2018-2019学年山东省泰安市东平县八年级上学期期中数学试卷 （Word版 含解析）

2018-2019学年山东省泰安市东平县八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．（3分）已知a﹣b＝1，则a2﹣b2﹣2b的值为（　　）
A．4 B．3 C．1 D．0
2．（3分）若的值为，则的值为（　　）
A． B． C． D．．
3．（3分）已知x1，x2，…xn的平均数为5，方差为2，则3x1﹣2，3x2﹣2…3xn﹣2的平均数和方差分别是（　　）
A．13和18 B．13和4 C．5和18 D．5和4
4．（3分）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A＝40°．∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是（　　）
A．110° B．80° C．40° D．30°
5．（3分）如图，两个平行四边形的面积分别为18、12，两阴影部分的面积分别为a、b（a＞b），则（a﹣b）等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（3分）如图，在?ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于G，BG＝，则梯形AECD的周长为（　　）
A．22 B．23 C．24 D．25
7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）
A． B． C．5 D．4
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_____，平行四边形CDEB为菱形．（　　）
A． B． C． D．3
9．（3分）如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B＝120°，OA＝2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（　　）
A．（，﹣） B．（﹣，） C．（2，﹣2） D．（，﹣）
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．
11．（3分）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　　）
A．4.8 B．5 C．6 D．7.2
12．（3分）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，把答案填在题中的横线上．）
13．（3分）已知m2+＝51，则|m﹣|＝　 　．
14．（3分）若分式方程＝5+有增根，则a的值为　 　．
15．（3分）如图，在?ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD边上的点F．若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为　 　．
16．（3分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB＝，AG＝1，则EB＝　 　．
17．（3分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转．在旋转过程中，当AE＝BF时，∠AOE的大小是　 　．
18．（3分）如图，已知△ABC的面积是1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形…依此类推，则第2019个三角形的面积　 　．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．）
19．（6分）先化简，再求值：（﹣）?，其中x＝4．
20．（10分）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）超市销售这种干果共盈利多少元？
21．（8分）如图在△ABC中，以BC为边向三角形外做等边三角形△BCD，把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，且点A、C、E在同一条直线上，若AB＝4，AC＝2．
求：（1）∠ADE的度数；
（2）AD的长．
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别交BC于点E，F，AE与DF相交于点G．
求证：（1）∠AGD＝90°；
（2）BF＝CE．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．
（1）求证：四边形BDFG是菱形：
（2）若∠BAC＝30°，BC＝2，求四边形BDFG的面积．
24．（12分）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）试探索OE与OF之间的数量关系．
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并给出说理过程．
（3）在（2）的前提下，如果四边形AECF是正方形，那么△ABC将是什么三角形呢？请说明理由．
25．（12分）如图，在正方形ABCD与等腰直角三角形BEF中，∠BEF＝90°，BE＝EF，连接DF，点P是FD的中点，连接PE、PC．
（1）如图1，当点E在CB边上时，求证：CE＝PE；
（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，线段PC、CE有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）
1．（3分）已知a﹣b＝1，则a2﹣b2﹣2b的值为（　　）
A．4 B．3 C．1 D．0
解：∵a﹣b＝1，
∴a2﹣b2﹣2b＝（a+b）（a﹣b）﹣2b
＝a+b﹣2b
＝a﹣b
＝1．
故选：C．
2．（3分）若的值为，则的值为（　　）
A． B． C． D．．
解：∵＝，
∴2y2+3y＝1，
∴原式＝＝＝﹣．
故选：D．
3．（3分）已知x1，x2，…xn的平均数为5，方差为2，则3x1﹣2，3x2﹣2…3xn﹣2的平均数和方差分别是（　　）
A．13和18 B．13和4 C．5和18 D．5和4
解：∵x1，x2，…xn的平均数为5，
∴3x1﹣2，3x2﹣2…3xn﹣2的平均数是3×5﹣2＝13，
∵x1，x2，…xn的方差为2，
∴3x1﹣2，3x2﹣2…3xn﹣2的方差是2×32＝18．
故选：A．
4．（3分）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A＝40°．∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是（　　）
A．110° B．80° C．40° D．30°
解：根据旋转的性质可得：∠A′＝∠A，∠A′CB′＝∠ACB，
∵∠A＝40°，
∴∠A′＝40°，
∵∠B′＝110°，
∴∠A′CB′＝180°﹣110°﹣40°＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，
∴∠ACA′＝50°，
∴∠BCA′＝30°+50°＝80°，
故选：B．
5．（3分）如图，两个平行四边形的面积分别为18、12，两阴影部分的面积分别为a、b（a＞b），则（a﹣b）等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
解：设重叠部分面积为c，
a﹣b＝（a+c）﹣（b+c）＝18﹣12＝6，
故选：C．
6．（3分）如图，在?ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于G，BG＝，则梯形AECD的周长为（　　）
A．22 B．23 C．24 D．25
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝9，CD＝AB＝6，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴BE＝AB＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝3，
∵BG⊥AE，
∴∠BGE＝90°，AG＝EG，
∴EG＝＝＝2，
∴AE＝2EG＝4，
∴梯形AECD的周长＝AE+CE+CD+AD＝4+3+6+9＝22，
故选：A．
7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）
A． B． C．5 D．4
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝8，DB＝6，
∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝，
∴，
∴DH＝，
故选：A．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_____，平行四边形CDEB为菱形．（　　）
A． B． C． D．3
解：如图，连接CE交AB于点O．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5．
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD＝OB，CD＝CB．
∵S△ACB＝AB?OC＝AC?BC，
∴OC＝．
∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB＝＝＝，
∴AD＝AB﹣2OB＝．
故选：A．
9．（3分）如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B＝120°，OA＝2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（　　）
A．（，﹣） B．（﹣，） C．（2，﹣2） D．（，﹣）
解：连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，
根据题意得：∠BOB′＝105°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB，∠AOB＝∠AOC＝∠ABC＝×120°＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴OB＝OA＝2，
∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝105°﹣60°＝45°，OB′＝OB＝2，
∴OE＝B′E＝OB′?sin45°＝2×＝，
∴点B′的坐标为：（，﹣）．
故选：A．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．
解：∵CE＝5，△CEF的周长为18，
∴CF+EF＝18﹣5＝13．
∵F为DE的中点，
∴DF＝EF．
∵∠BCD＝90°，
∴CF＝DE，
∴EF＝CF＝DE＝6.5，
∴DE＝2EF＝13，
∴CD＝．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝12，O为BD的中点，
∴OF是△BDE的中位线，
∴OF＝（BC﹣CE）＝（12﹣5）＝．
故选：D．
11．（3分）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　　）
A．4.8 B．5 C．6 D．7.2
解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝10，
∴OA＝OD＝5，
∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24，
∴S△AOD＝S△ACD＝12，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝×5×PE+×5×PF＝（PE+PF）＝12，
解得：PE+PF＝4.8．
故选：A．
12．（3分）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：作F点关于BD的对称点F′，连接EF′交BD于点P，则PF＝PF′．
∴EP+FP＝EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP＝EP+F′P＝EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD，
∵AF＝2，AE＝1，
∴DF＝DF′＝AE＝1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′＝AD＝3．
∴EP+FP的最小值为3．
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，把答案填在题中的横线上．）
13．（3分）已知m2+＝51，则|m﹣|＝　7　．
解：∵m2+＝51，
∴m2+﹣2＝51﹣2，即（m﹣）2＝49，
则|m﹣|＝7，
故答案为：7．
14．（3分）若分式方程＝5+有增根，则a的值为　4　．
解：去分母得：x＝5x﹣20+a，
由分式方程有增根，得到x﹣4＝0，即x＝4，
把x＝4代入整式方程得：4＝20﹣20+a，
解得：a＝4，
故答案为：4．
15．（3分）如图，在?ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD边上的点F．若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为　7　．
解：由折叠的性质可得EF＝AE、BF＝AB，
∴?ABCD的周长＝DF+FC+CB+BA+AE+DE＝△FDE的周长+△FCB的周长＝8+22＝30，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB+BC＝15，
∵△FCB的周长＝CF+BC+BF＝CF+BC+AB＝22，
即FC+15＝22，
∴FC＝7，
故答案为7．
16．（3分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB＝，AG＝1，则EB＝　　．
解：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD、AGFE是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG，
∴∠EAB＝∠GAD，
在△AEB和△AGD中，
，
∴△EAB≌△GAD（SAS），
∴EB＝GD，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝，
∴BD⊥AC，AC＝BD＝AB＝2，
∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝1，
∵AG＝1，
∴OG＝OA+AG＝2，
∴GD＝＝，
∴EB＝．
故答案为：．
17．（3分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转．在旋转过程中，当AE＝BF时，∠AOE的大小是　15°或165°　．
解：连结AE、BF，
如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OB，∠AOB＝90°，
∵△OEF为等边三角形，
∴OE＝OF，∠EOF＝60°，
∵在△OAE和△OBF中
，
∴△OAE≌△OBF（SSS），
∴∠AOE＝∠BOF＝（90°﹣60°）＝15°，
如图2，
∵在△AOE和△BOF中
，
∴△AOE≌△BOF（SSS），
∴∠AOE＝∠BOF，
∴∠DOF＝∠COE，
∴∠DOF＝（90°﹣60°）＝15°，
若F点在E点上方，则∠AOE＝180°﹣15°＝165°；
∴∠AOE大小为15°或165°．
故答案为15°或165°．
18．（3分）如图，已知△ABC的面积是1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形…依此类推，则第2019个三角形的面积　（）2018　．
解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴DE、EF、DF分别为△ABC的中位线，
∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，
作AG⊥DE于G，交BC于H，则AG＝GH，
∵△ABC的面积＝BC×AH，△DEF的面积＝DE×GH，
∴△DEF的面积＝△ABC的面积＝，
同理：第三个三角形的面积＝△DEF的面积＝＝（）2，第四个三角形的面积＝第三个三角形面积＝（）3，……，
∴第2019个三角形的面积为（）2018，
故答案为：（）2018．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．）
19．（6分）先化简，再求值：（﹣）?，其中x＝4．
解：原式＝?
＝x+2，
当x＝4时，原式＝6．
20．（10分）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）超市销售这种干果共盈利多少元？
解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元，
由题意，得＝2×+300，
解得x＝5，
经检验x＝5是原方程的解．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元；
（2）[+﹣600]×9+600×9×80%﹣（3000+9000）
＝（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000
＝1500×9+4320﹣12000
＝13500+4320﹣12000
＝5820（元）．
答：超市销售这种干果共盈利5820元．
21．（8分）如图在△ABC中，以BC为边向三角形外做等边三角形△BCD，把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，且点A、C、E在同一条直线上，若AB＝4，AC＝2．
求：（1）∠ADE的度数；
（2）AD的长．
解：（1）△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，
∴∠ADE＝60°．
（2）△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，
∴∠ADE＝60°，AD＝DE，
∴△AED为等边三角形，
又∵CE＝BA＝4，AC＝2，
∴AE＝6，
∴AD＝6．
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别交BC于点E，F，AE与DF相交于点G．
求证：（1）∠AGD＝90°；
（2）BF＝CE．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD+∠ADC＝180°．
∵AE，DF分别平分∠BAD，∠ADC，
∴∠DAG＝∠BAD，∠ADG＝∠ADC．
∴∠DAG+∠ADG＝×180°＝90°．
∴∠AGD＝180°﹣90°＝90°．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC．
∴∠DAE＝∠AEB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
同理DC＝CF，
又∵AB＝CD，
∴BE＝CF，
∴BF＝CE．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．
（1）求证：四边形BDFG是菱形：
（2）若∠BAC＝30°，BC＝2，求四边形BDFG的面积．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，BD为AC的中线，
∴BD＝AC，
∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BDFG是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴DF＝AC，
∴BD＝DF；
∴平行四边形BDFG是菱形；
（2）解：作DH⊥AG于H，如图所示：
∵四边形BDFG是菱形，
∴GF＝BD，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，
∵点D是AC中点，
∴GF＝BD＝AC＝AD＝2，
∴∠DBA＝∠BAC＝30°，
又∵AG∥BD，
∴∠BAF＝∠DBA＝30°，
∴∠DAF＝60°，
∵DH⊥AG，
∴∠ADH＝30°，
∴AH＝AD＝1，DH＝AH＝，
∴S菱形BDFG＝GF?DH＝2×＝2．
24．（12分）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）试探索OE与OF之间的数量关系．
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并给出说理过程．
（3）在（2）的前提下，如果四边形AECF是正方形，那么△ABC将是什么三角形呢？请说明理由．
解：（1）∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB，∠OFC＝∠FCD．
又∵CE平分∠ACB，FC平分∠ACD．
∴∠ECB＝∠OCE，∠OCF＝∠FCD，
∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，
∴EO＝OC，FO＝OC，
∴EO＝FO；
（2）由（1）知，OE＝OC＝OF，
当OC＝OA，即点O为AC的中点时，
∴OE＝OC＝OF＝OA，
∴四边形AECF是平行四边形，AC＝EF，
∴这时四边形AECF是矩形；
∴当点O运动到AC中点时，
四边形AECF是矩形，
（3）由正方形AECF可知，AC⊥EF，
又∵EF∥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是∠ACB＝90°的直角三角形．
25．（12分）如图，在正方形ABCD与等腰直角三角形BEF中，∠BEF＝90°，BE＝EF，连接DF，点P是FD的中点，连接PE、PC．
（1）如图1，当点E在CB边上时，求证：CE＝PE；
（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，线段PC、CE有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明．
解：（1）延长EP交DC于点G，如图（1）所示：
∵∠FEC＝∠DCE＝90°，
∴EF∥CD，
∴∠PFE＝∠PDG，
又∵∠EPF＝∠GPD，PF＝PD，
∴△PEF≌△PGD（AAS），
∴PE＝PG，EF＝GD，
∵BE＝EF，
∴BE＝GD．
∵CD＝CB，
∴CG＝CE，
∴△CGE是等腰直角三角形，
∴CP⊥GE，CP＝EG＝PE，
∴△CPE是等腰直角三角形，
∴CE＝PE；
（2）CE＝PE，理由如下：
延长EP交CD的延长线于点G，如图（2）所示：
∵∠FEB+∠DCB＝180°，
∴EF∥CD，
∴∠PEF＝∠PGD，
又∵∠EPF＝∠GPD，PF＝PD，
∴△PEF≌△PGD（AAS），
∴PE＝PG，EF＝GD，
∵BE＝EF，
∴BE＝GD．
∵CD＝CB，
∴CG＝CE，
∴△CGE是等腰直角三角形，
∴CP⊥GE，CP＝EG＝PE，
∴△CPE是等腰直角三角形，
∴CE＝PE．