2020-2021学年山东省潍坊市诸城市九年级上学期期中数学试卷 （Word版 含解析）

2020-2021学年山东省潍坊市诸城市九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．（3分）下列关于“圆”的说法不正确的是（　　）
A．圆是中心对称图形，圆心就是对称中心
B．垂直于弦的直径一定平分这条弦
C．相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等
D．圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴
2．（3分）若锐角A满足cosA＝，则∠A的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
3．（3分）如图，已知△ABC的六个元素，其中a、b、c表示三角形三边的长，则下面甲、乙、丙、丁四个三角形中与△ABC不一定相似的图形是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（3分）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（　　）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化
5．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），则OP的最小值是（　　）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
6．（3分）如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，若坡面CD的长度为米，则斜坡AB的长度为（　　）
A． B． C． D．24
7．（3分）如图，△ABC为⊙O的一个内接三角形，过点B作⊙O的切线PB与OA延长线交于点P，连接OB，已知∠P＝34°，则∠ACB＝（　　）
A．17° B．27° C．28° D．30°
8．（3分）如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝2AD，如果△ACD的面积为15，那么△ABD的面积为（　　）
A．15 B．10 C．7.5 D．5
9．（3分）边长为6的正三角形的外接圆的周长为（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
10．（3分）如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1．求矩形ABCD的面积为（　　）
A．1 B． C． D．2
11．（3分）如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝EF，若AD＝3，则的长为（　　）
A．π B．π C．π D．π
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，BE⊥AC，垂足为点F，下列结论：①△AEF～△CAB；②CF＝2AF；③tan∠CAD＝，其中正确的结论有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二．填空题
13．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，则tanB＝　 　．
14．（3分）若△ABC∽△ADE，若AB＝9，AC＝8，AD＝3，则EC的长是　 　．
15．（3分）如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC＝6，则以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为　 　．
16．（3分）如图，A，B，C是⊙O上顺次三点，若AC，AB，BC分别是⊙O内接正三角形，正方形，正n边形的一边，则n＝　 　．
17．（3分）再如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为多少　 　km．
18．（3分）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC交于点E，连接BI、CI、BD、DC．下列说法中正确的有　 　．
①∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合；
②I到△ABC三个顶点的距离相等；
③∠BIC＝90°+∠BAC；
④点D是△BIC的外心．
三、解答题（共7小题，满分46分）
19．（8分）（1）tan45°﹣cos60°．
（2）sin30°+tan60°﹣cos45°+tan30°．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2位似，且点B2的坐标为（2，﹣2）．
（3）△ABC与△A2B2C2的位似比是　 　．
21．（6分）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，若AB＝2，求AC的长．
22．（6分）如图所示，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，DE＝CD，连接BE与AC，AD，FE分别交于点O，F．
（1）若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．
（2）求证OB2＝OE?OF．
23．（6分）如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若AB＝4，∠BAC＝45°，求阴影部分的面积．
24．（6分）如图，学校操场旁立着一杆路灯（线段OP）．小明拿着一根长2m的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点A竖起竹竿（线段AE），这时他量了一下竹竿的影长AC正好是1m，他沿着影子的方向走了4m到达点B，又竖起竹竿（线段BF），这时竹竿的影长BD正好是2m，请利用上述条件求出路灯的高度．
25．（6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，对角线BD为⊙O的直径，AC与BD交于点E．点F为CD延长线上，且DF＝BC．
（1）证明：AC＝AF；
（2）若AD＝2，AF＝，求AE的长；
（3）若EG∥CF交AF于点G，连接DG．证明：DG为⊙O的切线．
参考答案
一、选择题
1．（3分）下列关于“圆”的说法不正确的是（　　）
A．圆是中心对称图形，圆心就是对称中心
B．垂直于弦的直径一定平分这条弦
C．相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等
D．圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴
解：A、圆是中心对称图形，圆心就是对称中心，故本选项正确；
B、垂直于弦的直径一定平分这条弦符合垂径定理，故本选项正确；
C、只有在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等，故本小题错误；
D、圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴，故本选项正确．
故选：C．
2．（3分）若锐角A满足cosA＝，则∠A的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
解：∵cosA＝，
∴∠A＝30°．
故选：A．
3．（3分）如图，已知△ABC的六个元素，其中a、b、c表示三角形三边的长，则下面甲、乙、丙、丁四个三角形中与△ABC不一定相似的图形是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解：甲三角形的两边AC，BC的夹角不一定等于72度，故与△ABC不一定相似的图形，故选此选项正确；
乙可以利用两边对应成比例且夹角相等得出相似；
丙、丁可以利用两角对应相等得出相似；
故选：A．
4．（3分）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（　　）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化
解：根据锐角三角函数的概念，知
若各边长都扩大2倍，则sinA的值不变．
故选：D．
5．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），则OP的最小值是（　　）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
解：作OC⊥AB于点C，连接OA，如图所示：
则AC＝AB＝4，
∵OA＝5，
∴OC＝＝＝3，
则OP的最小值是3；
故选：B．
6．（3分）如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，若坡面CD的长度为米，则斜坡AB的长度为（　　）
A． B． C． D．24
解：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，如图所示：
则四边形BEFC是矩形，
∴BE＝CF，
∵背水坡CD的坡比i＝1：1，CD＝米，
∴CF＝DF＝CD＝6（米），
∴BE＝CF＝6米，
又∵斜坡AB的坡比i＝1：2＝，
∴AE＝2BE＝12（米），
∴AB＝＝＝6（米），
故选：C．
7．（3分）如图，△ABC为⊙O的一个内接三角形，过点B作⊙O的切线PB与OA延长线交于点P，连接OB，已知∠P＝34°，则∠ACB＝（　　）
A．17° B．27° C．28° D．30°
解：∵PB切⊙O于B，
∴OB⊥PB，
∴∠OBP＝90°，
∵∠P＝34°，
∴∠POB＝180°﹣90°﹣34°＝56°，
∴∠ACB＝∠AOB＝28°，
故选：C．
8．（3分）如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝2AD，如果△ACD的面积为15，那么△ABD的面积为（　　）
A．15 B．10 C．7.5 D．5
解：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∵AC＝2AD，
∴＝（）2＝，
∴＝，
∵△ACD的面积为15，
∴△ABD的面积＝×15＝5，
故选：D．
9．（3分）边长为6的正三角形的外接圆的周长为（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
解：如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，
作OD⊥BC于D，连接OB、OC，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠OBD＝30°，
∵OD⊥BC，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△OBD中，OD＝BD＝，
∴OB＝2OD＝2，
∴⊙O的周长＝2π×2＝4π．
故选：D．
10．（3分）如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1．求矩形ABCD的面积为（　　）
A．1 B． C． D．2
解：由矩形ABCD∽矩形EABF可得，
设AE＝x，则AD＝BC＝2x，又AB＝1，
∴，
可得：，
∵矩形的长不能是负数，
解得：，
∴BC＝2x＝2×＝，
∴S矩形ABCD＝BC×AB＝×1＝．
故选：C．
11．（3分）如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝EF，若AD＝3，则的长为（　　）
A．π B．π C．π D．π
解：连接AC、AF，
由旋转的性质可知，BC＝EF，AB＝AE，
∵DE＝EF，
∴DE＝BC＝AD，
在Rt△ADE中，DE＝AD，
∴∠DAE＝45°，AE＝＝3，
∴∠EAB＝90°﹣45°＝45°，即旋转角为45°，
∴∠FAC＝45°，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝9，
∴的长＝＝，
故选：A．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，BE⊥AC，垂足为点F，下列结论：①△AEF～△CAB；②CF＝2AF；③tan∠CAD＝，其中正确的结论有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴＝，
∵AE＝AD＝BC，
∴＝，
∴CF＝2AF，故②正确；
设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，
由△BAE∽△ADC，
有＝，即b＝a，
∴tan∠CAD＝＝＝，故③不正确；
正确的有①②，2个，
故选：B．
二．填空题
13．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，则tanB＝　　．
解：由勾股定理得，AC＝＝＝12，
∴tanB＝＝，
故答案为：．
14．（3分）若△ABC∽△ADE，若AB＝9，AC＝8，AD＝3，则EC的长是　　．
解：设EC＝x，
∵AC＝8，
∴AE＝8﹣x，
∵△ABC∽△ADE，
∴，
∴，
解得：x＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC＝6，则以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为　2个　．
解：过O作OD⊥OA于D，
∵∠AOB＝30°，OC＝6，
∴OD＝OC＝3＜4，
∴以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为2个，
故答案为：2个．
16．（3分）如图，A，B，C是⊙O上顺次三点，若AC，AB，BC分别是⊙O内接正三角形，正方形，正n边形的一边，则n＝　12　．
解：如图，连接OA，OC，OB．
∵若AC、AB分别是⊙O内接正三角形、正方形的一边，
∴∠AOC＝120°，∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，
由题意得30°＝，
∴n＝12，
故答案为：12．
17．（3分）再如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为多少　（30+10）　km．
解：如图，过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，
则CF∥AD∥BG，∠AEB＝∠CEB＝90°，
∴∠ACF＝∠CAD＝20°，∠BCF＝∠CBG＝40°，
∴∠ACB＝20°+40°＝60°，
由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝30km，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝30km，
∴AE＝BE＝AB＝30（km），
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB＝，
∴CE＝＝＝10（km），
∴AC＝AE+CE＝30+10（km），
∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，
故答案为：（30+10）．
18．（3分）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC交于点E，连接BI、CI、BD、DC．下列说法中正确的有　①③④　．
①∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合；
②I到△ABC三个顶点的距离相等；
③∠BIC＝90°+∠BAC；
④点D是△BIC的外心．
解：∵I是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD＝∠CAD，
∴∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合，所以①正确；
∵I是△ABC的内心，
∴点I到三角形三边的距离相等，所以②错误；
∵BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，
∴∠1＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，
∵∠BIC＝180°﹣∠1﹣∠ICB，
∴∠BIC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）
＝90°+∠BAC，所以③正确；
∵∠1＝∠2，∠3＝∠CAD＝∠4，
∴∠2+∠3＝∠1+∠4，
而∠5＝∠2+∠3，
∴∠5＝∠1+∠4，即∠5＝∠DBI，
∴DB＝DI，
∵∠3＝∠CAD，
∴＝，
∴BD＝CD，
∴DB＝DI＝DC，
∴点B、I、C在以点D为圆心，DB为半径的圆上，
即点D是△BIC的外心．所以④正确．
故答案为①③④．
三、解答题（共7小题，满分46分）
19．（8分）（1）tan45°﹣cos60°．
（2）sin30°+tan60°﹣cos45°+tan30°．
解：（1）原式＝1﹣
＝；
（2）原式＝×+﹣+
＝．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2位似，且点B2的坐标为（2，﹣2）．
（3）△ABC与△A2B2C2的位似比是　1：2　．
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）△ABC与△A2B2C2的位似比是：1：2．
故答案为：1：2．
21．（6分）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，若AB＝2，求AC的长．
解：过A点作AD⊥BC于D点，
在直角三角形ABD中，∠B＝45°，AB＝2，
∴AD＝AB?sinB＝2，
在直角三角形ADC中，∠C＝30°，
∴AC＝2AD＝4．
22．（6分）如图所示，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，DE＝CD，连接BE与AC，AD，FE分别交于点O，F．
（1）若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．
（2）求证OB2＝OE?OF．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵DE＝CD，
∴＝＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴△DEF∽△ABF，
∴＝＝，
又∵S△DEF＝2，
∴S△ABF＝8；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB，
∴＝＝＝，
∴S△CBE＝9×2＝18，
∴S四边形BCDF＝S△CBE﹣S△DEF＝18﹣2＝16，
∴平行四边形ABCD的面积为：8+16＝24．
（2）证明：∵AD∥BC，
∴△AOF∽△COB，
∴＝，
∵AB∥DC，
∴△ABO∽△CEO，
∴＝，
∴＝，
∴OB2＝OE?OF．
23．（6分）如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若AB＝4，∠BAC＝45°，求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连结AD，
∵AB为⊙O直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）解：连结OE，
∵AB＝4，∠BAC＝45°，
∴∠BOE＝90°，BO＝EO＝2，∠AOE＝90°，
∴S阴＝S△BOE+S扇形OAE＝×2×2+＝π+2．
24．（6分）如图，学校操场旁立着一杆路灯（线段OP）．小明拿着一根长2m的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点A竖起竹竿（线段AE），这时他量了一下竹竿的影长AC正好是1m，他沿着影子的方向走了4m到达点B，又竖起竹竿（线段BF），这时竹竿的影长BD正好是2m，请利用上述条件求出路灯的高度．
解：由于BF＝DB＝2m，即∠D＝45°，
∴DP＝OP＝灯高．
在△CEA与△COP中，
∵AE⊥CP，OP⊥CP，
∴AE∥OP．
∴△CEA∽△COP，
∴．
设AP＝xm，OP＝hm，则，①，
DP＝OP＝2+4+x＝h，②
联立①②两式，
解得x＝4，h＝10．
∴路灯有10m高．
25．（6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，对角线BD为⊙O的直径，AC与BD交于点E．点F为CD延长线上，且DF＝BC．
（1）证明：AC＝AF；
（2）若AD＝2，AF＝，求AE的长；
（3）若EG∥CF交AF于点G，连接DG．证明：DG为⊙O的切线．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°．
∵∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADF．
在△ABC与△ADF中，
，
∴△ABC≌△ADF（SAS）．
∴AC＝AF；
（2）解：由（1）得，AC＝AF＝．
∵AB＝AD，
∴．
∴∠ADE＝∠ACD．
∵∠DAE＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD．
∴，
则AE＝＝＝；
（3）证明：∵EG∥CF，
∴．
∴AG＝AE．
由（2）得，
∴．
∵∠DAG＝∠FAD，
∴△ADG∽△AFD．
∴∠ADG＝∠F．
∵AC＝AF，
∴∠ACD＝∠F．
又∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ADG＝∠ABD．
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°．
∴∠ABD+∠BDA＝90°．
∴∠ADG+∠BDA＝90°．
∴GD⊥BD．
∴DG为⊙O的切线．