人教A版（2019）必修第一册第五章 三角函数5.1任意角-课件（共54张PPT）

任意角
一、创设情境，引出问题
问题 如图，⊙????上的点????以????为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点????的位置变化呢？
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我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表.
一、创设情境，引出问题
问题 如图，⊙????上的点????以????为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点????的位置变化呢？
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我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表.
一、创设情境，引出问题
初中角的定义：
有公共顶点的两条射线组成的图形.
一、创设情境，引出问题
初中角的定义：
有公共顶点的两条射线组成的图形.
静态定义 局限于0°~360°
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问题 生活中有超出0°~360°角的例子吗？请你举例说明.
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二、分析实例，归纳特征
问题 生活中有超出0°~360°角的例子吗？请你举例说明.
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“前空翻转体540度”
“后空翻转体720度”
二、分析实例，归纳特征
问题 生活中有超出0°~360°角的例子吗？请你举例说明.
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“前空翻转体540度”
“后空翻转体720度”
二、分析实例，归纳特征

高中角的定义：
一条射线绕其端点旋转形成的图形.
三、通过对比，获得概念
始边：射线的起始位置.
终边：射线的终止位置.

我们规定：
正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角；
负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角；
零角：如果一条射线没有做任何旋转，称它形成了一零角．
三、通过对比，获得概念

我们规定：
正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角；
负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角；
零角：如果一条射线没有做任何旋转，称它形成了一零角．
任意角
三、通过对比，获得概念
动态定义

给角添上符号，用符号来表示方向，使角也获得了类似于实数一样的数量特征，这也为角的运算埋下了伏笔.
三、通过对比，获得概念

如果图中∠????????????=30°，∠????????????1=150°，∠????????????2=60°你能读出下图中的各个角度吗？
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四、初步应用，理解定义

如果图中∠????????????=30°，∠????????????1=150°，∠????????????2=60°你能读出下图中的各个角度吗？
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四、初步应用，理解定义

如果图中∠????????????=30°，∠????????????1=150°，∠????????????2=60°你能读出下图中的各个角度吗？
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四、初步应用，理解定义

如果图中∠????????????=30°，∠????????????1=150°，∠????????????2=60°你能读出下图中的各个角度吗？
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四、初步应用，理解定义

如果图中∠????????????=30°，∠????????????1=150°，∠????????????2=60°你能读出下图中的各个角度吗？
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四、初步应用，理解定义
两个角有什么关系？它们有大小关系和相等关系.很自然的，正角>零角>负角，如果两个角都是正角，旋转量大的角大，如果两个角都是负角，则旋转量大的反而小.而如果一个角的旋转量和旋转方向与另一个角的旋转量和旋转方向都一样，我们就称这两个角相等.这些关系与两个实数间的关系极其相似，所以我们就会问一个问题：两个角也能像两个实数那样进行加减运算吗？
四、初步应用，理解定义
????
?
????
?
+
?
=
?
角的加法：设????，????是任意两个角．我们规定，把角????的终边旋转角????，这时终边所对应的角是????+????．
?
四、初步应用，理解定义
????
?
????
?
+
?
=
?
角的加法：设????，????是任意两个角．我们规定，把角????的终边旋转角????，这时终边所对应的角是????+????．
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????
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????
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四、初步应用，理解定义
????
?
????
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+
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=
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????+????
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角的加法：设????，????是任意两个角．我们规定，把角????的终边旋转角????，这时终边所对应的角是????+????．
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四、初步应用，理解定义
相反角：类似于实数????的相反数是?????，我们引入任意角????的相反角的概念．
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四、初步应用，理解定义
相反角：类似于实数????的相反数是?????，我们引入任意角????的相反角的概念．如图，我们把射线????????绕端点????按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．
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四、初步应用，理解定义
角的减法：像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有?????????=????+(?????)．这样，角的减法可以转化为角的加法．
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四、初步应用，理解定义

为了更好的研究角，我们需要有一个统一的标准，也为了更好地表现角的“周而复始”的变化规律，所以我们通常把角放进直角坐标系中进行研究.
五、研究分类，精致概念

为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与????轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．
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五、研究分类，精致概念

为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与????轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．
?
五、研究分类，精致概念

锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题．三角形的内角涵盖了哪几个象限呢？
五、研究分类，精致概念

锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题．三角形的内角涵盖了哪几个象限呢？
五、研究分类，精致概念
锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；


锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题．三角形的内角涵盖了哪几个象限呢？
五、研究分类，精致概念
直角是终边落在????轴非负半轴上的角，终边落在????轴非负半轴上的角不一定是直角；

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锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题．三角形的内角涵盖了哪几个象限呢？
五、研究分类，精致概念
钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝角；


锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题．三角形的内角涵盖了哪几个象限呢？
五、研究分类，精致概念
三角形的内角取值范围可以用区间角表示，即0°,180°，它从????轴的正半轴逆时间旋转到????轴的负半轴，经历了第一象限，????轴的正半轴和第二象限.
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五、研究分类，精致概念
问题：那如果角的终边没有落在四个象限里，你会表示这些角吗？比如你会表示终边落在????轴的负半轴上的所有的角的集合吗？
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????
?
????
?

五、研究分类，精致概念
问题：那如果角的终边没有落在四个象限里，你会表示这些角吗？比如你会表示终边落在????轴的负半轴上的所有的角的集合吗？
?
????=????????=180°+?????360°,????∈Z
?
????
?
????
?

一般地，我们有：

所有与角????终边相同的角，连同角????在内，可构成一个集合????=????????=????+?????360°,????∈Z，
即任一与角????终边相同的角，都可以表示成角????与整数个周角的和．
?
?
五、研究分类，精致概念

五、研究分类，精致概念
问题：终边落在????轴上的所有的角的集合又怎么表示？
?
????
?
????
?
????=????1∪????2
=????????=0°+?????360°,????∈Z∪????????=180°+?????360°,????∈Z
?
五、研究分类，精致概念
问题：终边落在????轴上的所有的角的集合又怎么表示？
?
????=????1∪????2
=????????=0°+?????360°,????∈Z∪????????=180°+?????360°,????∈Z
=????????=0°+2?????180°,????∈Z∪????????=0°+180°+2?????180°,????∈Z
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五、研究分类，精致概念
问题：终边落在????轴上的所有的角的集合又怎么表示？
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????=????1∪????2
=????????=0°+?????360°,????∈Z∪????????=180°+?????360°,????∈Z
=????????=0°+2?????180°,????∈Z∪????????=0°+180°+2?????180°,????∈Z
=????????=0°+2?????180°,????∈Z∪????????=0°+(2????+1)?180°,????∈Z
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五、研究分类，精致概念
问题：终边落在????轴上的所有的角的集合又怎么表示？
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????=????1∪????2
=????????=0°+?????360°,????∈Z∪????????=180°+?????360°,????∈Z
=????????=0°+2?????180°,????∈Z∪????????=0°+180°+2?????180°,????∈Z
=????????=0°+2?????180°,????∈Z∪????????=0°+(2????+1)?180°,????∈Z
=????????=0°+?????180°,????∈Z
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五、研究分类，精致概念
问题：终边落在????轴上的所有的角的集合又怎么表示？
?
????=????1∪????2
=????????=0°+?????360°,????∈Z∪????????=180°+?????360°,????∈Z
=????????=0°+2?????180°,????∈Z∪????????=0°+180°+2?????180°,????∈Z
=????????=0°+2?????180°,????∈Z∪????????=0°+(2????+1)?180°,????∈Z
=????????=0°+?????180°,????∈Z
=????????=?????180°,????∈Z
?
五、研究分类，精致概念
问题：终边落在????轴上的所有的角的集合又怎么表示？
?

五、研究分类，精致概念
问题：终边落在????轴上的所有的角的集合又怎么表示？
?
????=????????=?????180°,????∈Z
?
????
?
????
?

五、研究分类，精致概念
问题：终边落在坐标轴上的所有的角的集合又怎么表示？
????=????????=?????90°,????∈Z
?
????
?
????
?
问题：有了终边落在坐标轴上角的表示方法，你能表示出第二象限角吗？
五、研究分类，精致概念
????
?
????
?
Ⅱ
问题：有了终边落在坐标轴上角的表示方法，你能表示出第二象限角吗？
五、研究分类，精致概念
????
?
????
?
Ⅱ
?????=????90°+?????360°?

例１ 在0°~360°范围内，找出与?950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
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六、初步应用，理解关系

例１ 在0°~360°范围内，找出与?950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
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解：因为与?950°12′终边相同的角可以表示为集合
????=????????=?950°12′+?????360°,????∈Z，
所以当????=3时，????=129°48′，它是第二象限角．
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六、初步应用，理解关系

例2 写出终边在直线????=????上的角的集合????．????中满足不等式?360°≤????＜720°的元素????有哪些？
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六、初步应用，理解关系

例2 写出终边在直线????=????上的角的集合????．????中满足不等式?360°≤????＜720°的元素????有哪些？
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解：如图，在直角坐标系中画出直线????=????，可以发现它与????轴的夹角是45°，在0°~360°范围内，终边在直线????=????上的角有两个：45°，225°．
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六、初步应用，理解关系

例2 写出终边在直线????=????上的角的集合????．????中满足不等式?360°≤????＜720°的元素????有哪些？
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????=????????=45°+?????360°,????∈Z∪????????=225°+?????360°,????∈Z
?????????=????????=45°+?????180°,????∈Z.
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解：如图，在直角坐标系中画出直线????=????，可以发现它与????轴的夹角是45°，在0°~360°范围内，终边在直线????=????上的角有两个：45°，225°．
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六、初步应用，理解关系

例2 写出终边在直线????=????上的角的集合????．????中满足不等式?360°≤????＜720°的元素????有哪些？
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六、初步应用，理解关系
????=????????=45°+?????180°,????∈Z.
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????中适合不等式?360°≤????＜720°的元素????有
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例2 写出终边在直线????=????上的角的集合????．????中满足不等式?360°≤????＜720°的元素????有哪些？
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六、初步应用，理解关系
????=????????=45°+?????180°,????∈Z.
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????中适合不等式?360°≤????＜720°的元素????有
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45°?2×180°=?315°，
45°?1×180°=?135°，
45°?0×180°=45°，
45°+1×180°=225°，
45°+2×180°=405°，
45°+3×180°=585°.
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课堂小结
圆周运动
角
任意角
分类
？
运算
终边相同的角
正角
负角
零角
象限角
祝大家学业有成，同学们再见！