江苏省高邮市2011-2012学年度第一学期期中调研高二数学试题

高邮市2011—2012学年度第一学期期中调研试题
高 二 数 学
（满分160分　　考试时间120分钟）
注意事项：
答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．
2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
空间直角坐标系中，点A（-3，4，0）与点B（2，-1，5）的距离是 ★ ．
直线的倾斜角是 ★ ．
如图，当输入的值为4时，输出的结果是　　　★　　　．
圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为　　　　★　　　．
直线与圆的位置关系是　　★　　　．
如图，若直线的斜率分别为，则三个数的从小到大的依次是　★　．
下面的伪代码输出的结果为　　★　　．
按照上面的程序运行的结果是　　　★　　　．
以点(2，－1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的标准方程是 ★ ．
两圆与相交，则的取值范围是　★　．
按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是127，则判断框中的整数的值是 __★_ ．
观察程序，程序在运行结束后循环语句执行了 ★ 次．
已知点关于直线的对称点为,则圆关于直线对称的圆的方程为 ★ ．
过圆内一点的最短弦长为，且到直线的距离为1，则点的坐标是　　★　　．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分14分）
已知直线，．
（Ⅰ）若直线，求实数的值；
（Ⅱ）是否存在实数，使得直线与垂直？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
16．（本题满分14分）
已知直线
　（Ⅰ）求过两直线交点且与直线平行的直线方程；
　（Ⅱ）直线过两直线交点且与正半轴交于A、B两点，△ABO的面积为4，求直线的方程．
17．（本题满分15分）
设顶点坐标，圆为的外接圆．
　（Ⅰ）求圆的标准方程
　（Ⅱ）直线过点（1，3）且与圆M相交于P、Q，弦PQ长为，求直线的方程．
18．（本题满分15分）
设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋1＝0.
（Ⅰ）证明：直线l1与l2相交；
（Ⅱ）证明：直线l1与l2的交点在圆x2＋y2＝1上．
19．（本题满分15分）
河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m．一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，故通行无阻．近日水位暴涨了2．7m，为此，必须加重舰载，降低船身，才能通过桥洞．试问船身至少应该降低多少？（精确到0.01，参考数据：）
20．（本题满分17分）
已知圆：，直线的方程为，点是直线上一动点，过点作圆的切线、，切点为、．
（Ⅰ）当的横坐标为时，求∠的大小；
（Ⅱ）求证：经过A、P、M三点的圆必过定点，并求出所以定点的坐标．
（Ⅲ）求线段长度的最小值．
2011~2012学年第一学期高邮市高二数学期中试卷（参考答案）
1．　　　2．　　3．19　　4． 　　5．相离　　6．
7．　16　　8．5.　　9．(x－2)2+(y+1)2=　　10．　11． 6　　12．15
13． 　　14．
15．解：（Ⅰ）因为直线，所以，解得或　……2分
若，则，即，此时重合，不合题意； ………5分
若，则，即，此时；
综上所述，．　　　　　　　　　　　　　………8分
　　（Ⅱ）若在这样的实数，即，………11分
因△＝9－16＜0，方程无解，所以不存在这样的，使得直线与垂直．14分
16．解：（Ⅰ）由，得，所以的交点为（2，1）　　……3分
又所求直线与平行，所以所求直线的斜率为，　　……5分
所求直线方程为即　　　　　　　……7分
（Ⅱ）方法一：由题可知，直线的斜率存在，且．
则直线的方程为　　　　　　　　　　
令，得＞0
令，得＞0
所以，解得　　　　　……13分
所以的方程为　　　　　……14分
方法二：由题可知，直线的横、纵截距a、b存在，且a＞0、b＞0，则：
又过点（2，1），△ABO的面积为4
所以，　　　　　　　　　　　　　　　……10分
解得，　　　　　　　　　　　　　　　　……13分
所以方程为即．　　　　……14分
17． 解：（Ⅰ）设圆M的方程为
因圆M过点，所以，　　……4分
解得，所以圆M的方程为即．　7分
（Ⅱ）若直线与x轴垂直，则：，
由，得，所以EF＝，符合题意．　……9分
若直线与x轴不垂直，设即
点M（0，－1）到的距离
EF＝，　　　　　　　……12分
解得，此时方程为　　　　　　　　　　　　　　　
综上所述，直线的方程是或．　　　　　　　……15分
18． 解：（Ⅰ）反证法：假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝k2，代入k1k2＋1＝0，得k＋2＝1.
此与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．　　　　……6分
（Ⅱ）方法一：由方程组
解得交点P的坐标(x，y)为　　　　　……10分
而x2＋y2＝2＋2
＝＝＝1.
此即表明交点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上．　　　　　　　……15分
方法二：交点P的坐标(x，y)满足
故知x≠0，从而　　　　　　　　　……10分
代入k1k2＋1＝0，得·＋1＝0.
整理后，得x2＋y2＝1，
所以交点P在圆x2＋y2＝1上．　　　　　　　　　　　　　……15分
19．解：以正常水位时河道中央O为原点，过点O垂直于水面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示。　　　　　　　　　　　　　　……………………3分
设桥拱圆的圆心，半径为r，则圆的方程为
依题意得：
解得：，
∴圆的方程为……………………6分
当时，　　　　　　　……………………9分
　　　　　　　……………………13分
∴为使船能通过桥洞，应至少降低船身0.38m　　　　　　　　　…………………15分
20．解：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r＝2，，
因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°
又因MP＝＝2r，
　　　又∠MPA＝30°，∠APB＝60°；　　　　　　　　　　　……4分
　　（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆以MP为直径，其方程为： 即　　
　　　　　由，　　　　　　　　　　……7分
解得或，所以圆过定点　　　……9分
（Ⅲ）因圆方程为即
　　　　　　　　　　　　……①
　　　　　圆：即　　　　　……②
②－①得圆方程与圆相交弦所在直线方程为…11分
点M到直线的距离　　　　　……13分
相交弦长即　……15分
当时，AB有最小值　　　　　　　　　　　　　……17分
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第11题
S0
I1
While S<120
SS+I
I I+1
End While
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