6.2 中位数和众数（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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北师大版2020-2021学年度上学期八年级数学上册第六章数据的分析
6.2
中位数和众数
【知识清单】
一、中位数和众数
1.
中位数：(1)定义：一般地，n个数据按大小
(从小到大或从大到小)顺序排列，处于中间位置的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间两个数的平均数(当数据个数为偶数时)叫做这组数据的中位数.
(2)注意事项：确定中位数时，一定要先按照大小顺序排列(相等的数也要全部参与排列)；一组数据的中位数是唯一的，它可能是这组数据中的某个数据，也可能不是这组数据中的数据.
2.
众数：(1)定义：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.
(2)注意事项：众数主要考查各数据出现的频数，其大小只与这组数据中的部分数据有关，一组数据中的众数可能不止一个，即众数具有不唯一性.
二、平均数、中位数和众数对一组数据的描述特点
平均数、中位数和众数都是描述数据集中趋势的统计量.
平均数：所有数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息，因此在现实生活中较为常用，但它容易受极端数值的影响；
中位数：计算简单，受极端数值影响较小，但不能充分利用所有数据的信息；
众数：是人们尤为关心的一个量，但各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别意义.
【经典例题】
例题1、在一次中学生田径运动会上，参加女子跳远的25名运动员成绩如下：
成绩(m)
3.8
4.0
4.2
4.4
4.5
4.8
5.0
5.2
人
数
1
3
4
5
7
2
2
1
这次比赛中，运动员成绩的中位数和众数分别为(
)
A．4.4，4.4
B．
4.
4，4.5
C．4.4，5.2
D．3.8，5.2
【考点】中位数、众数.
【分析】由于运动员人数是奇数，中位数取中间1个数，由表知众数只有一个．
【解答】将25名运动员的成绩按顺序排列，则第13个数为中位数，即中位数为4.4；
∵数据4.5出现7次，是频数最多的．
∴这组数据的众数为4.5．
故选B．
【点评】“以表格出示数据”类型的题目在找中位数时，首先看数据是否按大小顺序排列，然后根据各数据出现的频数进行累加计算，找出中间的一个数据(或中间的两个数据)是解决问题的关键．
例题2、已知一组数据：4，6，x，17，25的平均数是11，则这组数据的中位数是______．
【考点】中位数；算术平均数．
【分析】先通过平均数求出x，再按顺序排列，找出最中间的一个数(或最中间的两个数)即可．
【解答】∵(4+6+x+17+25)=11×5，
∴x=3，
把这组数据按从小到大顺序排列：3，4，6，17，25，
∴中位数是6．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是平均数和中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
【夯实基础】
1．某小区志愿者服务小组共8人，他们的年龄如下(单位：岁)：28，26，37，46，26，37，56，37，则这组数据中的中位数，众数分别为(
)
A．26，37
B．37，37
C．28，37
D．37，46
2．已知一组数据，下列对该组数据判断错误的是(
)
A．这组数据的平均数有且只有一个
B．这组数据的中位数是唯一的，且它可能是这组数据中的一个数，也可能不是
C．这组数据的众数只有一个，且它一定是这组数据中的一个数
D．平均数、中位数和众数都是描述数据集中趋势的统计量
3．一组数据由五个整数组成，其中位数是5，有唯一的众数是8，那么这组数据和的最大值是
(
)
A．26
B．27
C．28
D．29
4．有31位选手参加我是大明星唱歌比赛，所得的分数两两不等，取前15名选手进入复赛．某
选手知道自己的分数后，要判断自己能否进入复赛，他只需知道这31位选手所得的分数的(
)
A．平均数
B．中位数
C．众数
D．最低分数
5．一组数据3，3，4，4，a，5，5，7有唯一的众数是a，这组数据的中位数是
．
6．把7个数按从小到大的顺序排列，其平均数8，如果这组数中前4个数的平均数是5，后4个数的平均数是11，则这7个数的中位数是
．
7．一组数据由18、x、18、8四个数组成，若这四个的众数与平均数恰好相等，则这组数据的
中位数是
.
8．质量检测部门对甲、乙、丙三家公司销售产品的使用寿命进行了跟踪调查，统计结果如下
(单位：年)；
甲公司：4，5，5，5，5，7，9，12，13，15；
乙公司：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15；
丙公司：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16．
请回答下列问题：
(1)填空
统计量
公司
平
均
数(单位：年)
众
数(单位：年)
中
位
数(单位：年)
甲
公
司
.
5
.
乙
公
司
9.6
.
8.5
丙
公
司
9.4
4
.
(2)如果你是顾客，你将选购哪家公司销售的产品，为什么？
(3)如果你是丙公司的推销员，你将如何结合上述数据及统计量，对本公司的产品进行推
销？(至
少说两条)
9．某学校为了了解初二学生的身高情况，随机抽测50名学生的身高后，所得部分资料如下(身高单位：cm，测量时精确到1cm)：
身
高
148
151
154
155
157
158
160
161
162
164
人
数
1
1
2
1
2
3
4
3
4
5
身
高
165
166
167
168
170
171
173
175
177
179
人
数
2
3
6
1
4
2
3
1
1
1
若将数据分成8组，取组距为4cm，相应的频率分布表(部分)是：
分组
频数
频率
147.5～151.5
2
0.04
151.5～155.5
3
0.06
155.5～159.5
5
0.10
159.5～163.5
11
0.22
163.5～167.5
a
b
167.5～171.5
m
n
171.5～175.5
4
0.08
175.5～179.5
2
0.04
合
计
50
1
请回答下列问题：
(1)样本数据中，身高的众数、中位数各是多少？
(2)求频率分布表中的a，b，m，n的值；
(3)若该校初中二年级有840名学生，请你估计该年级学生身高在172cm及以上的人数．
【提优特训】
10．若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是(　　)
A．3
B．2.5
C．0
D．5
11．八(6)班45名同学一周课外阅读时间统计如下表：
课外阅读时间(h)
10
15
20
25
30
学
生
人
数
3
9
5a
3b
6
若a，b为正整数，则这45名同学的课外阅读时间的平均数和中位数为(
)
A．20，21
B．21，20
C．20，20
D．22.5，21
12．根据下表中的信息解决问题:
数
据
14
15
16
17
18
频
数
8
4
5
a
1
若该组数据的中位数不大于15，则符合条件的正数a的取值共有(
)
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
13．下列各组数据中平均数、中位数、众数都相同的是(
)
A．4，4，5，5
B．3，5，5，4
C．2，3，4，5
D．4，5，3，4
14．数据1，3，5，12，a，其中整数a是这组数据的中位数，则该组数据的平均数是　
　．
15．两组数据：3，3a，2b，5和2a，6，3b，它们的平均数都是7，若将这两组数据合并为一组数据，
则新得到的数据的中位数是
和众数分别是
.
16．若四个互不相等的正整数中，最大的数是8，中位数是4，则这四个数为
．
17．为了了解某校九年级暑期课外实践活动时间(单位：h)，开学后学校研究小组随机抽取九年级的50位同学，得到这50位同学暑期课外实践活动时间的统计如下：
课外实践活动时间(h)
24
25
26
27
28
29
30
人
数
2
4
12
15
11
5
1
(1)这50位同学暑期课外实践活动时间的中位数是
h，众数是
h，平均数是
h；
?
(2)若某位同学把课暑期外实践活动时间中的数据“29”看成了“27”，那么中位数，众数，
平均数中不受影响的是；
?
(3)若该校有650名九年级学生，试估计该校九年级暑期外实践活动时间的总时数．
18．已知A、B、C、D、E五位同学在一次满分为100分数学测验中，得分都超过91，E同学得96分为第三名，A、B、C三位同学的平均分为95分，B、C、D三位同学平均分为94分，若A同学为第一名，求D同学的分数是多少？
【中考链接】
19、(2020?江苏宿迁)已知一组数据5，4，4，6，则这组数据的众数是(
)
?A．4
B．5
C．6
D．8
20、(2020?江苏淮安)一组数据9、10、10、11、8的众数是(
)
A．10
B．9
C．11
D．8
21、(2020?山东泰安)某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：
册
数/册
1
2
3
4
5
人
数/人
2
5
7
4
2
?根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是()
?A．3，3
B．3，7
C．2，7
D．7，3
22、(2020?湖北武汉)热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动时间
(单位：h)，分别为4，3，3，5，5，6，这组数据的中位数是
4.5
.
23、(2020?浙江衢州)某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6．已知这组数据的平均数
是5，则这组数据的中位数是?????5???????．
参考答案
1、B
2、C
3、C
4、B
5、4或4.5
6、8
7、18
10、A
11、B
12、C
13、D
14、4.8或5或5.2
15、5，3
16、1，2，6，8或1，3，5，8或2，3，5，8
19、A
20、A
21、A
22、4.5
23、5
8．质量检测部门对甲、乙、丙三家公司销售产品的使用寿命进行了跟踪调查，统计结果如下
(单位：年)；
甲公司：4，5，5，5，5，7，9，12，13，15；
乙公司：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15；
丙公司：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16．
请回答下列问题：
(1)填空
统计量
公司
平
均
数(单位：年)
众
数(单位：年)
中
位
数(单位：年)
甲
公
司
.
5
.
乙
公
司
9.6
.
8.5
丙
公
司
9.4
4
.
(2)如果你是顾客，你将选购哪家公司销售的产品，为什么？
(3)如果你是丙公司的推销员，你将如何结合上述数据及统计量，对本公司的产品进行推
销？(至
少说两条)
解：(1)甲厂：平均数为(4+5+5+5+5+7+9+12+13+15)=8，中位数是6；
乙厂：众数为8；
丙厂：中位数为8；
统计量公司
平
均
数(单位：年)
众
数(单位：年)
中
位
数(单位：年)
甲公司
8
.
5
6
.
乙公司
9.6
8
.
8.5
丙公司
9.4
4
8
.
(2)乙公司．因为从平均数、众数和中位数三项指标上看，都比其他的两个公司要好，他们的产品质量更高．????????????????????????????
(3)①丙公司的平均数和中位数都比甲公司高；②以从产品寿命的最高年限考虑，购买丙公司的产品的使用寿命比较高的机会比乙公司产品大一些．
9．某学校为了了解初二学生的身高情况，随机抽测50名学生的身高后，所得部分资料如下(身高单位：cm，测量时精确到1cm)：
身
高
148
151
154
155
157
158
160
161
162
164
人
数
1
1
2
1
2
3
4
3
4
5
身
高
165
166
167
168
170
171
173
175
177
179
人
数
2
3
6
1
4
2
3
1
1
1
若将数据分成8组，取组距为4cm，相应的频率分布表(部分)是：
分组
频数
频率
147.5～151.5
2
0.04
151.5～155.5
3
0.06
155.5～159.5
5
0.10
159.5～163.5
11
0.22
163.5～167.5
a
b
167.5～171.5
m
n
171.5～175.5
4
0.08
175.5～179.5
2
0.04
合
计
50
1
请回答下列问题：
(1)样本数据中，身高的众数、中位数各是多少？
(2)求频率分布表中的a，b，m，n的值；
(3)若该校初中二年级有840名学生，请你估计该年级学生身高在172cm及以上的人数．
解：(1)∵图表中167cm的人数最多为6人，
∴众数为：167cm；
∵共50人，中位数应该是第25和第26人的平均数，
∴第25和第26人的平均数为：=164(cm)；
(2)163.5～167.5范围内的人数为：5+2+3+6=16(人)，
167.5～171.5范围内的人数为：1+4+2=7(人)，
163.5～167.5范围内的频率为：=0.32，
167.5～171.5范围内的频率为：=0.14．
(3)∵样本中学生身高在172cm及以上的人数为：3+1+1+1=6(人)，
∴该校初中二年级有840名学生，估计该年级学生身高在172cm及以上的人数为：
840×=100.8≈101(人)．
17．为了了解某校九年级暑期课外实践活动时间(单位：h)，开学后学校研究小组随机抽取九年级的50位同学，得到这50位同学暑期课外实践活动时间的统计如下：
课外实践活动时间(h)
24
25
26
27
28
29
30
人
数
2
4
12
15
11
5
1
(1)这50位同学暑期课外实践活动时间的中位数是
h，众数是
h，平均数是
h；
?
(2)若某位同学把课暑期外实践活动时间中的数据“29”看成了“27”，那么中位数，众数，
平均数中不受影响的是；
?
(3)若该校有650名九年级学生，试估计该校九年级暑期外实践活动时间的总时数．
?解：(1)这50位同学暑期课外实践活动时间的中位数是(27+27)÷2＝27(h)，
?
众数为27h，
?平均数为＝=26.96(h)，
故这50位同学暑期课外实践活动时间的中位数是27
h，众数是27
h，平均数是26.96
h．
(2)若某位同学把课外实践活动时间中的数据“29”看成了“27”，那么中位数，众数，平均数中不受影响的是中位数，众数．
?
(3)26.96×650＝17524(h)
?答：该校九年级暑期外实践活动时间的总时数约17524h．
18．已知A、B、C、D、E五位同学在一次满分为100分数学测验中，得分都超过91，E同学得96分为第三名，A、B、C三位同学的平均分为95分，B、C、D三位同学平均分为94分，若A同学为第一名，求D同学的分数是多少？
解：A、B、C三位同学总分为：95×3=285(分)，
B、C、D三位同学总分为：94×3=282(分)，
A同学得分比D同学得分多：285282=3(分).
因为A第一，所以A可能是97分
，98分，
99
分，100分.
则D可能是94分，
95分，
96
分
，97
分.
根据A、C分数的猜想，由题意分以下四种情况进行讨论：
(1)若A=97，D=94，E=96
，
可得B=94，C=94，
该种情况E同学是第二名，所以不是第三名，此种情况不正确；
(2)若A=98，D=95，E=96，
则B=92，
C=95，
该种情况E同学是第二名，所以不是第三名，此种情况不正确；
(3)若A=99，D=96，E=96，
则B=90，
C=96，
该种情况B=90<91，所以此种情况不正确；
(4)若A=100，D=97，E=96，
则B=92，
C=93(或者是B=93，
C=92)，
该种情况符合条件，所以此种情况正确.
答：D的成绩为97分.
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