人教版数学九年级下册 27.2相似三角形1学案

27.2相似三角形
【学习目标】
1．通过一些具体的情境和应用，深化对三角形的理解和认识．
2．能利用相似三角形的性质，分析和解决有关实际问题．
【基础知识精讲】
1．相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．
2．能根据相似三角形的定义，判断两个三角形是否相似．要判断是否相似，必须满足两个条件：①所有的对应边成比例；②所有的对应角相等．如两个等腰三角形未必相似．
3．利用相似三角形定义进行计算，即相似三角形对应边成比例，对应角相等的应用，这里特别强调两个三角形的对应关系．能够熟练掌握下面5个常见的相似基本图形：
【学习方法指导】
［例1］有一块三角形草坪，周长为500
m，一边长100
m，另两边长相等，若在这块草坪图纸上这条边长为5
cm，求该草坪另两边在图纸上的长度．
点拨：草坪的形状与图纸上的形状是相似的，因此对应边成比例．
解：草坪另两边长分别为
（500－100）＝200
m，
该图纸比例尺为5∶10000＝1∶2000．
设另两边在图纸上长度为x
cm，则：，x＝10
cm．
答：该草坪另两边在图纸上长度为10
cm．
［例2］已知：△ABC∽△AED，AB＝8
cm，AC＝6
cm，DE＝4
cm，D为AB中点，求AE．
图4－22
点拨：利用中点定义，先求AD的大小，再由相似三角形性质，列比例等式计算．
解：∵AB＝8
cm，D为AB中点，
∴AD＝×8＝4
cm．
又∵△ABC∽△AED，∴．
∵AC＝6
cm，AB＝8
cm，∴，
∴AE＝
cm．
［例3］已知：Rt△ABC∽Rt△ADC，若AC＝3，BC＝4，求AD．
点拨：由Rt△ABC∽Rt△ACD可得：
，但此式中，AB、AD却不知道，要求AD，必须先求AB，已知的AC、BC，通过勾股定理求出AB，即可解决．
解：∵在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，．
∴AB＝5．
又∵Rt△ABC∽Rt△ACD，
∴，，∴AD＝．
【拓展训练】
迁移
你能用本节课的知识解决下面问题吗？
1．若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC三边之比为2∶3∶4，而△A′B′C′的最大边为12
cm，那么△A′B′C′的周长多大？
点拨：已知条件中的“△ABC三边之比为2∶3∶4”，由于△ABC∽△A′B′C′，因此△A′B′C′三边之比为2∶3∶4．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，且△ABC三边之比为2∶3∶4．
∴△A′B′C′三边之比为2∶3∶4，
设△A′B′C′的边长分别为x、y，则，
∴x＝6，y＝9，∴△A′B′C′周长为6＋9＋12＝27（cm）．
2．两个相似三角形的一对对应边长分别为35
cm和14
cm，它们的周长相差60
cm，求这两个三角形的周长？
点拨：相似三角形的周长比等于相似比．
解：设较小三角形周长为x
cm，
∵两个三角形相似，∴
35x＝14（x＋60）
35x＝14x＋840
21x＝840
x＝40
较大三角形周长为40＋60＝100
cm．
答：两个三角形周长分别为40
cm和100
cm．
3．小明要做两个形状相同的三角形框架，其中一个框架三边为30
cm、40
cm、50
cm，而另一个三角形框架现在只有一条60
cm的木条，小明应该再找两根多长的木条呢？
点拨：此题的关键是弄清60
cm的木条和已知框架三边中的哪条边是对应边，因此有三种可能性，应分别讨论．
解：设另两条木条分别长x
cm，y
cm，
①若60
cm和30
cm木条为对应边时，
则，
x＝80
cm，y＝100
cm．
②若60
cm和40
cm木条为对应边时，
则，
x＝45
cm，y＝75
cm．
③若60
cm和50
cm木条为对应边时，
则＝，
x＝36
cm，y＝48
cm．
发散
本节课会用到下列知识
1．相似三角形的对应边成比例．
2．相似三角形的周长之比等于相似比．
3．勾股定理．