北师大版九年级下册数学 3.3垂径定理 同步练习（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级下册数学 3.3垂径定理 同步练习（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 358.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-15 23:26:44 | ||
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文档简介
3.3垂径定理 同步练习
一．选择题
1．如图所示，在半径为10cm的⊙O中，弦AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
2．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（ ）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
3．如图，已知⊙O的半径为6，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（ ）
A．6 B．8 C．3 D．6
4．《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E．CE＝1寸，AB＝10寸，则可得直径CD的长为（ ）
A．13寸 B．26寸 C．18寸 D．24寸
5．如图，在⊙O中，弦AB＝8，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则 S△PAB的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（ ）
A．5 B． C．2 D．
8．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（ ）
A． B．8 C． D．
9．如图，在⊙O中，半径r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
10．如图，M是以AB为直径的半圆⊙O的内接四边形ABCD边CD的中点，MN⊥AB于点N，半圆的面积为π，AD＝AN＝3，则BC＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二．填空题
11．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为 ．
12．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝12cm，则球的半径为 cm．
13．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的直径＝ 米．
14．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝6，则AD＝ ．
15．如图，在△ABC中，∠A＝62°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是 ．
三．解答题
16．如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心、AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．
（1）求BD的长；
（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．
17．如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝6cm，EB＝2cm，∠BED＝30°，求CD的长．
18．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．
参考答案
一．选择题
1．解：连接OA，如图：
∵AB＝16cm，OC⊥AB，
∴AC＝AB＝8cm，
在Rt△OAC中，OC＝＝＝6（cm），
故选：D．
2．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
故选：C．
3．解：作OE⊥AB于点E，
∵⊙O的半径为6，弦CD＝6，
∴OC＝OD＝CD，
∴△DOC是等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵OA＝6，OE⊥AB，
∴AE＝OA?cos30°＝6×＝3，
∴AB＝2AE＝6，
故选：D．
4．解：连接OA，AB⊥CD，
由垂径定理知，点E是AB的中点，AE＝AB＝5，OE＝OC﹣CE＝OA﹣CE，
设半径为r寸，由勾股定理得，OA2＝AE2+OE2＝AE2+（OA﹣CE）2，
即r2＝52+（r﹣1）2，
解得：r＝13，
所以CD＝2r＝26，
即圆的直径为26寸．
故选：B．
5．解：作OH⊥AB于H，连接OA、OD，如图，
∴AH＝BH＝AB＝×8＝4，
∵CD⊥OC，
∴CD＝，
而OD为定值，OC最小时，CD最大，
∴当OC＝OH时，CD的值最大，
∴CD的最大值为4．
故选：B．
6．解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AD＝BD，
∵OD＝DC，
∴OD＝OA＝，
∴AD＝＝，AB＝2AD＝．
当点P为AB所对的优弧的中点时，△APB的面积最大，此时PD＝PO+OD＝1+＝．
∴△APB的面积的最大值为＝＝＝．
故选：C．
7．解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，
∴M、N分别是AB与AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴BC＝2MN＝2，
故选：C．
8．解：连接BE，
∵AE为⊙O直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OD⊥AB，OD过O，
∴AC＝BC＝AB＝＝4，
∵AO＝OE，
∴BE＝2OC，
∵OC＝3，
∴BE＝6，
在Rt△CBE中，EC＝＝＝2，
故选：D．
9．解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB＝16，∴AP＝BP＝8，
在直角三角形AOP中，OA＝10，AP＝8，
根据勾股定理得：OP＝＝＝6，即OP的最小值为6；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝10，
∴6≤OP＜10，
则使线段OP的长度为整数，
∴OP＝6，7，8，9．
根据对称性可知，满足条件的点P的个数有7个
故选：D．
10．解：作DE⊥AB于E，OF⊥AD于F，CP⊥AB于P，连接OC，如图所示：
则AF＝DF＝AD＝，
∵MN⊥AB，
∴DE∥MN∥CP，
∵M是CD的中点，
∴EN＝PN，
∵半圆的面积为π＝π×OA2，
∴OA＝5，
∵∠DEA＝∠OFA＝90°，∠DAE＝∠OAF，
∴△ADE∽△AOF，
∴＝＝，
∴AE＝AF＝×＝，
∴PN＝EN＝AN﹣AE＝3﹣＝，
∴PA＝AE+EN+PN＝，
∴OP＝PA﹣OA＝，BP＝OB﹣OP＝，
∵CP⊥AB，
∴CP2＝OC2﹣OP2＝BC2﹣BP2，即52﹣（）2＝BC2﹣（）2，
解得：BC＝7；
故选：D．
二．填空题
11．解：连接BE，如图所示：
∵OD⊥AB，AB＝8，
∴AC＝AB＝4，
设⊙O的半径OA＝r，
∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
∴AE＝2r＝10；
∵OD＝5，CD＝2，
∴OC＝3，
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
在Rt△CBE中，CE＝＝＝2，
故答案为：2．
12．解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝12，
设OF＝xcm，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝12﹣x，MF＝6，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（12﹣x）2+62＝x2
解得：x＝7.5，
故答案为：7.5．
13．解：根据垂径定理，得AD＝AB＝20米．
设圆的半径是R，根据勾股定理，
得R2＝202+（R﹣10）2，
解得R＝25（米），
∴⊙O的直径为50米．
故答案为50．
14．解：
∵CE＝2，DE＝6，
∴CD＝DE+CE＝8，
∴OD＝OB＝OC＝4，
∴OE＝OC﹣CE＝4﹣2＝2，
在Rt△OEB中，由勾股定理得：BE＝＝＝2，
∵CD⊥AB，CD过O，
∴AE＝BE＝2，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AD＝＝＝4，
故答案为：4．
15．解：∵△ABC中∠A＝62°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1+∠3＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣62°）＝59°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣59°＝121°．
故答案是：121°．
三．解答题
16．解：（1）如图连接AD，作AH⊥BD于H．
∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，
∴AB＝＝，
∵?AB?AC＝?BC?AH，
∴AH＝＝2，
∴BH＝＝1，
∵AB＝AD，AH⊥BD，
∴BH＝HD＝1，
∴BD＝2．
（2）作DM⊥AC于M．
∵S△ACB＝S△ABD+S△ACD，
∴××2＝×2×2+×2×DM，
∴DM＝，
∴sin∠DAC＝＝＝．
17．解：过点O作OM⊥CD，连结OC，则CD＝2CM，
∵AE＝6cm，EB＝2cm，
∴AB＝8（cm），
∴OC＝OB＝4（cm），
∴OE＝4﹣2＝2（cm），
∵∠CEA＝∠BED＝30°，
∴OM＝OE＝×2＝1（cm），
∴CM＝＝＝（cm），
∴CD＝2（cm）．
18．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF，
∴∠D＝∠G，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠G，
∴AC＝CG．
（2）解：设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10，
∵CA＝CG，CD⊥AB，
∴AE＝EG＝，EC＝ED＝4，
∴OE＝AE﹣OA＝，
在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，
∴r2＝（）2+42，
解得r＝或（舍弃），
∴⊙O的半径为．
一．选择题
1．如图所示，在半径为10cm的⊙O中，弦AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
2．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（ ）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
3．如图，已知⊙O的半径为6，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（ ）
A．6 B．8 C．3 D．6
4．《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E．CE＝1寸，AB＝10寸，则可得直径CD的长为（ ）
A．13寸 B．26寸 C．18寸 D．24寸
5．如图，在⊙O中，弦AB＝8，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则 S△PAB的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（ ）
A．5 B． C．2 D．
8．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（ ）
A． B．8 C． D．
9．如图，在⊙O中，半径r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
10．如图，M是以AB为直径的半圆⊙O的内接四边形ABCD边CD的中点，MN⊥AB于点N，半圆的面积为π，AD＝AN＝3，则BC＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二．填空题
11．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为 ．
12．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝12cm，则球的半径为 cm．
13．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的直径＝ 米．
14．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝6，则AD＝ ．
15．如图，在△ABC中，∠A＝62°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是 ．
三．解答题
16．如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心、AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．
（1）求BD的长；
（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．
17．如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝6cm，EB＝2cm，∠BED＝30°，求CD的长．
18．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．
参考答案
一．选择题
1．解：连接OA，如图：
∵AB＝16cm，OC⊥AB，
∴AC＝AB＝8cm，
在Rt△OAC中，OC＝＝＝6（cm），
故选：D．
2．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
故选：C．
3．解：作OE⊥AB于点E，
∵⊙O的半径为6，弦CD＝6，
∴OC＝OD＝CD，
∴△DOC是等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵OA＝6，OE⊥AB，
∴AE＝OA?cos30°＝6×＝3，
∴AB＝2AE＝6，
故选：D．
4．解：连接OA，AB⊥CD，
由垂径定理知，点E是AB的中点，AE＝AB＝5，OE＝OC﹣CE＝OA﹣CE，
设半径为r寸，由勾股定理得，OA2＝AE2+OE2＝AE2+（OA﹣CE）2，
即r2＝52+（r﹣1）2，
解得：r＝13，
所以CD＝2r＝26，
即圆的直径为26寸．
故选：B．
5．解：作OH⊥AB于H，连接OA、OD，如图，
∴AH＝BH＝AB＝×8＝4，
∵CD⊥OC，
∴CD＝，
而OD为定值，OC最小时，CD最大，
∴当OC＝OH时，CD的值最大，
∴CD的最大值为4．
故选：B．
6．解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AD＝BD，
∵OD＝DC，
∴OD＝OA＝，
∴AD＝＝，AB＝2AD＝．
当点P为AB所对的优弧的中点时，△APB的面积最大，此时PD＝PO+OD＝1+＝．
∴△APB的面积的最大值为＝＝＝．
故选：C．
7．解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，
∴M、N分别是AB与AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴BC＝2MN＝2，
故选：C．
8．解：连接BE，
∵AE为⊙O直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OD⊥AB，OD过O，
∴AC＝BC＝AB＝＝4，
∵AO＝OE，
∴BE＝2OC，
∵OC＝3，
∴BE＝6，
在Rt△CBE中，EC＝＝＝2，
故选：D．
9．解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB＝16，∴AP＝BP＝8，
在直角三角形AOP中，OA＝10，AP＝8，
根据勾股定理得：OP＝＝＝6，即OP的最小值为6；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝10，
∴6≤OP＜10，
则使线段OP的长度为整数，
∴OP＝6，7，8，9．
根据对称性可知，满足条件的点P的个数有7个
故选：D．
10．解：作DE⊥AB于E，OF⊥AD于F，CP⊥AB于P，连接OC，如图所示：
则AF＝DF＝AD＝，
∵MN⊥AB，
∴DE∥MN∥CP，
∵M是CD的中点，
∴EN＝PN，
∵半圆的面积为π＝π×OA2，
∴OA＝5，
∵∠DEA＝∠OFA＝90°，∠DAE＝∠OAF，
∴△ADE∽△AOF，
∴＝＝，
∴AE＝AF＝×＝，
∴PN＝EN＝AN﹣AE＝3﹣＝，
∴PA＝AE+EN+PN＝，
∴OP＝PA﹣OA＝，BP＝OB﹣OP＝，
∵CP⊥AB，
∴CP2＝OC2﹣OP2＝BC2﹣BP2，即52﹣（）2＝BC2﹣（）2，
解得：BC＝7；
故选：D．
二．填空题
11．解：连接BE，如图所示：
∵OD⊥AB，AB＝8，
∴AC＝AB＝4，
设⊙O的半径OA＝r，
∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
∴AE＝2r＝10；
∵OD＝5，CD＝2，
∴OC＝3，
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
在Rt△CBE中，CE＝＝＝2，
故答案为：2．
12．解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝12，
设OF＝xcm，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝12﹣x，MF＝6，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（12﹣x）2+62＝x2
解得：x＝7.5，
故答案为：7.5．
13．解：根据垂径定理，得AD＝AB＝20米．
设圆的半径是R，根据勾股定理，
得R2＝202+（R﹣10）2，
解得R＝25（米），
∴⊙O的直径为50米．
故答案为50．
14．解：
∵CE＝2，DE＝6，
∴CD＝DE+CE＝8，
∴OD＝OB＝OC＝4，
∴OE＝OC﹣CE＝4﹣2＝2，
在Rt△OEB中，由勾股定理得：BE＝＝＝2，
∵CD⊥AB，CD过O，
∴AE＝BE＝2，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AD＝＝＝4，
故答案为：4．
15．解：∵△ABC中∠A＝62°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1+∠3＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣62°）＝59°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣59°＝121°．
故答案是：121°．
三．解答题
16．解：（1）如图连接AD，作AH⊥BD于H．
∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，
∴AB＝＝，
∵?AB?AC＝?BC?AH，
∴AH＝＝2，
∴BH＝＝1，
∵AB＝AD，AH⊥BD，
∴BH＝HD＝1，
∴BD＝2．
（2）作DM⊥AC于M．
∵S△ACB＝S△ABD+S△ACD，
∴××2＝×2×2+×2×DM，
∴DM＝，
∴sin∠DAC＝＝＝．
17．解：过点O作OM⊥CD，连结OC，则CD＝2CM，
∵AE＝6cm，EB＝2cm，
∴AB＝8（cm），
∴OC＝OB＝4（cm），
∴OE＝4﹣2＝2（cm），
∵∠CEA＝∠BED＝30°，
∴OM＝OE＝×2＝1（cm），
∴CM＝＝＝（cm），
∴CD＝2（cm）．
18．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF，
∴∠D＝∠G，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠G，
∴AC＝CG．
（2）解：设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10，
∵CA＝CG，CD⊥AB，
∴AE＝EG＝，EC＝ED＝4，
∴OE＝AE﹣OA＝，
在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，
∴r2＝（）2+42，
解得r＝或（舍弃），
∴⊙O的半径为．