故①正确；
②八年级800名学生的数学成绩的全体是总体，故②正确；
③每名学生的数学成绩是个体，故③正确；
④样本是所抽取的200名学生的数学成绩，故④错误；
⑤样本容量是200，故⑤错误；
综上所述，正确的有：①②③，
故选C．
【变式2-3】我市去年共有18000名考生参加中考，为了了解这18000名考生的数学成绩，从中抽取了1000名考生的数学成绩进行统计分析．以下说法正确的有（
）
①这种调查采用了抽样调查的方式?；?
?
②18000名考生是总体；
③1000名考生是总体的一个样本；
④每名考生的数学成绩是个体．
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
0个
【分析】
本题考查的是确定总体、个体和样本，调查方式的确定．解此类题需要注意“考察对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物．”总体是指考察的对象的全体，个体是总体中的每一个考察的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考察的对象．从而找出总体、个体．根据概念逐个判定即可．
【解答】
解：①这种调查采用了抽样调查的方式，故①正确；
②18000名考生的数学成绩是总体，故②错误；
③1000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故③错误；
④每名考生的数学成绩是个体，故④正确；
∴正确的有①④共2个．
故选A．
【考点3
数据的收集与整理】
【方法点拨】数据处理的基本过程收集数据、整理数据、描述数据、分析数据、得出结论。
【例3】某地区有38所中学，其中七年级学生共6858名．为了了解该地区七年级学生每天体育锻炼的时间，请你运用所学的统计知识，将解决上述问题所要经历的几个主要步骤进行排序．
①抽样调查；
②设计调查问卷；
③用样本估计总体；
④整理数据；
⑤分析数据．
其中正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【解析】
解：解决一个问题所要经历的几个主要步骤为：②设计调查问卷，再①抽样调查；④整理数据；⑤分析数据；③用样本估计总体．
所以为：②①④⑤③．
故选：D．
直接利用调查收集数据的过程与方法分析排序即可．
此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，正确掌握调查的过程是解题关键．
【变式3-1】某学习小组将要进行一次统计活动，下面是四位同学分别设计的活动序号，其中正确的是（ ）
A.
实际问题收集数据表示数据整理数据统计分析合理决策
B.
实际问题表示数据收集数据整理数据统计分析合理决策
C.
实际问题收集数据整理数据表示数据统计分析合理决策
D.
实际问题整理数据收集数据表示数据统计分析合理决策
【解析】
解：统计调查一般分为以下几步：收集数据、整理数据、描述数据、分析数据．
故选：C．
根据统计调查的步骤即可设计成C的方案．数据处理应该是属于整理数据，数据表示应该属于描述数据．
本题主要考查了调查收集数据的过程及方法，解题的关键是掌握统计调查的一般步骤．
【变式3-2】当前，“低头族”已成为热门话题之一，小颖为了了解路边行人边走路边低头看手机的情况，她应采用的收集数据的方式是（ ）
A.
对学校的同学发放问卷进行调查
B.
对在路边行走的学生随机发放问卷进行调查
C.
对在图书馆里看书的人发放问卷进行调查
D.
对在路边行走的路人随机发放问卷进行调查
【解析】
解：A、对学校的同学发放问卷进行调查不具代表性、广泛性，故A错误；
B、对在路边行走的学生随机发放问卷进行调查不具代表性、广泛性，故B错误；
C、对在图书馆里看书的人发放问卷进行调查不具代表性、广泛性，故C错误；
D、对在路边行走的行人随机发放问卷进行调查具代表性、广泛性，故D正确；
故选：D．
本题考查了调查的对象的选择，要读懂题意，分清调查的内容所对应的调查对象是什么是解题的关键.注意所选取的对象要具有代表性、广泛性．
【变式3-3】某学校课外活动小组为了解同学们喜爱的电影类型，设计了如下的调查问卷（不完整）：
准备在“①国产片，②科幻片，③动作片，④喜剧片，⑤亿元大片”中选取三个作为该问题的备选答案，选取合理的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】
解：电影类型包括：科幻片，动作片，喜剧片等，
故选取合理的是②③④．
故选：C．
利用调查问卷内容要全面且不能重复，进而得出答案．
此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，正确把握选项设计的合理性是解题关键．
【考点4
样本估计总体】
【例4】为了解某校学生今年五一期间参加社团活动时间的情况，随机抽查了其中100名学生进行统计，并绘制成如图所示的频数直方图，已知该校共有1000名学生，据此估计，该校五一期间参加社团活动时间在8～10小时之间的学生数大约是（ ）
A.
280
B.
240
C.
300
D.
260
【解析】
【分析】
本题考查了频数分布直方图以及用样本估计总体有关知识，用被抽查的100名学生中参加社团活动时间在8～10小时之间的学生所占的百分数乘以该校学生总人数，即可得解.
【解答】
解：由题可得，抽查的学生中参加社团活动时间在8～10小时之间的学生数为100-30-24-10-8=28（人），
∴1000×=280（人），
即该校五一期间参加社团活动时间在8～10小时之间的学生数大约是280人．
故选A.
【变式4-1】为估计鱼塘中的鱼的数量，可以先从鱼塘中随机打捞50条鱼，在每条鱼身上做上记号后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间，等这些鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中随机打捞50条鱼，发现只有2条鱼是前面做好记号的，那么可以估计这个鱼塘鱼的数量约为（ ）
1250条
B.
1750条
C.
2500条
D.
5000条
【解析】
解：由题意可得：50÷=1250（条）．
故选：A．
首先求出有记号的2条鱼在50条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
本题考查了统计中用样本估计总体，表示出带记号的鱼所占比例是解题关键．
【变式4-2】在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入8个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球400次，其中88次摸到黑球，则估计袋中大约有白球（ ）
A.
18个
B.
28个
C.
36个
D.
42个
【解析】
【分析】
本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，根据摸到黑球的概率求出总体，根据摸到黑球的概率和黑球的个数，可以求出袋中放入黑球后总的个数，然后再减去黑球个数，即可得到白球的个数．
【解答】
解：由题意可得，
白球的个数大约为：8÷-8≈28，
故选B．
【变式4-3】为了解某县1000名公益志愿者寒假期间做公益的时间，团县委随机对其中50名志愿者进行了调查．根据收集的数据绘制了如图所示频数分布直方图，则由样本可以估计全部1000名志愿者中做公益时间不少于10h所占的百分比为（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】
解：因为在样本中做公益时间不少于10h所占的百分比为×100%=84%，
所以由样本可以估计全部1000名志愿者中做公益时间不少于10h所占的百分比为84%，
故选：C．
用样本中做公益时间在10h～16h的人数除以被调查的总人数，以此可估计全部1000名志愿者中做公益时间不少于10h所占的百分比．
不呢提主要考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
【考点5
抽样调查的合理性】
【例5】下列抽样调查较科学的是（ ）
①张涛为了知道烤箱中所烤的饼是否熟了，取出一块试吃；
②刘明为了了解初中三个年级学生的平均身高，对初三年级一个班的学生做了调查；
③杨丽为了解云南省2015年的平均气温，上网查询了6月份30天的气温情况；
④李智为了解初中三个年级的课外作业完成情况，向三个年级各一个班的学生做了调查．
A.
B.
C.
D.
【解析】
解：①和④的抽样调查符合样本的代表性和广泛性的标准，是较科学的；
②要了解初中三个年级的情况，一个年级的学生不具代表性，不科学；
③一年中不同季节气温变化是很大的，调查时只选了6月份的情况，调查的对象太少，缺乏代表性，也不符合广泛性．
故选C．
抽样时要注意样本的代表性和广泛性．
抽样调查只考查总体中的一部分个体，因此它的优点是调查范围小，节省人力、物力、财力，但结果往往不如全面调查得到的结果准确，为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的代表性和广泛性．
【变式5-1】某数学课外兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是（ ）
A.
在公园调查了1000名老年人的健康状况
B.
在医院调查了1000名老年人的健康状况
C.
利用派出所的户籍网随机调查了该地区的老年人的健康状况
D.
调查了邻居10名老年人的健康状况
【解析】
解：A、调查不具广泛性，故A错误；
B、调查不具广泛性，故B错误；
C、调查具有广泛性、代表性，故C正确；
D、调查不具代表性，故D错误；
故选：C．
抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
本题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
【变式5-2】小明从一批乒乓球中随机摸出了三个，经检查全部合格，因此小明断定这批乒乓球全部合格．在这个问题中，小明（）
A.
忽略了抽样调查的随机性
B.
忽略了抽样调查的随机性和广泛性
C.
忽略了抽样调查的随机性和代表性
D.
忽略了样本的广泛性
【解析】
【分析】
本题意在考查对抽样调查的可靠性和必要性等所学知识的识记能力和综合应用能力是解答此题的关键.
【解答】
解：在这个问题中，小明忽略了样本的广泛性，故A，B，C不符合题意，D符合题意.
?故选D
【变式5-3】下列调查，样本具有代表性的是（ ）
A.
了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查
B.
了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查
C.
了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查
D.
了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查
【解析】
解：A、了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查，不具代表性、广泛性，故A错误；
B、了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查，调查具有代表性、广泛性，故B正确；
C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，调查不具有代表性、广泛性，故C错误；
D、了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查，调查不具代表性、广泛性，故D错误；
故选：B．
抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
本题主要考查抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
【考点6
统计图的选择】
【方法点拨】常见统计图：（1）条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目；
（2）扇形统计图：能清楚地表示出各部分与总量间的比重；
（3）折线统计图：能反映事物变化的规律。
【例6】蜀山区三月中旬每天平均空气质量指数（AQI）分别为：118，96，60，82，56，69，86，112，108，94，为了描述这十天空气质量的变化情况，最适合用的统计图是（ ）
A.
折线统计图
B.
频数分布直方图
C.
条形统计图
D.
扇形统计图
【分析】
根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目.
此题根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断.
【解答】
解：这七天空气质量变化情况最适合用折线统计图，
故选A.
【变式6-1】要反映长沙市一周内每天的最高气温的变化情况，宜采用（
）
A.
条形统计图
B.
扇形统计图
C.
折线统计图
D.
频数分布直方图
【分析】
本题考查的是对统计图的认识，此题根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图和频数分布直方图各自的特点来判断.扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目.
【解答】
解：要求直观反映长沙市一周内每天的最高气温的变化情况，结合统计图各自的特点，应选择折线统计图．
故选C.
【变式6-2】响水3·21事件后，环保部门对空气检测，想知道空气中有毒气体的百分比，使用的统计图最好的是（
?
?）
A.
扇形统计图
B.
条形统计图
C.
折线统计图
D.
频数分布直方图
【分析】
本题考查统计图的认识，解题关键是根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断.根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目.
【解答】
解：为了知道空气中有毒气体的百分比，使用的统计图最好是扇形统计图.
故选A.
【变式6-3】要绘制一幅能清楚反映全校各年级男女生人数情况的统计图，下列最适合的是(
)
折线统计图
B.
条形统计图
C.
扇形统计图
D.
以上均可选，效果一样
【分析】
本题主要考查了统计图，关键是熟练掌握统计图的特征.根据这些统计图的特征即可判断.
【解答】
解：要绘制一幅能清楚反映全校各年级男女生人数情况的统计图是条形统计图.
故选B.
【考点7
扇形统计图的圆心角】
【例7】九年级（2）班同学根据兴趣分成五个小组，各小组人数分布如图所示，则在扇形图中，第一小组对应的圆心角度数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】
解：由题意可得，
第一小组对应的圆心角度数是：×360°=72°，
故选：C．
根据条形统计图可以得到第一小组在五个小组中所占的比重，然后再乘以360°，即可解答本题．
本题考查扇形统计图、条形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【变式7-1】某校为了了解学生到校的方式，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，则扇形统计图中“步行”对应的圆心角的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】
解：由图可得，
本次抽查的学生有：15÷30%=50（人），
扇形统计图中“步行”对应的圆心角的度数为：360°×=72°，
故选：C．
根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生数，进而求得扇形统计图中“步行”对应的圆心角的度数．
本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式7-2】某鞋店试销一款女式鞋，试销期间对不同颜色鞋的销售情况统计如下表：
颜色
黑色
棕色
白色
红色
销售量（双）
6
15
40
19
若将上面的数据制成扇形统计图，则棕色鞋的数量所在扇形的圆心角的度数为?
（???
）
A.
B.
C.
D.
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．结合统计图的数据，正确的分析求解即可得出答案．
【变式7-3】为积极响应我市创建“全国卫生城市”的号召，某校1500名学生参加了卫生知识竞赛，成绩记为A、B、C、D四等，从中随机抽取了部分学生成绩进行统计，绘制成如图两幅不完整的统计图表，根据图表信息，以下说法不正确的是（）
?
A.
D等所在扇形的圆心角为
B.
样本容量是200
C.
样本中C等所占百分比是
D.
估计全校学生成绩为A等大约有900人
【分析】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．结合统计图的数据，正确的分析求解即可得出答案．?
【解答】
解：样本容量是50÷25%=200，故B正确；
样本中C等所占百分比是=10%，故C正确；
估计全校学生成绩为A等大约有1500×60%=900人，故D正确；
D等所在扇形的圆心角为360°×（1-60%-25%-10%）=18°，故A不正确．
故选A．
【考点8
与统计图/表有关的综合题】
【例8】为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
种类
A
B
C
D
E
出行方式
共享单车
步行
公交车
的士
私家车
根据以上信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的市民共有______人，其中选择B类的人数有______人；
（2）在扇形统计图中，求A类对应扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图；
（3）该市约有12万人出行，若将A，B，C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”方式的人数．
【解析】
解：（1）本次调查的市民有200÷25%=800（人），
∴B类别的人数为800×30%=240（人），
故答案为：800，240；
（2）∵A类人数所占百分比为1-（30%+25%+14%+6%）=25%，
∴A类对应扇形圆心角α的度数为360°×25%=90°，A类的人数为800×25%=200（人），
补全条形图如下：
（3）12×（25%+30%+25%）=9.6（万人），
答：估计该市“绿色出行”方式的人数约为9.6万人．
（1）由C类别人数及其百分比可得总人数，总人数乘以B类别百分比即可得；
（2）根据百分比之和为1求得A类别百分比，再乘以360°和总人数可分别求得；
（3）总人数乘以样本中A、B、C三类别百分比之和可得答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．
【变式8-1】江苏省第十九届运动会将于2018年9月在扬州举行开幕式，某校为了了解学生“最喜爱的省运动会项目”的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，规定每人从“篮球”、“羽毛球”、“自行车”、“游泳”和“其他”五个选项中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．
最喜爱的省运会项目的人数调查统计表
最喜爱的项目
人数
篮球
20
羽毛球
9
自行车
10
游泳
a
其他
b
合计
根据以上信息，请回答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是______，a+b=______．
（2）扇形统计图中“自行车”对应的扇形的圆心角为______．
（3）若该校有1200名学生，估计该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数．
(1)50；11；
(2)72°；
(3)?该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数为：1200×=480（人）
【解析】
本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）依据9÷18%，即可得到样本容量，进而得到a+b的值；
（2）利用圆心角计算公式，即可得到“自行车”对应的扇形的圆心角；
（3）依据最喜爱的省运会项目是篮球的学生所占的比例，即可估计该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数．
解：（1）样本容量是9÷18%=50，
a+b=50-20-9-10=11，
故答案为50，11；
（2）“自行车”对应的扇形的圆心角=×360°=72°，
故答案为72°；
（3）见答案.
【变式8-2】为推进“全国亿万学生阳光体育运动”的实施，组织广大同学开展健康向上的第二课堂活动．我市某中学准备组建球类社团（足球、篮球、羽毛球、乒乓球）、舞蹈社团、健美操社团、武术社团，为了解在校学生对这4个社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分初中生进行了“你最喜欢哪个社团”调查，依据相关数据绘制成以下不完整的统计表，请根据图表中的信息解答下列问题：
社团类别
人数
占总人数比例
球类
60
m
舞蹈
30
0.25
健美操
n
0.15
武术
12
0.1
求样本容量及表格中m、n的值；
（2）请补全统计图；
（3）被调查的60个喜欢球类同学中有3人最喜欢足球，若该校有3000名学生，请估计该校最喜欢足球的人数．
解：（1）样本容量为：12÷0.1=120，
m=60÷120=0.5，
n=120×0.15=18；
（2）如图所示：
；
（3）学校喜欢球类人有：3000×0.5×=75（人）．
答：估计该校最喜欢足球的人数为75．
【解析】
（1）根据喜欢武术的有12人，所占的比例是0.1，即可求得总数；
（2）根据（1）的结果，即可补全统计图；
（3）利用总人数3000乘以对应的比例，即可估计该校最喜欢足球的人数．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
【变式8-3】中学生带手机上学的现象越来越受到社会的关注，为此某记者随机调查了市区某校七年级若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对）．统计员在将测试数据绘制成图表时发现，反对漏统计6人，赞成漏统计4人，于是及时更正，从而形成如下图表．请按正确数据解答下列各题：
家长对中学生带手机上学各项态度人数统计表和统计图：
态度
调整前人数
调整后人数
A．无所谓
30
30
B．基本赞成
40
40
C．赞成
______
______
D．反对
114
120
（1）此次抽样调查中，共调查了______名中学生家长；
（2）填写统计表，并根据调整后数据补全折线统计图；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该市城区6000名中学生家长中有多少名家长持反对态度？
【解析】
解：（1）30÷15%=200（人），
（2）C组人数=200-30-40-120=10（人），10-4=6，
故答案为6，10；
（3）折线统计图如图所示：
（4）6000×=3600（人）
答：估计该市城区6000名中学生家长中有3600名家长持反对态度．
（1）根据A组人数以及百分比计算即可；
（2）利用总人数=200，求出C组人数，即可解决问题；
（3）根据C组人数为10人，画出折线统计图即可；
（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可；
本题考查折线统计图、样本估计总体、统计表等知识，解题的关键是读懂图象信息，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【考点9
频率与频数】
【例9】（2019?武汉模拟）社会主义核心价值观知识竞赛成绩结果统计如下表：成绩在91～100分的为优胜者，则优胜者的频率是（ ）
分段数（分）
61～70
71～80
81～90
91～100
人数（人）
1
19
22
18
A．35%
B．30%
C．20%
D．10%
【分析】首先根据表格，计算其总人数；再根据频率＝频数÷总数进行计算．
【答案】解：优胜者的频率是18÷（1+19+22+18）＝0.3＝30%，
故选：B．
【点睛】本题考查频率、频数的关系：频率＝频数÷数据总和．
【变式9-1】（2019秋?雁塔区校级月考）青青的袋中有红、黄、蓝、白球若干个，晓晓又放入5个黑球，通过多次摸球试验，发现摸到红球、黄球、蓝球、白球的频率依次为30%，15%，40%，10%，则青青的袋中大约有黄球（ ）
A．5个
B．10个
C．15个
D．30个
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手求解．
【答案】解：晓晓放入5个黑球后，发现摸到红球、黄球、蓝球、白球的频率依次为30%，15%，40%，10%，故发现摸到黑球的频率为5%，
则可以由此估计袋中共有球＝100（个），
说明此时袋中可能有100个球（包括5个黑球），故黄球有100×15%＝15（个），
故选：C．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题关键是要先计算出口袋中黑球的比例再算其个数．部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
【变式9-2】（2019秋?重庆校级月考）已知一组数据：10，8，6，10，8，13，11，12，10，10，7，9，8，12，9，11，12，9，10，11，则分组后频率为0.2的一组是（ ）
A．6～7
B．8～9
C．10～11
D．12～13
【分析】分别计算出各组的频数，再除以20即可求得各组的频率，看谁的频率等于0.2．
【答案】解：A中，其频率＝2÷20＝0.1；
B中，其频率＝6÷20＝0.3；
C中，其频率＝8÷20＝0.4；
D中，其频率＝4÷20＝0.2．
故选：D．
【点睛】首先数出数据的总数，然后数出各个小组内的数据个数，即频数．根据频率＝频数÷总数进行计算．
【变式9-3】已知一组数据，那么频率为0.2的范围是（ ）
10
8
10
8
6
13
11
10
12
7
9
8
12
9
11
12
9
10
11
10
A．5.5～7.5
B．7.5～9.5
C．9.5～11.5
D．11.5～13.5
【分析】首先由表格，知共有20个数据；
再根据频数＝频率×总数，知要使其频率为0.2，则应观察哪组的数据有4个即可．
【答案】解：根据表格，知
这组数据共20个，要使其频率为0.2，则应观察哪组的数据有4个．
发现其中有4个在11.5～13.5之间．
故选：D．
【点睛】本题考查频率、频数的关系：频率＝．
【考点10
从频数分布直方图获取信息】
【例10】（2019春?襄州区期末）某班级的一次数学考试成绩统计图如图，则下列说法错误的是（ ）
A．得分在70～80分的人数最多
B．该班的总人数为40
C．人数最少的得分段的频数为2
D．得分及格（≥60）的有12人
【分析】根据条形图各组频数逐一判断可得．
【答案】解：A．得分在70～80分的人数最多，此选项正确；
B．该班的总人数为4+12+14+8+2＝40（人），此选项正确；
C．人数最少的得分段的频数为2，此选项正确；
D．得分及格（≥60）的有12+14+8+2＝36人，此选项错误；
故选：D．
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
【变式10-1】（2019秋?盐湖区期末）某班有64位同学，在一次数学检测中，分数只能取整数，统计其成绩绘制成频数直方图，如图所示，从左到右的小长方形的高度比是1：3：6：4：2，则由图可知，其中分数在70.5～80.5之间的人数是（ ）
A．12
B．24
C．16
D．8
【分析】小长方形的高度比等于各组的人数比，即可求得分数在70.5到80.5之间的人数所占的比例，乘以总数48即可得出答案．
【答案】解：分数在70.5到80.5之间的人数是：×64＝24（人）；
故选：B．
【点睛】此题考查了频率分布直方图，了解频数分布直方图中小长方形的高度比与各组人数比的关系是解答问题的关键．
【变式10-2】（2019春?呼和浩特期末）学校为了了解七年级700名学生上学期参加社会实践活动的时间，随机对该年级50名学生进行了调查．根据收集的数据绘制了下面的频数分布直方图，则以下说法正确的是（ ）
A．绘制该频数分布直方图时选取的组距为10分成的组数为5
B．这50人中大多数学生参加社会实践活动的时间是12～14h
C．这50人中有64%的学生参加社会实践活动时间不少于10h
D．可以估计全年级700人中参加社会实践活动时间为6～8h的学生大约为28人
【分析】阅读频数分布直方图，根据直方图中获取的信息进行判断即可．
【答案】解：A．绘制该频数分布直方图时选取的组距为8﹣6＝2，分成的组数为5，故A错误；
B．这50人中大多数学生参加社会实践活动的时间是12～14h，18÷50＝36%＜50%，故B错误；
C．这50人中参加社会实践活动时间不少于10h的人数是＝84%．故C错误；
D．可以估计全年级700人中参加社会实践活动时间为6～8h的学生大约为＝28人，正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是频数分布直方图的认识，能够从直方图中获取有效信息是解题的关键．
【变式10-3】（2019春?海淀区校级期末）为了了解2019年北京市乘坐地铁的每个人的月均花费情况，相关部门随机调查了1000人乘坐地铁的月均花费（单位：元），绘制了如下频数分布直方图，根据图中信息，下面三个推断中，合理的是（ ）
①小明乘坐地铁的月均花费是75元，那么在所调查的1000人中一定有超过一半的人月均花费超过小明；
②估计平均每人乘坐地铁的月均花费的不低于60元；
③如果规定消费达到一定数额可以享受折扣优惠，并且享受折扣优惠的人数控制在20%左右，那么乘坐地铁的月均花费达到120元的人可享受折扣．
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【分析】①求出80元以上的人数，由75～80元的人数不能确定可以判断此结论；
②根据图中信息，可得大多数人乘坐地铁的月均花费在60﹣120之间，据此可得平均每人乘坐地铁的月均花费的范围；
③该市1000人中，30%左右的人有300人，根据图形可得乘坐地铁的月均花费达到100元的人有300人可以享受折扣．
【答案】解：①∵200+100+80+50+25+25+15+5＝500，而75～80元的人数不能确定，
∴在所调查的1000人中一定有一半或超过一半的人月均花费超过小明，此结论错误；
②根据图中信息，可得大多数人乘坐地铁的月均花费在60～120之间，
估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是60～120，
所以估计平均每人乘坐地铁的月均花费的不低于60元，此结论正确；
③∵1000×20%＝200，而80+50+25+25+15+5＝200，
∴乘坐地铁的月均花费达到120元的人可以享受折扣．此结论正确；
综上，正确的结论为②③，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图及用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
【考点11
从频数分布折线图获取信息】
【例11】（2019春?邢台县月考）体育老师对八年级（2）班学生“你最喜欢的体育项目是什么？（只写一项）”的问题进行了调查，把所得数据绘制成如图所示的折线统计图．由图可知，最喜欢篮球的学生的频率是（ ）
A．16%
B．24%
C．30%
D．40%
【分析】从图中可知总人数为50人，其中最喜欢篮球的有20人，根据频率的计算公式进行计算即可．
【答案】解：读图可知：
共有（4+12+6+20+8）＝50人，
其中最喜欢篮球的有20人，
故频率最喜欢篮球的频率＝20÷50＝0.4．
故选：D．
【点睛】本题考查读频数分布折线图和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，同时考查频率、频数的关系．
【变式11-1】（2019春?涿州市期末）超速行驶是交通事故频发的主要原因之一，交警部门统计某日7：00﹣9：00经过高速公路某测速点的汽车的速度，得到如下频数分布折线图，若该路段汽车限速110km/h，则超速行驶的汽车有（ ）
A．20辆
B．60辆
C．70辆
D．80辆
【分析】根据图中的信息，找到符合条件的数据，再进一步计算即可．
【答案】解：根据所给出的折线统计图可得：
超过限速110km/h的有：60+20＝80（辆）．
故选：D．
【点睛】本题考查读频数分布折线图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
【变式11-2】（2019春?萧山区校级期中）班主任张老师为了了解学生课堂发言情况，对前一天本班男、女生的发言次数进行了统计，并绘制成如下频数分布折线图（如图）．根据图中，发言次数是4次的男生、女生分别有（ ）
A．4人，6人
B．4人，2人
C．2人，4人
D．3人，4人
【分析】根据频数分布折线图，找出发言次数是4次所对应的男女生的人数即可得解．
【答案】解：根据图象，发言次数是4次的男生有4人，女生有2人．
故选：B．
【点睛】本题考查读频数分布折线图的能力，根据横坐标发言4次找出纵坐标对应的男女生的人数即可，比较简单．
【变式11-3】如图，表示某地区各年龄层人口的累积百分率，其资料自0岁开始，每10岁为一组．根据此图，判断下列关于此地居民的叙述，何者正确？（ ）
A．可能有100岁的老人
B．21～80岁之间的居民占五成以上的比例
C．30岁以上的人数比20岁以下的人数少
D．居民年龄在40～60岁之间的人口累积百分率是50%
【分析】根据图象可以看出各年龄段的人口积累百分率，这样可以得到各年龄段的百分率．
【答案】解：利用图象可知：累计百分率从90岁以上达到100%，由此得出不可能存在100岁以上的老人，故A不正确；
20岁以下的居民已经超过60%，
∴21～80岁之间的居民不可能超过五成以上，故B不正确，
由以上可得30岁以上的人数，也绝对不可能超过20岁以下的人数，故C正确，
由图象可知，在40～60岁之间的人口累积百分率也不可能超过50%，D不正确．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了利用图象得到正确信息，体现了数学中的数形结合思想．
【考点12
与频数分布直方图有关综合题】
【例12】（2019春?西湖区校级月考）为了解七年级学生的身体素质情况，体育老师对该年级部分学生进行了一分钟跳绳次数的测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
某校七年级部分学生一分钟跳绳次数测试的频数表
组别（次）
频数
频率
80～100
5
0.125
100～120
8
0.2
120～140
a
0.225
l40～160
12
b
160～180
6
0.15
（1）参加测试的学生有多少人？
（2）求a，b的值，并把频数直方图补充完整．
（3）若该年级共有320名学生，估计该年级学生一分钟跳绳次数不少于120次的人数．
【分析】（1）根据第二组的频数是8，频率为0.2，可求出参加测试的学生人数，
（2）知道总数，依据频率可求出频数，已知频数可求出频率，
（3）样本估计总体，样本中一分钟跳绳次数不少于120次所占的百分比为（0.225+0.3+0.15），进而求出人数．
【答案】解：（1）8÷0.2＝40人，
答：参加测试的学生有40人．
（2）a＝40×0.225＝9人，b＝12÷40＝0.3，
答：a、b的值分别为9，0.3，补全频数分布直方图如图所示：
（3）320×（0.225+0.3+0.15）＝216人，
答：该年级320名学生中一分钟跳绳次数不少于120次的人数大约有216人．
【点睛】考查频数分布直方图、频数分布表的制作方法，从统计图表中获取数量和数量之间的关系，是解决问题的关键．
【变式12-1】（2019春?西湖区校级月考）25日某路段雷达测速区监测到一组汽车时速数据，经整理得到如下频数表和频数直方图（每组含后一边界值，不含前一边界值）．
25日某路段监测汽车时速的频数表
频数
频率
30～40
10
0.05
40～50
36
50～60
0.39
60～70
70～80
4
0.02
80～90
2
0.01
（1）请你把表中的数据填写完整．
（2）补全频数直方图．
（3）若该路段限速70（汽车时速高于70千米/小时即为违章），抽测到违章车辆有多少辆？统计表明25日全天通过这个路段的汽车大约有15000辆．请估计这天超速违章的车辆有多少辆？
【分析】（1）根据第一组的频数和频率，可以求出调查的总数，进而求出各个组的频数、频率，填写表格即可，
（2）根据每个组的频数，可以补全频数分布直方图，
（3）调查的车辆中超速违章的有4+2＝6辆，占调查总数的（0.02+0.01），估计总体中，违章车辆占3%，进而求出违章车辆．
【答案】解：（1）10÷0.05＝200，36÷200＝0.18，200×0.39＝78，
200﹣10﹣36﹣78﹣4﹣2＝70，70÷200＝0.35，
故表格中，依次填写0.18，78，75，0.35，
（2）补全的频数直方图如图所示：
（3）4+2＝6辆，
15000×（0.02+0.01）＝450辆，
答：抽测到违章车辆有6辆；这个路段的汽车大约有15000辆．估计这天超速违章的车辆有450辆．
【点睛】考查频率分布直方图、频数分布表的制作方法，表格中各个数量之间的关系式解决问题的关键，依据频数画出频数分布直方图．
【变式12-2】（2019秋?海淀区校级月考）据《北京晚报》介绍．自2009年故宫博物院年度接待观众首次突破1000万人次之后，每年接待量持续增长，到2018年突破1700万人次，成为世界上接待量最多的博物馆，特别是随着《我在故官修文物》，《上新了，故宫》等一批电视文博节目的播出，社会上再次掀起故宫热．于是故宫文创营销人员为开发针对不同年龄群体的文创产品，随机调查了部分参观故官的观众的年龄，整理并绘制了如下统计图表
2018年参观故宫观众年龄频数分布直方图
年龄x/岁
频数/人数
频率
20≤x＜30
80
b
30≤x＜40
a
0.240
40≤x＜50
35
0.175
50≤x＜60
37
c
合计
200
1000
请根据图表信息回答下列问题：
（1）求表中a，b，c的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）从数据上看，年轻观众20≤x＜40已经成为参观故宫的主要群体，如果今年参观故宫人数达到2000万人次，那么其中年轻观众预计约有
万人次．
【分析】（1）根据频数、频率、总数之间的关系可以求出a、b、c的值，
（2）根据频数可以补全频数分布直方图，
（3）样本估计总体，样本中年轻观众占，估计总体中也占占，进而可以求出结果．
【答案】解：（1）a＝200×0.240＝48，b＝80÷200＝0.40，c＝37÷200＝0.185，
答：表中a，b，c的值分别为48，0.40，0.185．
（2）补全频数分布直方图如图所示：
（3）2000×＝1280万人次，
故答案为：1280．
【点睛】考查频数分布直方图的意义及画法，理解统计表中的各个数据之间的关系式解决问题的关键．
【变式12-3】（2019春?鼓楼区校级期中）某校八年级根据学生的学习成绩、学习能力将学生依次分为A、B、C三个层次，第一次月考后，选取了其中一个A层次班级的考试成绩分布情况进行处理分析，制成频数分布表（成绩得分均为整数）：
组别
成绩分组
频数
频率
1
39.5～49.5
2
0.05
2
49.5～59.5
4
0.10
3
59.5～69.5
a
0.20
4
69.5～79.5
10
0.25
5
79.5～89.5
b
c
6
89.5～100
6
0.15
合计
40
1.00
根据表中提供的信息解答下列各题：
（1）频数分布表中的a＝
，b＝
，c＝
；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）小明正好在所选取的班级中，他认为：学校八年级共有20个班（平均每班40人），根据本班的成绩分布情况可知，在这次考试中，全年级90分以上为优秀，则优秀的人数约为
人，60分及以上为及格，及格的人数约为
人，及格的百分比约为
；
（4）小明得到的数据会与实际情况相符吗？为什么？
【分析】（1）根据第一组的频数和频率可以求得本次调查的人数，从而可以求得a、b、c的值；
（2）根据（1）中a、b的值可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据统计图中的数据可以解答本题；
（4）根据题意，可以得到小明得到的数据会与实际情况是否相符，并说明理由．
【答案】解：（1）本次调查的有：2÷0.05＝40（人），
a＝40×0.20＝8，b＝40﹣2﹣4﹣8﹣10﹣6＝10，c＝10÷40＝0.25，
故答案为：8，10，0.25；
（2）由（1）知，59.5～69.5的频数为8，79.5﹣89.5的频数为10，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）优秀的人数约为：20×40×＝120（人），
及格的人数约为：20×40×＝680（人），
及格的百分比约为：＝85%，
故答案为：120，680，85%；
（4）不相符，选择A层次班级的成绩不具有代表性．
【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、频数（率）分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【考点13
可能性的大小】
【方法点拨】可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性．
【例13】（2019春?金坛区期中）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，估计下列4个事件发生的可能性大小，其中事件发生的可能性最大的是（ ）
A．指针落在标有5的区域内
B．指针落在标有10的区域内
C．指针落在标有偶数或奇数的区域内
D．指针落在标有奇数的区域内
【分析】根据可能性等于所求情况数与总情况数之比分别求出每种情况的可能性，再按发生的可能性从小到大的顺序排列即可，从而确定正确的选项即可．
【答案】解：A、指针落在标有5的区域内的概率是；
B、指针落在标有10的区域内的概率是0；
C、指针落在标有偶数或奇数的区域内的概率是1；
D、指针落在标有奇数的区域内的概率是；
故选：C．
【点睛】此题考查了可能性大小，用到的知识点是可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性．
【变式13-1】（2019春?市北区期末）我国南方地区冬至的传统习俗是吃汤圆，其寓意团团圆圆冬至这一天，小红家煮了30个汤圆，其中有12个黑芝麻馅的，14个枣泥馅的，4个豆沙馅的，煮完之后的汤圆看起来都一样，小红盛了1个汤圆，下列各种描述正确的是（ ）
A．她吃到黑芝麻馅汤圆和枣泥馅汤圆可能性一样大
B．她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大很多
C．她不可能吃到豆沙馅汤圆
D．她一定能吃到枣泥馅汤圆
【分析】通过计算盛了1个汤圆，盛到各种馅的概率，比较概率的大小得出结论．
【答案】解：盛了1个汤圆盛到黑芝麻的概率为，盛到枣泥的概率为，盛到豆沙的概率为，
∴她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大很多，
故选：B．
【点睛】考查随机事件发生可能性的求法，体会概率是描述随机事件发生可能性的大小统计量．
【变式13-2】（2019?资阳）在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（ ）
A．4个
B．5个
C．不足4个
D．6个或6个以上
【分析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答案．
【答案】解：∵袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，
∴红球的个数比白球个数多，
∴红球个数满足6个或6个以上，
故选：D．
【点睛】本题主要考查可能性大小，只要在总情况数目相同的情况下，比较其包含的情况总数即可．
【变式13-3】（2019?张店区一模）从淄博汽车站到银泰城有甲，乙，丙三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从淄博汽车站到银泰城的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
线路/公交车用时的频数/公交车用时
30≤t≤35
35≤t≤40
40≤t≤45
45≤t≤50
合计
甲
59
151
166
124
500
乙
50
50
122
278
500
丙
45
265
167
23
500
早高峰期间，乘坐线路上的公交车，从淄博汽车站到银泰城“用时不超过45分钟”的可能性最大．（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．无法确定
【分析】分别计算出用时不超过45分钟的可能性大小，再进行比较即可得出答案．
【答案】解：∵甲线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.752，
乙线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.444，
丙线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.954，
∵0.954＞0.752＞0.444，
∴应选择线路丙；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了树状图法求概率以及可能性大小，解题的关键是掌握频数估计概率思想的运用．
【考点14
确定与不确定事件】
【方法点拨】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【例14】（2018秋?十堰期末）下列说法中不正确的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件
B．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件
C．任意打开九年级下册数学教科书，正好是第38页是确定事件
D．一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6
【分析】直接利用随机事件的定义分别分析得出答案．
【答案】解：A、抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，正确，不合题意；
B、把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件，正确，不合题意；
C、任意打开九年级下册数学教科书，正好是第38页是随机事件，故此选项错误，符合题意；
D、一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6，正确，不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了随机事件，正确把握随机事件的定义是解题关键．
【变式14-1】（2019春?常熟市期末）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．如果a，b都是实数，那么，a+b＝b+a
B．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13
C．抛枚质地均匀的硬币20次，有10次正面向上
D．用长为4cm，4cm，9cm的三条线段围成一个等腰三角形
【分析】根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义即可得到答案．
【答案】解：A．如果a，b都是实数，那么a+b＝b+a，属于必然事件；
B．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13，属于不可能事件；
C．抛枚质地均匀的硬币20次，有10次正面向上，属于随机事件；
D．用长为4cm，4cm，9cm的三条线段围成一个等腰三角形，属于不可能事件；
故选：A．
【点睛】本题考查了随机事件：随机事件指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【变式14-2】（2019春?滨湖区期末）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．矩形的两条对角线相等
D．菱形的每一条对角线平分一组对角
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【答案】解：A、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形是必然事件；
B、一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形是随机事件；
C、矩形的两条对角线相等是必然事件；
D、菱形的每一条对角线平分一组对角是必然事件；
故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【变式14-3】（2019?襄城区模拟）下列事件中是不可能事件的是（ ）
A．任意画一个四边形，它的内角和是360°
B．若a＝b，则a2＝b2
C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上
D．一只袋子里共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出一个小球，标号为5
【分析】直接利用随机事件以及不可能事件的定义分别分析得出答案．
【答案】解：A、任意画一个四边形，它的内角和是360°，是必然事件，不合题意；
B、若a＝b，则a2＝b2，是必然事件，不合题意；
C、掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上，是随机事件，不合题意；
D、一只袋子里共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出一个小球，标号为5，是不可能事件，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键．
【考点15
概率与方程】
【方法点拨】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
【例15】（2019?齐齐哈尔）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为（ ）
A．27
B．23
C．22
D．18
【分析】袋中黑球的个数为x，利用概率公式得到＝，然后利用比例性质求出x即可．
【答案】解：设袋中黑球的个数为x，
根据题意得＝，解得x＝22，
即袋中黑球的个数为22个．
故选：C．
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
【变式15-1】（2019?南安市模拟）不透明袋子中装有若干个红球和6个蓝球，这些球除了颜色外，没有其他差别，从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝球的概率是0.6，则袋子中有红球（ ）
A．4个
B．6个
C．8个
D．10个
【分析】设袋子中有红球x个，利用概率公式得到＝0.6，然后解方程即可．
【答案】解：设袋子中有红球x个，
根据题意得＝0.6，
解得x＝4．
经检验x＝4是原方程的解．
答：袋子中有红球有4个．
故选：A．
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
【变式15-2】（2019?大洼区三模）在一个不透明的袋中有4个白球和n个黄球，它们除颜色外其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为，则n＝（ ）
A．10
B．8
C．6
D．4
【分析】根据黄球的概率公式列出方程＝求解即可．
【答案】解：不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有n+4个球，其中黄球n个，
根据古典型概率公式知：P（黄球）＝＝，
解得n＝6．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
【变式15-3】（2019?厦门一模）一个不透明盒子里装有a只白球、b只黑球、c只红球，这些球仅颜色不同．从中随机摸出一只球，若P（摸出白球）＝，则下列结论正确的是（ ）
A．a＝1
B．a＝3
C．a＝b＝c
D．a＝（b+c）
【分析】根据概率公式得出＝，整理可得．
【答案】解：由题意知＝，
则3a＝a+b+c，
∴2a＝b+c，
∴a＝（b+c），
故选：D．
【点睛】此题考查了概率的定义：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
【考点16
几何概型】
【方法点拨】如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
几何概型的特点:1）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.
2)每个基本事件出现的可能性相等.
【例16】（2019?鞍山一模）如图，在一不规则区域内，有一边长为3米的正方形，向区域内随机地撒4000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆有1350颗，以此实验数据为依据，可以估计出该不规则图形的面积．
（1）随机向不规则区域内掷一粒黄豆，求黄豆落在正方形区域内（含边界）的概率；
（2）请你估计出该不规则图形的面积；
【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）根据概率公式即可得到结论．
【答案】解：（1）记“黄豆落在正方形区域内”为事件A．
∴P（A）＝＝，
答：黄豆落在正方形区域内（含边界）的概率为；
（2）∵P＝，
∵正方形面积等于27，
∴不规则图形面积为80平方米．
【点睛】本题考查了几何概率，正方形的面积，正确的理解题意是解题的关键．
【变式16-1】（2018春?东明县期末）如图所示的正三角形区域内投针（区域中每个小正三角形除颜色外完全相同），针随机落在某个正三角形内（边线忽略不计）
（1）投针一次，针落在图中阴影区域的概率是多少？
（2）要使针落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出．
【分析】（1）求出阴影部分的面积与三角形的面积的比值即可解答；
（2）利用（1）中求法得出答案即可．
【答案】解：（1）因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是＝，
所以投针一次击中阴影区域的概率等于．
（2）如图所示：
要使针落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，
还要涂黑2个小正三角形．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
【变式16-2】（2018春?沂源县期中）（1）如图所示是一条线段，AB的长为10厘米，MN的长为2厘米，假设可以随意在这条线段上取一点，求这个点取在线段MN上的概率．
（2）如图是一个木制圆盘，图中两同心圆，其中大圆直径为20cm，小圆的直径为10cm，一只小鸟自由自在地在空中飞行，求小鸟停在小圆内（阴影部分）的概率是
．
【分析】（1）由AB间距离为10，MN的长为2，用MN的长除以线段AB的长即可得；
（2）用小圆面积除以大圆面积即可得．
【答案】解：（1）AB间距离为10，MN的长为2，
故以随意在这条线段上取一个点，
那么这个点取在线段MN上的概率为．
（2）因为大圆的面积为：；
小圆的面积为：．
所以小鸟停在小圆内（阴影部分）的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
【变式16-3】（2018?镇江模拟）有一类随机事件概率的计算方法：设试验结果落在某个区域S中的每一点的机会均等，用A表示事件“试验结果落在S中的一个小区域M中”，那么事件A发生的概率P（A）＝．有一块边长为30cm的正方形ABCD飞镖游戏板，假设飞镖投在游戏板上的每一点的机会均等．求下列事件发生的概率：
（1）在飞镖游戏板上画有半径为5cm的一个圆（如图1），求飞镖落在圆内的概率；
（2）飞镖在游戏板上的落点记为点O，求△OAB为钝角三角形的概率．
【分析】（1）分别计算半径为5cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算即可求出飞镖落在圆内的概率；
（2）根据题意及结合图形可得：当点O落在以AB为直径的半圆内△OAB为钝角三角形，然后计算以AB为直径的半圆的面积，然后用半圆的面积除以正方形的面积即可求△OAB为钝角三角形的概率．
【答案】解：（1）∵半径为5cm的圆的面积＝π?52＝25πcm2，
边长为30cm的正方形ABCD的面积＝302＝900cm2，
∴P（飞镖落在圆内）＝＝＝；
（2）如图可得：当点O落在以AB为直径的半圆内△OAB为钝角三角形．
∵S半圆＝?π?152＝，
∴P（△OAB为钝角三角形）＝＝．
【点睛】本题考查的知识点是几何概型的意义，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
【考点17
利用树状图求概率】
【方法点拨】列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
【例17】（2019?南关区校级模拟）有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．
（1）随机抽取一张卡片，则抽到数字“2”的概率是
；
（2）从四张卡片中随机抽取2张卡片，请用列表或画树状图的方法求抽到“数字和为5”的概率．
【分析】（1）根据题意可以直接写出随机抽取一张卡片，抽到数字“2”的概率；
（2）根据题意可以画出树状图，从而可以求得相应的概率．
【答案】解：（1）由题意可得，
随机抽取一张卡片，则抽到数字“2”的概率是，
故答案为：；
（2）由题意可得，
抽到“数字和为5”的概率是．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
【变式17-1】（2019春?河口区期末）随着改革开放进程的推进，改变的不仅仅是人们的购物模式，就连支付方式也在时代的浪潮中发生着天翻地覆的改变，除了现金、银行卡支付以外，还有微信、支付宝以及其他支付方式．在一次购物中，小明和小亮都想从微信、支付宝、银行卡三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【答案】解：将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【变式17-2】（2019?振兴区校级二模）爱好数学的甲、乙两个同学做了一个数字游戏：拿出三张正面写有数字﹣1，0，1且背面完全相同的卡片，将这三张卡片背面朝上洗匀后，甲先随机抽取一张，将所得数字作为p的值，然后将卡片放回并洗匀，乙再从这三张卡片中随机抽取一张，将所得数字作为q值，两次结果记为（p，q）．
（1）请你帮他们用树状图或列表法表示（p，q）所有可能出现的结果；
（2）求满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）可求得满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数解的结果数，再利用概率公式即可求得答案．
【答案】解：（1）画树状图得：
则共有9种等可能的结果；
（2）方程x2+px+q＝0有实数解，即△＝p2﹣4q＞0的结果有6种，
∴满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率为＝．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【变式17-3】（2019?云南模拟）将正面分别写着数字﹣2，1，3，6的四张卡片（卡片除数字外，其它都相同）洗匀后，背面向上放在桌子上，从中先随机抽取一张卡片，记下卡片上的数字，不放回，再从中任取一张卡片，记下数字．
（1）请用列表或画树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，列出所有可能出现的结果；
（2）请计算两次摸出的卡片上的数字之和大于4的概率．
【分析】（1）根据题意先画出树状图得出所有等情况数，再一一列举出来即可；
（2）根据（1）得出的所有情况数，再找出两次摸出的卡片上的数字之和大于4的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【答案】解：（1）根据题意画图如下：
所有可能出现的结果共有12种，分别是（﹣2，1）（﹣2，3）（﹣2，6）（1，﹣2）（1，3）（1，6）（3，﹣2）（3，1）（3，6）（6，﹣2）（﹣6，1）（﹣6，3）；
（2）由树状图可知，共有12种等可能的情况数，其中两次摸出的卡片上的数字之和大于4的有4种，分别是（1，6）（3，6）（6，1）（6，3），
所以两次摸出的卡片上的数字之和大于4的概率是＝．
【点睛】此题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
【考点18
用列表法求概率】
【方法点拨】列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
【例18】（2019?郫都区模拟）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“优”、“教”、“郫”、“都”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“优”的概率为多少？
（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出两个球上的汉字能组成“优教”或“郫都”的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【答案】解：（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“优”的概率为；
（2）列出下表：
优
教
郫
都
优
﹣﹣
（优，教）
（优，郫）
（优，都）
教
（教，优）
﹣﹣
（教，郫）
（教，都）
郫
（郫，优）
（郫，教）
﹣﹣
（郫，都）
都
（都，优）
（都，教）
（都，郫）
﹣﹣
∴共有12种可能的结果，其中能组成“优教”、“郫都”各有2种可能，
∴按要求能组成“优教”或“郫都”的概率为＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
【变式18-1】（2019?长春三模）《中国诗词大会》栏目中，外卖小哥击败北大硕士引发新一轮中华优秀传统文化热．某文化中心开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》、《孟子》（依次用字母A，B，C，D分别表示这四个材料），将A，B，C．D分别写在4张完全相同的不适明卡片的正面，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时甲选手先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由乙选手从中随机抽取一张卡片，他俩按各自抽取的内容进行诵读比赛．用画树状图或列表的方法求他俩诵读两个不同材料的概率．
【分析】首先根据题意列表，然后求得所有等可能的结果数和符合条件的结果数，二者的比值即为所求概率
【答案】解：列表如下：
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（A，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
由表可知共有16种可能结果，共中他俩诵读两个不同材料的结果数为12种，
所以他俩诵读两个不同材料的概率为＝．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【变式18-2】（2019?长春模拟）苏宇为帮助同桌李蕾巩固“平面直角坐标系中点的坐标特点”这基础知识，在三张完全相同且不透明的卡片止面分别写上了﹣3，0，2三个数字，背面向上洗匀后随机抽取一张，将卡片上的数字记为a，放回该卡片重新洗匀，再从三张卡片中随机取出一张，将卡片上的数字记为b，然后让李蕾在平直角坐标系中找出点M（a，b）的位置．请你用画树状图或列表的方式帮李蕾求点M落在第二象限的概率．
【分析】用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出符合（a，b），在第二象限的结果数，从而求出点M落在第二象限的概率．
【答案】解：用列表法表示所有可能出现的结果数：
共有9种可能出现的结果，其中落在第二象限的有2种，
∴点M（a，b）落在第二象限的概率为P＝．
【点睛】考查列表法、树状图法求随机事件的概率，根据题意用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果是解决问题的关键．
【变式18-3】（2019?碑林区校级一模）初三年级大活动期间要训练篮球项目，每位“体育委员”都要通过抽签的方式确定各班的训练场地，训练场地有：A号场地，B号场地，C号场地，D号场地．抽签规则如下：将正面分别写有字母A、B、C、D的四张卡片（除了正面字母不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀，先由一位“体育委员”随机抽取一张卡片，这张卡片上的字母表示的训练地点，即为他抽取的训练地点，然后将卡片放回、洗匀，再由下一位“体育委员”抽取，已知战狼和红武都是“体育委员”
（1）求战狼抽到的训练地点是“A号场地”的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法，求战狼与红武抽到同一训练场地的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）列表得出所有等可能的情况数，再找出抽取卡片上字母相同的情况数，即可求出所求的概率．
【答案】解：（1）战狼抽到的训练地点是“A号场地”的概率为；
（2）列表如下：
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
由表中可以看出，抽取的两张卡片可能出现的结果共有16种且它们出现的可能性相等，其中抽到同一训练场地的有4种结果，
所以抽到同一训练场地的概率为．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【考点19
用频率估计概率】
【方法点拨】一般地，在大量重复试验中，如果事件
A发生的频率
会稳定在某个常数p附近
，那么，这个常数p就叫作事件A的概率
，记为P（A）=P
。
【例19】（2019春?鼓楼区校级期中）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的红球和白球，其中红球有b个，将盒中的球摇匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后将球放回盒中，重复进行这过程，如表记录了某班一次摸球实验情况：
摸球总数n
400
1500
3500
7000
9000
14000
摸到红球数m
325
1336
3203
6335
8073
12628
摸到红球的频率（精确到0.001）
0.813
0.891
0.915
0.905
0.897
0.902
（1）由此估计任意摸出1个球为红球的概率约是
（精确到0.1）
（2）实验结束后，小明发现了一个一般性的结论：盒子中共有a个球，其中红球有b个，则摇匀后从中任意摸出1个球为红球的概率P可以表示为，这个结论也得到了老师的证实根据小明的发现，若在该盒子中再放入除颜色外与原来的球完全相同的2个红球和2个白球，摇匀后从中任意摸出1个球为红球的概率为P’，请通过计算比较P与P'的大小．
【分析】（1）在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，从而得出答案；
（2）由（1）得出b＝0.9a，根据概率公式得出P′＝，再两者相减得出p﹣p′＞0，从而得出P与P'的大小．
【答案】解：（1）根据给出的数据可得：任意摸出1个球为红球的概率约是0.9；
故答案为：0.9；
（2）由（1）得：＝0.9，即b＝0.9a，
由题意得：P′＝，
p﹣p′＝﹣＝＝＝＝＝，
∵a＞0，
∴p﹣p′＞0，
∴P＞P'．
【点睛】本题考查了概率公式，属于概率基础题，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数．
【变式19-1】（2019春?高邮市期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据．
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
52
138
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.52
0.69
0.593
0.604
0.60
0.599
0.601
（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为
（精确到0.1）
（2）盒子里白色的球有
只；
（3）若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随杌摸出1个球是白球的概率是0.8，求m的值．
【分析】（1）计算出其平均值即可；
（2）用总数乘以其频率即可求得频数；
（3）利用概率公式求解即可．
【答案】解：（1）∵摸到白球的频率约为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
（2）∵摸到白球的频率为0.6，共有20只球，
∴则白球的个数为20×0.6＝12只；
（3）根据题意得：，
解得：m＝20．
故答案为：0.6；12．
【点睛】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
【变式19-2】（2019春?邗江区校级期末）某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）计算并完成表格：
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”的次数m
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”的频率m/n
0.68
0.74
0.69
0.705
（2）请估计，当n很大时，频率将会接近多少？
（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？
（4）在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少？（精确到1°）
【分析】（1）根据频率的算法，频率＝频数÷总数，可得各个频率；填空即可；
（2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率；
（3）根据概率的求法计算即可；
（4）根据扇形图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比计算即可．
【答案】解：（1）
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”的次数m
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”的频率m/n
0.68
0.74
0.68
0.69
0.705
0.701
（2）当n很大时，频率将会接近0.70，
（3）获得铅笔的概率约是0.70，
（4）扇形的圆心角约是0.7×360°＝252°．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
【变式19-3】（2019春?雁塔区校级期末）某市“半程马拉松”的赛事共有两项：A“半程马拉松”、B“欢乐跑”．小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到两个项目组．
（1）小明被分配到“半程马拉松”项目组的概率为
．
（2）为估算本次赛事参加“半程马拉松″的人数，小明对部分参赛选手作如下调查：
调查总人数
20
50
100
200
500
参加“半程马拉松”人数
15
33
72
139
356
参加“半程马拉松”频率
0.750
0.660
0.720
0.695
0.712
①估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为
．（精确到0.1）
②若参加“欢乐跑”的人数大约有300人，估计本次参赛选手的人数是多少？
【分析】（1）根据概率公式计算即可．
（2）①利用表格信息即可解决问题．
②参加“欢乐跑”的人数的概率约为0.3，总人数约为300÷0.3＝1000（人）．
【答案】解：（1）小明被分配到“半程马拉松”项目组的概率为，
故答案为．
（2）观察表格可知：估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为0.7．
故答案为0.7．
（3）300÷0.3＝1000（人），
答：估计本次参赛选手的人数是100人．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【考点20
游戏公平性】
【例20】（2019?丹东）如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘A，B分成3等份和1等份，并在每一份内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字之积为偶数时，乙获胜．如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．
（1）利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘A上只修改一个数字使游戏公平（不需要说明理由）．
【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得；
（2）先计算出数字之积为偶数的概率，判断概率是否相等即可得知游戏是否公平．
【答案】解：（1）列表如下：
﹣2
﹣3
2
3
1
﹣2
﹣3
2
3
2
﹣4
﹣6
4
6
3
﹣6
﹣9
6
9
由表可知，共有12种等可能结果，其中指针所在区域的数字之积为奇数的有4种结果，
所以甲获胜概率为＝；
（2）∵指针所在区域的数字之积为偶数的概率为＝，
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平，
将转盘A上的数字2改为1，则游戏公平．
【点睛】此题考查了游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【变式20-1】（2019?市南区校级二模）“五?一”假期，宇宙公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题：
（1）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为
；
（2）若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较是否相等即可求得答案．
【答案】解：（1）员工小王抽到去B地车票的概率为＝，
故答案为：．
（2）不公平，
画树状图如下：
由此可知，共有16种等可能结果．
其中小张掷得数字比小李掷得数字大的有6种：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）．
所以小张掷得数字比小李掷得数字大的概率为6÷16＝．
则小张掷得数字不小于小李掷得数字的概率为1﹣＝，
∵≠，
∴不公平．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与概率公式得到应用．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【变式20-2】（2019?陕西）现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球．
（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
【分析】（1）P（摸出白球）＝；
（2）由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有4种，颜色相同的结果有5种P（颜色不相同）＝，P（颜色相同）＝，＜这个游戏规则对双方不公平
【答案】解：（1）共有3种等可能结果，而摸出白球的结果有2种
∴P（摸出白球）＝；
（2）根据题意，列表如下：
A
B
红1
红2
白
白1
（白1，红1）
（白1，红2）
（白1，白）
白2
（白2，红1）
（白2，红2）
（白2，白）
红
（红，红1）
（红，红2）
（红，白）
由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有5种，颜色相同的结果有4种
∴P（颜色不相同）＝，P（颜色相同）＝
∵＜
∴这个游戏规则对双方不公平
【点睛】本题考查了概率，根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率
【变式20-3】（2019?通辽）有四张反面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是
．
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用A、B、C、D表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．
【分析】（1）直接根据概率公式计算即可．
（2）首先列表列出可能的情况，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，由概率公式得出概率；得出游戏不公平；关键概率相等修改即可．
【答案】解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，
从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是；
故答案为：；
（2）游戏不公平，理由如下：
列表得：
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即（A，C）（C，A）
∴P（两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形）＝＝≠，
∴游戏不公平．
修改规则：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形（或若抽到的两张牌面图形都是轴对称图形），则小明获胜，否则小亮获胜．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步统计和概率的简单应用章末重难点题型【举一反三】
【苏科版】
【考点1
调查方式】
【方法点拨】全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。
抽样调查：一种非全面调查，从全部调查研究对象中，抽选一部分对象进行调查，并据以对全部调查研究对象做出估计和推断的一种调查方法。
统计调查的优点：全面调查的优点是可靠、真实；抽样调查的优点是省时、省力，减少破坏性。
【例1】下列调查方式，你认为最合适的是（ ）
A.
了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式
B.
旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
C.
了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，采用全面调查方式
D.
日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式
【变式1-1】下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A.
对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查
B.
对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查
C.
对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查
D.
对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查
【变式1-2】下列调查中，最适宜用普查方式的是（ ）
A.
对一批节能灯使用寿命的调查
B.
对我国初中学生视力状况的调查
C.
对最强大脑节目收视率的调查
D.
对量子科卫星上某种零部件的调查
【变式1-3】下列调查中不适合普查而适合抽样调查的是（ ）
①了解市面上一次性筷子的卫生情况??②了解我校九年级学生身高情况
③了解一批导弹的杀伤范围?
?
?
?
?
?
④了解全世界网迷少年的性格情况
A.
B.
C.
D.
【考点2
总体、个体、样本、样本容量】
【方法点拨】总体：要考察的全体对象称为总体。
个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。
样本：被抽取的所有个体组成一个样本。
样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。
【例2】为了解我区七年级6000名学生期中数学考试情况，从中抽取了500名学生的数学成绩进行统计．下列判断：
①这种调查方式是抽样调查；
②6000名学生是总体；
③每名学生的数学成绩是个体；
④500名学生是总体的一个样本．
其中正确的判断有（ ）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【变式2-1】为了解某市参加中考的28000名学生的体重情况，抽查了其中1400名学生的体重进行统计分析.下面叙述正确的是（
）
A.
28000名学生是总体
B.
每名学生是总体的一个样本
C.
以上调查是普查
D.
1400名学生的体重是总体的一个样本
【变式2-2】为了解我校八年级800名学生期中数学考试情况，从中抽取了200名学生的数学成绩进行统计．下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②八年级800名学生的数学成绩的全体是总体；③每名学生的数学成绩是个体；④200名学生是总体的一个样本；⑤200名学生是样本容量．其中正确的判断有（）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【变式2-3】我市去年共有18000名考生参加中考，为了了解这18000名考生的数学成绩，从中抽取了1000名考生的数学成绩进行统计分析．以下说法正确的有（
）
①这种调查采用了抽样调查的方式?；?
?
②18000名考生是总体；
③1000名考生是总体的一个样本；
④每名考生的数学成绩是个体．
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
0个
【考点3
数据的收集与整理】
【方法点拨】数据处理的基本过程收集数据、整理数据、描述数据、分析数据、得出结论。
【例3】某地区有38所中学，其中七年级学生共6858名．为了了解该地区七年级学生每天体育锻炼的时间，请你运用所学的统计知识，将解决上述问题所要经历的几个主要步骤进行排序．
①抽样调查；
②设计调查问卷；
③用样本估计总体；
④整理数据；
⑤分析数据．
其中正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【变式3-1】某学习小组将要进行一次统计活动，下面是四位同学分别设计的活动序号，其中正确的是（ ）
A.
实际问题收集数据表示数据整理数据统计分析合理决策
B.
实际问题表示数据收集数据整理数据统计分析合理决策
C.
实际问题收集数据整理数据表示数据统计分析合理决策
D.
实际问题整理数据收集数据表示数据统计分析合理决策
【变式3-2】当前，“低头族”已成为热门话题之一，小颖为了了解路边行人边走路边低头看手机的情况，她应采用的收集数据的方式是（ ）
A.
对学校的同学发放问卷进行调查
B.
对在路边行走的学生随机发放问卷进行调查
C.
对在图书馆里看书的人发放问卷进行调查
D.
对在路边行走的路人随机发放问卷进行调查
【变式3-3】某学校课外活动小组为了解同学们喜爱的电影类型，设计了如下的调查问卷（不完整）：
准备在“①国产片，②科幻片，③动作片，④喜剧片，⑤亿元大片”中选取三个作为该问题的备选答案，选取合理的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【考点4
样本估计总体】
【例4】为了解某校学生今年五一期间参加社团活动时间的情况，随机抽查了其中100名学生进行统计，并绘制成如图所示的频数直方图，已知该校共有1000名学生，据此估计，该校五一期间参加社团活动时间在8～10小时之间的学生数大约是（ ）
A.
280
B.
240
C.
300
D.
260
【变式4-1】为估计鱼塘中的鱼的数量，可以先从鱼塘中随机打捞50条鱼，在每条鱼身上做上记号后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间，等这些鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中随机打捞50条鱼，发现只有2条鱼是前面做好记号的，那么可以估计这个鱼塘鱼的数量约为（ ）
1250条
B.
1750条
C.
2500条
D.
5000条
【变式4-2】在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入8个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球400次，其中88次摸到黑球，则估计袋中大约有白球（ ）
A.
18个
B.
28个
C.
36个
D.
42个
【变式4-3】为了解某县1000名公益志愿者寒假期间做公益的时间，团县委随机对其中50名志愿者进行了调查．根据收集的数据绘制了如图所示频数分布直方图，则由样本可以估计全部1000名志愿者中做公益时间不少于10h所占的百分比为（ ）
A.
B.
C.
D.
【考点5
抽样调查的合理性】
【例5】下列抽样调查较科学的是（ ）
①张涛为了知道烤箱中所烤的饼是否熟了，取出一块试吃；
②刘明为了了解初中三个年级学生的平均身高，对初三年级一个班的学生做了调查；
③杨丽为了解云南省2015年的平均气温，上网查询了6月份30天的气温情况；
④李智为了解初中三个年级的课外作业完成情况，向三个年级各一个班的学生做了调查．
A.
B.
C.
D.
【变式5-1】某数学课外兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是（ ）
A.
在公园调查了1000名老年人的健康状况
B.
在医院调查了1000名老年人的健康状况
C.
利用派出所的户籍网随机调查了该地区的老年人的健康状况
D.
调查了邻居10名老年人的健康状况
【变式5-2】小明从一批乒乓球中随机摸出了三个，经检查全部合格，因此小明断定这批乒乓球全部合格．在这个问题中，小明（）
A.
忽略了抽样调查的随机性
B.
忽略了抽样调查的随机性和广泛性
C.
忽略了抽样调查的随机性和代表性
D.
忽略了样本的广泛性
【变式5-3】下列调查，样本具有代表性的是（ ）
A.
了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查
B.
了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查
C.
了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查
D.
了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查
【考点6
统计图的选择】
【方法点拨】常见统计图：（1）条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目；
（2）扇形统计图：能清楚地表示出各部分与总量间的比重；
（3）折线统计图：能反映事物变化的规律。
【例6】蜀山区三月中旬每天平均空气质量指数（AQI）分别为：118，96，60，82，56，69，86，112，108，94，为了描述这十天空气质量的变化情况，最适合用的统计图是（ ）
A.
折线统计图
B.
频数分布直方图
C.
条形统计图
D.
扇形统计图
【变式6-1】要反映长沙市一周内每天的最高气温的变化情况，宜采用（
）
A.
条形统计图
B.
扇形统计图
C.
折线统计图
D.
频数分布直方图
【变式6-2】响水3·21事件后，环保部门对空气检测，想知道空气中有毒气体的百分比，使用的统计图最好的是（
?
?）
A.
扇形统计图
B.
条形统计图
C.
折线统计图
D.
频数分布直方图
【变式6-3】要绘制一幅能清楚反映全校各年级男女生人数情况的统计图，下列最适合的是(
)
折线统计图
B.
条形统计图
C.
扇形统计图
D.
以上均可选，效果一样
【考点7
扇形统计图的圆心角】
【例7】九年级（2）班同学根据兴趣分成五个小组，各小组人数分布如图所示，则在扇形图中，第一小组对应的圆心角度数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【变式7-1】某校为了了解学生到校的方式，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，则扇形统计图中“步行”对应的圆心角的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【变式7-2】某鞋店试销一款女式鞋，试销期间对不同颜色鞋的销售情况统计如下表：
颜色
黑色
棕色
白色
红色
销售量（双）
6
15
40
19
若将上面的数据制成扇形统计图，则棕色鞋的数量所在扇形的圆心角的度数为?
（???
）
A.
B.
C.
D.
【变式7-3】为积极响应我市创建“全国卫生城市”的号召，某校1500名学生参加了卫生知识竞赛，成绩记为A、B、C、D四等，从中随机抽取了部分学生成绩进行统计，绘制成如图两幅不完整的统计图表，根据图表信息，以下说法不正确的是（）
?
A.
D等所在扇形的圆心角为
B.
样本容量是200
C.
样本中C等所占百分比是
D.
估计全校学生成绩为A等大约有900人
【考点8
与统计图/表有关的综合题】
【例8】为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
种类
A
B
C
D
E
出行方式
共享单车
步行
公交车
的士
私家车
根据以上信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的市民共有______人，其中选择B类的人数有______人；
（2）在扇形统计图中，求A类对应扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图；
（3）该市约有12万人出行，若将A，B，C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”方式的人数．
【变式8-1】江苏省第十九届运动会将于2018年9月在扬州举行开幕式，某校为了了解学生“最喜爱的省运动会项目”的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，规定每人从“篮球”、“羽毛球”、“自行车”、“游泳”和“其他”五个选项中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．
最喜爱的省运会项目的人数调查统计表
最喜爱的项目
人数
篮球
20
羽毛球
9
自行车
10
游泳
a
其他
b
合计
根据以上信息，请回答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是______，a+b=______．
（2）扇形统计图中“自行车”对应的扇形的圆心角为______．
（3）若该校有1200名学生，估计该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数．
【变式8-2】为推进“全国亿万学生阳光体育运动”的实施，组织广大同学开展健康向上的第二课堂活动．我市某中学准备组建球类社团（足球、篮球、羽毛球、乒乓球）、舞蹈社团、健美操社团、武术社团，为了解在校学生对这4个社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分初中生进行了“你最喜欢哪个社团”调查，依据相关数据绘制成以下不完整的统计表，请根据图表中的信息解答下列问题：
社团类别
人数
占总人数比例
球类
60
m
舞蹈
30
0.25
健美操
n
0.15
武术
12
0.1
求样本容量及表格中m、n的值；
（2）请补全统计图；
（3）被调查的60个喜欢球类同学中有3人最喜欢足球，若该校有3000名学生，请估计该校最喜欢足球的人数．
【变式8-3】中学生带手机上学的现象越来越受到社会的关注，为此某记者随机调查了市区某校七年级若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对）．统计员在将测试数据绘制成图表时发现，反对漏统计6人，赞成漏统计4人，于是及时更正，从而形成如下图表．请按正确数据解答下列各题：
家长对中学生带手机上学各项态度人数统计表和统计图：
态度
调整前人数
调整后人数
A．无所谓
30
30
B．基本赞成
40
40
C．赞成
______
______
D．反对
114
120
（1）此次抽样调查中，共调查了______名中学生家长；
（2）填写统计表，并根据调整后数据补全折线统计图；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该市城区6000名中学生家长中有多少名家长持反对态度？
【考点9
频率与频数】
【例9】（2019?武汉模拟）社会主义核心价值观知识竞赛成绩结果统计如下表：成绩在91～100分的为优胜者，则优胜者的频率是（ ）
分段数（分）
61～70
71～80
81～90
91～100
人数（人）
1
19
22
18
A．35%
B．30%
C．20%
D．10%
【变式9-1】（2019秋?雁塔区校级月考）青青的袋中有红、黄、蓝、白球若干个，晓晓又放入5个黑球，通过多次摸球试验，发现摸到红球、黄球、蓝球、白球的频率依次为30%，15%，40%，10%，则青青的袋中大约有黄球（ ）
A．5个
B．10个
C．15个
D．30个
【变式9-2】（2019秋?重庆校级月考）已知一组数据：10，8，6，10，8，13，11，12，10，10，7，9，8，12，9，11，12，9，10，11，则分组后频率为0.2的一组是（ ）
A．6～7
B．8～9
C．10～11
D．12～13
【变式9-3】已知一组数据，那么频率为0.2的范围是（ ）
10
8
10
8
6
13
11
10
12
7
9
8
12
9
11
12
9
10
11
10
A．5.5～7.5
B．7.5～9.5
C．9.5～11.5
D．11.5～13.5
【考点10
从频数分布直方图获取信息】
【例10】（2019春?襄州区期末）某班级的一次数学考试成绩统计图如图，则下列说法错误的是（ ）
A．得分在70～80分的人数最多
B．该班的总人数为40
C．人数最少的得分段的频数为2
D．得分及格（≥60）的有12人
【变式10-1】（2019秋?盐湖区期末）某班有64位同学，在一次数学检测中，分数只能取整数，统计其成绩绘制成频数直方图，如图所示，从左到右的小长方形的高度比是1：3：6：4：2，则由图可知，其中分数在70.5～80.5之间的人数是（ ）
A．12
B．24
C．16
D．8
【变式10-2】（2019春?呼和浩特期末）学校为了了解七年级700名学生上学期参加社会实践活动的时间，随机对该年级50名学生进行了调查．根据收集的数据绘制了下面的频数分布直方图，则以下说法正确的是（ ）
A．绘制该频数分布直方图时选取的组距为10分成的组数为5
B．这50人中大多数学生参加社会实践活动的时间是12～14h
C．这50人中有64%的学生参加社会实践活动时间不少于10h
D．可以估计全年级700人中参加社会实践活动时间为6～8h的学生大约为28人
【变式10-3】（2019春?海淀区校级期末）为了了解2019年北京市乘坐地铁的每个人的月均花费情况，相关部门随机调查了1000人乘坐地铁的月均花费（单位：元），绘制了如下频数分布直方图，根据图中信息，下面三个推断中，合理的是（ ）
①小明乘坐地铁的月均花费是75元，那么在所调查的1000人中一定有超过一半的人月均花费超过小明；
②估计平均每人乘坐地铁的月均花费的不低于60元；
③如果规定消费达到一定数额可以享受折扣优惠，并且享受折扣优惠的人数控制在20%左右，那么乘坐地铁的月均花费达到120元的人可享受折扣．
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【考点11
从频数分布折线图获取信息】
【例11】（2019春?邢台县月考）体育老师对八年级（2）班学生“你最喜欢的体育项目是什么？（只写一项）”的问题进行了调查，把所得数据绘制成如图所示的折线统计图．由图可知，最喜欢篮球的学生的频率是（ ）
A．16%
B．24%
C．30%
D．40%
【变式11-1】（2019春?涿州市期末）超速行驶是交通事故频发的主要原因之一，交警部门统计某日7：00﹣9：00经过高速公路某测速点的汽车的速度，得到如下频数分布折线图，若该路段汽车限速110km/h，则超速行驶的汽车有（ ）
A．20辆
B．60辆
C．70辆
D．80辆
【变式11-2】（2019春?萧山区校级期中）班主任张老师为了了解学生课堂发言情况，对前一天本班男、女生的发言次数进行了统计，并绘制成如下频数分布折线图（如图）．根据图中，发言次数是4次的男生、女生分别有（ ）
A．4人，6人
B．4人，2人
C．2人，4人
D．3人，4人
【变式11-3】如图，表示某地区各年龄层人口的累积百分率，其资料自0岁开始，每10岁为一组．根据此图，判断下列关于此地居民的叙述，何者正确？（ ）
A．可能有100岁的老人
B．21～80岁之间的居民占五成以上的比例
C．30岁以上的人数比20岁以下的人数少
D．居民年龄在40～60岁之间的人口累积百分率是50%
【考点12
与频数分布直方图有关综合题】
【例12】（2019春?西湖区校级月考）为了解七年级学生的身体素质情况，体育老师对该年级部分学生进行了一分钟跳绳次数的测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
某校七年级部分学生一分钟跳绳次数测试的频数表
组别（次）
频数
频率
80～100
5
0.125
100～120
8
0.2
120～140
a
0.225
l40～160
12
b
160～180
6
0.15
（1）参加测试的学生有多少人？
（2）求a，b的值，并把频数直方图补充完整．
（3）若该年级共有320名学生，估计该年级学生一分钟跳绳次数不少于120次的人数．
【变式12-1】（2019春?西湖区校级月考）25日某路段雷达测速区监测到一组汽车时速数据，经整理得到如下频数表和频数直方图（每组含后一边界值，不含前一边界值）．
25日某路段监测汽车时速的频数表
频数
频率
30～40
10
0.05
40～50
36
50～60
0.39
60～70
70～80
4
0.02
80～90
2
0.01
（1）请你把表中的数据填写完整．
（2）补全频数直方图．
（3）若该路段限速70（汽车时速高于70千米/小时即为违章），抽测到违章车辆有多少辆？统计表明25日全天通过这个路段的汽车大约有15000辆．请估计这天超速违章的车辆有多少辆？
【变式12-2】（2019秋?海淀区校级月考）据《北京晚报》介绍．自2009年故宫博物院年度接待观众首次突破1000万人次之后，每年接待量持续增长，到2018年突破1700万人次，成为世界上接待量最多的博物馆，特别是随着《我在故官修文物》，《上新了，故宫》等一批电视文博节目的播出，社会上再次掀起故宫热．于是故宫文创营销人员为开发针对不同年龄群体的文创产品，随机调查了部分参观故官的观众的年龄，整理并绘制了如下统计图表
2018年参观故宫观众年龄频数分布直方图
年龄x/岁
频数/人数
频率
20≤x＜30
80
b
30≤x＜40
a
0.240
40≤x＜50
35
0.175
50≤x＜60
37
c
合计
200
1000
请根据图表信息回答下列问题：
（1）求表中a，b，c的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）从数据上看，年轻观众20≤x＜40已经成为参观故宫的主要群体，如果今年参观故宫人数达到2000万人次，那么其中年轻观众预计约有
万人次．
【变式12-3】（2019春?鼓楼区校级期中）某校八年级根据学生的学习成绩、学习能力将学生依次分为A、B、C三个层次，第一次月考后，选取了其中一个A层次班级的考试成绩分布情况进行处理分析，制成频数分布表（成绩得分均为整数）：
组别
成绩分组
频数
频率
1
39.5～49.5
2
0.05
2
49.5～59.5
4
0.10
3
59.5～69.5
a
0.20
4
69.5～79.5
10
0.25
5
79.5～89.5
b
c
6
89.5～100
6
0.15
合计
40
1.00
根据表中提供的信息解答下列各题：
（1）频数分布表中的a＝
，b＝
，c＝
；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）小明正好在所选取的班级中，他认为：学校八年级共有20个班（平均每班40人），根据本班的成绩分布情况可知，在这次考试中，全年级90分以上为优秀，则优秀的人数约为
人，60分及以上为及格，及格的人数约为
人，及格的百分比约为
；
（4）小明得到的数据会与实际情况相符吗？为什么？
【考点13
可能性的大小】
【方法点拨】可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性．
【例13】（2019春?金坛区期中）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，估计下列4个事件发生的可能性大小，其中事件发生的可能性最大的是（ ）
A．指针落在标有5的区域内
B．指针落在标有10的区域内
C．指针落在标有偶数或奇数的区域内
D．指针落在标有奇数的区域内
【变式13-1】（2019春?市北区期末）我国南方地区冬至的传统习俗是吃汤圆，其寓意团团圆圆冬至这一天，小红家煮了30个汤圆，其中有12个黑芝麻馅的，14个枣泥馅的，4个豆沙馅的，煮完之后的汤圆看起来都一样，小红盛了1个汤圆，下列各种描述正确的是（ ）
A．她吃到黑芝麻馅汤圆和枣泥馅汤圆可能性一样大
B．她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大很多
C．她不可能吃到豆沙馅汤圆
D．她一定能吃到枣泥馅汤圆
【变式13-2】（2019?资阳）在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（ ）
A．4个
B．5个
C．不足4个
D．6个或6个以上
【变式13-3】（2019?张店区一模）从淄博汽车站到银泰城有甲，乙，丙三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从淄博汽车站到银泰城的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
线路/公交车用时的频数/公交车用时
30≤t≤35
35≤t≤40
40≤t≤45
45≤t≤50
合计
甲
59
151
166
124
500
乙
50
50
122
278
500
丙
45
265
167
23
500
早高峰期间，乘坐线路上的公交车，从淄博汽车站到银泰城“用时不超过45分钟”的可能性最大．（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．无法确定
【考点14
确定与不确定事件】
【方法点拨】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【例14】（2018秋?十堰期末）下列说法中不正确的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件
B．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件
C．任意打开九年级下册数学教科书，正好是第38页是确定事件
D．一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6
【变式14-1】（2019春?常熟市期末）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．如果a，b都是实数，那么，a+b＝b+a
B．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13
C．抛枚质地均匀的硬币20次，有10次正面向上
D．用长为4cm，4cm，9cm的三条线段围成一个等腰三角形
【变式14-2】（2019春?滨湖区期末）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．矩形的两条对角线相等
D．菱形的每一条对角线平分一组对角
【变式14-3】（2019?襄城区模拟）下列事件中是不可能事件的是（ ）
A．任意画一个四边形，它的内角和是360°
B．若a＝b，则a2＝b2
C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上
D．一只袋子里共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出一个小球，标号为5
【考点15
概率与方程】
【方法点拨】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
【例15】（2019?齐齐哈尔）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为（ ）
A．27
B．23
C．22
D．18
【变式15-1】（2019?南安市模拟）不透明袋子中装有若干个红球和6个蓝球，这些球除了颜色外，没有其他差别，从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝球的概率是0.6，则袋子中有红球（ ）
A．4个
B．6个
C．8个
D．10个
【变式15-2】（2019?大洼区三模）在一个不透明的袋中有4个白球和n个黄球，它们除颜色外其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为，则n＝（ ）
A．10
B．8
C．6
D．4
【变式15-3】（2019?厦门一模）一个不透明盒子里装有a只白球、b只黑球、c只红球，这些球仅颜色不同．从中随机摸出一只球，若P（摸出白球）＝，则下列结论正确的是（ ）
A．a＝1
B．a＝3
C．a＝b＝c
D．a＝（b+c）
【考点16
几何概型】
【方法点拨】如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
几何概型的特点:1）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.
2)每个基本事件出现的可能性相等.
【例16】（2019?鞍山一模）如图，在一不规则区域内，有一边长为3米的正方形，向区域内随机地撒4000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆有1350颗，以此实验数据为依据，可以估计出该不规则图形的面积．
（1）随机向不规则区域内掷一粒黄豆，求黄豆落在正方形区域内（含边界）的概率；
（2）请你估计出该不规则图形的面积；
【变式16-1】（2018春?东明县期末）如图所示的正三角形区域内投针（区域中每个小正三角形除颜色外完全相同），针随机落在某个正三角形内（边线忽略不计）
（1）投针一次，针落在图中阴影区域的概率是多少？
（2）要使针落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出．
【变式16-2】（2018春?沂源县期中）（1）如图所示是一条线段，AB的长为10厘米，MN的长为2厘米，假设可以随意在这条线段上取一点，求这个点取在线段MN上的概率．
（2）如图是一个木制圆盘，图中两同心圆，其中大圆直径为20cm，小圆的直径为10cm，一只小鸟自由自在地在空中飞行，求小鸟停在小圆内（阴影部分）的概率是
．
【变式16-3】（2018?镇江模拟）有一类随机事件概率的计算方法：设试验结果落在某个区域S中的每一点的机会均等，用A表示事件“试验结果落在S中的一个小区域M中”，那么事件A发生的概率P（A）＝．有一块边长为30cm的正方形ABCD飞镖游戏板，假设飞镖投在游戏板上的每一点的机会均等．求下列事件发生的概率：
（1）在飞镖游戏板上画有半径为5cm的一个圆（如图1），求飞镖落在圆内的概率；
（2）飞镖在游戏板上的落点记为点O，求△OAB为钝角三角形的概率．
【考点17
利用树状图求概率】
【方法点拨】列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
【例17】（2019?南关区校级模拟）有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．
（1）随机抽取一张卡片，则抽到数字“2”的概率是
；
（2）从四张卡片中随机抽取2张卡片，请用列表或画树状图的方法求抽到“数字和为5”的概率．
【变式17-1】（2019春?河口区期末）随着改革开放进程的推进，改变的不仅仅是人们的购物模式，就连支付方式也在时代的浪潮中发生着天翻地覆的改变，除了现金、银行卡支付以外，还有微信、支付宝以及其他支付方式．在一次购物中，小明和小亮都想从微信、支付宝、银行卡三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【变式17-2】（2019?振兴区校级二模）爱好数学的甲、乙两个同学做了一个数字游戏：拿出三张正面写有数字﹣1，0，1且背面完全相同的卡片，将这三张卡片背面朝上洗匀后，甲先随机抽取一张，将所得数字作为p的值，然后将卡片放回并洗匀，乙再从这三张卡片中随机抽取一张，将所得数字作为q值，两次结果记为（p，q）．
（1）请你帮他们用树状图或列表法表示（p，q）所有可能出现的结果；
（2）求满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率．
【变式17-3】（2019?云南模拟）将正面分别写着数字﹣2，1，3，6的四张卡片（卡片除数字外，其它都相同）洗匀后，背面向上放在桌子上，从中先随机抽取一张卡片，记下卡片上的数字，不放回，再从中任取一张卡片，记下数字．
（1）请用列表或画树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，列出所有可能出现的结果；
（2）请计算两次摸出的卡片上的数字之和大于4的概率．
【考点18
用列表法求概率】
【方法点拨】列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
【例18】（2019?郫都区模拟）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“优”、“教”、“郫”、“都”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“优”的概率为多少？
（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出两个球上的汉字能组成“优教”或“郫都”的概率．
【变式18-1】（2019?长春三模）《中国诗词大会》栏目中，外卖小哥击败北大硕士引发新一轮中华优秀传统文化热．某文化中心开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》、《孟子》（依次用字母A，B，C，D分别表示这四个材料），将A，B，C．D分别写在4张完全相同的不适明卡片的正面，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时甲选手先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由乙选手从中随机抽取一张卡片，他俩按各自抽取的内容进行诵读比赛．用画树状图或列表的方法求他俩诵读两个不同材料的概率．
【变式18-2】（2019?长春模拟）苏宇为帮助同桌李蕾巩固“平面直角坐标系中点的坐标特点”这基础知识，在三张完全相同且不透明的卡片止面分别写上了﹣3，0，2三个数字，背面向上洗匀后随机抽取一张，将卡片上的数字记为a，放回该卡片重新洗匀，再从三张卡片中随机取出一张，将卡片上的数字记为b，然后让李蕾在平直角坐标系中找出点M（a，b）的位置．请你用画树状图或列表的方式帮李蕾求点M落在第二象限的概率．
【变式18-3】（2019?碑林区校级一模）初三年级大活动期间要训练篮球项目，每位“体育委员”都要通过抽签的方式确定各班的训练场地，训练场地有：A号场地，B号场地，C号场地，D号场地．抽签规则如下：将正面分别写有字母A、B、C、D的四张卡片（除了正面字母不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀，先由一位“体育委员”随机抽取一张卡片，这张卡片上的字母表示的训练地点，即为他抽取的训练地点，然后将卡片放回、洗匀，再由下一位“体育委员”抽取，已知战狼和红武都是“体育委员”
（1）求战狼抽到的训练地点是“A号场地”的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法，求战狼与红武抽到同一训练场地的概率．
【考点19
用频率估计概率】
【方法点拨】一般地，在大量重复试验中，如果事件
A发生的频率
会稳定在某个常数p附近
，那么，这个常数p就叫作事件A的概率
，记为P（A）=P
。
【例19】（2019春?鼓楼区校级期中）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的红球和白球，其中红球有b个，将盒中的球摇匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后将球放回盒中，重复进行这过程，如表记录了某班一次摸球实验情况：
摸球总数n
400
1500
3500
7000
9000
14000
摸到红球数m
325
1336
3203
6335
8073
12628
摸到红球的频率（精确到0.001）
0.813
0.891
0.915
0.905
0.897
0.902
（1）由此估计任意摸出1个球为红球的概率约是
（精确到0.1）
（2）实验结束后，小明发现了一个一般性的结论：盒子中共有a个球，其中红球有b个，则摇匀后从中任意摸出1个球为红球的概率P可以表示为，这个结论也得到了老师的证实根据小明的发现，若在该盒子中再放入除颜色外与原来的球完全相同的2个红球和2个白球，摇匀后从中任意摸出1个球为红球的概率为P’，请通过计算比较P与P'的大小．
【变式19-1】（2019春?高邮市期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据．
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
52
138
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.52
0.69
0.593
0.604
0.60
0.599
0.601
（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为
（精确到0.1）
（2）盒子里白色的球有
只；
（3）若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随杌摸出1个球是白球的概率是0.8，求m的值．
【变式19-2】（2019春?邗江区校级期末）某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）计算并完成表格：
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”的次数m
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”的频率m/n
0.68
0.74
0.69
0.705
（2）请估计，当n很大时，频率将会接近多少？
（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？
（4）在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少？（精确到1°）
【变式19-3】（2019春?雁塔区校级期末）某市“半程马拉松”的赛事共有两项：A“半程马拉松”、B“欢乐跑”．小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到两个项目组．
（1）小明被分配到“半程马拉松”项目组的概率为
．
（2）为估算本次赛事参加“半程马拉松″的人数，小明对部分参赛选手作如下调查：
调查总人数
20
50
100
200
500
参加“半程马拉松”人数
15
33
72
139
356
参加“半程马拉松”频率
0.750
0.660
0.720
0.695
0.712
①估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为
．（精确到0.1）
②若参加“欢乐跑”的人数大约有300人，估计本次参赛选手的人数是多少？
【考点20
游戏公平性】
【例20】（2019?丹东）如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘A，B分成3等份和1等份，并在每一份内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字之积为偶数时，乙获胜．如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．
（1）利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘A上只修改一个数字使游戏公平（不需要说明理由）．
【变式20-1】（2019?市南区校级二模）“五?一”假期，宇宙公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题：
（1）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为
；
（2）若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？
【变式20-2】（2019?陕西）现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球．
（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
【变式20-3】（2019?通辽）有四张反面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是
．
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用A、B、C、D表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．
